Activités numériques sur 1 points Exercice 1 (1,5 points) La calculatrice 1) On s intéresse au calcul suivant Le numérateur de A est la racine carrée du nombre (5² 3²), donc c est un nombre positif. Le dénominateur de A est l inverse du carré de (car - = 1 ² 0), donc c est un nombre positif. Le nombre A est le quotient de deux nombres positifs donc le nombre A est un nombre positif c.-à-d. A 0 Par conséquent, la remarque d Axel est correcte. ) Axel a commis une erreur dans son calcul car il a oublié de taper les parenthèses autour du nombre 5² 3² pour le calcul correct de la racine carrée. Sur sa calculatrice, Axel doit taper la séquence Sa calculatrice affiche le nombre 16. ( ) Remarque : Le calcul à la main donne : A= 5² 3² = 5 9 1 = 16 1 4 = 4 1 4 = 4 4 = 16 Exercice (5 points) Statistiques 1) Lecture du diagramme 4 consommateurs ont attendu 10 minutes ) Calcul de la durée moyenne d attente 5 +1 4+ 6+ 8+4 10+ 1+4 14+ 16 = 194 8,8 La durée moyenne d attente au téléphone est de 9 minutes à 1mn près. 3) Détermination de la durée médiane Comme la série statistique comporte valeurs, la médiane sera située entre la 11 ème et la 1 ème valeur. Plusieurs méthodes sont alors possibles pour trouver cette valeur : En classant par ordre crossant les durées d attente (méthode assez longue et source d erreur ) 4 6 6 8 8 10 10 10 10 1 1 14 14 14 14 16 16 La médiane
En faisant le tableau des effectifs cumulés croissants, (ce qui sera nécessaire pour trouver les quartiles) Durée d attente en min 4 6 8 10 1 14 16 Effectif 5 1 4 4 Effectifs cumulés croissants 5 6 8 10 14 16 0 La médiane se trouve donc dans cette colonne La durée médiane de cette série statistique est de 10 minutes. Interprétation de la médiane : «La moitié des consommateurs attendent moins de 10 minutes» En comptant directement les effectifs cumulés sur le diagramme. 4) Détermination du premier quartile 1 D abord on calcule le quart de l effectif total = 5,5 Le premier quartile est alors la 4 6ème valeur de la série statistique ; on peut utiliser le tableau de la question précédente. Durée d attente en min 4 6 8 10 1 14 16 Effectif 5 1 4 4 Effectifs cumulés croissants 5 6 8 10 14 16 0 Le premier quartile se trouve dans cette colonne Q 1 = 4 min Le premier quartile de cette série statistique est de 4 minutes. Interprétation du 1 er quartile : «Au moins un quart des consommateurs attendent 4minutes au plus» Remarque : 3 4 = 16,5 Le troisième quartile est alors la 17ème valeur de la série statistique Q 3 = 14 min «Au moins trois quarts des consommateurs attendent 14minutes au plus» Exercice 3 ( 3 points) Probabilités 1) Soit V l évènement «tirer une boule verte au tirage» L urne est opaque et les boules sont indiscernables au toucher donc on est dans une situation d équiprobabilité, et alors la probabilité d un évènement est donnée par la formule nombre de cas favorables nombre de cas possibles Il y a deux boules vertes parmi les cinq boules que contient l urne. La probabilité de l évènement V est 5 ; on peut aussi écrire p(v) = 5 = 0,4
) Soit B l évènement «tirer une boule bleue au tirage» Il y a trois boules vertes parmi les cinq boules que contient l urne. La probabilité de l évènement B est 3 5 ; on peut aussi écrire p(b) = 3 5 = 0,6 On tire une boule au hasard puis on la remet dans l urne puis on tire une deuxième boule au hasard. Dessinons l arbre des possibles de cette expérience aléatoire à deux épreuves (tirage de boules avec remise dans l urne) 3) Calculons la probabilité de tirer deux boules bleues. La probabilité de tirer deux boules bleues lors de cette expérience aléatoire à deux épreuves est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de l arbre des possibles. p(b ;B).= 0, 6 0, 6 = 0,36 ou p(b ;B) = 3 5 3 5 = 9 5 = 0,36 La probabilité de l évènement «tirer deux boules bleues» est 9 5 Remarque : Calculons la probabilité de tirer deux boules de couleur différente P = p(v ;B) + p(b ;V) = 5 3 5 + 3 5 5 = 6 5 + 6 5 = 1 5 = 0,48 Exercice 4 (,5 points) Le questionnaire à choix multiple Question 1 14 = 4 31 340 = 4 5 17 PGCD (14 ;340) = 4 Réponse N 3 Question 64 + = 8 + 10 = 18 Réponse N 3 Question 3 36x² 144 = (6x)² 1² = (6x 1)(6x+1) Réponse N 3 Question 4 (x 5)² = x² x 5 + 5² = x² 10x +5 Réponse N 3 Question 5 16 70 15 00 = 1,10 coefficient qui correspond à une hausse de 10% Réponse N 3
Activités géométriques sur 1 points Exercice 1 (5 points) La carrière du Thieulin D H C Pour procéder au chargement du sable dans les camions, la carrière du Thieulin utilise le dispositif par tapis roulant représenté par le schéma simplifié ci dessus : S A On donne : Longueur du tapis roulant : CD = 11,70 m Longueur au sol : CA = 10,80 m 1. Calculons DA, la hauteur de laquelle tombe le sable. Pour calculer la longueur DA, je vais utiliser la propriété de Pythagore dans le triangle CAD rectangle en A. «Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.» Comme le triangle CAD est rectangle en A, je peux utiliser la propriété de Pythagore et écrire : CD² = DA² + CA² d où DA² = CD² CA² DA² = (11,70 m)² (10,80 m)² = 136,89m² 116,64m² = 0,5m² donc, DA = 0,5m² = 4,5m La hauteur de chute du sable est de 4,5m.. a) Déterminons cos DCA. Comme le triangle CAD est rectangle en A, je peux utiliser la trigonométrie et écrire : cos DCA = CA = 10,80m = 108 = 1 CD 11,70m 117 13 cos DCA = 1 13 Pour déterminer la mesure de l angle DCA, on tape cos 1 ( 1 ) et, la calculatrice affiche,61986 b) Calculons la longueur CH. L angle que fait le tapis roulant avec l horizontale est,6 à 0,1 près. Pour calculer la longueur CH, je vais utiliser la trigonométrie dans le triangle CHS rectangle en H. 13 cos HCS = CH CS = CH 6,5m Or, HCS = DCA (cf figure ci-dessus)
Donc, cos HCS = cos DCA = 1 13 d où CH = 1 6,5m 13 La longueur CH est de 6 mètres. CH = 1 13 6,5m = 6m 3. La vitesse du tapis est de 1,5 m/s Calculons la durée nécessaire en secondes, pour acheminer du sable de C en D. On sait que : vitesse = distance durée donc durée = distance vitesse = 11,70m = 7,8s 1,5m.s 1 La durée nécessaire en secondes, pour acheminer du sable de C en D est de 7,8 secondes. Exercice (7 points) Les jardins Dans cet exercice, l unité de longueur est le mètre. Le triangle ABC représente le jardin d Olivier, et le triangle ADE représente le jardin de Lise. On donne : AB = 13 ; AC = AE = 14,4 ; BC = 19,4 et AD=7 1 ) Lise peut dire : «Si le jardin d Olivier est un triangle rectangle alors mon jardin sera aussi un triangle rectangle» En effet, si CAB =90 alors DAE=90 (angles opposés par le somment égaux) «Ensuite, je peux calculer la longueur de ma clôture en utilisant la propriété de Pythagore.» ) Pour démontrer que le triangle ABH est rectangle, je vais utiliser la réciproque de la propriété de Pythagore. Si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle. D une part, BC² = (19,4 m)² = 376,36 m² D autre part, AC² + AB² = (14,4 m)² + (13 m)² = 07,36 m² + 169 m² = 376,36 m² Comme BC² = AC² + AB², alors je peux conclure que le triangle ABC est rectangle en A d après la réciproque de la propriété de Pythagore. Par conséquent, le jardin d Olivier est un triangle rectangle.
3 ) D après la question précédente, on sait que CAB = 90. Or, les angles DAE et CAB sont opposés par le sommet A donc ils ont la même mesure. D où DAE = 90 et par suite, le triangle DAE est rectangle en A. Comme le triangle DAE est rectangle en A, je peux utiliser la propriété de Pythagore et écrire : DE² = DA² + AE² = (7 m)² + (14,4 m)² = 79 m² + 07,36 m² = 936,36 m² donc, DE = 936,36 m² = 30,6 m La longueur de la clôture [DE] est 30,6 m. 4 ) a) calcul de la longueur AN Pour calculer la longueur AN, je vais utiliser la propriété de Thalès dans les triangles ADE et AMN. Dans les triangles ADE et AMN, étant donné que M [AD] et N [AE] et comme les droites (MN) et (DE) sont parallèles, je peux utiliser la propriété de Thalès et écrire : AM d où 10,8 m 7 m = AN 14,4 m b) calcul de l aire de la surface occupée par les fleurs On peut déduire que : AN = 10,8m 14,4m 7m La longueur du côté [AN] est 5,76m Le triangle AMN rectangle en A représente le jardin de fleurs de Lise. Soit A l aire de la surface occupée par les fleurs. A = AM AN = 10,8m 5,76m L aire de la surface occupée par les fleurs est 31,104m² 5 ) a) calcul de l aire du jardin d Olivier et de l aire du potager de Lise = AN = MN AD AE DE = 5,76m = 31,104 m² Le triangle CAB rectangle en A représente le jardin d Olivier. Soit A 1 l aire du jardin d Olivier. A 1 = AC AB = 14,4m 13m = 93,6 m² Le trapèze DMNE représente le potager de Lise. A = aire(dae) aire (MAN) = AD AE AM AN = 7m 14,4m Soit A l aire du potager de Lise. 10,8m 5,76m = 194,4m² 31,104m = 163,96m L aire du jardin d Olivier est 93,6m². L aire du potager de Lise est 163,96m² b) les affirmations d Olivier et de Lise Olivier :"Mon jardin est presque 3 fois plus grand que ta surface de fleurs!" A1 A = 93,6m² 3 donc 31,104m² A 3 A L affirmation d Olivier est juste. 1 Lise :"Mon potager est presque fois plus grand que ton jardin!" A = 163,96m² A1 93,6m² 1,7 donc A A 1 L affirmation de Lise est fausse.
Problème sur 1 points Partie A (1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 pts) Des lectures graphiques simples 1/ a/ La courbe du graphique 1 n est pas une droite passant à l origine du repère, donc la taille du thon Germon n est pas proportionnelle à sa masse. 1/b/ À partir de la masse kg on trace des pointillés vers la courbe puis vers l axe des ordonnées pour lire. Le thon de kg a une taille de cm. 1/c/ À partir de la taille 68 cm on trace des pointillés vers la courbe puis vers l axe des abscisses pour lire 7. Le thon de 68 cm a une masse de 7 kg. Taille du thon en cm 10 80 68 60 40 0 Graphique 1 : taille du thon Germon 0 5 7 10 15 0 5 30 35 Masse de thon en kg /a/ La représentation de la masse de thon Jaune en fonction de la masse totale des trois espèces pêchées, donnée sur le graphique, est une droite passant à l origine du repère, donc il y a proportionnalité entre ces deux grandeurs. /b/ 17 % de 400 = 17 400 = 0,17 400 = 68 L équipe de Moana a pêché 68 kg de thon Jaune. Partie B ( + + 1 + = 7 pts) Tableau (équipe de Teiki) Espèce Thon Espadon Thazard Mahi-mahi Total Prise en kg 144 108 36 43 70 Fréquence en % 0 15 5 60 180/ = 1,8 Angle en degré 36 7 9 108 180 1/ Calculs des fréquences : 144 70 = 0,0 = 0 % ; 108 70 = 0,15 = 15 % ; 36 70 = 0,05 = 5 % ; 43 70 = 0,60 = 60 % Calculs des angles : 0 180 = 0 1,8=36 ; 15 180 = 15 1,8=7 ; 5 180 = 5 1,8=9 ; 60 180 = 60 1,8=108
/ Diagramme semi-circulaire des prises de l équipe de Teiki. Espadon 15 % Thazard 5 % Mahi-mahi 60 % Thon 0 % 3/ Pour l équipe de Moana, le poisson principalement capturé est le thon. Pour l équipe de Teiki, le poisson principalement capturé est le mahi-mahi. 4/ calcul d un pourcentage global sur deux populations 400 + 144 = 544 Les deux équipes ont pêché une masse totale de 544 kg de thon. 800 + 70 = 1 50 Les deux équipes ont capturé une masse totale de 1 50 kg de poisson. 544 0,357... 36 % arrondi à l unité près. 1 50 La masse totale de thon pêché par l'ensemble des deux équipes représente, environ, 36 % du poisson pêché par l'ensemble des deux équipes.