Mathématiques Troisièmes DST Durée : h. Calculatrice autorisée. Total sur 40 points 4 points sur la présentation/rédaction. Exercice.1 : programme de calcul. Exercice. : programme de calcul, développer et réduire une expression. Exercice. : mise en équation et résolution. Exercice.4 : fractions, puissances. Exercice.5 : géométrie du plan ( losange, carré, Pythagore ) Exercice.6 : Thalès, espace ( volume prisme droit ). Exercice.7 : volume cône, volume cylindre droit, réduction dans l espace, Thalès. Exercice.1 [ points ] 6 4 Soit A. Pour calculer A, Armand tapé sur sa calculatrice la suite de touches suivante : 1,5 6 + 4 1 +, 5 =. 1. Combien Armand trouve-t-il avec sa calculatrice?. Effectuer ce calcul «à la main» en détaillant les différentes étapes.. Qu aurait dû taper Armand pour trouver le bon résultat? Exercice. [ 4 points ] Tous les calculs et toute trace de recherche, même non aboutie, devront figurer sur la copie. On considère le programme de calcul : Choisir un nombre Ajouter 1 Calculer le carré du résultat obtenu Lui soustraire le carré du nombre de départ Ecrire le résultat final 1. a. Montrer que si le nombre de départ est 1, on obtient comme résultat final. b. Lorsque le nombre de départ est ( ), quel est le résultat final? c. Lorsque le nombre de départ est noté x, quel est alors le résultat final en fonction de x?. On considère l expression P x x ( 1). Développer et réduire l expression P.. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15? Exercice. [ points ] Jean va au marché. Il dispose de 57,0. Il achète un rôti de 1,6 kg à 15 le kilo, un sac de,5 kg de pommes de terre à,90 le sac, une salade à 1,0, un morceau de fromage et 4 éclairs au chocolat à 1,90 pièce. Après cela, il lui manque 1,60 pour s acheter une chemise qui coûte 1. Combien pèse le morceau de fromage sachant qu il est à 14 le kg? Exercice.4 [ points ] 1. Calculer A et mettre sous forme d une fraction irréductible de 7 7 A 15 75 1. Calculer B et donner l écriture scientifique de 510 (10 ) B 7 4510 6
Exercice.5 [ 5 points ] Voici une figure à main levée d un quadrilatère. 1. Pourquoi peut-on affirmer que MOEL est un losange?. Chris dit que c est un carré mais Olivia prétend le contraire. Qui a raison? Le démontrer.. Exercice.6 [ 7 points ] Pour protéger le bord de son talus de 6 mètres de haut et de 0 mètres de long, M. Tino construit un mur en béton armé dont la forme est un prisme droit à base triangulaire. On donne ci-dessous une coupe transversale de ce talus ( les proportions ne sont pas respectées ) Le triangle de base, ABC, est rectangle en B avec BC = m et AB = 6 m. Les points A,U et C sont alignés ainsi que les points A,T et B. Afin d évacuer les eaux d infiltration, il désire placer des tubes cylindriques perpendiculairement au talus à m du sol. Sur la figure, l un de ces tubes est représenté par [UT]. 1. a. Calculer la longueur exacte UT en mètres. b. Donner la valeur approchée par excès au cm de UT.. Montrer que le volume de béton nécessaire pour réaliser ce mur est 10 m.. Sachant que la masse volumique de ce béton est,5 t/m, quelle est la masse totale du béton utilisé? [ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
Exercice.7 [ 1 points ] [ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
Exercice.1 Corrigé du DST - Décembre 01 1. A la calculatrice, Armand trouve :.. 6 4 6 1 18 6 A, A, A, A, A. En effectuant «à la main» le calcul, on obtient : A= 1,5 1 5 6 1 6. Il manque des parenthèse pour que le calcul tapé donne le résultat correct : «( 6 + x 4 ) (1 + x,5 ) =» Exercice. élever soustraire au lecarré du ajouter1 carré nombrededépart 1. a. 1 1 4 4 (1) 4 1. Lorsque le nombre de départ est 1, le résultat obtenu est. élever soustraire au lecarré du ajouter1 carré nombrededépart b. 4 4 ( ) 4 9 5. Lorsque le nombre de départ est -, le résultat obtenu est -5. c. En notant x le nombre de départ, le programme de calcul donne : élever soustraire au lecarré du ajouter1 carré nombrededépart x x 1 x 1 x 1 x² L expression littérale obtenue est P x x. Développons On a : P x x ( 1) ² ( ) ( )(1) (1)² ², puis : P x² x 1 x² P x x x ( 1) ²., soit finalement : P x 1.. Trouver le nombre de départ pour lequel le programme de calcul donne 15 cela revient à résoudre P 15, c est-à-dire, en utilisant la forme développée de P : x 1 15, qui donne : x 15 1, puis : x 14, ou 14 encore : x, soit finalement : x 7. Le nombre de départ cherché est : 7. Exercice. En tenant compte des différentes informations, la dépense effectuée est : 1,6 15,9 1, x14 4 1,9. S il y avait 1,6 en plus de disponible, Jean aurait pu acheter une chemise à 1, donc on peut écrire : la dépense réelle + 1 de dépense fictive = la quantité réelle d argent disponible + 1,6 ( ce qui lui manque ), d où : 1,6 15,9 1, 41,9 x 14 + 1 = 57, + 1,6. On obtient l équation : 5,7 14x 1 70,9, soit : 14x 70,9 5,7 1, puis : 14x 4,, Exercice.4 4, x, soit finalement : x 0, 14. Il a acheté 0, kg de fromage. 7 7 A 15 75 1 7 7 A 15 75 1 7 9 A 15 75 710 9 A 15 10 150 70 9 A 15 10 61 A 150 510 (10 ) B 7 4510 6 6 5 5 10 (10 ) B 7 9 5 10 5 B 10 10 10 647 B,510 B,510 6 ( ) 7 5
Exercice.5 1. On sait que le quadrilatère MOEL a ses quatre côtés de même longueur. On utilise: par définition, un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. On en déduit que : MOEL est un losange.. Si le losange était un carré, alors il aurait quatre angles droits. Montrons par exemple que MLE n est pas un angle droit. Calculons séparément : LM² + LE² et EM² = 4² + 4² = 16 + 16 = = 5,6² = 1,6 On constate que LM² + LE² EM² donc d après la réciproque du théorème de Pythagore on en déduit que le triangle MEL n est pas rectangle en L, ce qui était la seule possibilité, et par conséquent Olivia peut en déduire que le losange MOEL n est pas un carré : c est donc elle qui a raison. Autre rédaction ( conforme B.O. ) On constate que LM² + LE² EM² ; dans le triangle MEL, l égalité de Pythagore n est pas vérifiée, donc ce triangle n est pas rectangle, etc.. Exercice.6 Le mur de béton 1. a. Calculons la longueur exacte UT en mètres. On sait que : (TU)(AB) et (BC)(AB) On utilise : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles. On en déduit que : (TU) // (BC). On sait que : (BT) et (CU) sont sécantes en A, (TU) // (BC). On utilise : le théorème de Thalès. AT AU UT On en déduit que :, soit en tenant compte des distances connues : 6 AU UT, ou AB AC CB 6 AC encore : 4 AU UT. On utilise : 4 UT, qui s écrit aussi : UT, d où : 4 UT, soit : UT. 6 AC 6 4 Finalement : UT m. b. A l aide de la calculatrice, la valeur approchée par excès de UT est 1,4 m.
. Comme pour tout solide droit, on a : Volume = aire de la base hauteur. Ici, la base est le triangle ABC et la «hauteur» du prisme de béton est la longueur du mur c est-à-dire 0 m. produit des côtés del ' angledroit L aire d un triangle rectangle est donné par :, donc l aire de ABC est égale à : BC BA 6 6. Le volume du prisme de béton est donc égal à : 6m² 0 m = 10 m.. 1 m de béton a une masse de,5 t donc, en multipliant par 10, on en déduit que : 10 1m ont une masse 10,5 t soit 00 t. Le mur de béton a une masse de 00 t. Exercice.7 Le silo à grains Partie 1 1. Le volume d un cône est donné par : V. cône R² h. a. AB² SA (1, ) 1,6 96 Ici : Vcône. A l aide de la calculatrice, on obtient : Vcône 15 b. La contenance totale du silo est la somme du volume du cylindre et du cône, donc est environ égale à : 10,857 m +,41 m, soit 1,7 m. Or 1 m = 1 000 l, donc le silo contient environ 1 70 litres. AB² SA 96,41m. Remarque : le contenance exacte est AB² AI, 456 4, 4 ( m ), soit 15 environ 1 70,1 litres arrondi au dixième de litre. SO 1, a. Le coefficient de réduction est : k 0,75. SA 1,6 b. Pour un agrandissement ou une réduction, si les distances sont multipliées par k, alors les aires sont multipliées par k² et les volumes par k. Donc le volume de grains en m 96 est : 0,75 15, soit à l aide de la calculatrice environ 1,018 m arrondi au millième ( soit 1 018 litres arrondi au litre près ). Partie. Remarquons d abord que B appartient à [HC] donc HC = HB + BC, soit, en tenant compte des distances connues : HC = 1,6 m +,4 m = 4 m. Calculons séparément : HM HN 0,8 0,4 HB HC 1,6 4 0,4 On constate que HM HN HB. On sait que : HC H, M, N sont alignés H, B, C sont alignés dans le mêmeordre HM HB HN HC donc d après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (MB) et (NC) sont parallèles et par conséquent que les échelles sont parallèles.