Contrôlabilité d'edp linéaires ou non linéaires: réduction du nombre de contrôles, coût du contrôle en temps petit et uniforme contrôlabilité en viscosité évanescente 21 Mars 2013
Sommaire Une équation de transport-diusion en viscosité évanescente Equation de Navier-Stokes tridimensionelle avec un seul contrôle scalaire (en collaboration avec J.M. Coron)
Une équation de transport-diusion en viscosité évanescente Equation de Navier-Stokes tridimensionelle avec un seul contrôle scalaire (en collaboration avec J.M. Coron)
L'équation y t εy xx + My x = 0 dans (0, T ) (0, L), y(t, 0) = v(t) L 2 (0, T ), y(0,.) = y 0 L 2 (0, L), y(t, L) = 0 dans (0, T ). (T-D)
L'équation y t εy xx + My x = 0 dans (0, T ) (0, L), y(t, 0) = v(t) L 2 (0, T ), y(0,.) = y 0 L 2 (0, L), y(t, L) = 0 dans (0, T ). (T-D) Uniforme contrôlabilité quand ε 0? Quand ε 0, y tend vers la solution de y t + My x = 0 (Coron-Guerrero`05). Donc en temps petit (T < L/M), le coût du contrôle explose. En fait, si M < 0, le coût du contrôle explose dès que T < 2L/ M. Il est conjecturé que l'on devrait avoir décroissance exponentielle du coût du contrôle dès que T L/M dans le cas M > et T 2L/M dans le cas M < 0.
Le résultat Théorème (Lissy`12) Si M > 0 et T > 2 3L M 3.6L/M, il existe des constantes K, C > 0 telles que pour tout ε > 0 et tout y 0 L 2 (0, L), il existe une solution (y ε, v ɛ ) au problème (T-D) vériant y ε (T,.) = 0 et v ε L 2 (0,T ) Ce K ε y 0 L 2 (0,L). Pour M < 0, on a le même résultat pour T > (2 3+2)L M 5.6L/M.
Le résultat Théorème (Lissy`12) Si M > 0 et T > 2 3L M 3.6L/M, il existe des constantes K, C > 0 telles que pour tout ε > 0 et tout y 0 L 2 (0, L), il existe une solution (y ε, v ɛ ) au problème (T-D) vériant y ε (T,.) = 0 et v ε L 2 (0,T ) Ce K ε y 0 L 2 (0,L). Pour M < 0, on a le même résultat pour T > (2 3+2)L 5.6L/M. M Les résultats précedents peuvent être améliorés si on suppose vériée la conjecture habituelle sur le coût du contrôle en temps petit de l'équation de la chaleur.
Idée de la preuve Toute la preuve repose sur la remarque suivante qui lie ce problème avec le problème du coût du contrôle pour l'équation de la chaleur en temps petit : Lemme y vérie (T-D) avec condition initiale y 0 et contrôle v ssi z(t, x) = e M2 t 4ε 2 Mx 2ε y( t ε, x) vérie z t z xx = 0 sur (0, εt ) (0, L) avec condition initiale z 0 (x) := e Mx 2ε y 0 (x) et contrôle (sur le bord gauche) w(t) := e M2 t 4ε 2 v( t ε ). On conclut à l'aide de calculs directs utilisant le résultat de Tenenbaum-Tucsnak`07.
Perspectives et sujets connexes Utilisation de la méthode pour traiter d'autres cas, par exemple viscosité/dispersion evanescente dans des équations de type KdV linéaire. Il faudrait d'abord avoir une idée claire du coût des contrôles en temps petit pour KdV (travail en cours).
Perspectives et sujets connexes Utilisation de la méthode pour traiter d'autres cas, par exemple viscosité/dispersion evanescente dans des équations de type KdV linéaire. Il faudrait d'abord avoir une idée claire du coût des contrôles en temps petit pour KdV (travail en cours). Dans la même thématique : que se passe-t-il si le coecient de transport est non constant et dégénère faiblement en x = 0? par exemple y t εy xx + xy x = 0? (Travail en cours avec Mamadou Gueye).
Une équation de transport-diusion en viscosité évanescente Equation de Navier-Stokes tridimensionelle avec un seul contrôle scalaire (en collaboration avec J.M. Coron)
Notations Ω ouvert de R 3 susamment régulier et ω un sous-ouvert de Ω. Soit un temps T > 0, On pose u L 2 (Ω) et y 0 H. Q := [0, T ] Ω, Σ := [0, T ] Ω, V := { y H 1 0(Ω) 3.y = 0 }, H := { y L 2 (Ω) 3.y = 0, y.n Ω = 0 }.
Notations Ω ouvert de R 3 susamment régulier et ω un sous-ouvert de Ω. Soit un temps T > 0, On pose Q := [0, T ] Ω, Σ := [0, T ] Ω, V := { y H 1 0(Ω) 3.y = 0 }, H := { y L 2 (Ω) 3.y = 0, y.n Ω = 0 }. u L 2 (Ω) et y 0 H. i-ième composante de f : f i. j-ème dérivée de g : g i.
L'équation contrôlée de Navier-Stokes
L'équation contrôlée de Navier-Stokes y t y + (y. )y + p = (0, 0, u1 ω ) dans Q,.y = 0 dans Q, y(0,.) = y 0 dans Ω, y 0 sur [0, T ] Ω. (NS3D)
L'équation contrôlée de Navier-Stokes y t y + (y. )y + p = (0, 0, u1 ω ) dans Q,.y = 0 dans Q, y(0,.) = y 0 dans Ω, y 0 sur [0, T ] Ω. (NS3D)
L'équation contrôlée de Navier-Stokes y t y + (y. )y + p = (0, 0, u1 ω ) dans Q,.y = 0 dans Q, y(0,.) = y 0 dans Ω, y 0 sur [0, T ] Ω. (NS3D) Théorème (Coron-Lissy`12) Pour tout T > 0 et pour tout r > 0, il existe η > 0 tel que pour tout y 0 V vériant y 0 H 1 (Ω) 3 η, il existe un contrôle v L 2 (Q) et une solution (y, p) de (NS3D) tels que y(t, ) = 0, v L 2 (Q) 3 r, y L 2 ((0,T ),H 2 (Ω) 3 ) L ((0,T ),H 1 (Ω) 3 ) r.
Linéarisation Linéarisation + point xe/inversion locale = résultat pour le non-linéaire. Linéarisé du système autour de 0 (Stokes) :
Linéarisation Linéarisation + point xe/inversion locale = résultat pour le non-linéaire. Linéarisé du système autour de 0 (Stokes) : y t y + p = (0, 0, u1 ω ) dans Q,.y = 0 dans Q, y(0,.) = y 0 dans Ω, y 0 sur [0, T ] Ω.
Linéarisation Linéarisation + point xe/inversion locale = résultat pour le non-linéaire. Linéarisé du système autour de 0 (Stokes) : y t y + p = (0, 0, u1 ω ) dans Q,.y = 0 dans Q, y(0,.) = y 0 dans Ω, y 0 sur [0, T ] Ω. Il existe des géométries pour lesquelles ce n'est pas nul-contrôlable (Lions-Zuazua96). Utilisation de la méthode du retour.
Le système de contrôle qui nous intéresse (ȳ, ū) est une solution particulière de (NS3D) que l'on peut choisir à notre convenance, partant de 0 et allant à 0. yt 1 y 1 + (ȳ )y 1 + (y )ȳ 1 + p 1 = 0 dans Q, yt 2 y 2 + (ȳ )y 2 + (y )ȳ 2 + p 2 = 0 dans Q, yt 3 y 3 + (ȳ )y 3 + (y )ȳ 3 + p 3 = u1 ω dans Q, y = 0 dans Q, y = 0 sur Σ, y(0, ) = y 0 dans Ω.
Idée de la preuve On se ramène aux deux problèmes suivants : 1. Savoir contrôler l'équation avec un contrôle ayant trois composantes (dans l'image d'un certain opérateur B).
Idée de la preuve On se ramène aux deux problèmes suivants : 1. Savoir contrôler l'équation avec un contrôle ayant trois composantes (dans l'image d'un certain opérateur B). 2. Savoir résoudre (en (y, p, v)) le système diérentiel sous-dimensionné yt 1 y 1 + (ȳ )y 1 + (y )ȳ 1 + p 1 = B 1 f, yt 2 y 2 + (ȳ )y 2 + (y )ȳ 2 + p 2 = B 2 f, yt 3 y 3 + (ȳ )y 3 + (y )ȳ 3 + p 3 + v 1 ω = B 3 f, y = 0 dans Q. (Lin-NS-B) en l'inversant de telle sorte de conserver les supports.
Idée de la preuve On se ramène aux deux problèmes suivants : 1. Savoir contrôler l'équation avec un contrôle ayant trois composantes (dans l'image d'un certain opérateur B). 2. Savoir résoudre (en (y, p, v)) le système diérentiel sous-dimensionné yt 1 y 1 + (ȳ )y 1 + (y )ȳ 1 + p 1 = B 1 f, yt 2 y 2 + (ȳ )y 2 + (y )ȳ 2 + p 2 = B 2 f, yt 3 y 3 + (ȳ )y 3 + (y )ȳ 3 + p 3 + v 1 ω = B 3 f, y = 0 dans Q. (Lin-NS-B) en l'inversant de telle sorte de conserver les supports. Le premier point se déduit d'une inégalité de Carleman adaptée. Le deuxième point peut se démontrer en dérivant de nombreuses fois l'adjoint de (Lin-NS-B) selon le principe suivant :
Un cas simple (1) f C (R). Trouver x 1, x 2 aussi C (R) de même support que f vériant a 1 x 1 a 2 x 1 + a 3 x 1 + b 1 x 2 b 2 x 2 + b 3 x 2 = f.
Un cas simple (1) f C (R). Trouver x 1, x 2 aussi C (R) de même support que f vériant a 1 x 1 a 2 x 1 + a 3 x 1 + b 1 x 2 b 2 x 2 + b 3 x 2 = f. De la forme L(x 1, x 2 ) = f avec L = ( a 1 a 2 t + a 3 tt b 1 b 2 t + b 3 tt ).
Un cas simple (1) f C (R). Trouver x 1, x 2 aussi C (R) de même support que f vériant a 1 x 1 a 2 x 1 + a 3 x 1 + b 1 x 2 b 2 x 2 + b 3 x 2 = f. De la forme L(x 1, x 2 ) = f avec L = ( a 1 a 2 t + a 3 tt b 1 b 2 t + b 3 tt ). Trouver M opérateur diérentiel tel que L M = Id trouver M tel que M L = Id. Ici ( ) L a1 + a = 2 t + a 3 tt. b 1 + b 2 t + b 3 tt
Un cas simple (2) Résolvons L x = 0. (système maintenant surdimensionné analytiquement).
Un cas simple (2) Résolvons L x = 0. (système maintenant surdimensionné analytiquement). Cela revient à résoudre { a1 x + a 2 x + a 3 x = 0 b 1 x + b 2 x + b 3 x = 0 (1)
Un cas simple (2) Résolvons L x = 0. (système maintenant surdimensionné analytiquement). Cela revient à résoudre { a1 x + a 2 x + a 3 x = 0 b 1 x + b 2 x + b 3 x = 0 (1) Dérivons. {
Un cas simple (2) Résolvons L x = 0. (système maintenant surdimensionné analytiquement). Cela revient à résoudre { a1 x + a 2 x + a 3 x = 0 b 1 x + b 2 x + b 3 x = 0 (1) Dérivons. { a1 x + a 2 x + a 3 x = 0
Un cas simple (2) Résolvons L x = 0. (système maintenant surdimensionné analytiquement). Cela revient à résoudre { a1 x + a 2 x + a 3 x = 0 b 1 x + b 2 x + b 3 x = 0 (1) Dérivons. { a1 x + a 2 x + a 3 x = 0 b 1 x + b 2 x + b 3 x = 0 (2) Algébriquement, système linéaire de 4 équations à 4 inconnues (alors qu'au départ deux équations et 3 inconnues), que l'on peut écrire sous la forme C(x, x, x, x ) = 0 avec C matrice bien choisie.
Un cas simple (3) On voit donc que sous une certaine condition sur les coecients, nécessairement x 0. De plus, on peut voir C 1 (qui agit sur x, x, x, x ) comme un opérateur diérentiel N agissant uniquement sur x.
Un cas simple (3) On voit donc que sous une certaine condition sur les coecients, nécessairement x 0. De plus, on peut voir C 1 (qui agit sur x, x, x, x ) comme un opérateur diérentiel N agissant uniquement sur x. L'égalité C 1 C = Id R 4 peut alors se réécrire sous forme diérentielle N L x = x de telle sorte que M = N convient pour obtenir L M = Id.
On applique la méthode au système (Lin-NS-B) : pour avoir autant d'inconnues que d'équation, il faut dériver 19 fois par rapport aux 4 variables : cela conduit à 30360 équations et 29900 inconnues! création d'un programme informatique capable de dériver de nombreuses fois le système (Lin-NS-B), de stocker ceci sous forme de matrice, et d'en extraire une sous-matrice de rang maximal contenant les bonnes inconnues.
Perspectives Utilisation de la méthode dans un cas où il n'y a pas d'eet régularisant, par exemple une équation de Navier-Stokes hyperbolique εy tt + y t y + (y )y + p = v 1 ω. Contrôle nécessairement beaucoup moins régulier que solution (à cause du nombre de fois où on dérive). Passage au non linéaire délicat.
Références Local null controllability of the three-dimensional Navier-Stokes system with a distributed control having two vanishing components, Jean-Michel Coron,, soumis. A link between the cost of fast controls for the 1-D heat equation and the uniform controllability of a 1-D transport-diusion equation,, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 350 (2012), no. 11-12, 591-595.
Références Local null controllability of the three-dimensional Navier-Stokes system with a distributed control having two vanishing components, Jean-Michel Coron,, soumis. A link between the cost of fast controls for the 1-D heat equation and the uniform controllability of a 1-D transport-diusion equation,, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 350 (2012), no. 11-12, 591-595. Merci pour votre attention!