Comment évaluer la qualité d un résultat? En sienes expérimentales, il n existe pas de mesures parfaites. Celles-i ne peuvent être qu entahées d erreurs plus ou moins importantes selon le protoole hoisi, la qualité des instruments de mesure (verrerie, appareil de mesures) ou le rôle de l opérateur (gestes tehniques). Évaluer l inertitude sur une mesure est un domaine omplexe qui fait l objet d une branhe omplète : la métrologie. L inertitude assoiée à un résultat de mesure permet de fournir une indiation quantitative sur la qualité de e résultat. Plan 1. Quelques définitions 2. Comment évaluer la qualité d un résultat? 3. Evaluation de l inertitude type A 4. Evaluation de l inertitude de type B 5. Eriture d un résultat, les hiffres signifiatifs 6. Exemple d un extrait de sujet 0 du baalauréat 2013 sur l utilisation de l inertitude 7. Compétenes du BO de terminale S sur «mesures et inertitudes «8. Douments sur le traitement des mesures. 1. Quelques définitions.. Mesurage Ensemble d opérations ayant pour but de déterminer une valeur d une grandeur. Mesure Résultat du mesurage. La mesure d une grandeur peut être : direte: omme une simple pesée. Indirete : détermination d une onentration à partir d une ourbe de dosage, mesure d une tension à partir de la formule U = R.I (R et I sont mesurés) Mesurande Grandeur partiulière soumise à mesurage. Quand on mesure la valeur de la résistane R d un dipôle passif linéaire, le mesurande est la résistane R de e dipôle et le mesurage est effetué, par exemple, ave un ohmmètre. La valeur vraie du mesurande est la valeur que l on obtiendrait si le mesurage était parfait. Un mesurage n étant jamais parfait, ette valeur est toujours inonnue. Fidélité Étroitesse de l aord entre des résultats indépendants. La fidélité est en général exprimée numériquement sous forme d éart-type, de variane ou de oeffiient de variation. Répétabilité Fidélité sous des onditions de répétabilité. Conditions où les résultats de mesures indépendantes sont obtenus par la même méthode, par le même opérateur utilisant le même équipement et pendant un ourt intervalle de temps (par exemple TP), à la différene de la reprodutibilité où, au moins, un des paramètres hange.
Justesse (et non plus préision) Étroitesse de l aord entre la valeur MOYENNE obtenue à partir d une large série de résultats de mesures et une valeur de référene aeptée : La valeur vraie. Exatitude de mesure Étroitesse de l aord entre UNE valeur mesurée et une valeur vraie du mesurande. Il est important de ne pas onfondre les onepts d exatitude et de justesse. Erreur de mesure :. L erreur de mesure est la différene entre la valeur mesurée d'une grandeur m et une valeur de référene (valeur vraie). C est la somme de l erreur systématique (erreur de justesse) et de l erreur aléatoire (défaut de fidélité). Lors de mesures répétées nous obtenons généralement une dispersion des résultats ; si les erreurs de mesure sont aléatoires un traitement statistique permet de onnaître la valeur la plus probable de la grandeur mesurée et de fixer les limites de l'inertitude. L'erreur systématique se superpose aux erreurs aléatoires. Elle est provoquée par un mauvais réglage ou un mauvais étalonnage. Elle devient importante dans le as ou les instruments sont mal utilisés. La justesse d un instrument de mesure est son aptitude à donner des indiations exemptes d erreur systématique. Si la valeur de référene est la valeur vraie du mesurande, l erreur est inonnue. biais erreur systématique (justesse) erreur sur une mesure (exatitude) infidélité erreur aléatoire (répétabilité ou reprodutibilité) valeur de référene (valeur onventionnellement vraie) résultat d'un mesurage : x moyenne Au final, on peut don avoir pour une série de mesures : une mesure non fidèle mais juste : fig 1 Les erreurs systématiques sont réduites mais les erreurs aléatoires sont importantes. ou une mesure fidèle et fausse : fig 2 Les erreurs systématiques sont importantes mais les erreurs aléatoires sont faibles. ou une mesure fidèle mais juste : fig 3 Les erreurs systématiques et aléatoires sont faibles ou une mesure non fidèle et fausse :fig 4 Les erreurs systématiques et aléatoires sont importantes Inertitude de mesure. L inertitude tient ompte de toutes les erreurs non maîtrisées. L inertitude est assoiée au résultat d un mesurage, elle aratérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande. Il ne faut pas onfondre inertitude et erreur. L inertitude traduit le DOUTE sur la valeur attribuée au mesurande.
2. Comment réaliser la meilleure mesure? Le sientifique suit 3 étapes : 1) herher les soures d inertitude à onsidérer 2) en déduire le protoole expérimental définitif 3) Evaluer l inertitude du résultat de sa mesure Les 2 premières étapes sont primordiales! Le physiien (ou le himiste) effetue la mesure en observant e qu il fait. Il en déduit les soures d inertitude à prendre en ompte. Celles-i influenent le protoole expérimental et permettent de le orriger. Le sientifique peut don maintenant réfléhir à son protoole expérimental définitif. Une fois e protoole exéuté, vient le alul mathématique de l inertitude. Deux méthodes d évaluation des inertitudes sont possibles : -Lorsque les inertitudes sont évaluées par des méthodes statistiques, l évaluation est dite de type A. -Quand la détermination statistique n est pas possible, on dit que l évaluation est de type B. On peut aussi utiliser un mixte des deux méthodes A et B pour évaluer l inertitude des résultats d une expériene. 3 L évaluation de l inertitude de type A : 3.1 Conditions d utilisation Cette méthode est bien adaptée aux séries de mesures de différents groupes de TP. Elle est appliable dans ertaines onditions : - les auses qui influent sur la valeur d'une mesure doivent être nombreuses et d importane omparables ( est le as de la majorité des TP de physique et himie). -les mesures doivent être indépendantes les unes des autres. Par exemple : La masse et la le poids d un objet sont des grandeurs indépendantes. Leur mesure fait appel à des instruments de mesure différents, une balane et un dynamomètre ou un apteur de fore par exemple. Les mesures de es 2 grandeurs sont don indépendantes. Mais si la balane est pilotée par un ordinateur et que la mesure du poids se fait ave un apteur piloté par le même ordinateur et le même logiiel, alors les mesures de la masse et de la longueur sont orrélées. Elles sont dans et exemple probablement faiblement orrélées. Dans la plupart des TP, les mesures sont indépendantes Si es deux onditions sont vérifiées, alors, on peut onsidérer que la distribution des mesures obéit à la élèbre ourbe de Gauss (en lohe). Cette méthode d évaluation de l inertitude a été développée de façon très détaillée dans un le doument du ndp : La pluridisiplinarité dans les enseignements sientifiques - Tome 2 : La plae de l'expériene auteur : R Moreau. Ce doument est assoié à un fihier Exel «Inertitudes de mesure»qui permet de vérifier si une série de mesures peut être onsidérée omme Gaussienne. Vous pourrez trouver dans e doument les justifiations détaillées des ritères utilisés dans e doument pour évaluer l inertitude d une série de mesures. Il faut aussi noter que les statistiques sont au programme de mathématiques de 1S.Ce programme aborde l éart type, la variane, la ourbe de Gauss (loi binomiale) et l intervalle ou niveau de onfiane.
3.2 Prinipe de ette méthode : On suppose que la série de mesures suit une loi gaussienne. La mesure â d une grandeur a de valeur exate A omporte généralement une erreur E= â A, que elle-i soit due aux appareils, au manipulateur ou à la méthode employée ; ela se traduit par une inertitude "multifatorielle" Δa sur les mesures individuelles obtenue en lasse et onduit à l ériture a = â Δa. Sahant que l intervalle [â Δa, â + Δa] doit avoir une probabilité P de ontenir A. Cette probabilité est en général de 95 %, et pour simplifier l étude statistique en lyée, on peut poser Δa = 2xσ, σ représente l éart type. Remarque : dans tout le doument l éart type sera noté σ et représente σ n-1 L'erreur E est inévitable ; sa valeur absolue est, en général, nettement inférieure à Δa, puisque l inégalité E > Δa n est réalisée que dans 5 % des as seulement. Le plus important, dans la distribution de Gauss, qui est elle de la répartition de la majorité des erreurs aléatoires, est qu elle est déroissante de part et d autre de sa valeur moyenne X (inonnue) qui en l absene d erreur systématique, est ensée représentée la valeur vraie herhée. Autrement dit, les petites erreurs sont plus probables (et plus don plus fréquentes) que les grandes. C est ette notion qui est à la base de la méthode d évaluation des inertitudes On démontre que si une variable aléatoire (mesure) x suit une loi de Gauss d espérane mathématique (ou moyenne alulée à partir d un grand nombre d éhantillons) X et d éart-type σ, la moyenne m de n mesures indépendantes de x suit aussi une loi de Gauss de même espérane mathématique X et d éart-type réduit : = 3.3 Eart à la normalité et valeurs aberrantes Si ertaines mesures s éartent sensiblement des autres valeurs, on peut alors se demander si es valeurs ne doivent pas être éartées afin de onserver une population de mesures de type Gaussienne. L hypothèse de non normalité Gaussienne peut être rejetée pour plusieurs raisons : 1) pare que la population mère n est pas normale (ou gaussienne) 2) pare que l éhantillon ontient des valeurs aberrantes. - On a déjà vu que la série de mesures sera une population de type Gaussienne si les mesures sont indépendantes et si les auses qui influent sur la valeur d'une mesure sont nombreuses et d importane omparables. - Le test de l éart à la moyenne fournit un ritère quantitatif pour éliminer les valeurs aberrantes. On éarte toutes les valeurs qui ont une valeur (v max x ) supérieur à la moyenne. v max dépend du nombre de mesures n. Pour n= 9 (un groupe de TP ) v max = 2, 2. On peut aussi éarter une valeur par une analyse qualitative. 3.4 Utilisation de ette méthode statistique en lasse. On peut utiliser ette méthode d évaluation de l inertitude pour présenter le résultat final d un TP. On mutualise alors les différents résultats des groupes. Le résultat des différentes mesures du TP est alors exprimé sous la forme X = 2 Ave = Ce résultat peut être aompagné d une véritable réflexion de l élève sur les soures d inertitude. Le tableau suivant a été distribué pendant un TP de dosage spetrophotométrique en 1S, les élèves doivent réaliser une dissolution, des dilutions, traer une ourbe d étalonnage.
Tableau réapitulatif des prinipales soures d inertitude Ce qu on réalise Soures d inertitudes dues au matériel Soures d inertitudes dues au manipulateur Comment on minimise les inertitudes? Balane au g Il transvase le solide : possibilité de perte de matière On pèse une masse très supérieure à 1 g Préparation de la solution mère S o Fiole jaugée de 1000 ml à +/- 0,04 ml sur la balane même si on ne le voit pas. Il règle le niveau du liquide au trait de jauge Tehniques performantes : rinçages, agitation, plae des yeux, utilisation de la pipette simple Pipette jaugée Préparation des solutions diluées Il règle le niveau du liquide au trait de jauge Tehniques performantes : rinçages, agitation, plae des yeux, utilisation de la pipette simple Fiole jaugée 50ml +/- 0,06 ml Mesure de l absorbane Colorimètre à 0,001 unité d absorbane Il règle le zéro et il mesure l absorbane de solutions : qualité des uves On hoisit la longueur d onde pour avoir le maximum d absorbane On réalise manuellement la ourbe d étalonnage Graduation du papier millimétré au mm Il plae les points Il trae la droite moyenne Il dose par étalonnage : il note la mesure d absorbane et en déduit la onentration inonnue Choix des éhelles : grandeurs sur le papier très supérieures à 1 mm, éhelles simples Utilisation d un rayon très fin Cette méthode statistique peut être réinvestie pendant une séane d évaluation. L élève fait une mesure d'une grandeur X en effetuant une ou deux mesures individuelles et se demande si la valeur moyenne qu il trouve,, diffère signifiativement de la valeur vraie. On peut alors lui demander un peu plus qu un éart relatif.et de réinvestir ses onnaissanes sur l inertitude d une mesure. Si la valeur de l éart type réduit est déjà onnue, on peut appliquer la règle des "rejets à 2- sigma". Si dans le alul d'une moyenne, une valeur s'éarte de la moyenne de plus de 2 fois la valeur de, ette valeur est douteuse et doit être rejetée. Il faut alors reommener d autres mesures. L élève doit alors s interroger sur la qualité de sa mesure, les soures d inertitudes. On n est pas exatement en situation de répétabilité ou reprodutibilité ar les mesures qui ont permis la mesure de n ont pas été faites par le même opérateur et dans un laps de temps ourt. Cela néessite numéroter les instruments et de onserver les mesures des TP des différentes années pour le alul de l éart type réduit.
4 L évaluation de l inertitude de type B. Cette méthode s applique quand il est impossible (as d une mesure unique ), voire diffiile de faire un méthode statistique type A. L opérateur doit répertorier les soures d erreurs et évaluer les inertitudes types. Il doit tenir ompte de la relation qui permet de mesurer la grandeur. exemple: mesure d une onentration à l aide d une relation équivalente ou mesure d une vitesse à partir des mesures d une longueur et d un temps. L évaluation de l inertitude se fait en deux temps : - Calul des inertitudes-type dues à haque soure d inertitude -Calul de l inertitude élargie. L'évaluation d une inertitude de type B néessite la onnaissane des «inertitudes types «et le plus souvent la loi qui permet de déterminer la grandeur reherhée. Si ette loi est une somme ou une soustration ; l étude peut être simple mais si elle -i est un quotient ou un produit alors ette méthode peut demander une bonne onnaissane du ours de mathématiques portant sur les dérivées On peut aussi donner la formule de alul aux élèves. 4.1 Liste des prinipales inertitudes types u Pour haque soure d inertitude, le sientifique alule e qu on appelle «l inertitude-type» u: elle possède la même unité que la grandeur à mesurer. Les inertitudes-types sont des intermédiaires de alul qui n ont pas diretement de sens. On doit par la suite les «omposer» pour en déduire «inertitude élargie». Voii une liste non exhaustive des prinipales inertitudes type u de nos TP. lasse et tolérane d un instrument de mesure Si vous disposez de la notie d un instrument de mesure, ou d informations le onernant, vous onnaissez la lasse de l instrument et sa tolérane t (notée ± t). Exemple : tolérane d une burette graduée de lasse A, de 25 ml : ± 0,030 ml. L inertitude-type u (X) sur la mesurande X due à un instrument de mesure de lasse onnue et de tolérane est égale à par : u (X) = Cette expression provient des mathématiques statistiques. - défauts de fidélité d un instrument de mesure Ils sont à prendre en ompte si vous ne disposez pas de sa lasse, don de sa tolérane, et si et instrument est très sensible, ou vétuste ar alors il est peu fidèle. Il faut alors réaliser une étude statistique de l inertitude de et appareil en respetant les onditions de répétéabilité et évaluer l inertitude ave une méthode de type A - Estimation de l inertitude-type liée à la résolution de l'instrument: C est l inertitude-type due à la leture de l affihage. Si vous onnaissez la lasse de l instrument, elle n est pas à prendre en ompte. La détermination de ette omposante de l inertitude-type ne néessite pas d effetuer plusieurs mesures. Soit dx la variation du mesurande X qui orrespond à la variation d une unité du dernier hiffre affihé (don par exemple 0,1 mg pour une balane à 0,1 mg près, une graduation pour un réglet).
La norme donne alors pour l inertitude-type u(x) sur le mesurande X due à la leture de l affihage u (X)= Cette expression provient des mathématiques statistiques. Estimation de l inertitude-type liée à l étalonnage de l instrument L instrument de mesure a été étalonné ave des étalons, de valeurs x étalon. Ces valeurs sont mesurées et don onnues ave une ertaine inertitude, plus faible que elle souhaitée pour le mesurande X. Soit x étalon le résultat de la mesure de l étalon le plus prohe de x. Soit u(x étalon ) l inertitude-type sur x étalon. Alors l inertitude-type u E (x) sur le mesurande X, due à l étalonnage de l instrument de mesure est tout simplement égale à l inertitude-type sur x étalon. 4..2 Calul de l inertitude type omposée * l inertitude type omposée : C est l inertitude-type d un mesurage lorsque le résultat y est obtenu à partir des valeurs x n d autres grandeurs indépendantes : y = f(x 1,x 2,,xn). Par exemple : I = I 1 + I 2 ou g = En mathématiques statistiques, si les mesures sont indépendantes, e sont les varianes qui s ajoutent. Ii, e sont don les inertitudes-type au arré qui s ajoutent. Mais dans la plupart des TP en physique ou himie, la mesure est indirete et on doit alors tenir omte de la relation entre la valeur reherhée et les grandeurs mesurées. Il faut alors appliquer une autre formule qui néessite une bonne maitrise de la dérivée partielle. Pour estimer l inertitude-type u(y) sur y, il faut «omposer» les inertitudes-type u ( x i ). Pour ela, on applique le théorème de propagation des inertitudes-types : Exemples : Si I = I 1 + I 2, On a alors u 2 (I) = u(i 1 ) 2 + u(i 2 ) 2 Si g = on a alors u 2 (g) = + g 2 x On peut aussi retrouver ette relation à partir des dérivées logarithmiques. On obtient la même relation sous une autre forme = + si on élève au arré les inertitudes relatives. 4.3 Inertitude type élargie C est l inertitude du sientifique et on l appelle aussi «inertitude» tout ourt! La norme introduit les notions de niveau de onfiane et d intervalle de onfiane en utilisant un fateur multipliatif, ou fateur d élargissement omme suit : U (X) = K u(x) u (X) inertitude-type omposée sur X U (X) inertitude élargie (ou inertitude sur X) K fateur d élargissement, pour les TP on prendra k = 2 Cei veut dire que, si x est le résultat de la mesure, alors la valeur vraie, a 95 % de hanes de se trouver dans l intervalle de onfiane. 4.4 Utilisation de ette méthode en lasse Le début de la séane ommene par deux questions pour réviser la notion de poids : 1 kg de plume est-il plus léger qu un kg de plomb? En l'absene des frottements de l'atmosphère, une plume et un marteau lâhés simultanément d'une même hauteur touheront-ils le sol au même moment? La vérifiation des réponses s est faite à l aide de l artile suivant sur l atualité sientifique : http://www.nes.fr/web/cnes-fr/5705-le-prinipe-dequivalene-sous-lil-de-mirosope.php
La deuxième partie de la séane a permis la mesure de l intensité de pesanteur g ave une seule mesure à l aide d un objet, d un dynamomètre : La onsigne donnée à l élève est de proposer un protoole pour mesurer l intensité de pesanteur à l aide d un dynamomètre. L élève peut prendre un objet personnel et il a le hoix entre différents dynamomètres de préisions différentes. Après la réalisation de la mesure, il doit ompéter le tableau suivant pour réfléhir aux inertitudes. Ensuite on alule ave l élève l inertitude sur la mesure de g. L élève doit ensuite noté son résultat sous le forme d un enadrement. la formule de alul d inertitude est fournie à l élève. On disute en lasse sur la ohérene du résultat. En as d inohérene l élève peut orriger son protoole et refaire la mesure. Ce qu on réalise inertitudes dues au matériel inertitudes dues au manipulateur Comment on minimise les inertitudes? on mesure la valeur du poids Dynamomètres : Graduation 0,5N ou 0,1N. Leture de la position du repère Réglage du zéro On utilise une masse qui permet une variation importante du dynamomètre. On plae son œil bien en fae du repère pour faire le zéro et la mesure Préision de la masse Vérifiation de la tare Penser à la tare on mesure de la masse utilisée Balane : à 0,01g près On pèse une masse très supérieure à 1 g La mesure de g est indirete, son alul néessite une bonne maitrise de la dérivée : u 2 (g) = + g 2 x représente l inertitude type sur la mesure de P, représente l inertitude type sur la mesure de m Pour simplifier le alul de l intensité de pesanteur on néglige l inertitude de la mesure de m par rapport à la mesure de P. Il suffit de onstater que l inertitude relative est dix fois plus forte que l inertitude relative. Voii la formule proposée à l élève de seonde. U (g) représente l inertitude élargie sur la mesure de g Calul de l inertitude élargie : =2x ave Δ (P)= 5 Eriture des résultats ; hiffres signifiatifs L ériture du résultat du mesurage M doit intégrer l inertitude-type u ou l éart type réduit, la moyenne m, et doit s érire ave les unités appropriées : M = m U unité Ou M = m unité La préision sur le résultat du mesurage sera aratérisée par ou Cette préision est souvent exprimée en %. Plus le résultat est petit, plus le mesurage est préis. Pour l inertitude, obtenir une préision plus petite que 10% orrespond à des onditions de mesure très ontraignantes et oûteuses. Dans la très grande majorité des as, il faut don limiter le plus souvent le nombre de hiffres signifiatifs de l inertitude à un seul hiffre signifiatif. Exemple On mesure r= 100,251389 Ω ave une inertitude U= 0,812349 Ω. On érit alors le résultat sous la forme R = (100,3 0,8) Ω.
7. Extrait d un sujet 0 du baalauréat 2013 sur l utilisation de l inertitude. - Dans le sujet proposé, on demande à l élève de vérifier à l aide d un titrage une onentration attendue A = (2,22 ± 0,05) 10 2 mol.l 1. - L élève doit aluler une onentration à l aide d une relation d équivalene. (Question 4.1). - Ensuite il doit évaluer l inertitude de la mesure. (Question 4.2.1 et 4.2.2). L énoné indique les inertitudes sur la onentration de la solution titrante C B notée Δ(C B ), le volume prélevé V A notée Δ(V A ), le volume équivalent notée Δ(V E ) Pour simplifier le alul de l inertitude sur la mesure de C A, l élève doit montrer que les inertitudes sur la onentration C B, et le volume V A sont négligeables devant l inertitude sur le volume équivalent V E. Pour ela il ompare les inertitudes relatives. Puis il note le résultat de son alul et l évaluation de l inertitude sous la forme d un enadrement Aexp = (1,5 ± 0,05) 10-2 mol.l -1 - Enfin il doit vérifier si la ohérene de son résultat pour valider sa mesure en omparant l enadrement de la onentration expérimentale et l enadrement de la onentration attendue. Si les enadrements ne se superposent pas, il doit onlure que les valeurs ne sont pas ohérentes. (Question 4.2.3) -Dans la dernière question il doit indiquer la raison(s) qui pourrai(en)t expliquer un éart éventuel entre l enadrement attendu et l enadrement expérimental? (Question 4.2.4) 4. Extrait de la orretion d un sujet 0 sur la préision d un titrage 4.1. À l équivalene, les réatifs ont été introduits dans les proportions stoehiométriques et sont entièrement onsommés. é mol.l 0,50 Dosage par titrage diret, équivalene dans un titrage Pratiquer une démarhe expérimentale pour déterminer la onentration d une espèe himique par titrage dans le domaine du ontrôle de la qualité. 4.2.1 Don les inertitudes relatives sur V A et B sont négligeables devant elle sur V E. et 0,50 0,25 Inertitudes et notions assoiées. Évaluer, à l aide d une formule fournie, l inertitude d une mesure obtenue lors de la réalisation d un protoole dans lequel interviennent plusieurs soures d erreurs. 4.2.2 d où 5 Les inertitudes relatives sur V A et B ayant été négligées, on retient A exp = mol.l -1. A exp = (1,5 ± 0,05) 10-2 mol.l -1 Il faut noter que le sujet ne tient pas ompte de l inertitude type élargie, ela double l inertitude. Cependant la onlusion de la question 4.2.3 n est pas modifiée. 0,5 Inertitudes et notions assoiées. Expression et aeptabilité du résultat Évaluer, à l aide d une formule fournie, l inertitude d une mesure obtenue lors de la réalisation d un protoole dans lequel interviennent plusieurs soures d erreurs. Maîtriser l usage des hiffres signifiatifs et l ériture sientifique. 4.2.3 A = (2,22 ± 0,05) 10 2 mol.l 1 Aexp = (1,5 ± 0,05) 10-2 mol.l -1 L enadrement de la onentration expérimentale et l enadrement de la onentration attendue ne se superposent pas don les valeurs ne sont pas ohérentes. 0,25 Expression et aeptabilité du résultat Commenter le résultat d une opération de mesure en le omparant à une valeur de référene 4.2.4 L élève n a pas déterminé orretement le volume équivalent (erreur de leture, erreur dans la préparation de la burette, erreur de repérage de la teinte sensible de l indiateur oloré).l élève n a pas prélevé orretement le volume de la solution d aide latique à titrer.la onentration de la solution titrante n est pas elle indiquée. La onentration attendue de l aide latique est erronée. 0,5 Inertitudes et notions assoiées. Expression et aeptabilité du résultat Identifier les différentes soures d erreur (de limites à la préision) lors d une mesure : variabilités du phénomène et de l ate de mesure (fateurs liés à l opérateur, aux instruments, ).
8. Compétenes du B.O sur «Mesures et inertitudes» 9. Douments Quelques douments sur le traitement des mesures Nombres, mesures et inertitudes en sienes physiques et himiques. Groupe des Sienes physiques et himiques de l IGEN Mesures, erreurs et inertitudes en physique-himie René Moreau, Inspeteur général de l éduation nationale