Matrices Philippe Barlier 5 janvier 25 Avertissement: K désigne ici R ou C Table des matières Notions de matrices Définitions 2 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 2 2 Echelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan 2 3 Ensembles de matrices et opérations 3 3 Calculs matriciels 3 3 Somme de matrices 3 32 Produit d un scalaire par une matrice 4 33 Combinaisons linéaires de matrices 4 34 Transposition matricielle 4 35 Le produit matriciel 5 36 Matrices unités 6 32 Cas des matrices carrées 7 32 Généralités 7 322 Matrices symétriques et antisymétriques 8 323 Matrices triangulaires 8 324 Matrices carrées inversibles 9 4 Opérations élémentaires: le retour 4 Traduction multiplicative des opérations élémentaires 42 Transposition et produit matriciel 2 43 Bilan 3 44 Application au calcul de l inverse d une matrice carrée 3 5 Quelques exercices 5 5 Produits 5 52 Inverses 6 Notions de matrices Définitions Soient n et p des entiers naturels non nuls, on appelle matrice à coefficients dans K toute application de [,n] [,p] dans K Une telle application M se visualise par un tableau à m lignes et n colonnes que l on interprète en disant:
L élément situé à l intersection de la i-ème ligne et la j-ème colonne est l image par M de (i,j), il se note M(i,j) ou encore M i j on écrit alors: M M 2 M p M = M 2 M 2 2 M 2 p M n M n 2 M n p ou encore ( ) M(i,j) i [[,n]] j [[,p]] Le couple (n,p) et appelé format de M ou encore taille de M L indice ligne est donné en premier! Ici c est i On a déjà rencontré cette notion via matrice augmentée (A B) d un système linéaire : A est appelée matrice du système et B est la colonne des seconds membres Reprenons la matrice M précédente, on note pour i [,n] la ligne n i de M : L i (M) = ( M i M i 2 M i p ) notée Li s il n y a pas d ambiguïtés sur M De même, on note pour j [,p] la colonne n j de M : C j (M) = M j M 2 j M n j On a alors les notations par blocs colonnes et blocs lignes : notée C j s il n y a pas d ambiguïtés sur M L L 2 L m M = ( ) C C 2 C n = Si une matrice ne contient qu une ligne (resp colonne), on l appelle matrice ligne (resp colonne) ou encore vecteur ligne (resp colonne), on n utilise qu un seul indice pour repérer ses éléments On retient que deux matrices sont égales si et seulement si elles ont même format et si leurs éléments homologues sont égaux 2 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice Elles consistent en : l échange des lignes L i et L i où i, i [, m] et i i codage : L i L i pour i i : l ajout de λ L i à L i où λ K est fixé codage : L i L i + λl i la multiplication de L i par λ codage : L i λl i Deux matrices sont dites équivalentes par lignes si elles se déduisent l une de l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes Si A et B sont deux matrices équivalentes par lignes, on note A L B Exo Montrer que les matrices suivantes sont équivalentes par lignes : M = @ 2 2 A et I 3 = @ A 2 2 Echelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes : Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi; 2 À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul à partir de la gauche est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente 2
Note: Un schéma «en escalier» illustre la notion de matrice échelonnée : les éléments A i ji pour i = r sont non nuls, l étoile ( ) signifie qu au dessus de la ligne brisée, à l exception des A i ji précédents, on peut avoir n importe quoi, le zéro () signifie qu au dessous de la ligne brisée il n y a que des zéros, enfin on a j < j 2 < < j r A j () A 2 j2 ( ) A 3 j3 Ar jr On appelle pivot le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle Une matrice échelonnée en lignes est dite échelonnée réduite par lignes si elle est nulle ou si tous ses pivots sont égaux à et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne donc si elle est non nulle est du type: ( ) ( ) ( ) () ( ) avec une bonne ré-interprétation des conventions faites précédemment Théorème Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes Le rang d une matrice échelonnée réduite est le nombre de ses pivots, c est alors le rang de la matrice de départ 3 Ensembles de matrices et opérations On note M n,p (K) l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, cette écriture sous-entendra que n et p sont dans N On note M n,n (K) := M n (K), ses éléments sont appelés matrices carrées 3 Calculs matriciels 3 Somme de matrices Si A M n,p (K) et B M n,p (K), on définit A + B comme étant la matrice de format (n,p) et dont les éléments sont les sommes des éléments homologues de ceux de A et B : (i,j) [,n] [,p] : (A + B)(i,j) = A(i,j) + B(i,j) Mn,p(K) désigne la matrice de format (n,p) dont tous les éléments sont nuls Théorème 2 Si A, B, C M n,p (K) alors : A + B = B + A, 2 Mn,p(K) + A = A, 3 (A + B) + C = A + (B + C) 3
Théorème 3 Si A M n,p (K), il existe une unique matrice B M n,p (K) telle que A + B = Mn,p(K) On remarque que (i,j) [,n] [,p] : B(i,j) = A(i,j), on note alors B := A 32 Produit d un scalaire par une matrice Si A M n,p (K) et λ K on définit λ A par la matrice de format (n,p) avec : Théorème 4 Si A, B M n,p (K) et λ,µ K alors : λ(a + B) = λa + λb, 2 (λ + µ)a = λa + µa 3 (λµ)a = λ(µa) Théorème 5 (i,j) [,n] [,p] : (λ A)(i,j) = λ A(i,j) Si λ K alors λ Mn,p(K) = Mn,p(K) 2 Si A M n,p (K) alors A = Mn,p(K) 3 Si λ K et A M n,p (K) alors λa = Mn,p(K) = [λ = ou A = Mn,p(K)] 4 Si A M n,p (K) alors ( )A = A 33 Combinaisons linéaires de matrices Si A, B M n,p (K) et si λ, µ K alors λa + µb est appelé combinaison linéaire (à coefficients dans K) de A et B 34 Transposition matricielle On considère la fonction transposition : T ( M ) n,p (K) M p,n (K) : M = M(i,j) M T = i [[,n]] j [[,p]] ( M(i,j) ) j [[,p]] i [[,n]] [ les lignes de M sont devenues les colonnes de M T les colonnes de M sont devenues les lignes de M T Si M est une matrice M T est appelée transposée de M, et se note aussi t M On retient donc N = M T [ (i,j) [,n] [,p] : M(i,j) = N(j,i)] Exemples On a: t 2 «3 4 5 6 Théorème 6 = @ 4 2 5A 3 6 Si M une matrice alors ( M T) T = M Théorème 7 Si M et N sont deux matrices de même format et λ, µ K, alors : (λm + µn) T = λm T + µn T 4
35 Le produit matriciel Si A M n,p (K) et X est une matrice colonne à p lignes, AX est une combinaison linéaire des colonnes de A ie : AX = p X j C j On retient dans ce cas que: le produit d une matrice de format (n,p) par une matrice de format (p,) est une matrice de format (n,) Théorème 8 j= Si X est un vecteur colonne ayant plus d une ligne, il n existe pas de matrice M telle que MX = X T Théorème 9 (Observation avec les matrices colonnes) Si A M n,p (K), si X et Y sont des matrices colonnes à p lignes et enfin λ, µ K alors A(λX + µy ) = λax + µay De façon générale, si A M n,p (K) et B M p,q (K) on définit la matrice produit de A par B (dans cet ordre) par A B = ( A C (B) A C 2 (B) A C q (B) ) Autrement dit: j [,q] : C j (A B) = A C j (B) On retient dans ce cas que: le produit d une matrice de format (n,p) par une matrice de format (p,q) est une matrice de format (n,q) Théorème (conséquence pour les matrices) Si A M n,p (K), si B, B 2 M p,q (K) et enfin λ, µ K alors A(λB + µb 2 ) = λab + µab 2 Exo 2 «2 et B = 3 4 «2 3 et enfin C = @ 2 3 2 On définit A = A, déterminer tous les produits possibles dont les deux facteurs sont pris dans 3 l ensemble formé par ces matrices et leurs transposées (on précisera, bien sûr le nombre de calculs éventuels à examiner) Théorème (Observation de l associativité avec les matrices colonnes) Si A M n,p (K), B M p,q (K) et X est une matrice colonne à q lignes, alors : A(BX) = (AB)X Théorème 2 (conséquence pour les matrices: Associativité du produit matriciel) Si A M n,p (K), B M p,q (K) et C M q,r (K) alors : A(BC) = (AB)C Exo 3 On définit dans M n,p(k) et pour (i,j ) [[,n]] [[,p]] les matrices basiques E i j par (i,j) [[,n]] [[,p]] : E i j (i,j) = ( si (i,j) = (i,j ) sinon Si p = on notera CB i = E i, appelée colonne basique i = n, on définit de même les lignes basiques Montrer que toute matrice de M n,p(k) est combinaison linéaire d une unique façon des n p matrices E i j 5
2 Soit X un vecteur colonne à p lignes, déterminer E i j X 3 On suppose ici que n = p, calculer E i j E i j Théorème 3 (La formule atomique du produit matriciel) Si A M n,p (K), B M p,q (K) alors : p (i,j) [,n] [,q] : (AB)(i,j) = L i (A)C j (B) = A(i, )B(,j) = Exo 4 8 < On définit : Trace : : À connaître M n(k) K A P n A(i,i) i= Montrer que la trace d une combinaison linéaire de matrices est la combinaison linéaire des traces de celles-ci 2 Soient A,B M n(k), montrer que : Trace(A B) = Trace(B A) Exo 5 On définit A := B C @ A et B := B 2 C @ 3A, calculer Ai et B i pour i [[,4]], déterminer A B et B A, calculer alors (A B) i et (B A) i pour les valeurs précédentes de i Théorème 4 Si A M n,p (K), B,C M p,q (K) et λ,µ K : Note: A(λB + µc) = λab + µac Un produit de matrices carrées peut être nul sans que les facteurs matriciels le composant soient nuls Exo 6 Un matrice carrée A de format (n, n) est dite nilpotente si il existe un entier naturel n tel que A n = Mn(K) Examiner la réalité de l assertion suivante: Un produit de matrices nilpotentes est une matrice nilpotente si et seulement si les facteurs qui la composent commutent Théorème 5 Transposée d un produit Si A M n,p (K), B M p,q (K) alors : (AB) T = B T A T 36 Matrices unités On considère la fonction N 2 K { δ : : si i = j (i,j) : sinon On note pour (i,j) N 2 : δ(i,j) = δ i j que l on appelle symbole de Kronecker 2 Vous montrerez que la réciproque est fausse en utilisant et 2 3 2 2 Leopold Kronecker (7 décembre 823-29 décembre 89) est un mathématicien et logicien allemand Persuadé que l arithmétique et l analyse doivent être fondées sur les «nombres entiers», il est célèbre pour la citation suivante : «Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l œuvre de l homme» (wikipédia) 6
La matrice carrée notée I n ou encore n de format (n,n) définie par: s appelle matrice unité ie : (i,j) [,n] 2 : I n (i,j) = δ i j I n = Théorème 6 (Observation sur les matrices colonnes) Si X est une matrice colonne à n lignes, alors : I n X = X Théorème 7 ( une première égalité qui en découle) Si A M n,p (K), alors : I n A = A et AI p = A Ainsi le nom unité a bien un lien avec la multiplication à gauche et la multiplication à droite 32 Cas des matrices carrées 32 Généralités ) On commence par une définition, si M M n (K), la suite finie (M i i ) suite la suite finie (M (n+ i) i est appelée antidiagonale de M i=n i=n est appelée diagonale de M et la On constate tout d abord que le produit de deux matrices carrées de format (n,n) est encore une matrice carrée de format (n,n) n fois {}}{ On rappelle 3 qu on définit alors pour M M n (K) et n N : M n = I n M M M, ainsi on note que M = I n, on retrouve alors les propriétés usuelles sur les puissances positives On dit que deux matrices carrées A et B de format (n,n) commutent si Le résultat important est alors : Théorème 8 (Formule du binôme de Newton) AB = BA Si A,B M n (K) commutent, alors pour tout n N : (A + B) n = n k= ( ) n A n k B k = k n k= ( ) n A k B n k k Exo 7 Soit A = @ 2 2 A et B = @ A 2 Calculer B n pour n N 2 Vérifier que A = B +, en déduire l expression de A n pour n N 3 On a déjà utilisé la notion en exo 7
322 Matrices symétriques et antisymétriques On dit qu une matrice carrée A de format (n,n) est symétrique si A T = A ie (i,j) [,n] 2 : A(i,j) = A(j,i) On dit qu une matrice carrée A de format (n,n) est antisymétrique si A T = A ie Exo 8 (i,j) [,n] 2 : A(i,j) = A(j,i) Montrer que si deux matrices carrées de même format sont symétriques que celles-ci ne commutent pas alors leur produit n est pas symétrique Montrer que le produit de deux matrices carrées symétriques est symétrique si et seulement si elles commutent Théorème 9 Toute matrice carrée est somme d une unique façon d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique de même format que la matrice initiale 323 Matrices triangulaires On dit qu une matrice carrée A de format (n,n) est triangulaire supérieure (TS) si (i,j) [,n] 2 : i > j = A(i,j) = ie avec les conventions déjà rencontrées : A(,) A = A(2,2) ( ) A(3,3) A(n,n ) A(n,n) On dit qu une matrice carrée B de format (n,n) est triangulaire inférieure (TI) si (i,j) [,n] 2 : i < j = B(i,j) = ie avec les conventions déjà rencontrées : B(,) B(2,2) B(3,3) B = ( ) B(n,n ) B(n,n) On dit qu une matrice carrée C de format (n,n) est diagonale si elle est TS et TI simultanément ie avec les conventions déjà rencontrées : C(,) C(2,2) C(3,3) C = C(n,n ) C(n,n) 8
Théorème 2 (Stabilité par les opérations des matrices TS (resp TI resp diag)) Le produit de deux matrices carrées triangulaires supérieures de même format est une matrice carrée triangulaire supérieure de même format, les éléments situés sur la diagonale étant le produit des éléments homologues 2 Le produit de deux matrices carrées triangulaires inférieures de même format est une matrice carrée triangulaire inférieure de même format, les éléments situés sur la diagonale étant le produit des éléments homologues 3 Le produit de deux matrices carrées diagonale de même format est une matrice carrée diagonale de même format, les éléments situés sur la diagonale étant le produit des éléments homologues Ce produit est dans ce cas commutatif Il est à noter que les puissances positives d une matrice diagonale se calculent facilement (pourquoi?) On a de toute évidence le même résultat en remplaçant le mot produit par combinaison linéaire 324 Matrices carrées inversibles Une matrice carrée A de format (n,n) est dite inversible s il existe une matrice carrée de même format B telle que AB = BA = I n On montre (exercice) alors que B est unique et on note B := A Théorème 2 Soient M une matrice carrée inversible, alors M T est inversible et (M T ) = (M ) T Exo 9 Soient A et B deux matrices nilpotentes de format n n qui commutent Montrer que A + B et AB sont nilpotentes Montrer que A est inversible et calculer son inverse A et B sont deux matrices de format n n telles que AB soit nilpotente, montrer que BA l est aussi Exo Incontournable! «T C Soient M = et M L a = blocs»: T C «L a où T,T M n(k), L,L M n (K), C,C M n, (K) et a,a K, montrer que l on a le «produit par MM TT = + CL TC + Ca LT + al LC + aa Montrer par récurrence sur le format qu une matrice TS (reps TI reps diagonale) est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls (On procèdera avec la multiplication «par blocs»précédente) Déduire de cette démonstration que -en cas d existence- l inverse d une matrice TS est TS (resp TI est TI, resp diag est diag) Soit D une matrice diagonale inversible, calculer D, en déduire pour n Z : D n Théorème 22 Soient M et N deux matrices carrées de même format inversibles, alors MN est inversible et (MN) = N M On note Gl n (K) l ensemble des matrices carrées à coefficients dans K de format (n,n) inversibles, cet ensemble est appelé pour des raisons algébriques : groupe linéaire Exo a b c d Soient a,b,c,d R, on pose M := B b a d c C @ c d a ba Calculer t M M, en déduire pour quelles valeurs de a, b, c et d: M est inversible, d c b a déterminer M «9
Exo 2 Soit M = @ 2 3 A Calculer M 2 et M 3 Factoriser + M 3 et M 3, en déduire que + M et M sont inversibles Exo 3 Soit M := @ A Calculer M 3 4 M M 2 + 4I 3, en déduire que M est inversible et déterminer M en fonction de M et M 2 4 Opérations élémentaires : le retour 4 Traduction multiplicative des opérations élémentaires Théorème 23 Faire subir une opération élémentaire ligne à une matrice M M mn (K), c est multiplier M à gauche par une matrice carrée (m,m) inversible, en particulier la matrice obtenue a le même rang que M Démonstration: Il suffit de démontrer le résultat pour les opérations élémentaires lignes, par transposition on a l homologue pour les colonnes Soit M M mn (K) on pose M = ( C (M) C n (M) ) L (M) = : L m (M) Posons : m := ( C ( m ) C 2 ( m ) C m ( m ) ) puis si i < j [[,m]] et définissons la matrice : m,i j := ( C ( m ) C i ( m ) C j ( m ) C i+ ( m ) C j ( m ) C i ( m ) C j+ ( m ) C m ( m ) ) on a échangé les colonnes i et j de m, cette matrice s appelle matrice de transposition 4 K n K n Il est clair que Rang( m ) = m, on a alors: k [[,m]] : C k ( n ) L k (M) = L k (M) K n L (M) K n Il suit: L i (M) L j (M) n L i+ (M) m,i j M = C k ( n ) L k (M) = k= L j (M) L i (M) L j+ (M) L m (M) Par transposition on déduit que si i < j [[,n]]: M n,i j = ( C (M) C i (M) C j (M) C i+ (M) C j (M) C i (M) C j+ (M) C n(m) ) Les colonnes i et j ont été échangées ligne ligne k ligne m Les lignes i et j ont été échangées 4 La transposition est l échange de deux objets en laissant les autres invariants (cf dénombrement)
Théorème 24 Avec des notations évidentes : Exo 4 m,i j = m,i j Deux matrices de transposition commutent si et seulement si elles ont même format et échangent des couples de lignes n ayant pas de numéro de ligne en commun Exo 5 On écrit ici n = `C n Y C 2 C n Déterminer A := n,k k+, calculer alors A k pour k = n On définit maintenant pour λ K et i [[,m]] la matrice diagonale inversible: k= () A m (λ,i) := λ ligne i () A m (λ,i) est une matrice de dilatation L (M) L i (M) On a de toute évidence: A m (λ,i) M = λl i (M) L i+ (M) : la ligne i a été multipliée par λ L m (M) Puis par transposition on a: M A n (λ,i) = ( C (M) C i (M) λc i (M) C i+ (M) C n (M) ) : la colonne i a été multipliée par λ Théorème 25 Avec des notations évidentes : ( ) A m (λ,i) = A m λ,i Exo 6 Montrer que deux matrices de dilatation de même format commutent toujours Enfin si on considère pour i j [[,m]] la matrice triangulaire T m (i,j,λ) à éléments diagonaux unités dont tous les autres éléments sont nuls sauf celui à l intersection de la ligne i et de la colonne j valant λ K soit : λ ligne i T m (i,j,λ) := () T m (i,j,λ) est une matrice de transvection colonne j
L (M) L i (M) On constate alors que: T m (i,j,λ) M = L i (M) + λl j (M) L i+ (M) : On a ajouté à la ligne i λ fois la ligne j L m (M) On a aussi: M T n (i,j,λ) = ( C (M) C j (M) C j (M) + λc i (M) C j+ (M) C n (M) ) : On a ajouté à la colonne j λ fois la colonne i Théorème 26 Avec des notations évidentes on a : T m (i,j,λ) = T m(i,j, λ) Théorème 27 (Mise sous la forme «élémentaires/réduite»: A = ER ) Si A, R M n,p (K), et R est échelonnée réduite, si A L R alors : il existe une suite finie de matrices élémentaires notée (E r,,e 2,E ) de M n (K) telle que E r E 2 E A = R On dit que A = ER où E est un produit de matrices élémentaires et R est l unique matrice échelonnée réduite ligne telles A L R Exo 7 On considère M = @ A, montrer que M el R où R = @ 2 2 A, en déduire un produit de matrices élémentaires noté 2 2 Π tel que ΠM = R Montrer que M el R où R = @ A, en déduire un produit de matrices élémentaires noté Π tel que Π M = R Théorème 28 Si A M n (K), et si A L I n alors : il existe une suite finie de matrices élémentaires notée (E r,,e 2,E ) telle que en particulier on a: E r E 2 E A = I n A = E r E 2 E Exo 8 On considère M = @ A, montrer que M el R où R = @ 2 2A, en déduire un produit de matrices élémentaires noté Π tel que 2 ΠM = R Montrer que M el I 3, en déduire un produit de matrices élémentaires noté Π tel que Π M = I 3 42 Transposition et produit matriciel La transposition permet de définir pour les matrices, les opérations élémentaires colonnes et la définition et l équivalence colonne entre deux matrices A et A : On dit que B est une matrice issue de A par opérations élémentaires colonnes si B T est issue de A T par opérations élémentaires lignes On note A C A si A T L A T 2
On dispose de propriétés analogues entre «l équivalence ligne»et «l équivalence colonne» Notons qu une matrice réduite colonne est la transposée d une matrice réduite ligne Exo 9 Que devient le théorème 27? Théorème 29 Faire subir une opération élémentaire colonne à une matrice M M mn (K), c est multiplier M à droite par une matrice carrée (n,n) inversible, en particulier la matrice obtenue a le même rang que M 43 Bilan On se donne N M n,p (K) on note ses lignes L,,L n et ses colonnes C,,C p, on a avec des notations évidentes : Échanger L i et L j dans N c est multiplier N à gauche par n,i,j Échanger C i et C j dans N c est multiplier N à droite par p,i,j Transformer L i en αl i dans N c est multiplier N à gauche par A n (α,i) Transformer C i en αc i dans N c est multiplier N à droite par A p (α,i) Transformer L i en L i + λl j dans N c est multiplier N à gauche par T n,i,j Transformer C i en C i + λc j dans N c est multiplier N à droite par T p,j,i 44 Application au calcul de l inverse d une matrice carrée Théorème 3 Soit A M n (K), on note f A F équivalents : f A est bijective, 2 A est inversible ( ) M n, (K) définie par f A : X AX Les points suivants sont alors Théorème 3 Si A, B M n (K) et si A B = n alors : B = A Théorème 32 Pour A M n (K), les propriétés suivantes sont équivalentes : A est inversible; 2 A L I n ; 3 Le système AX = (où X est un vecteur colonne inconnue) n admet que la solution nulle; 4 Pour tout vecteur colonne B, le système AX = B admet une unique solution; 5 Pour tout vecteur colonne B, le système AX = B admet au moins une solution On retient en particulier qu une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang égale son format Exo 2 On considère M = @ 2 2 A, Montrer que M est inversible 2 Exo 2 On note A la matrice de format (n,n) dont tous les éléments sont des uns 5 On note D la matrice diagonale dont la diagonale est (a,a 2,,a n): suite finie de réels positifs Soit X un vecteur colonne à n lignes calculer X T (A + D)X, en déduire à que A et inversible si et seulement si tous les éléments de (a,a 2,,a n) sont strictement positifs 2 Envisager le calcul de (A + D) dans le cas n = 2, quid du cas n = 3? 5 A comme Attila car envahie par les uns 3
Soit La disposition pratique Nous allons ici ( travailler ) sur un exemple : 2 Soit à inverser, on résout: 3 4 ( 2 3 4 )( x x 2 ) = ( a a 2 ) { x + 2x 2 = a 3x + 4x 2 = a 2 { x + 2x 2 = a + a 2 3x + 4x 2 = a + a 2 { x + 2x 2 = a + a 2 x 2x 2 = 3a + a 2 { x + x 2 = 2a + a 2 x 2x 2 = 3a + a 2 ( ) 2 On lit alors: A = 3 2 2 { x + x 2 = 2a + a 2 x + x 2 = 3 2 a 2 a 2 Présentons alors l algorithme de Jordan-Gauss ie Je garde la ligne j annule le reste de la colonne : On reprend le même exemple (les pivots sont entourés): colonne des x 2 colonne des a colonne des x colonne des a 2 ( 2 3 4 ) ( ) 2 2 3 ( 2 2 ) ( 3 2 ) 3 2 2 Exo 22 Inverser @ 2 3 2 A et @ 3 5 A en utilisant Jordan-Gauss : Je garde la ligne j annule le reste de la colonne 2 4 Exo 23 Classique On considère les matrices A = @ 3 3 4A, P = @ 3 2 25 45 6 6A, Q = @ 7 7 28A 2 7 2 2 2 Calculer PQ En déduire que P est inversible et déterminer P 2 Calculer D = P AP et D n pour n N 3 Montrer que : n N, A n = PD n P, en déduire A n Exo 24 On note pour k = (n ): a k = e 2ikπ n Inverser M et on considère la matrice M M n(k) définie par a a 2 a 3 a n 2 a n a M = n a a 2 a n 3 a n 2 B a n 2 a n a a n 4 a n 3 C @ A a 2 a 3 a 4 a n a Exo 25 On considère q K et la matrice M M n+ (K) définie par Inverser M (faire une réc sur le format et s inspirer de l exercice ) q q 2 q 3 q n q n q q 2 q n 2 q n q q M = n 3 q n 2 B C @ q A 4
5 Quelques exercices 5 Produits Exercice Effectuer le produit des matrices : ( 2 3 2 ) ( 2 ) ( 2 3 4 ) 4 2 2 a b c c b a a c b b c a Exercice 2 On considère la matrice suivante : M = Calculer M 2,M 3,M 4,M 5, puis ( t M) 2,( t M) 3,( t M) 4,( t M) 5 Exercice 3 On définit p M p (K) ( 6 ) par: Montrer que: En déduire que Exercice 4 On considère A = a b c d e f (i,j) [,p] 2 : p (i,j) = { si i = j sinon X M p, (K) : p X = X M M p,q (K) : p M = M ( ) et B = A T, calculer AB puis BA, montrer que: Quelle est la bonne formule pour (A + B) 2? A 2 + 2AB + B 2 (A + B) 2 Exercice 5 La F du B de N On considère A,B M p (K) telles que AB = BA (on dit que A et B commutent), montrer alors que n ( ) n n ( ) n n N : (A + B) n = A k B n k = A n k B k k k Exercice 6 Soit A = et soit B = A I 3 k= (a) Calculer B 2, B 3 en déduire une formule de récurrence que l on démontrera pour B n, pour tout entier n (b) Développer (B + I 3 ) n par la formule du binôme et simplifier (c) En déduire A n Pour tout entier n 2 Soit A = k= Pour tout entier n, calculer An en utilisant A I 4 6 est appelée matrice unité et se note aussi indifféremment I p 5
Exercice 7( ) cos θ sin θ Soit A(θ) = pour θ R Calculer A(θ) A(θ sin θ cos θ ) et ( A(θ) ) n pour n Exercice 8 On rappelle que dans M n (K) si (i,j) [,n] 2 alors E ij est la matrice remplie par la valeur partout excepté à l intersection de la ligne i et de la colonne j où son coefficient est ; E ij est appelée matrice élémentaire On rappelle que toute matrice de M n (K) est combinaison K-linéaire des matrices élémentaires de M n (K) Soit M M n (K), calculer E ij M et M E ij 2 Soient A et B M n (R) telles que X M n (R), Trace(AX) = Trace(BX) Montrer que A = B 3 Soit A M n (K), montrer que: M M n (K) : AM = MA = λ K : A = λ Exercice 9 Que peut-on dire d une matrice A M n (R) qui vérifie Trace(A t A) =? 52 Inverses Exercice 2 Calculer l inverse de 2 2 2 Exercice Calculer (s il existe) l inverse des matrices : ( ) a b c d 2 2 2 2 Exercice 2 Questions indépendantes On considère la matrice A = 3 (a) Soient B = et C = ᾱ ᾱ 2 α ᾱ (α C) α 2 α 2 2 3 n 2 2 Montrer que AB = AC, a-t-on A = C? A peut-elle être inversible? (b) Déterminer toutes les matrices F telles que A F = O (O étant la matrice dont tous les coefficients sont nuls) 2 Soit A = 2 3 4 4 Déterminer toutes les matrices B telles que BA = I 2 3 Soient A et B deux matrices carrées n n telles que AB = A + I n Montrer que A est inversible et déterminer son inverse (en fonction de B) 6
Exercice 3 Matrices à diagonale «strictement dominante» Soit A = (a i,j ) M n (R) telle que: i =,,n a i,i > j i a i,j Montrer que A est inversible Exercice 4 Soit M M n (R) telle que M I n soit nilpotente (ie k N,(M I n ) k = ) Montrer que M est inversible Exercice 5 M antisymétrique I + M est inversible Soit M M n (R) antisymétrique Montrer que I + M est inversible (si (I + M)X =, calculer t (MX)(MX)) 2 Soit A = (I M)(I + M) Montrer que t A = A 7