Diplôme : Master «Métiers de l Enseignement, de l'éducation et de la Formation» 1er degré : Professorat des Écoles. ÉPREUVE MASTER 1 UE2 SEMESTRE 1 ÉPREUVE MASTER 2 Parcours spécifique UE4 SEMESTRE 3 Mathématiques Date : mercredi 9 décembre 2015 Durée : 4h L usage de la calculatrice électronique ainsi que l'usage des instruments de géométrie (règle, équerre, compas) sont autorisés. Ce sujet comporte 14 pages. Assurez-vous que cet exemplaire est complet. S il est incomplet, demandez un autre exemplaire au chef de salle. Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur, signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement. Page 1 / 14
Première partie 13 points Cette première partie est composée de trois exercices indépendants. Exercice 1 : Vrai ou Faux? (5 points) Indiquer si les cinq affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point. 1. Dans un ensemble de cinq nombres, la moyenne des trois premiers nombres est 15 et la moyenne des deux derniers nombres est 10. Affirmation n 1 : «La moyenne de ces cinq nombres est 12,5.» 2. On donne un programme de calcul. Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. Ajouter 4 à ce produit. Écrire le résultat. Affirmation n 2 : «Lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul, on peut toujours écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier.» 3. Soit un nombre N à 3 chiffres dont l'écriture en base 10 est N=8 ab. Affirmation n 3 : «Si N est divisible par 9 alors a+ b=1.» 4. En empilant dix cubes identiques comme ci-dessous, on construit un escalier de hauteur h=4. Affirmation n 4 : «Pour construire un escalier de hauteur h=10, il faut 54 cubes.» Page 2 / 14
5. On lance simultanément deux dés à six faces (numérotées de 1 à 6). Affirmation n 5 : «La probabilité que l'un au moins des deux dés ait fait un 6 est égale à 1.» 3 Exercice 2 (4 points) Des élèves de cycle 2 ont travaillé à partir du support ci-dessous : La question était «Combien vois-tu d'arbres? Tu peux écrire sur la feuille. Le résultat peut être écrit dans le cadre noir.». Les productions de quatre élèves de cycle 2 sont proposées dans l'annexe 2. 1. Analyser les procédures mises en œuvre par les élèves A (Noémie) et C (Léa) en faisant ressortir les compétences maîtrisées par ces élèves. 2. Analyser les procédures mises en œuvre par les élèves B (Lucie) et D (Floriane) en décrivant les erreurs commises et en émettant une hypothèse sur l origine de ces erreurs. Page 3 / 14
Exercice 3 (4 points) On fabrique une suite de nombres avec la méthode suivante : le premier nombre est égal à 1, le 3 2, et chaque nombre à partir du troisième est égal au quotient du 5 précédent augmenté de 1 par celui d'avant. deuxième nombre est égal à 1+ Ainsi, le troisième nombre est égal à 1 3 2 5, c'est-à-dire 21. 5 1. Exprimer les 4ème, 5ème, 6ème et 7ème nombres de cette suite. 2. En déduire en justifiant votre réponse le 2015ème nombre de cette suite. 3. Généralisation : dans cette question, on choisit (dans cet ordre) A et B comme premiers nombres non nuls distincts de cette suite de nombres. a) Exprimer les 3ème, 4ème et 5ème nombres de cette suite en fonction de A et de B. b) Montrer que le 6ème nombre de cette suite est égal à A et que le 7 ème nombre de cette suite est égal à B. Page 4 / 14
Deuxième partie 13 points Cette deuxième partie est composée de deux problèmes indépendants. Problème n 1 (9 points) PRÉSENTATION Sur la figure ci-dessous : ABCD est un rectangle dont les diagonales se coupent en F ; et tel que ABF est un triangle équilatéral ; (d1) est la droite perpendiculaire à (AC) passant par F ; (d1) coupe (CD) en E ; Les droites (FE) et (AD) sont sécantes en J. PARTIE A (3,5 POINTS) 1. Construire, sur votre copie sans suivre les lignes, cette figure en utilisant seulement une règle non graduée et un compas (on ne tiendra pas compte des dimensions du dessin ci-dessus et les traits de construction resteront apparents). 2. a) Déterminer la mesure des angles des triangles BFC et DFC. b) Démontrer que le triangle AEC est équilatéral. 3. Démontrer que le quadrilatère ABDE est un parallélogramme. Page 5 / 14
PARTIE B (5,5 POINTS) Dans les questions 1 et 2 on suppose que AB = 5 cm. 1. a) Montrer que la mesure exacte en cm de la longueur BC est égale à 5 3. b) Calculer les mesures exactes en cm des longueurs FE et BE. 2. Calculer les aires en cm² des triangles AEC et AFD. On donnera les mesures exactes. 3. Calculer les mesures des angles du triangle FJD. 4. Construire le cercle circonscrit au rectangle ABCD. Il coupe [AE] en G. Démontrer que G est le milieu de [AE]. 5. Montrer que les points G, J et C sont alignés. Problème n 2 (4 points) PRÉSENTATION Sur la figure ci-dessus, [AB] est un segment de mesure de longueur 6 cm. On note I son milieu. On a construit la médiatrice du segment [AB]. On a placé un point M sur cette médiatrice. On note x la mesure de la longueur AM. On a construit ensuite la hauteur issue de B du triangle ABM. Elle coupe (AM) en un point noté N. Page 6 / 14
QUESTIONS 1. a) Tracer à nouveau sur votre copie sans suivre les lignes la figure ci-dessus, en utilisant la règle graduée et le compas seuls, en laissant les traits de construction visibles. b) Décrire votre programme de construction de la médiatrice de [AB] (on ne demande pas le programme de construction de toute la figure). c) Justifier que la droite obtenue est bien la médiatrice de [AB]. 2. On a tracé en Annexe 1 la courbe représentative de la fonction f qui a x associe la mesure de la longueur B N. Répondre à l'aide du graphique aux questions suivantes : a) Que vaut B N si b) Que vaut x=6 cm? x si B N =4,8 cm? Donner une valeur approchée de chaque solution à 0,1 cm près. 3. a) Exprimer A M (en cm) en fonction de x. b) En déduire l'expression de B N (en cm) en fonction de Page 7 / 14 x.
Troisième partie 14 points Cette troisième partie est composée de deux exercices indépendants. Exercice 1 (7 points) L'exercice de l'annexe 3 a été proposé à des élèves de différents niveaux de l'école élémentaire dans le cadre d'une séquence sur la proportionnalité. 1. D'après les instructions officielles, en quelle(s) classe(s) de l'école élémentaire peut-il être proposé? 2. Donner trois variables didactiques de la situation qui peuvent avoir une influence sur la difficulté de l'exercice. 3. Indiquer deux procédures correctes que peuvent utiliser des élèves de CM2 pour répondre au test. 4. A partir des réponses des élèves données en Annexe 4, relever les erreurs commises et émettre une hypothèse plausible sur l'origine de chacune d'entre elles. Exercice 2 (7 points) En Annexe 5 sont présentés quatre exercices tirés du manuel de mathématiques Vive Les Maths CE1, Édition Nathan, 2015. 1. En utilisant la classification de Gérard Vergnaud, dans quelle catégorie de problèmes additifs sont classés ces quatre problèmes? 2. Classer les problèmes 1, 3 et 4 par ordre de difficulté, en justifiant votre classement. 3. Proposer, sur le modèle de l'annexe 5, un problème de comparaison d'état, pouvant être proposé à des élèves de CE1. Vous justifierez brièvement votre proposition. Page 8 / 14
Annexe 1 Page 9 / 14
Annexe 2 Élève A : Noémie Élève B : Lucie Page 10 / 14
Production agrandie Élève C : Léa Élève D : Floriane Page 11 / 14
Annexe 3 Exercice Voici quatre traits A, B, C et D ; on veut les agrandir. On a effectué l'agrandissement des traits A et B. Effectue le même agrandissement pour les traits C et D. Page 12 / 14
Annexe 4 Réponses des élèves Les longueurs des segments sont exprimées en carreaux. Longueur du segment C Longueur du segment D Élève 1 16 18 Élève 2 18 20 Élève 3 18 21 Élève 4 12 14 Page 13 / 14
Annexe 5 Page 14 / 14