10ème Congrès Français d Acoustique

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1 ème Cngrès Français d Acustique yn, -6 Avril Sur la cnvergence de la série de Debye représentant les réflexins successives d une nde ultrasnre dans une plaque élastique anistrpe immergée Éric Ducasse,,3, Marc Deschamps,3 Arts et Métiers Parisech ; CER de Brdeaux-alence, Esplanade des Arts et Métiers, F-3345 AENCE Cedex Université Brdeaux ; abratire de Mécanique Physique, 35 curs de la ibératin, F-3345 AENCE Cedex 3 CNRS ; UMR 5469 (même adresse), {e.ducasse,m.deschamps}@lmp.u-brdeaux.fr a prpagatin d ndes mécaniques dans une plaque plane élastique anistrpe hrizntale insérée entre deux milieux semi-infinis (fluides, slides élastiques anistrpes u vide) peut se mdéliser en utilisant les séries de Debye, ce qui revient à cnsidérer le champ ttal cmme la serpsitin d un champ incident engendré par une surce et de ses réflexins successives aux deux interfaces. Ceci spse que sient définies des ndes mntantes et descendantes pur chaque fréquence et chaque vecteur d nde réel dans le plan hrizntal. Habituellement, ces ndes snt extraites de la base des slutins expnentielles (ndes planes) de l équatin d ndes, et triées seln le signe de la cmpsante verticale de la vitesse de gre pur les slutins hmgènes, et seln le signe de la partie imaginaire du nmbre d nde vertical pur les slutins évanescentes. Dans ce cas, la série de Debye peut diverger dès que la fréquence dépasse au mins une fréquence de cure. Ce résultat surprenant s explique par le fait que deux slutins évanescentes cnjuguées (d atténuatins ppsées) cnsidérées séparément ne transmettent pas d énergie dans le sens de l épaisseur mais qu en revanche, une cmbinaisn des deux peut en transmettre en raisn de l existence d un flux d interactin. a cnservatin des flux d énergie seln l épaisseur nus amène à cnstruire à partir de chaque cle d ndes évanescentes cnjuguées un nuveau cle d ndes rthgnales, c est-à-dire sans flux d interactin, dnt l une à un flux d énergie mntant, et l autre, descendant. Cette nuvelle base d ndes mntantes et descendantes est rthgnale au sens du flux vertical d énergie, ce qui entraîne autmatiquement une cnvergence de la série de Debye, en raisn de la cnservatin de l énergie. Ces ndes mntantes et descendantes, cnstruites à partir de deux ndes évanescentes cnjuguées, présentent des particularités et sulèvent des prblèmes qui sernt détaillés lrs de l expsé. Intrductin e calcul de champs raynnés au sein d un guide peut être traité par une méthde multimdale. Cette technique est mise en défaut, d une part, pur un guide enfui u immergé, et d autre part, s il s agit d btenir la fnctin de Green. En effet, dans ce dernier cas, le calcul de la prpagatin de discntinuités nécessite un nmbre infini de mdes guidés, alrs que dans le premier cas, n est en présence d un cntinuum de mdes. Une alternative existe, cnsistant à dévelpper la slutin cmme une smme infinie de multiples réflexins/réfractins [] et cnnue sus le nm de série de Debye []. Utilisant cette décmpsitin, plusieurs auteurs nt btenus des résultats intéressants pur des slides élastiques cylindriques [3, 4], pur des cuches sphériques élastiques [5] u pur des plaques planes élastiques [6, 7, 8]. esprit de la méthde pur btenir aisément cette série est décrit en [5]. Cette décmpsitin, assciée à un calcul intégral, est bien adaptée à un calcul de champs dans le dmaine temprel en évitant le calcul des pôles assciés aux mdes guidés. À titre d exemple, à la référence [9], n truvera ce type de calcul par la méthde Cagniardde Hp. h h Fluide Plaque Fluide y descendantes z x mntantes descendantes mntantes descendantes mntantes Fig. : Plaque anistrpe immergée insnifiée par une nde plane harmnique d angle d incidence. Malheureusement, cmme illustré en [6] pur l exemple de la réflexin/réfractin d une nde plane sur une lame slide istrpe immergée dans un fluide, cette série ne cnverge pas nécessairement. Ceci est lié à la présence de mdes évanescents dans la plaque. Afin d expliquer et de crriger cette divergence, l bjet de cette cmmunicatin est de reprendre cette étude. On mntre alrs que la récriture du prblème dans la base rthgnale fr-

2 mée par une cmbinaisn de ces ndes furnit un cadre crrect pur la frmulatin en série, dnt la cnvergence est ainsi assurée quelle que sit la situatin. Après avir repris au la mise en équatin sus frme de série de Debye dans le cas usuel, n établit au 3 une série de Debye différente, dnt la smme reste la même, mais qui cnverge. Enfin, des curbes numériques illustrent ns résultats thériques au 4. Représentatin du prblème. Représentatin des champs Une plaque anistrpe immergée est insnifiée par une nde plane harmnique incidente de pulsatin ω et de célérité c dans le fluide au-dessus de la plaque (cf. Fig. ). a verticale z et la directin de l nde incidente, dans le plan xz, frment l angle d incidence. a plaque mise en vibratin renvie dans le fluide des champs réfléchi, au-dessus de la plaque, et transmis, endessus. a cmpsante hrizntale de la lenteur s=sin()/c étant cmmune, tut cmme la pulsatin, à tutes les ndes en présence en raisn des lis de Snell- Descartes, les différents champs s ecrivent cmme suit :.. Champs incident et réfléchi e champ de pressin dans le fluide au-dessus de la plaque s écrit : ( a inc e iωζ(z h ) p inc (z) ) + a réf e iωζ(z h ) p réf (z) e iω(t sx), () ù h est l épaisseur de la plaque et ζ = cs()/c,la lenteur seln l axe z... Vibratin de la plaque état vibratire de la plaque est caractérisé par : U(z) e iω(t sx), () ù le vecteur U(z) est le vecteur de dimensin six qui cntient les tris cmpsantes du vecteur vitesse et les tris cmpsantes de la cntrainte verticale. Ce vecteur peut se décmpser sur la base de six ndes planes (e.g. [,,, 3]), sus la frme : n α (z) =exp( iωζ α z) ξ α, (3) U(z) = 6 α= a α n α (z) =Ξ E(z) a. (4) N (z) a est le vecteur des six cmpsantes a α. a matrice diagnale E(z) =diag(exp( iωζ α z)) cntient les six lenteurs réelles u cmplexes ζ α, les clnnes de la matrice Ξ étant les plarisatins ξ α crrespndantes...3 Champ transmis e champ de pressin au-dessus de la plaque ne cntient qu une nde transmise se prpageant seln les z décrissants : a tr e iωζ(z+ h ) e iω(t sx). (5) p tr (z). Raccrdement et réslutin directe e champ incident, cnnu, est caractérisé par le cefficient a inc. Il faut déterminer les cefficients a réf, a tr et le vecteur a, sient 8 incnnues, grâce à la cntinuité des cntraintes et déplacements nrmaux aux interfaces sérieure : ( ) ζ/ρ ζ/ρ h N a=a inc +a réf, (6) ρ étant la masse vlumique du fluide, et inférieure : ( ) ζ/ρ h N a = a tr. (7) On a un système linéaire 8 8 à résudre, ce qui ne pse pas de prblème sauf s il n est pas inversible. Cela survient lrsqu il existe au mins un mde de plaque nn raynnant vers le fluide (nde SH pur le cas istrpe par exemple). e nmbre d incnnues est alrs réduit aux ndes dans la plaque réellement excitées par l nde incidente. D autre part, ntns que lrsqu n excite la plaque au visinage de l un des ses mdes de amb dans le vide, n est sur une quasi-singularité. Pur cmprendre la frmatin de ces mdes dans le dmaine physique (spati-temprel), nus cnsidérns ici les champs cmme le résultat des réflectins/transmissins successives aux deux interfaces..3 Frmulatin en série de Debye.3. Ondes mntantes et descendantes Dans la plaque, la base des six slutins peut se décmpser en tris slutins «mntantes» etentriss- lutins «descendantes». Si la lenteur ζ α est réelle, alrs n peut prendre une plarisatin ξ α nrmalisée réelle telle que le flux vertical surfacique myen de puissance (dénmmé «flux» dans la suite) est dnné par la trisième cmpsante du vecteur de Pynting ξ α + J ξ α = ξα J ξ α (les expsants et + désignent respectivement le transpsé et le cnjugué du transpsé), lequel valant si l nde est mntante et si l nde est descendante. a matrice J est définie par blcs : J = 4 [ ] O3 I 3, (8) I 3 O 3 ù les matrices carrées I 3 et O 3 d rdre 3 snt respectivement les matrices «identité» et«nulle». e nmbre r

3 de lenteurs réelles étant frcément pair, il est bien cnnu que r ndes snt mntantes et autant snt descendantes (tplgie de la surface de lenteur), à cnditin de se placer hrs du cas ù la nrmale à la surface de lenteur est dans le plan xy (ξα J ξ α =), ce que est spsé ici. Si la lenteur ζ α a une partie imaginaire nn nulle, alrs le flux ξ α + J ξ α est nul mais n peut chisir pur nrmaliser n α (z) la plarisatin ξ α de srte que ξα J ξ α =[]. D autre part, le cnjugué n α (z) fait également partie de la base des slutins. Dans ce cas, l nde cnsidérée cmme mntante est celle dnt la partie imaginaire de la lenteur est négative, et l nde cnsidérée cmme descendante, sa cnjuguée. (a) Numér enteur Nrmalisatin α r ζ α réelle ξ α + J ξ α = r<α 3 Im(ζ α ) < ξα J ξ α = 4 α 3+r ζ α réelle ξ α + J ξ α = 3+r<α 6 ζ α = ζα 3 ξ α = ξα 3 (b) r 3 Ξ + J Ξ - - B C r Ξ + J Ξ - B C ab. : Numértatin (a) et nrmalisatin (b) de la base des slutins dans la plaque. On peut dnc arbitrairement rdnner et nrmaliser la base des slutins tel qu indiqué dans le ableau []. e flux s exprime alrs en fnctin des cmpsantes a α du vecteur a : r 3+r 3 a + H a = a α a α ( + aα a α+3 +a α a ) α+3, α= α=4 α=r+ (9) ù la matrice hermitienne H = N (z) + JN(z)=Ξ + J Ξ est indépendante de la psitin verticale z. Avec cette cnventin, n peut écrire la matrice N (z) cmme la juxtapsitin de deux matrices rectangulaires 6 3 de srte que l état de vibratin dans la plaque se sépare en deux parties mntante U et descendante U dwn : U(z) =N (z)a = N (z)a U (z) C A C A + N dwn (z)a dwn. () U dwn (z).3. Réflexins/transmissins successives À l interface sérieure, l nde incidente, caractérisée par le cefficient a inc, prduit une nde réfléchie, caractérisée par le cefficient a [] réf, et une nde transmise descendant dans la plaque, caractérisée par le vecteur a [] dwn. Cette dernière, incidente sur l interface inférieure, prduit une nde réfléchie mntante (a [] ) dans la plaque et une nde transmise (a [] tr ) dans le fluide vers le bas. Et ainsi de suite cmme résumé par le ableau. N incident n n + Fluide a inc a [] réf a [] réf a [n] réf Plaque a [] dwn a [] a[] dwn a[n] dwn a [n+] Fluide a [] tr a [n+] tr ab. : Réflexins/transmissins successives dans la plaque anistrpe, vers le fluide. a cnditin (6) de raccrdement à l interface du haut permet d une part de déterminer le cefficient de réflexin initiale r [] réf = a [] réf/a inc et le vecteur g [] = a [] dwn/a inc de transmissin initiale vers la plaque, et d autre part la matrice R h et le vecteur t h tels que : a [n] dwn = R h a [n ] et a [n] réf = t h a [n ]. () a cnditin (7) de raccrdement à l interface du bas furnit de même la matrice R b et le vecteur t b tels que : a [n+] = R b a [n] dwn et a [n+] tr.3.3 Écriture de la série de Debye = t b a [n]. () On en déduit l écriture du cefficient de réflexin r de la plaque : {[ ] } + r = r [] réf + t h R b (R h R b ) n g [], (3) n= ainsi que de sn cefficient de réfractin t vers le fluide du bas : {[ + ] } t = t b (R h R b ) n g [], (4) n= en série de Debye. On peut démntrer facilement que si la série cnverge, alrs ces cefficients r et t calculés crrespndent bien à la slutin du prblème psé. Cependant, cmme n va le vir dans la sectin suivante, cntre tute attente, cette série ne cnverge pas tujurs. 3 Cnservatin de l énergie et cnvergence de la série 3. Divergence bservée dans la base expnentielle Si l n utilise la base expnentielle décrite par l Équatin (3), la série cnverge bligatirement si l angle d incidence reste en deçà du premier angle critique (r =3) pur des raisns de cnservatin d énergie [6, 7] (cf. Éq. (9)). En revanche la série peut diverger lrsqu n dépasse le premier angle critique [6] cmme dans la cas istrpedécritparlafigure.emêmetypedecmprtement pur des plaques anistrpes est bservé [4].

4 9 ωh= m s angle [ ] R z 4... ωh/c Cnvergence Divergence S λ λ 3 λ λ x 5 λ 3 λ.5.5 Fig. 3: Frnts d une nde mntante cnstruite à partir de deux ndes hétérgènes cnjuguées (cas istrpe). Fig. : Étude de cnvergence de la serie de Debye pur une plaque d aluminium immergée dans l eau. Aluminum : c =34 m s ; c =64 m s ; Célérité de l nde de Rayleigh c R 845 m s ; Célérité du mde S à basses fréquences c S =c qc c /c 5355 m s ; masse vlumique 7 kg m 3. Eau : c =55 m s ; ρ = kg m 3.Anglescritiques X =arcsin(c/c X). a raisn en est très simple : lrsque la base des slutins cmprend un cle de slutins cnjuguées n α (z) et n α+3 (z)=n α (z), l Équatin (9) et le ableau mntrent que chaque nde prise séparément ne transprte pas d énergie alrs que tute cmbinaisn avec a α et a α+3 nn nuls en transprte. a cnservatin d énergie n étant plus assurée, la série de Debye peut diverger. 3. Cnvergence assurée dans une base rthgnale au sens du flux d énergie Pur assurer la cnvergence de la série de Debye, il suffit de changer de base en prenant cmme nuvelles ndes mntante et descendante : et ñ α (z) = (n α (z)+n α+3 (z)) (5) ñ α+3 (z) = (n α (z) n α+3 (z)). (6) Un exemple simple d nde mntante dans le cas istrpe est dnnée par la Figure 3. Cette nuvelle base Ñ (z) est rthgnale au sens de l énergie puisque : [ ] H = Ñ (z)+ J Ñ (z) = I 3 O 3 (7) O 3 I 3 et que le flux s écrit en fnctin des nuvelles cmpsantes : ã + H ã = 3 ã α α= 6 ã α, (8) α=4 indépendamment de la psitin de l angle d incidence par rapprt au premier angle critique, ce qui assure la cnvergence de la série dans tutes les situatins. Attentin cependant : ce changement de base induit que les champs réflechis successifs ã [n] réf ne snt plus les mêmes bien que leur smme demeure inchangée. De même pur les champs transmis successifs ã [n+] tr,la transmissin initiale g [], les matrices de réflexin R h et R b, les vecteurs de transmissin t h et t b. 4 Exemple du cas istrpe D Pur ce cas d écle bien cnnu, l nde SH n intervient pas dans le prblème. Il y a dnc dans la plaque seulement deux ndes mntantes (u P) et (u SV), et deux ndes descendantes. Myennant la multiplicatin des éléments de la base de slutins par des cefficients cmplexes de mdule unitaire, les vecteurs de transmissin snt identiques, ainsi les matrices de réflexin rendues symétriques (r = r ),aveclesntatins : ( ) ( ) r r R b =R h = t ; t r r b =t h = ; g t [] = ( g [] g [] (9) À la Figure 4, les cefficients de réflexin r et de réfractin t (resp. Éqs. (3) et (4)) snt tracés en fnctin de l angle d incidence pur un prduit pulsatin/ épaisseur ωh= m s et avec les valeurs numériques dnnées dans la Figure. Sur cette figure, les angles d incidence particuliers assciés aux deux angles critiques, et, snt identifiés. On précise aussi ceux assciés aux mdes de amb S, A et A (dans le vide), et à l nde de Rayleigh, R. Dans tute cette sectin, n prendra pur tus les résultats présentés la même cnfiguratin. Ntns que le cefficient de réfractin est nn nul après l angle critique au-delà duquel tute nde au sein de la plaque est évanescente et dnc ne transprte pas individuellement d énergie d une interface à l autre. e transfert d énergie se fait alrs par prpagatin des mdes rthgnaux définis par l Équatin (6). Afin d étudier la divergence de la série, analysns les cefficients de réflexin et de réfractin aux interfaces ).

5 ..8 A S R A mntrer que les cefficients de réflexin/réfractin snt, en présence d ndes évanescentes, de mdule inferieur à l unité. Cela est lié à la présence, dans cette situatin, du terme cmplexe d interactin (terme de drite dans l Équatin (9)). r, t A S R A [ ] Fig. 4: Mdules des cefficients de réflexin r (cntinu) et de transmissin t (tirets) d une plaque d aluminium immergée dans l eau btenus par calculs directs. N n= r[n] réf , g [] r [] g [], S R [ ] Fig. 5: Mdules des cefficients de réflexin r [] (cntinu) et de transmissin g [] (tirets) et g [] (pints) dans la base expnentielle. S R [ ] Fig. 7: Mdule de la smme des N premières réflexins N n= r[n] réf,purn variantdeà5avecun pas de 5, dans la base expnentielle. Ceci jue un rôle imprtant dans la nn cnvergence de la série dans les Équatins (3) et (4). C est ce que l n bserve à la Figure 7, ù la smme de cette série, dnnant le cefficient de réflexin r de la plaque, est tracée pur les N premières réflexins/réfractins et pur différentes valeurs de N. Cecefficientr, pur N infini, est tracé en vert très intense. En accrd avec les calculs thériques et les résultats numériques de la Figure, n bserve bien la divergence de la série juste après les deux angles critiques et. D autre part, il est intéressant de remarquer que, pur certains angles, la série cnverge lentement, cf. l angle A 4.5 qui crrespnd au mde de amb A. 4. S R r, r, r [ ] Fig. 6: Mdules des cefficients de réflexin r (cntinu), r (tirets) et r (pints) dans la plaque, exprimés dans la base expnentielle. et (prises séparément) dnnés par les Équatins () et (). a Figure 5 mntre les cefficients assciés à la réflexin/réfractin initiale de l nde incidente avec la première interface ; la Figure 6, ceux assciés à la réflexin/réfractin des ndes lngitudinale et transversale incidentes dans le slide sur chaque interface. Dans ce cas classique, l équatin d énergie (9) ne permet pas de, g [] r [], [] g [ ] Fig. 8: Mdules des cefficients de réflexin r [] (cntinu) et de transmissin g [] (tirets) et g [] (pints) dans la base rthgnale. a nuvelle frmulatin à partir des mdes évanescents rthgnaux, cmme il a été démntré aux paragraphes précédents, résut ce prblème de divergence. En effet, d une part, tus les cefficients mdifiés, symblisés par l ajut du signe tilde et présentés au 3., snt maintenant en mdule inférieurs à en vertu des

6 nuvelles équatins d énergie (8). On peut l bserver aux Figures 8 et 9, ù certains d entre eux snt tracés. D autre part, en accrd avec la thérie, les séries (3) et (4) écrites avec les nuveaux cefficients (mêmes expressins qu avec les anciens), cnvergent, cmme n peut l bserver à la Figure. Bien sûr, avant l angle critique les curbes des Figures 7 et snt identiques puisque, dans ce cas, tus les cefficients restent inchangés par l rthgnalisatin des mdes évanescents. Pur finir, remarquns que, pur les znes de cnvergence pur la mise en équatins usuelle (cf. Figure 7 pur > 37,5 par exemple), la nuvelle frmulatin cnverge plus lentement. Ceci est visible à travers les petites scillatins autur de la smme de la série (vert intense) à la Figure. r, r, r N n= r[n] réf S R [ ] Fig. 9: Mdules des cefficients de réflexin r (cntinu), r (tirets) et r (pints) dans la plaque, exprimés dans la base rthgnale A S [ ] Fig. : Mdule de la smme des N premières réflexins N n= r[n] réf,purn variantdeà5avecun pas de 5, dans la base rthgnale. 5 Cnclusin À travers ce travail, nus mntrns cmment, à partir de l rthgnalisatin des mdes évanescents, la cnvergence de la série, exprimant les champs réfléchi et réfracté par une plaque plane anistrpe immergée cmme la smme des multiples réflexins/réfractins, est assurée quel que sit l angle d incidence. une des R A études à venir cncerne une extensin de ces résultats aux prblèmes de la sphère et du cylindre immergés. Remerciements Nus remercins chaleureusement Dmitri Zhakarv pur les cnversatins riches que nus avns eues lrs de sn séjur au MP, ainsi que Alexander Shuvalv pur sn regard critique et érudit. Références [] Brekhvskikh.M., Waves in layered media (Applied mathematics and mechanics) (Academic Press, New Yrk, 96). [] Debije P., Das elektrmagnetische Feld um einen Zylinder und die herie des Regenbnens, Phys. Z. 9, (98). [3] Brill D., Überall H., Acustic waves transmitted thrugh slid elastic cylinder, J. Acust. Sc. Am. 5, (97). [4] Cnir J.M., Gérard A., Un nuveau fnd ptentiel pur la matrice s, J. Acustique, 7 7 (989). [5] Gérard A., Scattering by spherical elastic layers : Exact slutin and interpretatin fr a scalar field, J. Acust. Sc. Am. 73, 3 7 (983). [6] Deschamps M., Ca C., Reflectin/refractin f a slid layer by Debye s series expansin, Ultrasnics 9, (99). [7] Cnir J.M., Gérard A., Derem A., Ondes acustiques transmises et séries de Debye généralisées. - traitement des interfaces planes, J. Acustique 4, 59 (99). [8] Deschamps M., Hsten B., he effects f viscelasticity n the reflectin and transmissin f ultrasnic waves by an rthtrpic plate, J. Acust. Sc. Am. 9, 7 5 (99). [9] Van Der Hijden J.H.M.., Prpagatin f ransient Elastic Waves in Stratified Anistrpic Media (Nrth-Hlland Series in Applied Mathematics and Mechanics) (Elsevier Science td, 987). [] Strh A.N., Steady state prblems in anistrpic elasticity, J. Math. and Physics 4, 77 3 (96). [] Barnett D.M., the J., Synthesis f the sextic and the integral frmalism fr dislcatins, Green s functins, and surface waves in anistrpic elastic slids, Physica Nrvegica 7(), 3 9 (973). [] the J., Barnett D.M., On the existence f surface-wave slutins fr anistrpic elastic halfspaces with free surface, J. Applied Physics 74(), (976). [3] Shuvalv A.., Generalized relatinships fr guided acustic waves in anistrpic plates, Prc. R. Sc. nd. A 46, (4). [4] Ducasse E., Kabaz M., Deschamps M., Diffractin d ndes guidées dans une plaque anistrpe : prblème 3D, dans e Cngrès Français d Acustique, Sessin Psters, yn, ().