Stage de hysique aliquée /9 B. Pontalier TP de traitement numérique du signal Filtrage numérique. Filtres synthétisés ar la imulsionnelle: imusion de Dirac imusion de Dirac modèle T( FT du filtre # T( imulsionnelle S( T( échant. S( alication : calcul d un filtre asse-bas du remier ordre S( T( /τ f c > T( S( [ S( ] f c τ τ S( [ - e -T e.fc ] E( [.f c ] > S( [ - e -T e.fc - ] E( [ f c ] - e - τ d où l équation récurrente: S(n f c E(n e -T e.fc S(n- alication : calcul d un filtre asse-haut du remier ordre S( T( > T( S( [ S( ] - /τ τ - e - - f c τ S( [ - e -T e. ] E( [ -.ωc ] > S( [ - e -T e. - ] E( [ - ωc ] - e - τ d où l équation récurrente: S(n - ωc E(n e -T e. S(n- quelles conclusions eut-on tirer de ce tye de modélisation?
Stage de hysique aliquée /9 B. Pontalier. Filtres synthétisés ar la indicielle: échelon unité / échelon unité /(- modèle T( FT du filtre # T( indicielle S( échant. S( alication 3: calcul d un filtre asse-bas du remier ordre soit le modèle: T( /τ τ f c τ sa indicielle s écrit: S( /τ / τ τ S( - e - τ ( - - e - τ S( [ (- ( - e -T e. ] E( [( - e -T e.. ] our une entrée échelon unité : E( / (- T( ( - e -T e. / ( - e -T e. S( / E( S( [ - e -T e. ] E( [ - e -T e. ] S( [ - e -T e. - ] E( [( - e -T e.. - ] d où l équation récurrente: ici: S(n a S(n- b E(n- > S(n b E(n- - a S(n- S(n ( - e -T e. E(n- e -T e. S(n- AN: en renant f c T e f c / f ech /0 on obtient les coefficients suivants: a - e -T e.fc - 0,730 b ( - e -T e.fc 0,70 comarer cette équation à celle obtenue ar la imulsionnelle et conclure
Stage de hysique aliquée 3/9 B. Pontalier alication 4: calcul d un filtre asse-bas du second ordre soit le modèle continu: T( sa indicielle s écrit: S( ξ ωo ωo avec α ζ ω ο et ω a ω o ( - ζ d où: S( - ξ ωo ωo s(t [ cos ωo ξ t] e ξωot cos ω a t e αt α ( cos ωa e cos ωa e α e α our une entrée échelon unité E( / (- on obtient la FT: T( S( - ( cos ωa e α cos ωa e α e α T( - ( cos ωa e α e ( α cos ω a - e α - - cos ωa e α - e α b - b - a - a - avec: b ( - cos ω a T e e - α b - e - α (cos ω a T e - e - α a - cos ω a T e e - α a e - α ω a T e ω o T e ( - ζ " ( - ζ f o / f ech e - αt e e - ζ ω o e - (" ζ f o / f ech S( [ a - a - ] E( [b - b - ] l équation récurrente de ce filtre est: S n a S n- a S n- b E n- b E n- d où: S n b E n- b E n- - a S n- - a S n- AN: en renant f o T e f o / f ech /0 et ζ 0,5 ω a T e ( " / 0 ( - 0,5 0,544 e - αt e e -"/0 0,73 e - αt e 0,533 on obtient les coefficients suivants: a -. 0,73. cos (0,544 -,46 a 0,533 b - 0,73. cos (0,544 0,7 b - 0,73 [ cos (0,544-0,73 ] - 0,97
Stage de hysique aliquée 4/9 B. Pontalier.3 Filtre synthétisés ar la harmonique entrée harmonique (sinus entrée échant. E( modèle T(jω FT du filtre # T( harmonique S(jω échant. S( la meilleure modélisation est celle obtenue ar la transformation bilinéaire transformation bilinéaire: e e e e alication 4: calcul d un filtre asse-bande ar la transformation bilinéaire soit un filtre analogique de FT: T( osons: ωo ωo la FT s écrit: T( Q α - - Q - α - - - - fe π fo Q ωo ωo - α - α - - - - - - - - Q α ( - - Q N( ( α - D( D( Q α α Q α α - Q α α - d où: T( K avec: K - - a - a - α α Q α et a l équation récurrente de ce filtre est: - Q α α Q α α et a Q α α Q α α S( [ a - a - ] E( K[ - - ] <> S n a S n- a S n- K E n - K E n- d où: S n K E n - K E n- - a S n- - a S n-
Stage de hysique aliquée 5/9 B. Pontalier alication 5: calcul d un filtre asse-bas d ordre 3 ar la transformation bilinéaire soit un filtre analogique de FT: T( ω 0 Q ω 0 ω 0 osons: ω 0 T e ω 0 f e π f 0 α ω 0 T e ω 0 f e π f 0 β la FT s écrit: T( α Q β β T( α ( β Q β ( ( T( T( T( T( ( 3 [ α ( ] ( β Q ( β ( [( α ( α ] ( 3 3 3 β ( Q β ( ( 3 3 3 [( α ( α ] β Q β β ( 3 3 3 [ A 0 A A 3 A 3 ] β Q β A 0 ( α β Q β A ( α β α β Q β A ( α β Q β ( α ( β A 3 ( α β Q β
Stage de hysique aliquée 6/9 B. Pontalier Contrôle numérique de rocessus. Asservissement numérique simle: consigne numérique E(n - ε(n loi C(n CNA Bo( C(t F( actionneur s(t S(n K S CAN le schéma fonctionnel de la figure récédente eut se rerésenter simlement ar le schéma-bloc cidessous : e(t e*(t ε*(t K Bo( F( s(t - s*(t lequel conduit au schéma-bloc échantillonné suivant : E( ε( K C( B o.f( S( - alication 5: calcul du gain K our obtenir une récision statique sécifiée La récision est définie ar le calcul de l erreur e en régime ermanent, soit: ε RP lim t ε(t lim - -.ε( osons T( [Bo( F(] B 0 F( d où: ε( E( T( et ε RP lim - -.E( T( Si on alique à l entrée du système un échelon unité: e(t U(t E( donc: ε RP lim ( - - - - T( lim T( T( - - - le système est de classe 0 (sans intégration: T( K N( D( D( ε RP on calcule K our satisfaire l erreur maximale sécifiée. T( D( K.N(
Stage de hysique aliquée 7/9 B. Pontalier. Correcteur PID: la sortie du correcteur délivre le signal y(t suivant en à une entrée e(t on s insire du correcteur PID analogique: C( K Td Ti K T i Ti T d Ti on effectue la transformation - ar la méthode d Euler (Backward: ( - - / C( K Ti ( - - Ti Ti Td ( - - ( - - C( K ( Ti Ti Td - ( Ti Ti Td - Ti T d - Ti ( - - - ar la transformation bilinéaire: T e - - C( K Ti - Ti Td - Ti - - - -.3 Correcteur à tems minimal: le système doit réondre en un nombre déterminé de ériodes d échantillonnage; la fonction de transfert du système corrigé en boucle fermé s écrit donc: F( -n our que la sortie recoie l entrée au bout de n ériodes d échantillonnage; soit G( le système mixte bloqueur-rocessus analogique, et C( le correcteur à chercher; d où: C( F( G( - F( [ ] C( G( F( C( G( -n [ ] G( - -n -n ce tye de commande s avère très sévère our le matériel car il imose des tension de commandes très violentes;
Stage de hysique aliquée 8/9 B. Pontalier.4 Correcteur à ile afin de ménager le matériel, on se roose de modéliser le rocessus corrigé afin que la à un échelon soit atteint au bout d un nombre fini de ériodes d échantillonnage, et si ossible minimal; c est la ile; on ne s imose as à riori la valeur du tems de, ce qui a our effet de ne as introduire d oscillation entre les instants d échantillonnage; on s imose les conditions suivantes: - atteinte au bout d un nombre fini N de ériodes d échantillonnage: ➀ N H( Σ n0 h n -n - erreur nulle our une entrée échelon: ➁ H( - le correcteur ne doit as rajouter de ôles sulémentaires à ceux du rocessus non corrigé: ➂ as d oscillation entre les instants d échantillonnage osons: G( [Bo( F(] Bo F( la fonction de transfert du rocessus G( Q( / P( où Q( et P( sont les olynômes en du numérateur et du dénominateur le correcteur s écrit: la commande du rocessus s exrime ar: C( H( - H( P( Q( M( H( Q( P( E( M( E( P( Q( H( our satisfaire à la condition ➂ : H( Q( K Cte H( K Q( our satisfaire à la condition ➁ : H( K Q( K Q( le correcteur s écrit alors: C( K Q( - K Q( P( Q( K P( - K Q( on lui réfèrera l écriture suivant les olynômes en - : P( K - Q( P( Q( - Q( C( P( - Q( - Q( -
Stage de hysique aliquée 9/9 B. Pontalier alication: le rocessus à corriger est un er ordre intégrateur de fonction de transfert: ω T P i ω i le rocessus est commandé ar la sortie de l interface N/A que l on eut assimiler à un bloqueur d ordre éro: B O T P ( - e - ω i - e - ω i ω - e - ω i ( ω c c ω c la table des transformées indique: d où: G ( B O T P ( ( - - ω i - ω T e ( - - - e c T e ( - - e - T e ω i osons: Q( P( a ω i.t e b.t e c ω i / P( - le correcteur s écrit: C ( Q( - Q( - - ω T e ( - - - e c T e - e - T e