Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications

13 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice Applications On désigne par K un corps commutatif de caractéristique diérente de 2 Pour n, m entiers naturels non nuls, on note M n,m (K l'espace des matrices à n lignes, m colonnes et à coecients dans K Pour m = n, on note M n (K Si A M n,m (K, on désigne par u l'application linéaire de K m dans K n qu'elle dénit dans les bases canoniques Pour 1 i n et 1 j m, on note E ij la matrice dont tous les coecients sont nuls sauf celui d'indice (i, j (ligne i et colonne j qui vaut 1 On rappelle que la famille (E ij 1 i m est une base de M n,m (K qui est donc de dimension 1 j n m n Pour toute matrice A = ((a ij M n,m (K, on note pour tout entier i compris entre 1 i m 1 et n : 1 j n L i = (a i1, a i2,, a im sa ligne numéro i (c'est une matrice à une ligne et m colonnes et pour tout entier j compris entre 1 et m : a 1j a 2j C j = sa colonne numéro j (c'est une matrice à n lignes et une colonne On écrira : A = a nj ou A = ( C 1 C m 131 Matrices de dilatation et de transvection Opérations élémentaires Soit A = ((a ij 1 i n M n,m (K 1 j m 319

320 Opérations élémentaires On appelle matrice déduite de A par opération élémentaire sur les lignes de A toute matrice de la forme : A i (λ = L i 1 λl i L i+1 avec 1 i n et λ K, c'est-à-dire que la matrice A i (λ est déduite de la matrice A en multipliant sa ligne numéro i par λ ou de la forme : A ij (λ = L i 1 L i + λl j L i+1 1 i j n et λ K, c'est-à-dire que la matrice A ij (λ est déduite de la matrice A en ajoutant à la ligne numéro i la ligne numéro j multipliée par λ Une telle opération est codée par : L i λl i ou L i L i + λl j On appelle matrice déduite de A par opération élémentaire sur les colonnes de A toute matrice de la forme : A j (λ = ( C 1 C j 1 λc j C j+1 C m avec 1 j m et λ K, c'est-à-dire que la matrice A i (λ est déduite de la matrice A en multipliant sa colonne numéro j par λ ou de la forme : A ij (λ = ( C 1 C j 1 C j + λc i C j+1 C m 1 i j m et λ K, c'est-à-dire que la matrice A ij (λ est déduite de la matrice A en ajoutant à la colonne numéro j la colonne numéro i multipliée par λ Une telle opération est codée par : C i λc i ou C i C i + λc j Remarque 131 Si A est transformée en A par une opération élémentaire, alors A peut être transformée en A par opération élémentaire Ainsi : si A se déduit de A par L i λl i avec λ R, alors A se déduit de A par L i 1 λ L i ; si A se déduit de A par L i L i + λl j avec λ R et i j, alors A se déduit de A par L i L i λl j

Matrices de dilatation et de transvection Opérations élémentaires 321 On rappelle que le rang de la matrice A est égal à la dimension du sous-espace vectoriel de K n engendré par ses colonnes : rg (A = dim (Vect (C 1,, C m Il est équivalent de dire que le rang de A est égal au nombre maximum de vecteurs colonnes de A linéairement indépendants dans K n Une matrice et sa transposée ayant même rang, le rang de A est aussi égal à la dimension du sous-espace vectoriel de K m engendré par ses lignes : rg (A = dim (Vect (,, c'est donc le nombre maximum de vecteurs lignes de A linéairement indépendants dans R m Théorème 131 Si A et A dans M n,m (K se déduisent l'une de l'autre par opération élémentaire, elles ont alors même rang Démonstration Supposons que A se déduise de A par opérations élémentaires sur les lignes (quitte à transposer et notons L i les lignes de A, L i celles de A, où i varie entre 1 et n Chaque ligne de A étant combinaison linéaire de celles de A, le sous-espace vectoriel F = Vect (,, de K m est contenu dans le sous-espace F = Vect (L 1,, L n et comme A se déduit aussi de A par opération élémentaires, on a également F F et en dénitive F = F, ce qui implique A et A ont même rang On déduit de ce résultat que deux matrices de M n,m (K qui se déduisent l'une de l'autre par une suite nie d'opérations élémentaires, ont alors même rang On peut aussi remarquer que supprimer des lignes [resp colonnes] nulles d'une matrice ne modie pas son rang Dénition 131 On appelle matrice de transvection toute matrice dans M n (K de la forme : avec 1 i j n et λ K T ij (λ = I n + λe ij Une matrice de transvection T ij (λ est donc une matrice triangulaire dans M n (K dont tous les termes diagonaux valent 1 et de termes hors de la diagonale tous nuls sauf celui d'indice (i, j (i e en ligne i et colonne j qui vaut λ Dénition 132 On appelle matrice de dilatation toute matrice dans M n (K de la forme : avec 1 i n et λ K D i (λ = I n + (λ 1 E ii Une matrice de dilatation D i (λ est donc diagonale de termes diagonaux tous égaux à 1 sauf le numéro i qui vaut λ Remarque 132 Dans les deux dénitions qui précédent, on devrait préciser relativement à la base canonique De manière plus générale, on appelle matrice de transvection, de dilatation, élémentaire, une matrice semblable à une matrice de transvection, de dilatation, élémentaire, relativement à la base canonique

322 Opérations élémentaires Remarque 133 La transposée d'une matrice de transvection [resp de dilatation] est une matrice de transvection [resp de dilatation] Exercice 131 Soient A M n (K et u L (K n l'endomorphisme de K n canoniquement associé 1 Montrer que A est une matrice de transvection si, et seulement si, il existe un hyperplan H de K n tel que u H = Id H et Im (u Id H 2 Montrer que A est une matrice de dilatation si, et seulement si, il existe un hyperplan H de K n tel que u H = Id H et u est diagonalisable Solution 131 1 Si A est une matrice de transvection, elle est alors semblable à une matrice de transvection relativement à la base canonique, il existe donc une base (e i 1 i n de K n et des indices i j tels que u (e j = e j + λe i et u (e k = e k pour k j En désignant par H l'hyperplan engendré par {e k 1 k n, k j}, on a u H = Id H Et avec (u Id (e j = λe i H, on déduit que Im (u Id H Réciproquement s'il existe un hyperplan H de K n tel que u H = Id H et Im (u Id H, on a u (x = x pour tout x H, donc H ker (u Id et ker (u Id = H ou ker (u Id = K n Si ker (u Id = K n, on a alors u = Id et A = I n est une matrice de transvection Si ker (u Id = H, l'endomorphisme u admet 1 pour valeur propre d'ordre au moins égal à n 1 et le polynôme caractéristique normalisé de u est χ u (X = (X 1 n 1 (X λ Si λ 1, il existe alors un vecteur x / H tel que u (x = λx et (u Id (x = (λ 1 x / H, ce qui contredit Im (u Id H Donc λ = 1 est valeur propre d'ordre n de u avec u Id L'endomorphisme u n'est donc pas diagonalisable et le théorème de réduction de Jordan nous dit qu'il existe une base de K n dans laquelle la matrice de u est T n,n 1 (1 et A est une matrice de transvection 2 Si A est une matrice de dilatation, elle est alors semblable à une matrice de dilatation relativement à la base canonique, il existe donc une base (e i 1 i n de K n, un indices j et un scalaire λ K tels que u (e j = λe j et u (e k = e k pour k j En désignant par H l'hyperplan engendré par {e k 1 k n, k j}, on a u H = Id H et u est diagonalisable Réciproquement s'il existe un hyperplan H de K n tel que u H = Id H et u est diagonalisable, l'endomorphisme u admet 1 pour valeur propre d'ordre au moins égal à n 1 et une valeur propre λ 0 Dans une base adaptée la matrice de u est D n (λ et A est une matrice de dilatation Théorème 132 Avec les notations qui précèdent on a : A i (λ = D i (λ A pour 1 i n A ij (λ = T ij (λ A pour 1 i j n A j (λ = AD j (λ pour 1 j m A ij (λ = AT ij (λ pour 1 i j m C'est-à-dire que : 1 la multiplication à gauche par une matrice de dilatation D i (λ a pour eet de multiplier la ligne i par λ ; 2 la multiplication à droite par une matrice de dilatation D j (λ a pour eet de multiplier la colonne j par λ ;

Matrices de dilatation et de transvection Opérations élémentaires 323 3 la multiplication à gauche par une matrice de transvection T ij (λ a pour eet de remplacer la ligne L i par L i + λl j ; 4 la multiplication à droite par une matrice de transvection T ij (λ a pour eet de remplacer la colonne C j par C j + λc i Démonstration Le coecient d'indice (p, q du produit de matrices D i (λ A est obtenu en faisant le produit de la ligne p de D i (λ par la colonne q de A, ce qui donne en notant α p,q ce coecient : { ap,q si 1 p i n, 1 q n α p,q = λa iq si p = i, 1 q n On a donc bien A i (λ = D i (λ A Les autres égalités se montrent de façon analogue Ce résultat justie la dénition suivante Dénition 133 On appelle matrice élémentaire une matrice de dilatation ou de transvection Lemme 131 Une matrice de transvection ou de dilatation est inversible dans M n (K avec : T ij (λ 1 = T ij ( λ pour une matrice de transvection et : D i (λ 1 = D i ( 1 λ pour une matrice de dilatation Démonstration Pour λ, µ dans K et i j compris entre 1 et n, la matrice T ij (λ T ij (µ se déduit de T ij (µ en ajoutant à sa ligne i sa ligne j multipliée par λ, ce qui donne la matrice T ij (λ + µ Prenant µ = λ, on a T ij (λ T ij ( λ = T 0 = I n, ce qui signie que T ij (λ est inversible d'inverse T ij ( λ Le deuxième résultat est évident Remarque 134 On sera amené à utiliser deux autres types d'opérations élémentaires que sont les permutations de lignes ou de colonnes En fait ces opérations se déduisent des précédentes Par exemple pour permuter les lignes i et j où 1 i < j n on eectue les opérations suivantes : L i 1 L i + L j L i+1 ce qui revient à eectuer les produits : L i + L j L i D j ( 1 T ij (1 T ji ( 1 T ij (1 A L j L i L j L i

324 Opérations élémentaires La matrice D j ( 1 T ij (1 T ji ( 1 T ij (1 est la matrice de permutation qui se déduit de la matrice I n en permutant ses colonnes i et j Elle s'écrit plus simplement : P ij = I n (E ii + E jj + (E ij + E ji De même la permutation des colonnes i et j est obtenue avec : AT ij (1 T ji ( 1 T ij (1 D i ( 1 Le produit de matrices T ij (1 T ji ( 1 T ij (1 D i ( 1 est la matrice de permutation t P ij = P ji Lemme 132 Une matrice de permutation P ij est inversible dans M n (K d'inverse P 1 ij = P ji Démonstration C'est évident Avec l'exercice qui suit, on vérie que toute matrice inversible d'ordre 2 est produit de matrices élémentaires Ce résultat est en fait vrai pour les matrices inversibles d'ordre n 2 ( a b Exercice 132 Soit A = une matrice inversible c d 1 On suppose que c 0 (a Déterminer un scalaire λ 1 tel que : ( 1 b1 A 1 = T 12 (λ 1 A = c 1 d 1 (b Déterminer un scalaire λ 2 tel que : ( 1 b2 A 2 = T 21 (λ 2 A 1 = 0 d 2 (c Déterminer un scalaire λ 3 tel que : ( 1 0 A 3 = A 2 T 12 (λ 3 = 0 d 1 (d En déduire qu'il existe des matrices de transvection P 1, P 2, Q 1 et une matrice de dilatation D telles que : A = P 1 P 2 DQ 1 2 Donner un résultat analogue dans le cas où c = 0 Solution 132 1 (a Pour tout scalaire λ 1, on a : ( ( ( 1 λ1 a b a + cλ1 b + dλ T 12 (λ 1 A = = 1 0 1 c d c d et prenant λ 1 tel que a + cλ 1 = 1, soit λ 1 = 1 a, on a : c ( d det (A T 12 (λ 1 A = 1 c c d

Matrices de dilatation et de transvection Opérations élémentaires 325 (b Pour tout scalaire λ 2, on a : ( ( 1 0 1 b1 T 21 (λ 2 A 1 = λ 2 1 c d ( 1 b1 = c + λ 2 d + b 1 λ 2 et prenant λ 2 = c, on a : ( 1 b1 T 21 (λ 2 A 1 = 0 d cb 1 ( = d det (A 1 c 0 det (A (c Pour tout scalaire λ 3, on a : ( 1 b2 A 2 T 12 (λ 3 = 0 d 2 ( 1 λ3 0 1 ( 1 b2 + λ = 3 0 d 2 et prenant λ 3 = b 2, on a : ( 1 0 A 2 T 12 (λ 3 = 0 d 2 = ( 1 0 0 det (A (d On a donc en dénitive : T 21 (λ 2 T 12 (λ 1 AT 12 (λ 3 = D 2 (det (A et utilisant le fait que les matrices de transvections sont inversibles, on déduit que : A = T 12 ( λ 1 T 21 ( λ 2 D 2 (det (A T 12 ( λ 3 où λ 1 = 1 a, λ 2 = c et λ 3 = c det (A d c 2 Si c = 0, on a nécessairement a 0 puisque A est inversible et : ( ( ( 1 0 a b a b T 21 (1 A = = 1 1 0 d a b + d ce qui nous ramène au cas précédent et donne : T 21 (1 A = P 1 P 2 DQ 1 soit : A = T 21 ( 1 P 1 P 2 DQ 1 Le résultat suivant nous dit que l'ensemble des matrices de dilatation ou de transvection forme un système générateur du groupe multiplicatif G (K Théorème 133 Une matrice A M n (K (où n 2 est inversible si, et seulement si, elle est produit de matrices élémentaires Précisément si A M n (K est inversible, il existe alors des matrices de transvection P 1,, P r et Q 1,, Q s et une matrice de dilatation D n (λ telles que : A = P 1 P r D n (λ Q 1 Q s

326 Opérations élémentaires Démonstration On procède par récurrence sur n 2 Le cas n = 2 a été traité avec l'exercice précédent On le suppose vrai pour toutes les matrices inversibles d'ordre n 1 2 et on se donne une matrice inversible A d'ordre n On se ramène tout d'abord par opération élémentaire au cas où a 21 0 Si a 21 = 0, comme A est inversible, sa colonne 1 n'est pas nulle, il existe donc un indice i {1, 3,, n} tel que a i1 0 et la matrice T 2i (1 A (déduite de A en ajoutant la ligne i à la ligne 2 est telle que son coecient d'indice (2, 1 est non nul Une fois ramené à a 21 0, on se ramène à a 11 = 1 en remplaçant la première ligne par + λl 2 (multiplication à gauche par T 12 (λ où le scalaire λ est choisi tel que a 11 + λa 21 = 1 Ensuite, pour tout i {2, 3,, n}, en remplaçant la ligne L i par L i a i1 (multiplication à gauche par T i1 ( a i1, on annule le coecient d'indice (i, 1 On peut donc trouver des matrices de transvection P 1,, P k telles que : 1 α 12 α 1n 0 α 22 α 2n P k P 1 A = 0 α n2 α nn De manière analogue, en multipliant à droite par des matrices de transvection, Q 1,, Q m, on obtient : 1 0 0 1 0 0 0 β 22 β 2n P k P 1 AQ 1 Q m = = 0 B 0 β n2 β nn 0 On peut alors conclure en appliquant l'hypothèse de récurrence à la matrice B qui est d'ordre n 1 et inversible ( En eet, si B n'est pas inversible, il existe x 0 dans K n 1 tel que Bx = 0, 0 donc x = K n est non nul solution de P k P 1 AQ 1 Q m x = 0 qui équivaut à Ay = 0 x avec y = Q 1 Q m x 0 puisque les matrices P i et Q j sont inversibles, en contradiction avec A inversible Corollaire 131 Le groupe multiplicatif S (K = {A M n (K det (A = 1} est engendré par l'ensemble des matrices de transvection En supposant le déterminant dans une base B d'un espace vectoriel E de dimension n 1 déni de manière traditionnelle comme l'unique forme n-linéaire alternée sur E qui vaut 1 sur B, on vérie facilement que le réel λ qui intervient dans le théorème précédent est le déterminant de A et il est donc uniquement déterminé par cette matrice A Pour n = 1, le résultat est encore vrai avec A = (a = D (a En désignant par GL + n (R [respgl n (R] l'ensemble des matrices d'ordre n à coecients réels de déterminant strictement positif [resp négatif] on déduit du théorème précédent le résultat suivant Corollaire 132 Les ensembles GL + n (R et GL n (R sont connexes par arcs et ce sont les composantes connexes de G (R

Déterminant des matrices carrées 327 Démonstration Soit A GL + n (R Elle s'écrit : A = P 1 P r D n (det (A Q 1 Q s les P k et Q j étant des matrices de transvections Pour toute matrice de transvection T = T ij (λ et tout t [0, 1], on note T (t = T ij (tλ et on dénit l'application γ : [0, 1] M n (R par : où : t [0, 1], γ (t = r P k (t (t k=1 s Q k (t k=1 (t = D n (t det (A + (1 t Pour tout t [0, 1], on a det (γ (t = t det (A + (1 t > 0 du fait que A GL + n (R De plus γ est continue avec γ (0 = I n et γ (1 = A On a donc ainsi prouvé que GL + n (R est connexe par arcs Pour toute matrice A GL n (R (par exemple A = D n ( 1 l'application M AM réalise un homéomorphisme de GL + n (R sur GL n (R On en déduit alors que GL n (R est connexe par arcs Avec G (R = GL + n (R GL n (R, les ensembles GL + n (R et GL n (R étant des ouverts connexes disjoints, on déduit que ce sont les composantes connexes de G (R Ce résultat permet de dénir une orientation sur un espace vectoriel réel E de dimension n On dit que deux bases B et B de E dénissent la même orientation si la matrice de passage de B à B est dans GL + n (R En fait le déterminant d'une matrice carrée peut être déni en utilisant les opérations élémentaires 132 Déterminant des matrices carrées ( a b On dénit tout d'abord le déterminant d'une matrice d'ordre deux A = M c d 2 (K par : det (A = a b c d = ad bc Une matrice d'ordre 1 étant tout simplement un scalaire, son déterminant est lui même Le déterminant d'une matrice A = ((a ij 1 i,j n M n (K d'ordre n 3 peut se dénir par récurrence comme suit : n det (A = ( 1 i+1 a i,1 det (A i,1 où A i,1 est, pour i compris entre 1 et n, la matrice d'ordre n 1 déduite de A en supprimant la première colonne et la ligne numéro i Dans cette expression, on dit qu'on développe le déterminant suivant la première colonne On note : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det (A = a n1 a n2 a nn

328 Opérations élémentaires Les lignes d'une matrice A M n (K étant notées, L 2,,, on écrira aussi : L 2 det (A = det Théorème 134 Si A i (λ est la matrice déduite de A M n (K en multipliant sa ligne i par un scalaire λ, on a alors det (A i (λ = λ det (A, soit : det L i 1 λl i L i+1 = λ det L i 1 L i L i+1 Démonstration On procède par récurrence sur n 1 Pour n = 1 c'est clair et pour n = 2, on a : λa λb c d = a b λc λd = λ (ad bc = λ det (A Supposons le résultat acquis pour les matrices d'ordre n 1 2 Soient A d'ordre n et A = A i (λ déduite de A en multipliant sa ligne i par λ On a alors : det (A = ( 1 i+1 λa i,1 det (A i,1 + n ( 1 k+1 a k,1 det (A k1 la matrice A k,1, pour k i, étant déduite de A k,1 en multipliant une seule de ses lignes par λ On a donc det ( A k,1 = λ det (Ak,1 pour k i et det (A = λ det (A Corollaire 133 Pour tout A M n (K et tout scalaire λ, on a det (λa = λ n det (A k=1 k i Démonstration En utilisant n fois le théorème précédent, on a : λ λl 2 det (λa = det = λ det λl 2 λ λ = = λ n det L 2 Corollaire 134 Si A M n (K a une ligne nulle, on a alors det (A = 0

Déterminant des matrices carrées 329 Démonstration Supposons que la ligne i de A soit nulle En désignant par A = A i (λ la matrice déduite de A en multipliant sa ligne i par λ = 0, on a A = A et det (A = det (A = 0 det (A = 0 Théorème 135 Le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure est égal au produit de ses termes diagonaux, soit : n det (A = Démonstration Considérons tout d'abord le cas des matrices triangulaires inférieures On procède par récurrence sur n 1 Pour n = 1 c'est clair et pour n = 2, on a : a 0 c d = ad 0 c = ad Supposons le résultat acquis pour les matrices triangulaires inférieures d'ordre n 1 2 et soit A triangulaire inférieure d'ordre n La matrice A 11 est triangulaire inférieure de diagonale a 22, a nn et pour i compris entre 2 et n, la matrice A i1 est telle que sa première ligne est nulle, elle est donc de déterminant nul et : n det (A = a 1,1 det (A 1,1 = Pour le cas des matrices triangulaires supérieures, le cas n = 1 est encore évident et le cas n = 2 se vérie par le calcul Supposant le résultat acquis au rang n 1 2, pour A triangulaire supérieure d'ordre n, La matrice A 11 est triangulaire supérieure de diagonale a 22, a nn et pour i compris entre 2 et n, les coecients a i1 sont nuls de sorte que : n det (A = a 1,1 det (A 1,1 = a ii a ii a ii Exemple 131 Si A = I n est la matrice identité, on a alors det (I n = 1 Exemple 132 Si A = D i (λ est une matrice de dilatation, on a alors det (D i (λ = λ Exemple 133 Si A = T ij (λ est une matrice de transvection, on a alors det (T ij (λ = 1 Théorème 136 Soient A, A, A des matrices de lignes respectives L i, L i, L i (pour i compris entre 1 et n telles que L i = L i = L i pour i k et L k = L k + L k où k est un indice compris entre 1 et n On a : det (A = det (A + det (A soit : det L k 1 L k + L k L k+1 = det L k 1 L k L k+1 + det L k 1 L k L k+1

330 Opérations élémentaires Démonstration On procède par récurrence sur n 1 Pour n = 1 c'est clair et pour n = 2, il sut de calculer Supposons le résultat acquis pour les matrices d'ordre n 1 2 Soient A, A, A d'ordre n vériant les conditions du théorème On a alors : det (A = ( 1 k+1 (a k,1 + a k1 det ( A k,1 + n i k ( 1 i+1 a i,1 det ( A i,1 avec A k,1 = A k,1 = A k,1 et pour i k, les matrices A i,1, A i,1, A i1 vériant les hypothèses du théorème au rang n 1 (avec des notations évidentes, donc : det (A = ( 1 k+1 ( a k,1 det (A k,1 + a k1 det ( A k,1 n n + ( 1 i+1 a i,1 det (A i,1 + ( 1 i+1 a i,1 det ( A i,1 i k = det (A + det (A i k Les théorèmes 134 et 136 se traduisent en disant que le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne Théorème 137 Si A est la matrice déduite de A M n (K en permutant deux lignes, on a alors det (A = det (A, soit : L i det L j où les pointillés indiquent les lignes inchangées = det Démonstration On procède par récurrence sur n 2 Pour n = 2, il sut de calculer Supposons le résultat acquis pour les matrices d'ordre n 1 2 La permutation de deux lignes se faisant avec un nombre impair de permutations de deux lignes successives (par exemple la permutation (2, 4 se fait par les trois permutations (2, 3, 4 (3, 2, 4 (3, 4, 2 (4, 3, 2, il sut de considérer le cas où j = i + 1 (montrer ce point rigoureusement On se donne donc A d'ordre n et A est déduite de A M n (K en permutant les lignes i et i + 1 Pour k i et k i + 1, on a a k1 = a k,1 et det ( A k,1 = det (Ak,1 par hypothèse de récurrence, et avec a i,1 = a (i+1,1, a (i+1,1 = a i,1, A i,1 = A (i+1,1, A (i+1,1 = A i,1, on déduit que : det (A = ( 1 i+1 a (i+1,1 det ( A (i+1,1 + ( 1 i a i,1 det (A i,1 n ( 1 k+1 a k,1 det (A k,1 = det (A k=1 k i,k i+1 L j L i Le résultat précédent se traduit en disant que le déterminant est une forme alternée sur les lignes

Déterminant des matrices carrées 331 Corollaire 135 Si la matrice A M n (K a deux lignes identiques, alors det (A = 0 Démonstration Si L i = L j avec i j, alors matrice A déduite de A en permutant ces deux lignes est égale à A et det (A = det (A, donc det (A = 0 puisque K est de caractéristique diérente de 2 Corollaire 136 On ne change pas la valeur d'un déterminant si on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes Démonstration Il sut de montrer le résultat quand on ajoute à la ligne L i la ligne L j multipliée par un scalaire λ où i j Dans ce cas, on a : L i + λl j L i L j L i det = det + λ det = det L j L j L j L j où les pointillés indiquent les lignes inchangées De ce qui précède, on peut déduire qu'en eectuant des opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice A, on peut se ramener à une matrice triangulaire supérieure de même déterminant que celui de A Exercice 133 Calculer le déterminant de la matrice réelle : 5 4 2 1 A = 2 3 1 2 5 7 3 9 1 2 1 4 en eectuant des opérations élémentaires Solution 133 Les opérations L 2 L 2 2 5, L 3 L 3 +, L 4 L 4 1 5 donnent : 5 4 2 1 7 1 0 12 det (A = 5 5 5 = 5 0 3 1 10 0 14 7 19 5 5 5 = 5 1 1 7 1 12 5 5 3 1 10 14 7 19 = 1 5 7 1 12 5 5 5 3 1 10 14 5 7 5 19 5 7 1 12 3 1 10 14 7 19 Puis les opérations L 2 L 2 + 3 7, L 3 L 3 + 14 7 = L 3 + 2 donnent : det (A = 1 7 1 12 0 4 34 = 1 5 7 7 5 7 2 7 5 2 17 1 1 0 5 5 = 2 19 = 38

332 Opérations élémentaires Exercice 134 Développer le déterminant de la matrice réelle suivante sous la forme d'un produit de facteurs linéaires en x : x + 2 2x + 3 3x + 4 A (x = 2x + 3 3x + 4 4x + 5 3x + 5 5x + 8 10x + 17 Solution 134 Les opérations L 3 L 3 L 2, L 2 L 2 (dans l'ordre indiqué donnent : x + 2 2x + 3 3x + 4 det (A (x = x + 1 x + 1 x + 1 x + 2 2x + 4 6x + 12 x + 2 2x + 3 3x + 4 = (x + 1 (x + 2 1 1 1 1 2 6 puis L 3 L 3 L 2 donne : x + 2 2x + 3 3x + 4 det (A (x = (x + 1 (x + 2 1 1 1 0 1 5 ( = (x + 1 (x + 2 (x + 2 1 1 1 5 2x + 3 3x + 4 1 5 = (x + 1 (x + 2 (4 (x + 2 (7x + 11 = (x + 1 (x + 2 (3x + 3 = 3 (x + 1 2 (x + 2 Les théorèmes 134 et 136 et le corollaire 136 se traduisent aussi par le résultat suivant Corollaire 137 Pour toute matrice A M n (R, toute matrice de dilatation D i (λ et toute matrice de transvection T ij (λ, on a : { det (Di (λ A = det (D i (λ det (A = λ det (A det (T ij (λ A = det (T ij (λ det (A = det (A En utilisant le théorème 133, on obtient le résultat suivant Théorème 138 Pour toute matrice inversible A et toute matrice B dans M n (K, on a det (AB = det (A det (B Démonstration La matrice A étant inversible s'écrit A = P 1 P r D n (λ Q 1 Q s, où les matrices P i et Q j sont des matrices de transvection et la matrice D n (λ une matrice de dilatation Une utilisation répétée du corollaire précédent nous donne : et pour toute matrice B : det (A = det (D n (λ = λ det (AB = det (D n (λ det (B = det (A det (B Le résultat précédent est en fait valable pour toutes matrices A et B Le cas où la matrice A n'est pas inversible se traite en utilisant le résultat suivant

Déterminant des matrices carrées 333 Théorème 139 Une matrice A M n (K est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul et dans ce cas, on a det (A 1 1 = det (A Démonstration Si A est inversible d'inverse A 1, on AA 1 = I n et le théorème précédent nous dit que det (A det (A 1 = det (I n = 1, donc det (A 0 et det (A 1 1 = det (A La réciproque se démontre par récurrence sur n 1 Pour n = 1, le résultat est évident car det (a = a pour tout scalaire a Supposons le résultat acquis pour les matrices d'ordre n 1 1 et soit A d'ordre n telle que det (A 0 La première colonne de A est nécessairement non nulle (dénition du déterminant et on peut reprendre la démonstration du théorème 133 pour trouver des matrices de transvection P 1,, P k telles que : 1 α 12 α 1n 0 α 22 α 2n P k P 1 A = = 0 α n2 α nn ( 1 α 0 B où α est un vecteur ligne à n 1 composantes et B une matrice carrée d'ordre n 1 Comme det (P j = 1 pour tout j compris entre 1 et k, on a : det (A = det (P k P 1 A = det (B et det (B 0 La matrice ( B est donc inversible, ce qui implique que A est aussi inversible En 1 0 eet, en posant A = d B 1 où d M n 1,1 (K est à préciser, on a : et : ( ( 1 0 1 0 AA = c B d ( 1 0 A A = d B 1 B 1 ( = ( ( 1 0 = c B 1 0 c + Bd I n 1 1 0 d + B 1 c I n 1 soit AA = A A = I n en prenant d = B 1 c La matrice A est donc inversible Théorème 1310 Pour toutes matrices A et B dans M n (K, on a : det (AB = det (BA = det (A det (B Démonstration Il reste à traiter le cas où la matrice A n'est pas inversible Dans ce cas la matrice AB ne peut être inversible (sinon, en notant C l'inverse de AB, on a (AB C = I n, soit A (BC = I n et A est inversible et on a : 0 = det (AB = det (A det (B = 0 det (B L'égalité det (BA = det (B det (A donne det (AB = det (BA On peut remarquer que det (AB = det (BA alors qu'en général AB BA La multiplication à droite par une matrice élémentaire se traduisant par une action particulière sur les colonnes, on déduit du théorème précédent et du théorème 132 les propriétés suivantes du déterminant

334 Opérations élémentaires Corollaire 138 Si A j (λ est la matrice déduite de A M n (K en multipliant sa colonne j par un réel λ, on a alors det ( A j (λ = λ det (A Si A M n (K a une colonne nulle, alors det (A = 0 Pour l'instant, le déterminant d'une matrice se calcule en utilisant la première colonne de cette dernière En réalité, on peut aussi utiliser la première ligne et nous en déduirons que cette première ligne ou colonne peut être remplacée par n'importe quelle autre Précisément, on a les résultats suivants Théorème 1311 Pour toute matrice A dans M n (K, on a det ( t A = det (A Démonstration Comme d'habitude c'est trivial pour n = 1 On suppose donc que n 2 Si A n'est pas inversible, il en est de même de sa transposée (si t A est inversible, il en est de même de A = t ( t A et on a alors det ( t A = det (A = 0 Si A est inversible, elle s'écrit : A = P 1 P r D n (λ Q 1 Q s où les P i, Q j sont des matrices de transvection et λ = det (A, ce qui donne : t A = t Q s tq 1 t D n (λ t P r tp 1 les transposées de matrices élémentaires étant des matrices élémentaires de même type avec t D n (λ = D n (λ, ce qui donne : det ( t A = det (D n (λ = λ = det (A De ce résultat, on déduit le développement du déterminant suivant la première ligne (pour n 2 : det (A = det ( t A n = ( 1 j+1 a 1,j det (A 1,j j=1 où A 1,j est la matrice carrée d'ordre n 1 déduite de A en supprimant la ligne 1 et la colonne j On en déduit alors les propriétés suivantes relatives aux colonnes, ces propriétés étant analogues à celles obtenues pour les lignes Corollaire 139 Si A est la matrice déduite de A M n (K en permutant deux colonnes, on a alors det (A = det (A Soient A, A, A des matrices de colonnes respectives C j, C j, C j (pour j compris entre 1 et n telles que C j = C j = C j pour j k et C k = C k + C k où k est un indice compris entre 1 et n On a : det (A = det (A + det (A On ne change pas la valeur d'un déterminant si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes Ce corollaire se traduit en disant que le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne et que c'est une forme n-linéaire alternée sur les colonnes En général, pour calculer un déterminant, on essayera d'eectuer des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes dans le but de faire apparaître un maximum de coecients nuls, ce qui facilitera le calcul du déterminant de la matrice obtenue De tout ce qui précède, on déduit les diérentes formes de développement d'un déterminant suivant une ligne ou une colonne (pour n 2

Déterminant des matrices carrées 335 Théorème 1312 Pour toute matrice A M n (K, on a : det (A = n ( 1 i+j a i,j det (A i,j (1 j n (développement suivant la colonne j et det (A = n ( 1 i+j a i,j det (A i,j (1 i n j=1 (développement suivant la ligne i où A ij est la matrice carrée d'ordre n 1 déduite de A en supprimant la ligne i et la colonne j Démonstration Pour j = 1, c'est la dénition première du déterminant et pour i = 1 c'est une conséquence immédiate de det ( t A = det (A Fixons la colonne j 2 et notons (e i 1 i n la base canonique de K n La colonne C j s'écrit C j = n a ij e i et en utilisant la linéarité du déterminant par rapport à la j-ième colonne, on a : det (A = n a ij det (B i,j où B ij est la matrice déduite de A en remplaçant C j par e i En permutant la colonne j avec la colonne j 1, puis j 1 avec j 2,, 2 avec 1 et ensuite la ligne i avec la ligne i 1, i 1 avec i 2,, 2 avec 1 (on fait rien pour i = 1 on aboutit à : 1 a i1 a i,j 1 a i,j+1 a in 0 a 11 a 1,j 1 a 1,j+1 a 1n det (B i,j = ( 1 i+j 0 a i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j+1 a i 1,n 0 a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n 0 a n,1 a n,j 1 a n,j+1 a n,n = ( 1 i+j det (A i,j et on a le résultat annoncé On procède de manière analogue pour la deuxième formule Avec les notations du théorème, on dit que det (A i,j est le mineur d'indice (i, j de la matrice A et que ( 1 i+j det (A i,j est le cofacteur d'indice (i, j de A Exercice 135 En admettant que 1700, 1020, 1122 et 1309 sont tous divisibles par 17, montrer sans le calculer que le déterminant réel : 1 7 0 0 D = 1 0 2 0 1 1 2 2 1 3 0 9 est un entier divisible par 17

336 Opérations élémentaires Solution 135 On ne change pas la valeur de ce déterminant si on remplace la colonne 4 par C 4 + 10C 3 + 10 2 C 2 + 10 3 C 1, ce qui donne : 1 7 0 1700 1 7 0 100 D = 1 0 2 1020 1 1 2 1122 = 17 1 0 2 60 1 1 2 66 = 17q 1 3 0 1309 1 3 0 77 avec q entier puisque tous les coecients du déterminant sont entiers Exercice 136 Soient n 2 un entier et α 1, α 2,, α n des scalaires 1 Calculer le déterminant (α 1,, α n de la matrice : 1 1 1 α 1 α 2 α n V (α 1,, α n = α1 n 1 α2 n 1 αn n 1 Une telle matrice est dite de Vandermonde 2 À quelle condition une telle matrice est-elle inversible? Solution 136 Pour n = 2, on a : (α 1, α 2 = 1 1 α 1 α 2 = α 2 α 1 1 Le calcul de (α 1,, α n se fait par récurrence sur n 2 En retranchant, pour i = n, n 1,, 2 à la ligne i la ligne i 1 multipliée par α 1, on obtient : 1 1 1 0 α 2 α 1 α n α 1 (α 1,, α n = 0 α2 n 2 (α 2 α 1 αn n 2 (α n α 1 α 2 α 1 α 3 α 1 α n α 1 α 2 (α 2 α 1 α 3 (α 3 α 1 α n (α n α 1 = α2 n 2 (α 2 α 1 α3 n 2 (α 3 α 1 αn n 2 (α n α 1 soit : ( n 1 1 α 2 α n (α 1,, α n = (α k α 1 k=2 α2 n 2 αn n 2 ( n = (α k α 1 (α 2,, α n k=2

Déterminant des matrices carrées 337 et par récurrence : det (A n = n (α k α 1 k=2 = n 2 i<j n n 1 i<j n (α j α i (α j α i 2 Cette matrice est inversible si, et seulement si, les α i sont deux à deux distincts Exercice 137 Calculer le déterminant de la matrice réelle : 1 1 1 2 2 2 2 n A n = n n 2 n n Solution 137 On a : 1 1 1 1 2 2 n 1 det (A n = n! = n! (1, 2,, n 1 n n n 1 n n = n! (i j = n! (i 1! = i! Exercice 138 Soit 1 j<i n i=2 a 1 c 1 0 0 b 2 a 2 c 2 A n = 0 0 b n 1 a n 1 c n 1 0 0 b n a n une matrice tridiagonale d'ordre n 3 Pour tout entier k compris entre 1 et n, on désigne par D k le déterminant de la matrice d'ordre k formée des k premières lignes et k premières colonnes de A n (les D k sont les déterminants extraits principaux de A n 1 Exprimer, pour tout k compris entre 3 et n, D k en fonction de D k 1 et D k 2 2 Calculer le déterminant de la matrice réelle : 2 1 0 0 2 2 5 1 A n = 0 0 (n 1 2 2n 1 1 0 0 n 2 2n + 1 Solution 138 i=2

338 Opérations élémentaires 1 En développant D k suivant la dernière ligne on a : a 1 c 1 0 0 b 2 a 2 c 2 D k = a k 0 0 b k bk 2 a k 2 c k 2 0 0 b k 1 a k 1 = a k D k 1 b k c k 1 D k 2 a 1 c 1 0 0 b 2 a 2 0 c k 3 0 bk 2 a k 2 0 0 0 b k 1 c k 1 Ce qui donne, avec les valeurs initiales D 1 = a 1 et D 2 = a 1 a 2 b 2 c 1, un algorithme de calcul de D n 2 On a : D n = (2n + 1 D n 1 n 2 D n 2 avec les valeurs initiales D 1 = 2, D 2 = 6 En calculant D 3 et D 4 on conjecture que D n = (n + 1! Ce qui se montre par récurrence sur n 2 C'est vrai pour n = 2 et le supposant acquis jusqu'au rang n 1 2, on a : D n = (2n + 1 n! n 2 (n 1! = (n + 1! 133 Méthode des pivots de Gauss Pour A M n (K et b K n, on s'intéresse aux solutions dans K du système linéaire de n équations à n inconnues Ax = b Au paragraphe 142, on étudie de manière plus générale les systèmes linéaires de n équations à m inconnues En eectuant des opérations élémentaires sur les lignes du système linéaire Ax = b, on pourra le transformer en un système triangulaire supérieur Rx = c Du fait qu'une permutation de lignes change le déterminant de signe et que d'ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas ce dernier, on a : n det (A = det (R = ± L'intérêt de cette méthode est surtout pédagogique, dans la pratique il est préférable d'utiliser la méthode LR quand cette dernière peut s'appliquer, ou la méthode de Gauss-Jordan On note ici L i la ligne numéro i du système linéaire Ax = b Etape 0 On se ramène à un système tel que a 11 non nul Si pour tout i = 1, 2,, n, on a a i1 = 0, alors det (A = 0 et c'est ni Sinon, il existe i > 1 tel que a i1 soit non nul, et en permutant les lignes 1 et i (si i = 1, on ne fait rien, on se ramène à un système A (1 x = b (1, avec a (1 11 non nul Le coecient a (1 11 est le premier pivot On a alors det (A = ± det ( A (1, avec le signe moins si et seulement si il y a une permutation des lignes 1 et i avec i > 1 Etape 1 Elimination de x 1 dans les équations 2,, n On eectue pour cela les transformations élémentaires suivantes : L (1 i L (1 i a(1 i1 a (1 11 r ii L (1 1 (i = 2, 3,, n

Méthode des pivots de Gauss 339 et après une éventuelle permutation des lignes 2 et i > 3, on obtient le système A (2 x = b (2, avec a (2 22 non nul où : a (1 11 a (1 12 a (1 1n A (2 0 a (2 22 a (2 2n = 0 a (2 n2 a (2 nn Le coecient a (2 22 est le deuxième pivot Etape k Elimination de x k dans les équations k + 1,, n À la n de l'étape k 1, on a obtenu le système A (k x = b (k, avec : et a (k kk non nul A (k = a (1 11 a (1 12 a (1 1k a (1 1n 0 a (2 22 a (2 2k a (2 2n 0 0 a (k kk a (k kn 0 0 a (k nk a (k nn Le coecient a (k kk est le pivot numéro k On eectue alors les transformations élémentaires suivantes : L (k i L (k i a(k ik a (k kk L (k k (i = k + 1,, n puis une éventuelle permutation des lignes k + 1 et j > k + 1 pour se ramener à a (k+1 k+1,k+1 non nul Au bout de n 1 étapes, on est donc ramené à un système triangulaire supérieur A (n x = b (n De plus, on a det (A = ( 1 p det ( A (n, où p est le nombre de permutations qui ont été nécessaires pour avoir des pivots non nuls et det ( A (n est le produit des pivots Remarque 135 Pour éviter de faire une division par un nombre trop petit, dans le choix du pivot, on aura intérêt, à l'étape k 1, à permuter la ligne k avec la ligne j k telle que : a jk = max { a ik i = k,, n} de manière à avoir le pivot le plus grand possible en valeur absolue Si ce maximum est trop petit, alors le système est numériquement dégénéré Exercice 139 Donner un ordre de grandeur du nombre d'opérations élémentaires que nécessite la méthode de Gauss Solution 139 Les opérations L (k i k=1 L (k i a(k ik a (k kk L (k k (i = k + 1,, n, à l'étape numéro k, demandent (n k divisions, (n k 2 multiplications et (n k 2 additions Ce qui donne un total de n 1 n (n 1 n k = divisions et un nombre d'additions et de k=1 2 multiplications égal à 2 n 1 (n k 2 2n(n 1 (2n 1 = 6

340 Opérations élémentaires n(n 1(4n + 1 Il nous faut donc 2n3 opérations élémentaires pour aboutir à un système 6 3 triangulaire supérieur Puis la résolution de ce dernier système nécessite n divisions et n (n 1 additions et multiplications, soit n 2 opérations élémentaires En résumé, la résolution d'un système de n équations à n inconnues par la méthode de Gauss va nécessiter un nombre d'opérations qui est un O (n 3 134 Décomposition LR (méthode de Crout Dénition 134 On appelle sous-matrices principales d'une matrice A M n (K les matrices : A k = ((a ij 1 i,j k, (k = 1,, n Les déterminants principaux sont les k = det (A k Si tous les déterminants principaux de A sont non nuls alors, dans la méthode de Gauss, tous les pivots seront non nuls et il ne sera pas nécessaire de faire des permutations de lignes (on ne s'occupe pas de la taille des pivots Réciproquement, si tous les pivots sont non nuls, alors tous les déterminants principaux sont non nuls Exemple 134 Si A est une matrice réelle ou complexe à diagonale strictement dominante alors toutes les sous matrices principales de A sont aussi à diagonale strictement dominante et donc inversibles On en déduit donc que pour A à diagonale strictement dominante, la méthode de Gauss ne nécessite pas de permutations de lignes Exemple 135 Si A est une matrice réelle symétrique dénie positive, il en est de même de toutes les sous matrices principales de A Donc, pour A symétrique dénie positive, la méthode de Gauss ne nécessite pas de permutations de lignes La méthode des pivots de Gauss est basée sur les résultats suivants Lemme 133 Soit A M n (K de coecient a 11 non nul Il existe des matrices de transvection P 1,, P r telles que : a 11 a 12 a 1n 0 a (1 22 a (1 2n P r P 1 A = 0 a (1 n2 a (1 nn Démonstration En reprenant les notations du paragraphe 133 le passage de la matrice A, de premier terme a 11 non nul à la matrice unité A (2 se fait en multipliant à gauche la matrice A par les matrices de transvection : où on a noté : C'est-à-dire que : P i = T i1 (λ i1 (2 i n λ i1 = a(1 i1 a 11 a 11 a 12 a 1n 0 a (1 22 a (1 2n P n 1 P 1 A = 0 a (1 n2 a (1 nn

Décomposition LR (méthode de Crout 341 Remarque 136 On a rg (A = 1 + rg ( B (1, en notant : B (1 = a (1 22 a (1 2n a (1 n2 a (1 nn On a P n 1 P 1 = F 1 avec : F 1 = 1 0 0 λ 21 1 0 0 λ n 1,1 0 1 0 λ n1 0 0 1 La matrice F 1 est une matrice de Frobenius Dénition 135 On appelle matrice de Frobenius une matrice carrée d'ordre n qui ne dière de l'identité que par une colonne (ou une ligne Théorème 1313 Toute matrice A G (K peut être réduite à la forme triangulaire supérieur en la multipliant à gauche par des matrices de transvection ou de dilatation de la forme D i ( 1 Démonstration C'est la transcription matricielle de l'algorithme de Gauss On peut aussi raisonner par récurrence sur n 1 en utilisant le lemme précédent En multipliant au besoin la matrice A par une matrice de permutation (produit d'une matrice de dilatation par trois matrices de transvection on se ramène au cas où le coecient a 11 est non nul On conclut alors facilement en utilisant le lemme précédent et l'hypothèse de récurrence Dans l'hypothèse où tous les déterminants principaux de la matrice A sont non nuls (on n'effectue pas de permutations de lignes dans la méthode de Gauss le résultat précédent s'exprime en disant qu'il existe des matrices de Frobenius de la forme : (λ ik = a(k ik a (k kk F k = n i=k+1 T ik (λ ik avec les notations du paragraphe 133 telles que : F n 1 F 1 A = R où R est une matrice triangulaire supérieure La matrice produit F n 1 F 1 est triangulaire inférieure à diagonale unité En notant L = (F n 1 F 1 1 on a alors la décomposition A = LR avec L triangulaire inférieure à diagonale unité et R triangulaire supérieure Théorème 1314 Une matrice inversible A possède une décomposition A = LR, avec L triangulaire inférieure à diagonale unité et R triangulaire supérieure si et seulement si tous les

342 Opérations élémentaires déterminants principaux de A sont non nuls Une telle décomposition est unique et les coecients diagonaux de R sont donnés par : r 11 = a 11 r kk = det(a k det (A k 1 où les A k désignent les sous matrices principales de A (k = 2,, n Démonstration Si tous les déterminants principaux de A sont non nuls on a vu que la matrice A admet une décomposition LR Pour k = 1,, n, on peut décomposer les matrices A, L et R par blocs de la façon suivante : ( Ak B A = k C k D k, L = ( Lk 0 E k G k, R = ( Rk H k 0 M k où A k, L k et R k désignent respectivement les sous matrices principales de A, L et R Le produit A = LR donne alors A k = L k R k et : det (A k = det (L k det (R k = det (R k = k r ii L'unicité de la décomposition LR provient du fait que si A = LR et A = L R avec L, L triangulaires inférieures de diagonale unité et R, R triangulaires supérieures, alors L 1 L = R R 1 est à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure de diagonale unité et c'est alors nécessairement l'identité Inversement si la matrice inversible A admet une décomposition LR, alors R est aussi inversible et la décomposition par bloc faite précédemment nous montre que tous les déterminants principaux de A sont non nuls Pour obtenir pratiquement de la décomposition LR on peut procéder par coecients indéterminés, c'est-à-dire qu'on écrit A = LR, on eectue le produit et on identie, ce qui donne en eectuant les calculs dans l'ordre indiqué : r 1j = a 1j (j = 1,, n puis, pour k = 2, n : et : L ik = L i1 = a i1 a 11 (i = 2,, n k 1 r kj = a kj L ki r ij (j = k,, n ( a ik k 1 L ij r jk j=1 r kk (i = k + 1, n avec L ii = 1 En utilisant la décomposition A = LR, le système Ax = b équivaut aux deux systèmes triangulaires : { Ly = b (triangulaire inférieur Rx = y (triangulaire supérieur

Décomposition LD t L des matrices symétriques réelles 343 La méthode obtenue est appelée méthode de Crout Cette méthode est intéressante pour résoudre en parallèle plusieurs systèmes linéaires de même matrice A, car la décomposition LR ne fait pas intervenir le second membre En utilisant la décomposition A = LR, on a A 1 = R 1 L 1 et il sut alors d'utiliser des procédures d'inversion des matrices triangulaires 135 Décomposition LD t L des matrices symétriques réelles On suppose dans ce paragraphe que la matrice A est inversible, symétrique réelle et qu'il n'y a pas de permutations dans la méthode de Gauss Dans la décomposition LR de A, on a det (R = det (A 0, donc tous les termes diagonaux de R sont non nuls et on peut écrire R sous la forme R = DR, où D est diagonale et R est triangulaire supérieure à diagonale unité (il sut de diviser chaque ligne de R par son terme diagonal On a donc A = LDR, puis en écrivant que t A = A et en utilisant le fait que la décomposition LR est unique, on déduit que R = t L On a donc pour toute matrice symétrique A, dont tous les déterminants principaux sont non nuls, la décomposition unique A = LD t L, la matrice L étant triangulaire inférieure et à diagonale unité et la matrice D diagonale Remarque 137 Cette décomposition nous donne un moyen de calculer la signature de la matrice symétrique réelle A L'égalité A = LD t L avec L inversible se traduit en disant que les matrices A et D sont congruentes et le théorème de Sylvester nous dit que deux matrices congruentes ont même signature On a donc : sign (A = sign (D = (p, n p où p est le nombre de termes strictement positifs de la diagonale de D Remarque 138 La matrice A est dénie positive si et seulement si tous les coecients de D sont strictement positifs Comme pour la décomposition LR, on trouve les coecients de L et D par identication, ce qui donne, d 1 = a 11 et pour i = 2,, n : ( a ij j 1 L ik d k L jk k=1 L ij = (j = 1,, i 1 ( d j d i = a ii i 1 L 2 ik d k k=1 136 Décomposition de Cholesky des matrices symétriques réelles dénies positives L'espace vectoriel R n est muni de sa structure euclidienne canonique Dans le cas où la matrice A est symétrique dénie positive, la décomposition LD t L permet de montrer le résultat suivant Théorème 1315 Une matrice réelle A est symétrique dénie positive si et seulement si il existe une matrice B triangulaire inférieure et inversible telle que A = B t B De plus une telle décomposition est unique si on impose la positivité des coecients diagonaux de la matrice B

344 Opérations élémentaires Démonstration Si A est symétrique dénie positive, dans la décomposition LD t L, on a alors d i > 0 pour tout i = 1,, n On peut donc écrire D = D 2 et, en posant B = LD, on a A = B t B avec B triangulaire inférieure, la diagonale de B étant formée des ± d i Inversement, si A = B t B, alors A est symétrique et pour tout vecteur x non nul, on a : Ax x = B t Bx x = t Bx t Bx > 0, puisque B est inversible Le calcul eectif des coecients de B se fait par identication ce qui donne : ( a ij j 1 b ik b jk k=1 b ij = (j = 1,, i 1, b jj (i = 1,, n b 2 ii = a ii i 1 b 2 ik, k=1 Le nombre d'opérations, dans la décomposition de Cholesky est un O (n 3 En eet, il y a n racines carrées à calculer, n i 1 = ( n i 1 + i 1 j 1 j=1 n (n 1 2 = n = 1 2 divisions ( i 1 + (i 1 (i 2 2 n i (i 1 additions et autant de multiplications Ce qui donne un total n (2n2 + 3n + 1 opérations 6 Le déterminant de A se calcule avec : det (A = b b 2 ii La résolution du système Ax = e se ramène à la résolution de deux systèmes triangulaires Pour calculer l'inverse de A il sut d'inverser la matrice triangulaire B 137 Méthode d'élimination de Gauss-Jordan pour les systèmes de Cramer On suppose ici que A G (K La méthode de Gauss-Jordan est une variante de la méthode de Gauss Elle consiste à se ramener à un système diagonal, à l'aide de transformations élémentaires À l'étape k, on ne se contente pas seulement d'éliminer le coecient de x k dans les lignes k + 1 à n, mais on l'élimine aussi dans les lignes du dessus soit 1 à k 1 Ce qui donnera au bout de n étapes un système diagonal

Méthode d'élimination de Gauss-Jordan pour les systèmes de Cramer 345 Description de la kème étape du calcul ( 1 k n À la kème étape, on est au départ dans la situation suivante : x 1 + +a (k 1k x k + +a (k 1n x n = b (k 1 x k 1 +a (k k 1,k x k + +a (k k 1,n x n = b (k k 1 +a (k kk x k + +a (k kn x n = b (k k +a (k k+1,k x k + +a (k k+1,n x n = b (k k+1 +a (k nk x k + +a (k nnx n = b (k n On peut supposer que a (k kk est le pivot maximum, sinon, il sut de permuter avec une des lignes suivantes On commence par extraire x k de la kème équation : ( b (k k a (k k,k+1 x k+1 a (k kn x n x k = que l'on reporte ensuite dans les autres équations, ce qui donne : x 1 + +a (k+1 1k+1 x k+1 + +a (k+1 1n x n = b (k+1 1 x k 1 +a (k+1 k 1,k+1 x k+1 + +a (k+1 k 1,n x n = b (k+1 k 1 x k +a (k+1 k,k+1 x k+1 + +a (k+1 kn x n = b (k+1 k avec, pour j = k + 1,, n : a (k k,k +a (k+1 k+1,k+1 x k+1 + +a (k+1 k+1,n x n = b (k+1 k+1 +a (k+1 nk+1 x k+1 + +a (k+1 nn x n = b (k+1 n a (k+1 kj = a(k kj a (k kk, b (k+1 k et, pour i {1,, n} {k}, j {k + 1,, n} : a (k+1 ij = a (k ij a (k ik a(k+1 kj, b (k+1 i = b(k k a (k kk = b (k i On obtient alors directement la solution, après la nème étape : x 1 = b (n 1 x n = b (n n a (k ik b(k+1 k

346 Opérations élémentaires