Correction Devoir Surveillé 7 Term ES Maths Maths Term ES Exercice 1. points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). our chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justication n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. our chaque question, entourer ci-dessous la réponse choisie sur le sujet. 1. La somme S = 1 + + + 3 + + 30 est égale à : a. 1 + 31 1 31 c. 1 + 30 d. 1 30 Explication : S est la somme des 31 premiers termes de la suite géométrique de raison q = et de premier terme 1 : S = 1 + q + q + q 30 = 1 1 q31 1 q = 1 31 1 = 1 31 = 1 + 31 1 Remarque : our les férus d'informatique et qui connaissent le binaire : S représente en base le nombre écrit avec trente-et-un 1 à la suite, si on additionne S avec 1 en base, on obtient le nombre écrit avec un 1 suivi de trente-et-un 0 qui correspond donc à 31 (par analogie, en base 10, c'est similaire au passage de 999 à 1000).. L'équation x3 3 + x + 3x = 0 admet sur R : a. la solution trois solutions distinctes c. aucune solution d. une unique solution Explication : x3 3 + x + 3x = 0 x3 + 3x + 9x 3 = 0 x 3 + 3x + 9x = 0 x (x 3x 9) = 0 x = 0 ou x 3x 9 = 0. Étudions le polynôme du second degré x 3x 9 : = ( 3) 4 1 ( 9) = 9 + 36 = 4 > 0 donc x 3x 9 admet deux racines distinctes dans R. Or x 3x 9 ne s'annule pas en 0 car 0 3 0 9 = 9. Donc x3 3 + x + 3x = 0 admet trois solutions distinctes (dont l'une est zéro). 3. Soit la fonction f dénie sur ]0 ; + [ par f(x) = ln (x). Une primitive de f est la fonction F dénie sur ]0 ; + [ par : a. F (x) = 1 x F (x) = x ln (x) Explication : c. F (x) = x ln (x) x d. F (x) = e x Notons F 1 (x) = 1 x, alors F 1 (x) = 1 x donc F 1 n'est pas une primitive de f. Notons F (x) = x ln (x), alors F (x) = 1 ln (x) + x 1 x = ln (x) + 1 = f(x) + 1 donc F n'est pas une primitive de f. Notons F 3 (x) = x ln (x) x, alors F 3 (x) = 1 ln (x) + x 1 x 1 = ln (x) + 1 1 = ln (x) = f(x) donc F 3 est une primitive de f. Notons F 4 (x) = e x, alors F 4 (x) = ex donc F 4 n'est pas une primitive de f. ozzo Di Borgo, Roussot 1/ 01-016
4. Les nombres entiers n solutions de l'inéquation ( 1 n ) < 0, 003 sont tous les nombres n tels que : a. n 8 n 9 c. n 8 d. n 9 Explication : On résout dans N l'inéquation : ( 1 ) n < 0, 003 ln (( 1 ) n) < ln (0, 003) (ln étant strictment croissante sur ]0 ; + [) Or n ln ( 1 ) < ln (0, 003) ln (0, 003) n > ln ( 1 (car 0 < 1 ) < 1 donc ln (1 ) < 0) ln (0, 003) ln ( 1 8, 38 et n est un entier donc : ( 1 n ) ) < 0, 003 n 9. On considère la suite (u n) dénie sur N par u n = 33 (0, 999) n. La suite (u n) est : a. non monotone constante c. strictement croissante d. strictement décroissante Explication : 0, 99 ]0 1[ donc la suite géométrique (0, 99 n ) n est une suite strictement décroissante, ainsi, en multipliant chacun de ses termes par un nombre négatif ( 33), la suite ( 33 0, 99 n ) n = (u n ) n est strictement croissante. Exercice. 8 points On considère la fonction f dénie pour tout réel x de l'intervalle [1, ; 6] par : f(x) = (x 3)e x. On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l'intervalle [1, ; 6], sa fonction dérivée f et sa fonction dérivée seconde f. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justication dans tout l'exercice. f (x) = (7 x)e x f (x) = (x 8)e x 1. a. Étudier le signe de f (x) sur l'intervalle [1, ; 6]. Résolvons l'équation : 7 x = 0 7 = x 7 = x, 8 = x. On obtient le tableau de signe suivant en remarquant que < 0 : x 1,, 8 6 Signe de 7 x + 0 Signe de e x + + Signe de f (x) + 0 En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [1, ; 6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième). En sachant que : f(1, ) = ( 1, 3)e 1, 1, 3 ; f(, 8) = (, 8 3)e,8, 6 ; f(6) = ( 6 3)e 6 0, 9 ; on déduit de la question précédente : x 1,, 8 6 f (x) + 0 Var. de f ( ) 1, 3 ( ), 6 ( ) 0, 9 ozzo Di Borgo, Roussot / 01-016
. Montrer que, sur l'intervalle [1, ; 6], la courbe C f admet un unique point d'inexion dont on précisera l'abscisse. Étudions le signe de f (x). Résolvons l'équation : x 8 = 0 x = 8 x = 8 x = 3, 8. On obtient le tableau de signe suivant en remarquant que > 0 : x 1, 3, 8 6 Signe de x 8 0 + Signe de e x + + Signe de f (x) 0 + f change de signes en x = 3, 8 passant de négatif à positif, f est donc concave sur [1, ; 3, 8] et convexe sur [3, 8 ; 6], par conséquent la courbe C f admet un unique point d'inexion au point d'abscisse 3, 8. 3. a. Montrer que la fonction F dénie sur [1, ; 6] par F (x) = (7 x) e x est une primitive de f. u(x) = 7 x F est de la forme uv avec { v(x) = e x { u (x) = v (x) = e x F (x) = u (x)v(x)+v (x)u(x) = e x e x (7 x) = ( (7 x)) e x = ( 7 + x) e x = (x 3) e x = f(x) Donc F est une primitive de f sur [1, ; 6]. Calculer la valeur exacte de I = f(x)dx. 4 I = f(x)dx = [F 4 (x)] 4 = F () F (4) = (7 ) e (7 4) e 4 = 118e ( 93) e 4 = 93e 4 118e c. Que représente graphiquement la valeur I calculée dans la question précédente. f étant continue et positive sur [1, ; 6], I = f(x)dx représente l'aire du domaine délimité par 4 l'axe des abscisses, la courbe C f, et les droites d'équations respectives x = 4 et x =, c'est-à-dire l'aire du domaine {M (x ; y) ; 4 x et 0 y f(x)}, en unité d'aire. I 0, 908 ua. 4. Dans cette question, on s'intéresse à l'équation f(x) = 1. a. Justier que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur l'intervalle [4 ; ]. Sachant que f est strictement décroissante sur [, 8 ; 6] et que f(4) = ( 4 3)e 4 1, ; f() = ( 3)e 0, 63 ; on déduit le tableau de variation suivant : x 4 α Var. de f ( ) 1, 1 ( ) 0, 63 D'après ce tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 1 admet une unique solution notée α sur l'intervalle [4 ; ]. On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation f(x) = 1 sur l'intervalle [4 ; ]. Initialisation a prend la valeur 4 b prend la valeur Traitement Tant que b a > 0, 1 faire y prend la valeur f ( a+b ) Si y > 1 alors a prend la valeur a+b Sinon b prend la valeur a+b Fin de Si Fin de Tant que Sortie Acher a+b Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau suivant : ozzo Di Borgo, Roussot 3/ 01-016
a + b y à 10 3 près a b b a Sortie Initialisation 4 1 1 re boucle Tant que 4, 0,894 4 4, 0, e boucle Tant que 4, 1,09 4, 4, 0, 3 e boucle Tant que 4,37 0,974 4, 4,37 0,1 4 e boucle Tant que 4,31 1,016 4,31 4,37 0,06 4,3437 c. Donner un encadrement d'amplitude inférieur ou égal à 0, 1 de α. D'après l'exécution de l'algorithme précédent : 4, 31 < α < 4, 37 (encadrement d'amplitude 0, 06 < 0, 1). Exercice 3. 7 points Dans chaque programme de construction proposé par un grand constructeur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastié pour revêtir le sol du salon. our le revêtement des murs du salon, ils ont le choix entre peinture ou papier peint. Le recueil des choix des acquéreurs par l'entreprise donne les résultats suivants : 0 % ont choisi la moquette ; 0 % ont choisi le carrelage ; les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastié. armi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. armi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. 4,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs. On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise. On considère les évènements suivants : M l'évènement : l'acquéreur a choisi la pose de moquette ; C l'évènement : l'acquéreur a choisi la pose de carrelage ; S l'évènement : l'acquéreur a choisi la pose de sol plastié ; l'évènement : l'acquéreur a choisi la pose de papier peint ; l'évènement contraire de, correspondant à : l'acquéreur a choisi la peinture. Les résultats seront donnés sous forme décimale, et arrondis au millième. 1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice. M 0, 46 0, 4 0, 0, C 0, 0, 48 0, 3 S 0, 0,7 Les deux données en italique ont été remplies à la suite de la question 3.. a. Décrire l'évènement M. L'évènement M est l'acquéreur a choisi la pose de moquette et le papier peint. ozzo Di Borgo, Roussot 4/ 01-016
Correction Devoir Surveillé 7 : 3. Calculer la probabilité p(m ). a. Montrer que la probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plasti é et de papier peint est égale à 0,07. L'acquéreur a choisi le sol plasti é. Calculer la probabilité qu'il ait choisi le papier peint. Compléter l'arbre. p (M ) = p (M ) pm ( ) = 0, 0, 46 = 0, 09. On cherche p (S ). D'après la formule des probabilités totales : p ( ) = p (M ) + p (C ) + p (S ). Donc p (S ) = p ( ) p (M ) + p (C ) = 0, 47 0, 0, 46 0, 0, = 0, 47 0, 09 0, 60 = 0, 07. CQFD On cherche ps ( ). ps ( ) = 4. jusqu'à l'intégration p (S ) 0, 07 = = 0,. p (S) 0, 3 On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur. a. Calculer la probabilité, notée p1, qu'au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint. Notons X la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes qui ont choisi le papier peint parmi les trois acquéreurs. Les trois acquéreurs ont été interrogés de façon indépendante et pour chacun la probabilité de choisir le papier peint (succès) est toujours la même 0, 47. Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0, 47. Dans cette question, on cherche p (X 1). p1 = p (X 1) = 1 p (X < 1) = 1 p (X = 0) = 1 (1 0, 47)3 0, 81. Calculer la probabilité, notée p, qu'exactement deux des trois acquéreurs aient choisi le papier peint. On cherche ici p = p (X = ). À la calculatrice, p = p (X = ) 0, 313 3 En utilisant la formule de première : p = p (X = ) = ( ) 0, 47 (1 0, 47)1 = 3 0, 47 0, 73 0, 313 Barème Exercice. 1. = 1 Exercice.. 8 = (0, + 1) + 1 + (1 + 1 + 0, ) + (1 + 1, + 0, ) Exercice. 3. 7 = 1, + (0, + 0, ) + (1, + 1) + (1 + 1) dd E En ozzo Di Borgo, Roussot / 01-016