LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté dans un repère orthonormé, et est appelée la courbe représentative de f notée «C f». Exemple et contre-exemple: Conséquence importante : L ensemble des points tels que y=f(x) étant la représentation de f dans un repère notée C f, alors A(x A,y A ) appartient à C f si et seulement si f(x A )=y A. On dit que A vérifie l équation de f. Exemple : f(x)=x² Le point A(2,5) n appartient pas à C f car : f(2) = 2² = 4 5 I-2 - Vocabulaire L ensemble des x pour lesquels la fonction est définie s appelle le domaine de définition. «x» s appelle l antécédent de y. Il se lit sur la droite des abscisses. «f(x)» s appelle l image de x par f. Il se lit sur la droite des ordonnées. II Fonctions affines II-1 - Définition Ce sont les fonctions définies sur R par : f(x) = mx + p avec m et p appartenant à R.
Autre type de définition : qui se lit : «f» est une application de R dans R qui à x associe mx + p. Remarque : - si p=0, f(x)=ax est appelée fonction linéaire. - si m=0, f(x)=p est appelée fonction constante. II-2 - Vocabulaire m = le coefficient directeur ou la pente de la droite affine. Il renseigne sur le comportement la fonction. Si m>0 la droite «monte» Si m=0 le droite «est constante» Si m<0 la droite «descend» p = l ordonnée à l origine. II-3 Tableau de variation Il renseigne sur le comportement de la fonction sur son domaine de définition. Pour la droite affine, on distingue 3 cas : II-4 Tableau de signe Il faut au préalable résoudre l équation f(x) = mx + p = 0 Définition : Résoudre une équation c est trouver l ensemble des valeur de «x» (x1, x2, ) tel que f(x)=0. (f(x1), f(x2), est égal à zéro). Résolution : Le tableau de signe renseigne sur le signe de f(x) lorsqu on parcours la droite des abscisses. Ici je suis dans le cas m>0
Commentaire : Ma fonction passe par «0» et elle est toujours croissante. Donc elle est b négative puis s annule pour x =, ensuite elle devient positive. a Théorème : La fonction f est affine si et seulement si pour tout réel, a, b on a : f ( b) f ( a) = cons tan te b a Ce rapport est le coefficient directeur de la droite affine. Il s agit de «m» dans y = mx + p. Exercice54 57 65 p72 III La fonction Carré (x²). III-1 - Définition La fonction carré est la fonction qui pour tout réel «x» associe f(x)=x². Ou Remarque 1 : ici D f = R Remarque 2 : l ensemble d arrivée (ou des images) est les réels positifs, ie x² n est jamais négatif. III-2 Courbe représentative Tableau à remplir à la calculette. Unité des abscisses= 2cm, pour les ordonnées 2cm. x -2-1 -3/4-1/2-1/4 0 1/4 1/2 3/4 1 2 f(x) 4 1 0,56 0,25 0,06 0 0,06 0,25 0,56 1 4 Tracé de la courbe : Propriété : dans un repère orthogonal, la parabole d équation y=x² admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie. Vocabulaire : le point ou la parabole change de sens s appelle le sommet.
III-3 Tableau de variation Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante jusqu'à «0», qu elle vaut zéro à l origine puis qu elle est croissante ensuite. III-4 Tableau de signe Le tableau de signe de f(x)=x² est le suivant : III-5 Résoudre l équation x²=a Graphiquement, résoudre f(x) =a revient à trouver l ensemble des abscisses des points d intersection entre C f et la droite d équation y=a Cas a<0 On remarque que Cf est toujours au dessus de y=a. Il n y a pas d intersection donc pas de solution. Cas a=0 On remarque qu il n y a qu un point d intersection c est l origine O(0,0). Donc S={0} Cas a>0 On remarque qu il y a 2 points d intersections entre la droite y=a et Cf Donc S={- a, a}
III-6 Résoudre l inéquation x²>a Graphiquement, résoudre l inéquation f(x)>a revient à trouver l ensemble des abscisses de points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a. Cas a<0 On remarque que Cf est toujours au dessus de y=a. Tous les x conviennent Donc S=R Cas a=0 On remarque que le courbe est toujours au dessus de 0 sauf à l origine O(0,0). On va alors exclure l abscisse de ce point. Donc S=]- ;0[ U ]0 ;+ [ Cas a>0 On remarque que la courbe est au dessus de y=a pour tous les x<- a, puis elle passe en dessous, puis à partir de x< a, elle repasse au dessus. Donc S=]- ;- a[u] a ;+ [ Remarque : - En général les solutions d une équation sont un ensemble défini d abscisse de points, noté S= {x 1,x 2 }. - Alors que pour une inéquation, les solutions sont des intervalles d abscisse de points noté S= [x 1 ;x 2 ] ou bien ]x 1 ;x 2 [ ou bien ]x 1 ;x 2 ]U[x 3 ;x 4 [ U se lit «union» IV La fonction inverse ( x 1 ) IV-1 - Définition La fonction inverse est la fonction qui pour tout «x» appartenant à R* = ]- ;0[ U ]0 ;+ [ associe son inverse. Soit : IV-2 Représentation graphique x -2-1 -1/2-1/4 0 1/4 1/2 1 2 f(x) -0.5-1 -2-4 error 4 2 1 0.5
Représentation graphique : Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction inverse admet l origine comme centre de symétrie. 1 Vocabulaire : La courbe représentative de f ( x) = s appelle une hyperbole. x Les droites en jaune, que la fonction f(x) approche sans jamais toucher s appellent : Asymptotes (horizontale et verticale). IV-3 Tableau de variation Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante de l infini à 0, puis qu elle est décroissante de 0 à + l infini. Elle n a pas de valeur pour x=0. IV-4 Tableau de signe Le tableau de signe de f(x)=1/x est le suivant : Pour tous les «x» négatifs, les images obtenue sont négatives (ie f(x)<0), et pour tous les «x» positifs, les images sont positives (ie la courbe est au dessus de la droite des abscisses).
IV-5 Résoudre l inéquation 1/x>a Graphiquement, résoudre l inéquation f(x)>a revient à trouver l ensemble des abscisses de points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a. Cas a<0 Cf est au-dessus de y=a dans l intervalle suivant : S=]- ;-1/a[ U ]0 ;+ [ Cas a=0 Pour les x<0 il n y a pas de solution, par contre pour 0<x<+ la courbe est au dessus de l axe des abscisses. Donc S=]0 ;+ [ Cas a>0 Cf est au dessus de la droite y=a entre 0 et 1/a non inclus Donc S=]0 ;1/a[ V- Les fonctions associées aux fonctions de base V-1 La fonction trinôme (ou Polynôme de degré 2) Définition : Ce sont les fonctions «f» définies sur R par f(x) = ax² + bx + c. Avec a,b,c appartenant à R et a 0. Remarque : si a=0 alors f(x) = bx + c qui est une fonction affine!!!!! Exemple de fonction trinome : - f(x) = 3x² + 2x + 4 (ici a=3, b=2, c=4) - g(x) = x² + 4x + 4 (ici a=1, b=4, c=4) Autre écriture de g(x) - g(x) = (x+2)² Vocabulaire : La première écriture de g(x) est dite «forme développée» La deuxième écriture de g(x) est dite «forme canonique». Propriété : La courbe représentative d une fonction Trinôme est une parabole. - si a>0, le sommet de la parabole est en bas. Donc l extrêmum de «f» est un minimum - si a<0, le sommet de la parabole est vers le haut. Donc l extrêmum de «f» est un minimum
Remarque importante : si le forme développée d une fonction Trinôme est de la forme f(x) = ax² + bx + c, alors le forme réduite est de la forme : b b f ( x) = a( x + ) + f ( ) 2a 2a Vu lors de l activité avec la calculatrice : Si la courbe représentative Cf, de f(x)= x² est une parabole telle que f(0)=0 Alors on peut déduire toutes les fonctions trinômes peuvent se déduire de f(x) de la façon suivante : - f 1 (x)= x² + 2 est la translation de Cf de vecteur +2i (i= vecteur unité pour les abscisses) - f 2 (x)= (x + 3)² est la translation de Cf de vecteur -3j (j= vecteur unité pour les ordonnées) - f 3(x)= 4x² est est la courbe Cf qui se contracte 4 fois plus vite (plus resserré autour de l axe des ordonnées) - f 4 (x)= 4(x+ 3)²+2 est la courbe Cf contractée puis translatée de vecteur +2i-3j Remarque : pour f(x)=ax² : si a>1 la parabole se resserre Pour f(x)=ax² : si a< 1 la parabole s ouvre (elle se desserre). V-1 La fonction homographique ax + b Définition : Il s agit des fonctions de la forme f ( x) = avec a, b, d appartenant à R et c 0. cx + d ax + b a b Remarque : si c=0, alors f ( x) = = x + qui est une fonction affine! d d d nombre _ quelconque La fonction f(x) existe pour tout «x» tel que cx+d 0 (car n existe pas!) 0 On a alors x qui doit être différent de -d/c. Le domaine de définition de «f» est donc : ]- ; -d/c[ U ]-d/c ; + [