Conception systematique d'algorithmes de detection de pannes dans les systemes dynamiques Michele Basseville, Irisa/Cnrs, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, bassevilleirisa.fr. 1 Publications. Exemples Publication originale [1 ] A. Benveniste, M. Basseville, G. Moustakides (1987). The asymptotic local approach to change detection and model validation. IEEE Trans. Automatic Control, vol.ac-32, no 7, pp.583-592. Points d'entree bibliographiques conseilles [2 ] M. Basseville (1997). Statistical approaches to industrial monitoring problems - Fault detection and isolation. Plenary Talk, 11th Ifac/Ifors Symp. Identication and System Parameter Estimation - Sysid'97, Fukuoka, Japan. { Rapport de Recherche Irisa no 1122/ Inria no 3252. ftp://ftp.irisa.fr/techreports/1997/pi-1122.ps.gz. [3 ] M. Basseville, A. Benveniste, Q. Zhang (1996). Surveillance d'installations industrielles : demarche generale et conception de l'algorithmique. Rapport de Recherche Irisa no 1010/ Inria no 2889. ftp://ftp.irisa.fr/techreports/1996/pi-1010.ps.gz. Exemples d'applications Surveillance vibratoire des machines et structures : Changements de la structure propre de la matrice de transition d'etat d'un systeme lineaire dynamique [8, 6]. Surveillance des chambres de combustion d'une turbine a gaz : Changements de parametres dans un systeme non-lineaire statique [7]. Surveillance du pot catalytique d'une automobile : Changements de parametres dans un systeme non-lineaire dynamique [10]. 2 Objectifs Construction systematique d'algorithmes de detection de pannes dans des systemes dynamiques, l'objectif privilegie etant la surveillance de pannes de systeme, plus delicate que celle des pannes de capteurs ou d'actionneurs (voir gure 1). On ne parle ici que de detection. Le diagnostic est traite dans les references citees, en particulier [4]. 1

i changement de o U connue Systeme Y W s inconnue W o inconnue Figure 1: Trois types de pannes. Les donnees mesurees en sortie Y sont considerees comme la sortie d'un systeme parametre par un vecteur de parametre, et ayant plusieurs sortes d'entree, ce que, negligeant la dynamique, on peut ecrire : Y = g(; U + i ;W s )+ o + W o. On suppose l'entree U connue (mesuree). La quantite inconnue W s represente les entrees non mesurees, les excitations et perturbations inconnues et nonstationnaires du systeme, et les bruits en entree. La quantite inconnue W o represente les bruits en sortie. Les pannes (d'actionneurs) i sur les entrees et (de capteurs) o sur les sorties operent additivement, alors que les pannes (de composants) du systeme agissent par des changements du parametre. 3 Principes de la methode Approche par modeles parametriques, au sens large (i.e. un reseau de neurones ou d'ondelettes est un modele parametrique, dans lequel les parametres sont les poids, et le cas echeant les coecients de translation et dilatation [11]). Decomposition de la construction de detecteurs en deux etapes fondamentales : Fabrication d'un residu primaire : processus vectoriel H(; Y; U), transformation convenable des signaux mesures (entrees U et sorties Y ), qui reete les pannes par un changement de son vecteur moyenne. Fabrication d'un residu normalise, construit a partir de H, qui est un vecteur (et pas un processus) Z(; Y; U), Gaussien de covariance connue (calculable a partir des signaux mesures). Une grande classe de problemes de detection portant sur le parametre d'un processus aleatoire, se trouvent ainsi reduits au probleme, tres simple, de detection de changement dans la moyenne d'un vecteur Gaussien. Le seul travail conceptuel a faire est donc de trouver une fonction H pertinente. Residu primaire et fonction d'estimation. On note Y 1 un echantillon de taille de donnees Y,et, sans restreindre la generalite, on supprime la mention explicite de l'entree U (connue ou mesuree). Denition 3.1 Une fonction H(; Y k 1 ) 1 est un residu primaire sielleestdierentiable en et s'il existe un voisinage ( 0 ) tel que E H( 0 ; Y k 1 ) = 0 si = 0 (1) E H( 0 ; Y k 1 ) 6= 0 si 2 ( 0) n 0 ; (2) ou E est l'esperance lorsque le parametre du systeme est. Pour isoler des (sous-ensembles de) composantes de, une requ^ete supplementaire est que la matrice Jacobienne M( 0 ) =, E 0 H(; Y 1 k ) soit de rang colonne plein. (3) 1 Cette notation doit ^etre interpretee [2]. Voir presentation formelle en [9][part1,chap.5] et [5][chap8]. 2

A cause de (1)-(2), qui est exactement une condition d'identiabilite locale, il y aunlien etroit entre un residu primaire et une fonction d'estimation. Voir cependant les remarques faites a la n. A cause de (3), la dimension d'un residu primaire doit ^etre superieure ou egale a celle du parametre. Deux exemples typiques d'une telle fonction H sont le gradient, par rapport a, de la log-vraisemblance : 1 ) H( 0 ; Y k 1 )= ln p (Y k jy k,1 qui est appele score ecace, et le gradient du carre de l'erreur de prediction H( 0 ; Y k 1 )=, 1 2, T k () k () (4) ou l'erreur de prediction est k () =Y k, b Ykjk,1() et b Ykjk,1() est une prediction des donnees en sortie, basee sur le modele parametre considere. On convient d'appeler ls-score la fonction denie en (4). Si l'on s'interesse a des pannes du systeme, un contre-exemple typique de residu primaire est l'innovation. Il sut, pour s'en convaincre, de considerer l'exemple elementaire de la surveillance spectrale d'un signal scalaire, posee comme la surveillance de p coecients autoregressifs, ou le score ecace est le produit de l'innovation par le vecteur des p observations passees (et, donc, pas la seule innovation). Une erreur d'estimation d'etat n'est, de m^eme, pas un residu primaire pertinent en general. Residu normalise. M^eme pour des modeles lineaires simples et des fonctions d'estimation classiques, la distribution du residu primaire H est inconnue, ce qui pose probleme pour le choix d'un seuil auquel le confronter. Un moyen de contourner cette diculte consiste a supposer des hypotheses proches (approche dite locale) H 0 : = 0 et H 1 : = 0 + p (5) ce qui, pour grand, correspond a des deviations faibles en, et a accumuler les residus primaires. Denition 3.2 Etant donnes un residu primaire H et un echantillon de nouvelles donnees Y de taille, le residu normalise est deni comme Z ( 0 ) = 1 p X k=1 H( 0 ; Y k 1 ) (6) Pour tout residu primaire (fonction d'estimation) H satisfaisant (1)-(2) et susamment regulier, ce residu normalise est asymptotiquement unvecteur Gaussien, sous les deux hypotheses H 0 et H 1, ce qui rend son evaluation aisee. Plus precisement, soit ( 0 ) = X i=, cov 0, H(0 ; Y i 1);H( 0 ; Y 1 ) ( 0 ) = lim!1 ( 0 ) (7) ou E 0 et cov 0 sont l'esperance et la covariance lorsque le parametre du systeme est 0. Alors, si ( 0 )est denie positive, le theoreme central limite (clt) suivant est valide [1, 12] Z ( 0 )! ( (0; (0 )) sous P 0 (M( 0 ); ( 0 )) sous P 0+ p 3

ou M est denie en (3). L'estimation de M a partir d'un echantillon de donnees est obtenue en remplacant l'esperance par une moyenne d'ensemble. L'estimation de la covariance est plus delicate [12]. Sous l'hypothese (3), le test correspondant entre les hypotheses H 0 et H 1 denies en (5) est alors Z T,1 M, M T,1 M,1 M T,1 Z (8) ou ladependance en 0 aete supprimee par souci de simplicite. Il s'agit d'un test du 2. Son parametre de non-centralite est T M T,1 M. oter que ce detecteur (8) est inchange lorsque la fonction d'estimation H est pre-multipliee par un gain matriciel inversible (voir consequences interessantes en [6]). Lorsque M est carree et inversible, le test (8) se reduit a Z T,1Z. Choix de residus primaires pour les trois exemples d'application [2]. Le premier exemple a ete traite en s'appuyant soit sur la methode d'identication par variables instrumentales (equations de Yule- Walker decalees) reposant surune formulation du probleme par modele entrees-sorties arma [8], soit sur les methodes d'identication stochastiques par sous-espaces, reposant sur une formulation du probleme par modele d'etat lineaire [6]. Le deuxieme exemple a ete traite a l'aide du ls-score : l'erreur de prediction, dans ce cas, est une erreur d'estimation (de sorties), puisque le modele entrees-sorties est suppose statique [7, 12]. Le troisieme exemple a ete traite soita l'aide d'un ls-score s'appuyant sur une formulation du probleme par modele d'etat non-lineaire - ce qui suppose de disposer d'un observateur complet de l'etat [10], soit a l'aide d'un ls-score s'appuyant sur une formulation du probleme par modele entrees-sorties equivalent, ce qui est possible en non-lineaire egalement [13]. 4 Quelques caracteristiques de la methode Precautions d'emploi. Calcul de la matrice de covariance du residu normalise. Avantages. Tres grande sensibilite; e.g., en surveillance vibratoire, detection de changements de frequence de 1%, ou de changements modaux se traduisant uniquement surlageometrie des deformees modales. Complexite. Les tests sont des formes quadratiques, peu co^uteuses a calculer. La complexite dudetecteur provient essentiellement de celle du calcul du residu primaire, qui peut ^etre co^uteux lorsque le modele dynamique est un peu complique. 5 References complementaires et remarques Dans les trois exemples d'application mentionnes, les signaux contiennent des non-stationarites de plusieurs types : certaines sont a detecter (e.g. changements de caracteristiques vibratoires ou thermiques), d'autres pas (e.g. modications de l'environnementouchangements de mode de fonctionnement delamachine). Ilya plusieurs facons de se debarasser de ces phenomenes de nuisance, soit par le choix de la fonction d'estimation (e.g. equations de Yule-Walker decalees [8]), soit dans la denition des hypotheses entre lesquelles on teste (ellipsode de robustesse autour du point dereference 0 [7]). D'autre part, il convient de remarquer que l'hypothese (3) concernant la Hessienne, qui est requise pour le calcul des tests du 2, est bien plus faible que celles qui sont necessaires pour garantir sa stabilite [9]. Ceci signie qu'une fonction d'estimation peut tres bien ^etre de peu d'inter^et pour la conception d'algorithmes d'identication recursifs, et tout-a-fait pertinente pour la conception d'algorithmes de surveillance (m^eme en-ligne). C'est d'ailleurs ce que l'on a constate pourlemodele non-lineaire statique du deuxieme exemple, pour l'identication duquel il a fallu operer en deux etapes, separant l'estimation des coecients non-lineaires de celle des autres coecients (lineaires); alors que la surveillance a ete eectuee de maniere satisfaisante a l'aide d'un ls-score global en tous les parametres [7, 12]. Enn, cette methode de conception algorithmique peut ^etre adaptee au cas ou existe un biais dans l'identication du parametre de reference 0 - par exemple, dans le cas de modeles a entrees et sorties bruitees [12, 7]. 4

[4 ] M. Basseville (1997). Information criteria for residual generation and fault detection and isolation. Automatica, vol.33, no 5, pp.783-803. [5 ] M. Basseville, I. ikiforov (1993). Detection of Abrupt Changes { Theory and Applications. Prentice Hall,.J. [6 ] M. Basseville, M. Abdelghani, A. Benveniste (1997). Subspace-based fault detection and isolation methods - Application to vibration monitoring. Rapport de Recherche Irisa no 1143/ Inria no 3299. ftp://ftp.irisa.fr/techreports/1997/pi-1143.ps.gz. [7 ] M. Basseville, A. Benveniste, G. Mathis, Q. Zhang (1994). Monitoring the combustion set of a gas turbine, Ifac/IMACS Symp. SAFEPROCESS'94, Helsinki. [8 ] M. Basseville, A. Benveniste, B. Gach-Devauchelle, M. Goursat, D. Bonnecase, P. Dorey, M. Prevosto, M. Olagnon (1993). Damage monitoring in vibration mechanics: issues in diagnostics and predictive maintenance. Mecha. Syst. and Sig. Proc., vol.7, no 5, pp.401-423. [9 ] A. Benveniste, M. Metivier, P. Priouret (1990). Adaptive Algorithms and Stochastic Approximations. Springer, Y. [10 ] C. Cussenot, M. Basseville, F. Aimard (1996). Monitoring the vehicle emission system components. Ifac'96 World Conf., San Francisco, CA. [11 ] Q. Zhang (1995). Using nonlinear black-box models in fault detection and isolation. Rapport de Recherche Irisa no 951. ftp://ftp.irisa.fr/techreports/1995/pi-951.ps.gz. [12 ] Q. Zhang, M. Basseville, A. Benveniste (1994). Early warning of slight changes in systems and plants with application to condition based maintenance. Automatica, vol.30, no 1, pp.95-114. [13 ] Q. Zhang, M. Basseville, A. Benveniste (1996). Fault detection and isolation in nonlinear dynamic systems : a combined input-output and local approach. Rapport de Recherche Irisa no 1074/ Inria no 3120. ftp://ftp.irisa.fr/techreports/1996/pi-1074.ps.gz. 5