DS 5 le 7 février INÉTIQUE HIMIQUE ÉLETIITÉ MÉANIQUE NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Toute application numérique ne comportant pas d unité ne donnera pas lieu à attribution de points. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Problème La fermentation alcoolique des jus sucrés sous l action de micro-organismes tels que les levures et les bactéries est une source d alcools. L éthanol est fabriqué industriellement par fermentation sous l action du complexe enzymatique zymase présent dans la levure de bière, de mono et disaccharides comme le glucose, ou de jus sucrés naturels comme le sucre de canne et les mélasses des sucreries. Dans le cas du glucose, l équation-bilan de la réaction est la suivante : 6 H O 6 H 5 OH + O Des produits secondaires sont formés dont les plus importants sont le glycérol, l acide succinique, l acide acétique et l acide amylique. L intérêt de cette méthode par rapport à la production classique d éthanol par hydratation de l éthylène est qu on utilise de la biomasse au lieu d utiliser du pétrole et que la dépense énergétique est moindre. Les études cinétiques sont effectuées à T et V constants. Pour transformer le glucose en éthanol, les enzymes sont indispensables. Les réactions engendrées sont complexes et multiples. Nous nous intéresserons ici à la première étape de la fermentation alcoolique, c est-à-dire à la réaction ( ) suivante qui fait intervenir un enzyme E : G + ATP GPh + ADP ( ) catalysée par E où les abréviations représentent les composés suivants : G : glucose ; ATP : adénosine triphosphate ; ADP : adénosine diphosphate ; GPh : glucose phosphate ; E : hexokinase. ette réaction ( ) peut être décomposée en trois étapes élémentaires : E + G E G ( ) équilibre rapidement établi de constante thermodynamique K E G + ATP GPh + E + ADP ( 3 ) étape limitante non inversable de constante de vitesse k 3 GPh + E GPhE ( 4 ) équilibre rapidement établi de constante thermodynamique K 4 La réaction ( 4 ) traduit l inhibition de l enzyme E par le produit de la réaction ( 3 ) c est à dire GPh. Les activités seront assimilées aux concentrations. - On note E la concentration initiale de l enzyme E. Grâce à un bilan de matière sur l enzyme E, établir l expression de E en fonction des concentrations E G, G, GPh et des constantes d équilibre K et K 4 des réactions ( ) et ( 4 ) respectivement. - Donner l expression de la vitesse de formation du produit GPh,v en fonction de k 3, K, K 4 et des concentrations GPh, G, ATP et E. Lors d une campagne expérimentale, on a pu mesurer la vitesse initiale v, dans les conditions suivantes : E. 6 mol.l ; ATP 5. mol.l ; ADP mol.l. Les concentrations initiales et les résultats obtenus sont consignés dans le tableau suivant : G ( 5 mol.l ) 5 5 5 5 GPh ( 5 mol.l ) 5 8 v, ( 5 mol.l.min ) 3,385 5,388 7,65,33 8, 6,875 3- En exploitant les résultats des quatre premières expériences du tableau, montrer que les grandeurs v, et G sont liées par une relation affine du type b v, + a G et déterminer les valeurs des constantes a et b en précisant leurs unités respectives. 4- Utiliser la constante b pour en déduire la constante de vitesse k 3 en précisant son unité. 5- En exploitant les résultats des trois dernières expériences du tableau, montrer que les grandeurs v, et GPh sont liées par une relation affine du type v, b + a GPh et déterminer les valeurs des constantes a et b en précisant leurs unités respectives. 6- En déduire les valeurs des deux constantes d équilibre K et K 4.
Page DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 Problème - Indiquer à l aide d une étude rapide la nature des deux filtres suivants (l amplificateur opérationnel AO est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire) : 7 - Montrer que l équation différentielle liant les tensions e(t ) et s(t ) s écrit : - alculer la fonction de transfert du filtre avec l AO. 3 - Faire l étude de la fonction de transfert du filtre avec l AO et tracer son diagramme de Bode. Est-ce en accord avec le résultat obtenu précédemment? 4 - On considère maintenant le filtre sans AO de la question - précédente appelé pont de WIEN. Par un calcul sur les grandeurs temporelles, montrer que l équation différentielle liant les tensions e(t ) et s(t ) s écrit : ( ) d s d t + ω s de d t + ω e où ω s exprime simplement en fonction de et. 8 - Donner la fonction de transfert de ce filtre. onclure quant à la possibilité de lier équation différentielle et fonction de transfert. Problème 3 Inauguré en 965, le radiotélescope de Nançay a été créé pour étudier le décalage Doppler de la raie cm de l atome d hydrogène due au couplage spin nucléaire- spin électronique. est un moyen privilégié d étude de la cinématique de l hydrogène interstellaire, et donc des mouvements dans l univers. De 956 à 967, de nombreux chercheurs ont travaillé à la très délicate mise au point de la chaîne de réception suivante. d s d t + 3ω d s d t + ω s ω de d t où ω s exprime simplement en fonction de et. 5 - Par un calcul à partir des impédances, expliciter la fonction de transfert du pont de WIEN. Tracer son diagramme de BODE. 6 - Montrer comment on peut retrouver l équation différentielle de la question - à partir de la fonction de transfert. On considère maintenant le montage ci-dessous : On se propose de reproduire simplement le principe d un mélangeur en TP en se plaçant 6 décades plus bas en fréquence. - Dédoublement de fréquence Aucune connaissance préalable du AD633 n est nécessaire. On a deux tensions :
Page 3 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 a(t ) A cos(π f a t ) avec f a 4 Hz e (t )E cos(π f + ϕ ) avec f 45 Hz mises aux entrées d un multiplieur AD633 ; on obtient en sortie une tension : m(t ) a(t ).e (t ) Démontrer que m(t ) est la superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquence f et f > f : m(t ) Mcos(π f t+ ϕ )+cos(π f t+ ϕ ). alculer numériquement f et f. - Filtrage On utilise le filtre suivant : -a En effectuant un schéma équivalent en BF (basse fréquence), puis un autre en HF (haute fréquence), déterminer sans calcul le type de ce filtre. -b Déterminer la fonction de transfert H(x) de ce filtre en fonction de x ω. -c Déterminer sa pulsation de coupure ω c en fonction de et. -d On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode en gain de ce filtre. Déterminer un ordre de grandeur du produit. -e En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d une intégration? omment vérifie-t-on cette propriété sur le diagramme de Bode en gain? Vers quelle valeur tend alors le déphasage de s(t ) par rapport à e(t )? 3 - Le mélangeur On place à l entrée de ce filtre le signal m(t ). La sortie est alors : s(t )Scos(π f t+ ϕ S )+S cos(π f t+ ϕ S ). 3-a Déterminer la valeur numérique de S /S à partir du diagramme de Bode. 3-b Sachant que l atténuation de la véritable chaîne de réception est bien supérieure, en déduire la valeur de la fréquence du signal décalé de la chaîne originale. Problème 4 On considère les deux dispositifs suivants :. Un système mécanique constitué d un corps de masse m, accroché à un ressort de raideur k et de longueur à vide l, soumis à une force de frottement fluide de coefficient h et subissant une force excitatrice de composante verticale F. On note z la position de la masse m, l origine étant choisie à la position d équilibre lorsque F.
Page 4 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3. Un système électrique constitué d un circuit L série soumis à une tension e(t ). A - Etablir les équations différentielles vérifiées par la charge q du condensateur et par la cote z de la masse m. Déterminer les grandeurs électriques analogues à la cote z, à la force F, à la masse m, à la constante de frottement h, à la constante de raideur k du ressort et à la vitesse v de la masse. B - On suppose que e(t ) et F (t ) sont constantes pour t < et s annulent pour t >. On observe pour chaque système un régime transitoire pseudopériodique amorti. Pour les deux systèmes, on mesure un décrément logarithmique identique : δ,75, la pseudo période est T,4 ms pour le circuit L et T,4 s pour le système mécanique. Sachant que m, kg et L, H, en déduire les valeur de,, k et h. alculer le facteur de qualité Q de ces deux systèmes. - On suppose que e(t ) et F (t ) sont sinusoïdales. Décrire le phénomène de résonance d intensité dans le cas du circuit L. Quelle est l analogue dans le circuit mécanique? Avec les valeurs numériques obtenues précédemment peut-il y avoir résonance d élongation dans le circuit mécanique? A quoi correspond ce phénomène dans le circuit électrique? D - On peut définir une impédance mécanique sur le modèle de l impédance électrique. Donner l expression de l impédance mécanique du système mécanique.
Page 5 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 ommentaires et correction : Problème Il faut absolument revoir la notion de relation de conservation de la matière. Vous avez l habitude de raisonner avec les tableaux d avancement, ce n est pas ce qui est demandé ici. Ainsi pour l enzyme, on attendait la relation : E E + E G + GPhE evoir la séance Maple sur les calcul de ph où nous avions développé cette notion. Par ailleurs, ce problème était destiné à tester vos compétences en régression linéaire. Beaucoup ont malheureusement oublié les facteurs 5 qui figuraient dans le tableau de valeurs fourni. Problème L esprit de cet exercice n a pas été bien compris. Il s agissait de faire le lien entre fonction de transfert et équation différentielle d un circuit électrique. La plupart du temps, on peut déduire l un de l autre mais pas dans tous les cas. Le problème proposait un cas où cela ne fonctionne pas. Problème 3 Problème extrait du concours des Petites Mines. La fin est intéressante car elle reprend la discussion que nous avons eu sur l intérêt de la décomposition en série de FOUIE. À retravailler car cela n a été abordé. Problème 4 Problème sur l analogie mécanique électricité. La notion de décrément logarithmique que l on peut décliner dans les deux situations parait totalement inconnue. Il faudra revenir dessus en TP. Problème - L enzyme E se retrouve sous les formes E, E G, GPhE, d où le bilan de matière : E E + E G + GPhE d où on tire E E G K G et GPhE K4 GPh E. Finalement, on en déduit : E E G ( + +K ) 4 GPh K G - La vitesse de formation de GPh vaut : v d GPh k 3 E G ATP E G se déduit de la question précédente, d où v k 3 ATP E + +K 4GPh K G 3- Une régression linéaire conduit à v, b + a G { a,98 min b 7,576 3 mol.l.min 4- D après -, on sait que v, k 3 ATP E en déduit : k 3 ATP E et k 3 b b ATP E 5- Une régression linéaire donne : avec + +K 4 GPh K k 3 ATP E b + a GPh v avec, G,64 3 mol.l.min. On La loi de GULDBEG et WAAGE appliquée aux réactions ( ) et ( 4 ) conduit à : E G GPhE K et K 4 E G GPh E { a 6,89 7 mol.l.min b 6- D après -, on sait que 9,9 3 mol.l.min
Page 6 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 v, k 3 ATP On en déduit : soit E Par ailleurs, a b + K k 3 ATP E G K k 3 ATP E K 4 + K k 3 ATP E G ( ) G b k 3 ATP E K k 3 ATP E G b G 4 K 4 K G +, d où K ( 4 K G + ) a 4,5 4 b GPh. Problème - On exploite le fait qu à basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et à haute fréquence comme un fil. Pour le premier montage, on a, à basse fréquence, le schéma équivalent suivant : v e r On reconnaît un montage amplificateur inverseur, le signal passe donc. A haute fréquence, on a la situation suivante : v e r + + v s v s On remarque que v + v s et v. Or v + v car on est en fonctionnement linéaire. On en déduit v s. On a ainsi affaire à un passe-bas. Le second montage devient à basse fréquence : e(t) Le courant est nul dans les résistances, d où s. Le premier montage devient à haute fréquence : e(t) Aux bornes d un fil s. e montage est un passe-bande. - L AO est en fonctionnement linéaire, donc v + v. omme v, on en déduit v +. Appliquons la loi des nœuds à la borne non-inverseuse où v +. d où s(t) s(t) V e r + V s + V s /jω r H V s V e ( + jω ) r + j ω On reconnaît la fonction de transfert d un filtre passe-bas de pulsation de coupure ω c. 3 - En BF (ω ω c ) : H r r d où G db log H log r et ϕarg H ±π Pour ωω c : H(j ω c ) r + j d où G db log H log r +log log r 3 db et ϕarg H 3π. Par continuité de ϕ on retiendra la valeur +π en BF. 4
Page 7 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 En HF (ω ω c ) : H r j ω j r ω d où G db log H log r + log ω log r log logω log r log ω ω c. La courbe admet une asymptote de pente db/décade. ϕarg H + π. Le Diagramme de BODE est donné ci-dessous : En reportant () dans (), il vient : soit de ds + d s + ds + ds + s d s + 3ω ds + ω s ω de où ω. 5 - Le condensateur et la résistance en parallèle ont pour admittance : (3) Y + jω Z On reconnait bien un filtre passe bas du premier ordre. Pour > r, le gain en basse fréquence dépasse db, on a alors un filtre amplificateur. Si, au contraire, r >, c est un filtre atténuateur. 4 - La loi des nœuds en A s écrit : La loi des mailles donne : e s+ i+ q e(t) i dq + s ds + s i q soit de ds + di + i A s(t) i q () () La formule du pont diviseur de tension conduit à : soit H H Z Z + + /jω +Y (+ /jω) 3+ j ω+ j ω + j 3 En posant ω, H 3 et Q, il vient : 3 H H ( ) + jq ω ω ω ω est la fonction de transfert d un passe-bande. Faisons l étude de la fonction de transfert : En BF ω, on a Pour ωω H j ω 3 ( ω ω ω ω j ω d où ϕ π et G db log ω asymptote à +db/déc H 3 d où G db log 9,5 et ϕ 3 )
Page 8 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 En HF, on a H j ω j ω d où ϕ π et G db log ω asymptote à -db/déc e qui permet de tracer le diagramme de BODE Gain du filtre 3 4 G db Déphasage du filtre ϕ log ω ω log ω ω 6 - La fonction de transfert peut se réécrire sous la forme : d où on tire où ω. H s e 3+ j ω+ j ω j ω/( ) /( ) + 3j ω/( ) ω ω s+ 3j ωω s+ ω s j ωω e La dérivation correspond à la multiplication par j ω en représentation complexe. On retrouve ainsi l équation différentielle : d s + 3ω ds + ω s ω de 7 - On considère maintenant le montage ci-dessous : On a i dq ce qui s écrit encore : d(e s) et i dq e A i i q q d(e s) s(t) ds. La loi des nœuds en A s écrit : + e s ds + s ds de + s + e ela correspond à l équation demandée : ( ) ds + ω s de + ω e où ω. 8 - La fonction de transfert de ce montage vaut ici, avec Y + jω : H S E Y Y + Y La relation temporelle que l on pourrait en déduire est s(t )e(t ), ce qui n est pas du tout l équation différentielle du montage. En revanche, l équation différentielle donne en complexe : (j ω+)s (j ω+)e
Page 9 DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 On peut donc retrouver la fonction de transfert obtenue précédemment. On voit en effet que de chaque côté de l égalité, on retrouve le même facteur j ω+ qui se simplifie. Évidemment à partir de S E, il est bien impossible de revenir à l équation différentielle. Il faut bien se souvenir que lorsqu on travaille en complexe, on est uniquement en régime sinusoïdal forcé et qu on ne tient pas compte du régime transitoire. L équation différentielle peut être utilisée avec tout type de signal et on doit tenir compte des conditions initiales pour la résoudre complètement. Il y a donc plus d information dans l équation différentielle que dans la fonction de transfert, ce qui explique que l on peut toujours passer de l équation différentielle à la fonction de transfert, l inverse n est pas toujours vrai comme on le voit dans ce problème. Problème 3 - Dédoublement de fréquence En sortie du multiplieur, le signal vaut : m(t )a(t )e (t ) AE cos(π f a t )cos(π f t+ ϕ ) AE cos π(f f a )t+ ϕ + AE cos π(f + f a )t+ ϕ m(t ) est ainsi la somme de deux signaux sinusoïdaux de fréquence f f f a 3 Hz et f f + f a 87 Hz. -a En basse fréquence, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert : On a un diviseur de tension et s(t ) e(t ) ; En haute fréquence, le condensateur se comporte comme un fil, on a s : c est un passe bas. -b On a un diviseur de tension : La fonction de transfert est : Avec x ω, on a H H + + j x + j ω + j ω + j ω -c On reconnaît la forme canonique d un filtre passe-bas de fréquence de coupure : ω c -d On détermine f c soit par la fréquence de coupure soit par intersection des asymptotes : f c 5 Hz d où. ms. -e En haute fréquence, H. On reconnaît l opérateur intégration caractérisé par une pente de - db/dc et un déphasage qui tend vers j x -9 3-a Il y a une chute de 6.5 db entre 3 Hz et f 87 Hz ; Les deux fréquences ont la même amplitude M AE. On a donc d où log S S 6,5 soit log S M S log 6,5 db M S 6,5,5 S 3-b En réalité seule la fréquence basse se retrouve en sortie du filtre. est donc la différence entre 45 et 4 MHz soit 3 MHz. Problème 4 A - Pour le circuit L, la loi des maille conduit à : avec Z jω + + j ω jω H Z + Z L d q d t + d q d t + q e(t ) (4) La elation Fondamentale de la Dynamique (FD) appliquée dans le référentiel galiléen du laboratoire à la masse en mouvement s écrit en projection
Page DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 sur l axe des Oz : mg k(l eq l ) à l équilibre (5) m z mg k(l eq + z l )+ hż+ F (6) lorsqu il y a mouvement. On en déduit, en soustrayant ces deux équations O m z+ hż+ k z F (7) Equilibre En mouvement On peut en déduire le tableau d analogie suivant : z F m h k v q e L / i B - Pour t la forme canonique de l équation électrique est : avec ω L et L ω Q Pour le système mécanique, on a : z d q d t + ω d q Q d t + ω q (8) d z d t + ω d z Q d t + ω z (9) k avec ω m et h m ω Q Dans le cas d un régime pseudo-périodique, les solutions sont de la forme : z(ou q)e ω Q t A cos (ω ) 4Q t+ ϕ Le décrément logarithmique est défini par : δln q(t ) q(t+ T ) ω Q T ω π Q ω 4Q π d où on sort : Q δ + 4. Pour δ,75, on trouve Q elec Q méca 4,. π A partir de la pseudo période T, on peut calculer ω. On calcule T 4Q ω méca 4,5 rad.s et ω élec 4,5. 3 rad.s. k A partir de ω méca m, on trouve k mω méca, N.m, puis de h m ω Q on tire h mω Q, N s m. A partir de ω élec L, on trouve Lω 4,9 µf, puis de L ω Q élec tire Lω Q Ω. - L équation électrique (8) peut s écrire : L di d t + i+ En passant en complexe, on obtient : on i d t e(t ) () j LωI + I+ I jω E () Il y a résonance d intensité pour la pulsation ωω lorsque l amplitude de l intensité donnée par I passe par un maximum. D après le tableau d équivalence, cela correspond en mécanique à la résonanse de vitesse qui s étudie à partir de l équation : m d v d t + hv+ k En passant en complexe, on obtient : vd t F (t ) () j mωv + hv + k jω V F (3)
Page DS 5 le 7 février Lycée lemenceau Nantes MPSI 3 La résonance d élongation est possible lorsque Q,7. est donc possible ici. ela correspond à un maximum de l amplitude de la charge aux bornes du condensateur, c est à dire aussi à un maximum de la tension aux bornes du condensateur. On parle de phénomène de surtension dans ce cas. D - L impédance électrique du circuit découle de la relation : Z I E. On a donc en utilisant la relation() : Z j Lω++ jω. On déduit l impédance mécanique du système de l équation analogue (3) et de la relation :Z méca V F. On a ainsi : Z méca j mω+h+ k j ω (4)