Convergence des suites Cours maths Terminale S Dans ce module consacré à l étude de la convergence d une suite, on commence par redéfinir rigoureusement la notion de limite finie d une suite. Ensuite, les théorèmes de convergence monotone et le théorème des gendarmes ; Le cours se termine par la révision et la démonstration des résultats de convergence. 1/ Limite finie d une suite : définition Définition : La suite (u n) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant, contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que la suite est convergente. Remarque : Une suite n admettant de limite qu en, on pourra simplifier la notation en : lim un. On a donc (un) converge vers lim un avec nombre réel fini. «fini» signifie que cette limite ne vaut ni, ni Une suite qui ne converge pas est dite divergente. 1.1 / Limite finie d une suite : propriétés Etudier la convergence d une suite, c est donc chercher sa limite et déterminer en fonction du résultat si la suite converge ou diverge. Attention! Une suite divergente ne tend pas forcément vers l infini. Exemple : un = (-1) n oscille et n a de limite ni finie, ni infinie.
Propriétés : 1 la limite finie d une suite lorsqu elle existe est unique. 2 une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2, en utilisant sa contraposée : 3 si une suite n est pas bornée alors elle diverge. Car d après 2 : si elle convergeait, elle serait bornée. Remarque : la réciproque du 2 est fausse. En effet, si nous reprenons l exemple du dessus : -1 < un < 1 ; Et pourtant la suite diverge. 2/ Théorèmes de convergence Théorèmes de convergence monotone : * Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite «monte» mais est bloquée par «un mur» donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite «descend» mais est bloquée par «un mur» donc elle possède une limite finie. Remarque : Savoir que la suite converge ne donne en rien sa limite mais permet dans certains cas d appliquer des théorèmes qui permettent de la calculer. C est la cas notamment pour une suite définie par récurrence, cas que nous étudierons dans la suite de ce module. Attention! Si (un) est croissante et majorée par exemple par 2 alors (un) converge mais ne converge pas forcément vers 2.
Les théorèmes suivants vont cependant nous permettre d avoir des renseignements sur la localisation de la limite : Soit (un) une suite de nombres réels convergente. Si pour tout n, ou si à partir d un certain rang : un < M alors : lim un < M Attention! Il est à noter que même si tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à M, la limite de la suite peut, elle, être égale à M. En effet, si par exemple : alors, pour tout n non nul : un < 0 or : lim un = 0 Si pour tout n, ou si à partir d un certain rang : un > m et conséquence des deux théorèmes : alors : lim un < M Si pour tout n, ou si à partir d un certain rang : m < un < M alors : m < lim un < M Remarque: Ces résultats sont en particuliers utiles dans la recherche de la limite L d une suite définie par récurrence, et souvent nécessaires pour savoir si l on peut appliquer le théorème donnant f (L)=L. Théorème des gendarmes : * Si pour tout n : vn < un < wn et si (vn) et (wn) convergent vers alors : (un) converge vers Ce théorème est également valable si l encadrement n est vrai qu à partir d un certain rang.
Attention! Beaucoup d élèves commettent l erreur suivante : Contre exemple : et or: lim (-n 2 ) = Par contre, et ce qui est souvent le cas dans des exercices de BAC : Si on sait de plus que la suite est à termes positifs alors : pour tout n : 0 < un < wn et lim o = lim wn = 0 «0» symbolisant ici le terme général de la suite constante nulle. Donc d après le Théorème des gendarmes : lim un = 0 Théorème des gendarmes avec valeur absolue * Si pour tout n : et si lim vn = 0 alors : (un) converge vers Ce théorème est également valable si l encadrement n est vrai qu à partir d un certain rang. Démonstration : * Si pour tout n : Alors : - vn < un - < vn Or : lim (-vn) = lim vn = 0 Donc d après le théorème des gendarmes : lim (un - ) = 0 D où : lim un =
3/ Limite infinie d une suite : définition La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ] ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. 4/ Théorèmes de divergence Théorèmes de divergence monotone * Si (un) est croissante et non majorée alors lim un = * Si (un) est décroissante et non minorée alors lim un= Théorèmes de comparaison * Si pour tout n : un > vn et lim vn = alors : lim un = * Si pour tout n : un < wn et lim wn = alors : lim un = Remarque : La démonstration de chacune de ces propriétés peut faire l objet d un R.O.C, c est pourquoi nous y reviendrons dans la partie exercice. 5/ Limite d une suite définie par une fonction S il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en, mais en utilisant n comme variable.
Exemple : soit : Donc (un) converge vers 0. 6 / Limite d une suite définie par récurrence Théorème Soit une fonction f définie sur un intervalle I et soit (un) une suite vérifiant : pour tout n : I et un+1 = f (un) * Si (un) converge vers et si f est continue en alors vérifie : f( ) =. Pour trouver les valeurs possibles de, il faut donc résoudre l équation : f(x)=x Graphiquement Un point dont le couple de coordonnées est de la forme ( ; f ( )) est sur la courbe de f Et comme f ( ) =, le couple peut aussi être écrit ( ; ) donc ce point est également sur la droite d équation y = x, qui est la première bissectrice. Si (un) converge vers et si f est continue en alors est l abscisse d un des points d intersection entre la courbe de f et la première bissectrice.
Démonstration du théorème Cette démonstration est la démonstration à connaître sur les suites. Elle fait régulièrement l objet d un R.O.C au BAC. Si (un) converge vers alors tout intervalle ] a ; b [ contenant contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Soit un intervalle ouvert quelconque ] a ; b [ contenant dans cet intervalle. et n0 le rang à partir duquel les termes de (un) sont Si on nomme (vn) la suite définie par : vn = un+1 Tous les termes de vn sont dans l intervalle à partir du rang : n0-1 Donc : lim vn = Soit : lim un+1 = De plus : Donc, par composition de limites : Or : f est continue en donc : d'où : Et : un+1 = f (un) Donc par unicité de la limite d une suite : lim un+1 = un+1 = lim f (un) Conclusion : = f ( )
7/ Limite d une suite géométrique * Si (un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q alors : un = u0 x q n D où : lim un = u0 x lim q n Il est donc important de connaître les valeurs possibles de lim q n * Si q > 1 Quel que soit a > 0 ( aussi grand que l on veut ), il existe un rang n0 tel que : pour tout n > n0 : q n = a Donc tout intervalle ] a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. D où : lim q n = et (un) diverge * Si q = 1, alors pour tout n : q n = 1 et (un) converge vers u0 * Si 0 < q < 1 Comme : est décroissante sur ] 0 ; [ Posons : On a alors : D où : lim q n = 0 Et donc (un) converge vers 0 * Si q = 0, alors pour tout n : q n = 0 D où : lim q n = 0 Et (un) converge vers 0.
* Si -1 < q < 0 Car Donc : lim q n = 0 D où (un) converge vers 0. * Si q = -1, un = -1 ou un = +1 selon la valeur de n, donc (q n ) et (un) divergent. * Si q < -1, (q n ) n est pas bornée donc : (q n ) diverge et (un) également. Limite d une suite géométrique : si un = u0 x q n lim un = u0 x lim q n donc : en résumé en conséquence si q < -1 (q n ) oscille et diverge (un) oscille et diverge. si -1 < q < 1 (q n ) converge vers 0 (un) converge vers 0. si q = 1 (q n ) converge vers 1 (un) converge vers u0 si q > 1 lim (q n ) = (q n ) diverge (un) diverge selon le signe de u0 8/ Propriétés algébriques des limites Les suites étant un cas particulier de fonctions ; Toutes les propriétés algébriques valables pour les limites de fonctions sont valables pour les limites de suites.