Automatique linéaire 1

Cycle ISMIN 1A Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2016 www.emse.fr/~dutertre

Automatique linéaire 1 Cadre du cours : étude des systèmes linéaires continus. Plan du cours : I. Introduction, Définitions, Position du problème. II. Modélisation des systèmes linéaires. III. Stabilité des systèmes asservis. IV. Performances des systèmes asservis. V. Correction des systèmes asservis. 2

Cha I Introduction, définitions, Position du problème I.1. Introduction. Définition : L automatique est la discipline scientifique qui étudie les systèmes dynamiques, les signaux et l information, à des fins de conduite ou de prise de décision. Une entrée : θ, angle de rotation du volant Une sortie : d, distance des roues au bord de la route Une consigne ou commande : d 0, distance désirée 3

I.1. Introduction Schéma fonctionnel d un asservissement en boucle fermée A gauche: les entrées A droite: les sorties La commande produit le signal de pilotage du processus (ou système) à partir des entrées et des sorties Ici, système monovariable (description multivariable plus complexe) 4

I.1. Introduction Domaine d application? Industrie manufacturière, la chimie, la robotique, la mécanique, l électronique, l aéronautique, l économétrie, etc. Objectifs de cours. Etude des systèmes linéaires, continus, invariants dans le temps. Automatique classique (20 ème siècle). Pré requis "Mathématique du signal" 1 er semestre : les signaux types (Dirac, échelon de Heavyside, etc.), le théorème de convolution, et le formalisme de Laplace. 5

I.2. Définitions Définition 1 : On appelle modèle d un système (ou processus) la loi qui relie l entrée (cause) à la sortie (effet). Définition 2 : On distingue deux régimes dans le comportement des systèmes : le régime permanent ou établi, caractérisant la réponse stabilisée du système à une entrée quelconque, le régime transitoire, caractérisant l évolution de la réponse avant que le régime permanent ne soit atteint. Le régime statique est le régime permanent dans le cas ou l entrée est constante. 6

I.2. Définitions Définition 3 : Un système est causal si sa sortie y(t) à un instant t 0 ne dépend que des valeurs de son entrée u(t) pour t t 0 u système y Définition 4 : Un système à temps invariant a un modèle identique à tout instant (un retard τ ne change pas la loi du modèle) : 7

I.2. Définitions Définition 5 : Un système est dit instantané si à un instant donné sa sortie ne dépend que de l excitation à cet instant : y(t) = a.u(t) Définition 6 : Un système est stable si et seulement si toute entrée bornée génère une sortie bornée. Définition 7 : Un système est linéaire s il satisfait au principe de superposition : 8

I.2. Définitions Ce cours traite des systèmes causals, linéaires et à temps invariant ; les S.L.T.I. Les systèmes étudiés sont analogiques, leurs signaux d entrée et de sortie sont continus à la fois en temps et en amplitude. La relation qui lie leur entrée et leur sortie est dés lors une équation différentielle linéaire à coefficients constants. 9

I.3. Position du problème a La commande automatique, ou comment remplacer l homme. 10

I.3. Position du problème b La boucle d asservissement. Considérons le système de chauffage central d un immeuble : θ e θ température intérieure T système θ T température de l eau chaude envoyée dans les radiateurs θ e température extérieure (perturbation) Réglage manuel de T pour obtenir une température donnée θ c = 19 C Nouveau réglage à chaque variation de θ e 11

I.3. Position du problème 1 ère tentative de réglage automatique en boucle ouverte : θ e θ c _ + a T système θ Inconvénient : par temps froid et ensoleillé, la température intérieure θ va s élever sans que pour autant la température de l eau des radiateurs T ne soit réduite puisqu elle ne dépend que de θ e.! ouverture des fenêtres par les résidents. 12

I.3. Position du problème Solution : asservissement en boucle fermée : θ e θ c + _ a T système θ 13

I.3. Position du problème Généralisation : n y c + _ ε P u système y y c : consigne (ici température affichée sur le thermostat θ c ) y : sortie, ou image de la sortie obtenue par un capteur u : commande ou action ε : erreur ou écart n : perturbation extérieure loi de commande P : système automatique de commande 14

I.3. Position du problème c Qualités d un asservissement, nécessité de la boucle fermée. Elles sont au nombre de 3 : stabilité, précision, rapidité. Stabilité. Si on considère une loi de commande telle que : Pour K grand, une petite valeur de l erreur ε = y c y > 0 suffit à créer une commande u élevée. La correction apportée peut alors être telle que la consigne soit dépassée y > y c et que ε = y c y > ε ; entrainant une correction inverse elle aussi disproportionnée! apparition d oscillations divergentes = instabilité. 15

I.3. Position du problème Stabilité (suite). Autres sources possibles d instabilité : retard d exécution des ordres reçus, contre réaction positive (ε = y c + y). Précision. L écart ε entre la consigne y c et la sortie y mesure la précision du système. Dans le cas d une loi de commande proportionnelle du type u = K.ε, l obtention d une bonne précision nécessite d avoir un gain élevée. De même une perturbation n sera d autant plus efficacement corrigée (erreur résiduelle faible) que K sera grand.! On a vu qu un grand K peut être source d instabilité. Stabilité et précision sont des paramètres potentiellement contradictoires. 16

I.3. Position du problème Rapidité. La rapidité d un processus peut se mesurer par le temps de sa réponse à un échelon de commande (cf. Cha IV). D une façon générale, la synthèse d un asservissement résulte d un compromis stabilité précision rapidité. L automatisation des processus requiert l utilisation d une boucle fermée (rétroaction), celle-ci est nécessaire afin de pouvoir : stabiliser un système instable en boucle ouverte, compenser des perturbations externes, compenser des incertitudes liées au système lui-même (vieillissement, imprécision du modèle, etc.). 17

Cha II Modélisation des systèmes linéaires Caractéristique statique (en régime permanent) d un système linéaire : y u droite Comportement dynamique (en régime transitoire) : u y K.E 0 = Y 0 E 0 tension de repos t vitesse de repos t Comportement modélisé par l équation différentielle linéaire à coefficients constants (S.L.T.I.). 18

Cha II Modélisation des systèmes linéaires! Les systèmes physiques (réels) ne sont pas nécessairement linéaires. Linéarisation autour du point de repos. 19

II.1. Système du 1 er ordre Définition 8 : Un système est dit du 1 er ordre si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du 1er ordre. Exemple : R i(t) u(t) = v E (t) C v S (t) = y(t) 20

II.1. Système du 1 er ordre Forme générale d une équation différentielle du 1 er ordre : τ constante de temps du système K gain statique a Fonction de transfert. Définition 9 : La fonction de transfert (ou transmittance) d un système linéaire est le rapport entre la transformée de Laplace de sa sortie et celle de son entrée, en considérant des conditions initiales nulles. 21

II.1. Système du 1 er ordre a Fonction de transfert (suite). TL τ. [ p.y(p) y(0 )] +Y( p) = K.U(p) Soit : En annulant les C.I. 22

II.1. Système du 1 er ordre a Fonction de transfert (suite). Rappel : la réponse impulsionnelle (i.e. réponse à un Dirac), h(t), d un S.L.T.I. vérifie : soit Résolution des eq. diff. en représentation de Laplace. (connaissant H(p) ) 23

II.1. Système du 1 er ordre b Réponse impulsionnelle. u(t) = A 0.δ(t) y(t) = K.A 0 τ.e -t/τ U(p) = A 0 Y(p) = K.A 0 1 + τ.p 24

II.1. Système du 1 er ordre c Réponse indicielle (à un échelon). u(t) = A 0.Γ(t) y(t) = K.A 0.(1 e -t/τ ) U(p) = A 0 / p Y(p) = K.A 0 p(1 + τ.p) 25

II.1. Système du 1 er ordre d Réponse à une rampe. u(t) = a.t y(t) = K.a.(t - τ + τ.e -t/τ ) U(p) = a / p 2 Y(p) = K.a p 2 (1 + τ.p) Pour K = 1 : ε t = a.τ erreur de trainage 26

II.1. Système du 1 er ordre e Réponse harmonique. Réponse à une sinusoïde permanente : u(t) = U m.cos( ωt) le régime transitoire étant éteint y(t) = Y m.cos( ωt + ϕ) d après Intérêt? L étude des propriétés fréquentielles des systèmes linéaires permet d en déduire les propriétés dynamiques temporelles (c est-à-dire leur évolution dans le temps en fonction des actions subies). 27

II.1. Système du 1 er ordre Diagramme de Bode : Le diagramme de Bode d une fonction de transfert comporte deux courbes : son module exprimé en décibels (db), et sa phase, tracées en fonction de la pulsation ω (axe gradué suivant une échelle log.). Décomposition H(jω) = H 1 (jω).h 2 (jω) : H db = H 1 db + H 2 db Arg H= Arg H 1 + Arg H 2 28

II.1. Système du 1 er ordre Diagramme de Bode (suite) : -20 db par décade -6 db par octave 29

II.1. Système du 1 er ordre Représentation de Black : Représentation de H(jω) dans le lieu de Black : tracé pour ω : 0! + 30

II.1. Système du 1 er ordre Représentation de Nyquist : Représentation de H(jω) dans le lieu de Nyquist tracé pour ω : 0! + pour ω = ω c = 1/τ pulsation de coupure 31

II.1. Système du 1 er ordre f Relation temps fréquence. D après ω c = 1/τ " f c = 1/2.π.τ En notant t m le temps mis par la réponse à un échelon d un système du 1 er ordre pour atteindre 90% de sa valeur finale on démontre : t m = 2,2.τ On obtient : t m.f c = 0,35 Un système à large bande passante est un système rapide. 32

II.2. Système du 2 nd ordre Définition 10 : Un système est dit du 2 nd ordre si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du 2 ème ordre. (on prendra toujours un 2 nd membre indépendant de u (t) ) K gain statique m coefficient d amortissement (ξ) ω 0 pulsation propre non amortie a Fonction de transfert. 33

II.2. Système du 2 nd ordre b Réponse indicielle. Régime apériodique : m > 1. 34

II.2. Système du 2 nd ordre b Réponse indicielle (suite). pour : m >> 1 p 1 pôle dominant 1 er ordre 2 nd ordre 35

II.2. Système du 2 nd ordre tr 5% pour m >> 1 Régime critique : m = 1. 36

II.2. Système du 2 nd ordre Régime pseudopériodique : m < 1. 0 < m < 1 y(t) = K. 1 1 1 m 2.e mω 0t.sin( ω 0. 1 m 2.t +ϕ) tq ϕ = Arccos(m) K = 1 ω 0 = 0,22 rad/s m = 0,18 37

II.2. Système du 2 nd ordre Pseudo période : Dépassements :. La valeur minimale de D 1 est obtenue pour : 38

II.2. Système du 2 nd ordre temps de réponse à 5% : tr 5% minimal pour m = 0,7 39

II.2. Système du 2 nd ordre Bilan : 40

II.2. Système du 2 nd ordre c Réponse harmonique. Réponse à une sinusoïde permanente : u(t) = U m.cos( ωt) le régime transitoire étant éteint y(t) = Y m.cos( ωt + ϕ) Avec 41

II.2. Système du 2 nd ordre Etude asymptotique : Pour d où Pour d où 42

II.2. Système du 2 nd ordre Pour m > 1 : 43

II.2. Système du 2 nd ordre Pour m < 1 : - Pour 0 < m < 2/2 : apparition d un phénomène de résonnance. - Pour 2/2 < m < 1 : pas de résonnance. 44

II.2. Système du 2 nd ordre c Réponse harmonique (suite). Facteur qualité du système. Pour ω = ω 0, on a : On note Facteur de résonnance du système (si pertinent). Pour on a : On note 45

II.2. Système du 2 nd ordre Représentation de Black. 46

II.2. Système du 2 nd ordre Représentation de Nyquist. 47

II.3. Systèmes d ordre supérieur à deux Equation différentielle représentative d un système linéaire d ordre n supérieur à 2 : a i, b i coefficients constants réels, n m, pour les systèmes physiques (principe de causalité). Soit par TL (C.I. nulles) : Les racines de N(p) sont les zéros de H(p). Les racines de D(p) sont les pôles de H(p). 48

II.3. Systèmes d ordre supérieur à deux Les pôles de H(p) sont soit réels, soit complexes conjugués (les a i étant réels). D où : Décomposition additive en sous systèmes du 1 er et du 2 ème ordre. Par application du théorème de superposition on obtient la réponse à un échelon d un système d ordre n > 2 : / 49

II.3. Systèmes d ordre supérieur à deux Réponse à un échelon : En termes de stabilité, il suffit d un seul pôle à partie réelle positive pour entraîner l instabilité de l ensemble. 50

II.3. Systèmes d ordre supérieur à deux Pôles dominants : pôles situés près de l axe imaginaire (ctes de temps élevées et amortissement faible) 51

Cha III - Stabilité III.1. Schéma général d un asservissement. a Notion de bouclage. Chaine directe / d action x c : consigne y : sortie Chaine de retour x r : grandeur de retour (image de y) ε : erreur 52

III.1. Schéma général d un asservissement b Fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée. Représentation d un asservissement sous forme de schéma bloc. 53

III.1. Schéma général d un asservissement Fonctions de transfert en boucle ouverte (FTBO). X c (p) + _ ε(p) A(p) Y(p) X r (p) B(p) 54

III.1. Schéma général d un asservissement Fonctions de transfert en boucle fermé (FTBF). X c (p) FTBF(p) Y(p) 55

III.1. Schéma général d un asservissement FTBF d un asservissement à retour unitaire. X c (p) + _ ε(p) T(p) Y(p) 56

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Cadre : asservissement à retour unitaire. Connaissant le FTBO (G BO, φ BO ) pour un ω donné on en déduit la FTBF (G BF, φ BF ). 57

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF a Abaque de Black Nichols. L abaque de Black-Nichols permet de repérer par un système de doubles coordonnées les valeurs de la FTBO et de la FTBF correspondante (pour un retour unitaire uniquement) dans le plan de Black. Dans -180 G BO, db Φ BO On trace les courbes : isomodules G BF db = cte et isophases φ BF = cte de la FTBF. 58

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Ayant établi Isomodules : tracé de G BF db = cte en faisant varier φ BF. T BO, db -180 Φ BO -90 59

T BO db isomodules H BF db -180-90 Φ BO 60

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Isophases : tracé de φ BF = cte en faisant varier G BF db. 0-1 T BO, db -6-30 -180 Φ BO -105 61

isophases φ BF 62

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO ω = 0 ω = + 63

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO pour ω = ω M M ω = 0 ω = + 64

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO pour ω = ω M G BO, db = 11,5 db M ω = 0 11,5 db ω = + 65

-128 III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO pour ω = ω M G BO, db = 11,5 db BO = -128 M ω = 0 11,5 db ω = + 66

-128 III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO pour ω = ω M G BO, db = 11,5 db BO = -128 FTBF pour ω = ω M M ω = 0 11,5 db ω = + 67

-128 III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO pour ω = ω M G BO, db = 11,5 db BO = -128 FTBF pour ω = ω M G BF, db = 1,4 db M ω = 0 11,5 db ω = + 68

-128 III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF Lecture de l abaque de Black Nichols. FTBO pour ω = ω M G BO, db = 11,5 db BO = -128 FTBF pour ω = ω M G BF, db = 1,4 db BO = -15 M ω = 0 11,5 db ω = + 69

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF b Analyse des résonances. 70

FTBO T BO db ω = 0 ω = + Φ BO 71

FTBO T BO db ω = 0 T BO db (0) ω = + Φ BO 72

FTBO T BO db ω r BO T BO db (ω r BO ) ω = 0 T BO db (0) ω = + Φ BO 73

FTBO T BO db ω r BO T BO db (ω r BO ) ω = 0 Facteur de M BO db résonance T BO db (0) ω = + Φ BO 74

FTBO FTBF T BO db ω r BO T BO db (ω r BO ) ω = 0 Facteur de M BO db résonance T BO db (0) ω = + Φ BO 75

FTBO FTBF T BO db H BF db (0)+M BF db ω r BO T BO db (ω r BO ) ω r BF ω = 0 Facteur de M BO db résonance T BO db (0) ω = + Φ BO 76

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF b Analyse des résonances (suite). 77

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF ω T : la pulsation de transition telle que T BO db (ω T ) =0 db ω π : telle que φ BO (ω π ) = - 180 ω T ω π 78

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF c Bande passante en boucle fermée. ω = 0 ω r BF ω = + Φ BO 79

III.2. Interprétation géométrique du passage BO " BF c Bande passante en boucle fermée. ω = 0 ω r BF ω C ω = + Φ BO 80

III.3. Réponse impulsionnelle d un système bouclé en régime linéaire L étude de la réponse impulsionnelle d un système bouclé permet d aborder la question de la stabilité. Définition 6? FTBF : D après On a Que l on exprime sous la forme 81

III.3. Réponse impulsionnelle d un système bouclé en régime linéaire Lors du retour dans le domaine temporel, on a pour chaque pôle p i de H(p) : Pour que ces exponentielles ne divergent pas vers + il faut que la partie réelle de chaque p i soit strictement négative. Conclusion : un système de transmittance H(p) est stable ssi tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative (cad que les zéros de D(p) = 1 + T(p) sont à Re < 0) La connaissance de la FTBO permet de conclure sur la stabilité du système en boucle fermée. 82

III.4. Le critère de Routh (critère algébrique). On considère un système de FTBF : Le critère de stabilité de Routh se décompose en 2 conditions : Une cond. nécessaire : la stabilité exige que tous les a i soient de même signe et non nuls. Une cond. Nécessaire et suffisante : le syst. est stable (i.e. les zéros de D(p), cad les pôles de H(p), sont tous à Re < 0) ssi tous les termes de la 1 ère colonne du tableau de Routh sont de même signe. 83

III.4. Le critère de Routh (critère algébrique). 84

a Le critère de Nyquist. III.5. Les critères géométriques de stabilité Théorème de Cauchy : si un point d affixe p, décrit dans le sens horaire un contour fermé (C), à l intérieur duquel on trouve P pôles et Z zéros d une fraction rationnelle D(p), alors la courbe (Γ) transformée de (C) par D(p) fait N tours (comptés positivement dans le sens horaire) autour de l origine avec N = Z - P 85

III.5. Les critères géométriques de stabilité Contour de Bromwitch : 86

III.5. Les critères géométriques de stabilité Th. Cauchy " si p décrit (C), le contour de Bromwich, alors 1 + T(p) décrit une courbe fermée (Γ) faisant N tours dans le sens horaire autour de l origine avec : N = Z + - P + P + = pôles à partie réelle > 0 de 1 + T(p) P + = pôles à partie réelle > 0 de T(p) P + = P BO + pôles instables de la boucle ouverte Z + = zéros à partie réelle > 0 de 1 + T(p) Z + = pôles à partie réelle > 0 de Z + = P BF + pôles instables de la boucle fermée N = P BF + - P BO + 87

III.5. Les critères géométriques de stabilité Critère de Nyquist : lorsque p décrit le contour de Bromwich (C) dans le sens horaire, T(p) (la FTBO) décrit une courbe (Γ) dans le plan complexe. Le système est stable en BF ssi le nombre de tours de (Γ) autour du point critique -1 comptés dans le sens horaire est égal à moins le nb de pôles instables de T(p) (pôles Re > 0 de la FTBO). Pour un syst. Stable en BO, le système est stable en BF si (Γ) n entoure pas le point critique. La connaissance de la FTBO permet de conclure sur la stabilité du système en boucle fermée. 88

b Le critère du revers. III.5. Les critères géométriques de stabilité Conditions d application : syst. stable en BO, ordre > 1, T(p) à phase minimale (pas de zéro à Re > 0), le rapport des coeff. de plus bas d du num. et du den. est positif. Critère du revers : pour un syst. vérifiant les cond. d application, si le lieu de Nyquist de la FTBO décrit dans le sens des pulsations croissantes (0 +! + ), laisse le point critique à sa gauche alors le système sera stable en BF. 89

b Le critère du revers. III.5. Les critères géométriques de stabilité Im cercle unitaire Im ω T ω π Re ω π Re -1-1 ω T cercle unitaire ω = 0 Instable ω π < ω t ω = 0 Stable ω t < ω π 90

b Le critère du revers (suite). III.5. Les critères géométriques de stabilité Critère du revers dans le plan de Black : pour un syst. en BO vérifiant les cond. d application, si son lieu dans le plan de Black décrit dans le sens des pulsations croissantes (0 +! + ), laisse le point critique à sa droite alors le système sera stable en BF. T db T db ω π ω = 0 ω = 0 ω t Arg T ω t Arg T -1-1 ω = + ω = + ω π Instable ω π < ω t Stable ω t < ω π 91

III.5. Les critères géométriques de stabilité Illustration sur les diagrammes de Bode. T db T db 0 db ω t ω (log) 0 db ω t ω (log) Arg T ω π Arg T ω π ω (log) ω (log) -180-180 Instable ω π < ω t Stable ω t < ω π 92

c Marges de stabilité. III.5. Les critères géométriques de stabilité - Marge de phase : - Marge de gain : T db T db -1 M Φ ω t ω = 0 Arg T 0 db Arg T ω t M G ω (log) M G ω π ω (log) ω π -180 M Φ 93

Cha IV Performances des systèmes asservis IV.1. Précision des systèmes asservis. Définition 11 : Estimer la précision d un système asservi c est mesurer ou prédire l évolution temporelle de l écart entre la consigne d entrée et la sortie du système ( ε(t) = y c (t) y(t) ). N(p) Y c (p) ε(p) + _ A(p) + + B(p) Y(p) 94

IV.1. Précision des systèmes asservis a Précision statique (en poursuite) Erreur en régime permanent. Erreur en régime permanent : 95

IV.1. Précision des systèmes asservis a Précision statique (en poursuite) Erreur en régime permanent (suite). Classe du système : α : classe du système nbre intégrations pures dans la BO On a alors : 96

IV.1. Précision des systèmes asservis Réponse à un échelon de consigne (erreur de position) : Pour α = 0 : Pour α 1 : Un système qui possède au moins un intégrateur (α 1) en boucle ouverte a une erreur de position nulle. 97

Réponse à une rampe (erreur de trainage) : IV.1. Précision des systèmes asservis Pour α = 0 : Pour α = 1 : Pour α 2 : Un système qui possède au moins deux intégrateurs (α 2) en boucle ouverte a une erreur de traînage nulle. 98

IV.1. Précision des systèmes asservis Réponse à une parabolique (erreur en accélération) : Pour α = 0 ou 1: Pour α = 2 : Pour α 3 : Un système qui possède au moins trois intégrateurs (α 3) en boucle ouverte a une erreur d accélération nulle. 99

IV.1. Précision des systèmes asservis a Précision statique (en poursuite) Erreur en régime permanent (suite). Classe α = 0 1 2 erreur de position (échelon) 0 0 erreur de traînage (rampe) 0 Erreur d accélération 100

b Précision dynamique en poursuite. IV.1. Précision des systèmes asservis T db 0 db ω t ω (log) Ainsi, plus la pulsation de transition (i.e. la bande passante) d un système est grande, meilleure est sa précision sur une large bande de fréquence (on avait déjà établi qu une large bande passante entraîne un faible temps de réponse). 101

IV.1. Précision des systèmes asservis c Précision statique en régulation (c.à.d. en présence de perturbations). En considérant Y c (p) = 0 et en faisant abstraction du signe : 102

IV.1. Précision des systèmes asservis c Précision statique en régulation (suite). Pour une perturbation assimilable à un échelon unitaire : On a : En considérant pour p! 0 que l on peut écrire : et On obtient : 103

c Précision statique en régulation (suite). IV.1. Précision des systèmes asservis α A = 0 α A = 1, 2, α B = 0 0 α B = 1, 2, 0 L erreur statique engendrée par une perturbation assimilable à un échelon est nulle s il existe au moins une intégration en amont. 104

d Critères de performance. IV.1. Précision des systèmes asservis Y(t) Y c (t) ε(t) t t ε 2 (t) t 105

IV.2. Rapidité des systèmes asservis Le temps de réponse à 5% exprime le temps mis par le système pour atteindre sa valeur de régime permanent à ±5% près (et y rester). Pour un 1 er ordre, on a établi : t m.f c = 0,35 D une façon générale : l amélioration de la rapidité (propriété temporelle) d un système par l élargissement de sa bande passante (propriété fréquentielle). 106

Illustration Asservissement d un 1 er ordre : IV.2. Rapidité des systèmes asservis D où la FTBF : 1 er ordre Coupure en BF : 107

IV.2. Rapidité des systèmes asservis! Les propriétés intrinsèques de T(p) ne sont pas modifiées par le passage en BF y c (t) T(p) y(t) y c (t) K u(t) T(p) y(t) u(t) Y c (t) Y c (t) Y(t) Y(t) t t 108

V.1. Introduction. Cha V Correction des systèmes asservis y c + _ ε correcteur u système y Il existe plusieurs types de lois de commande : Tous ou rien, Proportionnelle, Dérivée, Intégrale, Ou toute combinaison des lois précédentes (P.I.D. la plus utilisée). 109

V.1. Introduction a La commande tous ou rien : La plus basique : pour ε > 0, c.à.d. y < y c, on envoie u = U MAX, pour ε < 0, c.à.d. y > yc, on envoie u = 0. b La commande proportionnelle : L action u est dosée à proportion du résultat à atteindre et donc de l erreur ε. On prend : u = K.ε = K.(y y c ) Si K est grand, la correction est énergique et rapide mais le risque de dépassement et d oscillations dans la boucle s accroit. Si K est petit, la correction est molle et lente mais il y a moins de risque d oscillations. 110

V.1. Introduction b La commande proportionnelle (suite). Im -1 ω = + ω = 0 Re K < K 1 K K 1 K 2 < K 2 111

V.1. Introduction b La commande proportionnelle (suite). T db T db 20logK 0 db ω t ω (log) 0 db ω t ω t ω (log) Arg T ω π Arg T ω π ω (log) ω (log) -180-180 Stable ω t < ω π Instable ω t > ω π 112

V.1. Introduction c - La commande intégrale. Une loi de commande intégrale permet d obtenir un démarrage progressif et un effet persévérant. T i cte de temps d intégration 113

V.1. Introduction c - La commande intégrale. La commande intégrale est persévérante. 114

V.1. Introduction d - La commande dérivée. La dérivée de l erreur ε apporte une information supplémentaire sur son sens d évolution (augmentation ou diminution) et sur sa dynamique. D où l intérêt d ajouter un terme dérivé au terme proportionnel d une loi de commande pour exploiter cette information. Exemple : commande d accostage d un navire. ε u K.ε t I t T d.ε 115

V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase) Transmittance de Laplace théorique :! Pas de sens physique (d num. > d dénom.). Correcteur à avance de phase : 116

V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase) Diagramme de Bode. 117

V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase) Amélioration de la stabilité et de la rapidité. T db (-1) (-2) (-3) (-2) 0 db ω T ω T T db +C db ω (log) ArgT (-3) -180 ArgT +ArgC Mϕ=0 M ϕ ω (log) 118

V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase) Illustration dans le plan de Black. FTBO db -180 ω r -90 Arg(FTBO) 119

V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase) Illustration dans le plan de Black (suite). FTBO db -180 ω r -90 Arg(FTBO) Mauvais réglage 120

V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI) et correction à retard de phase Correcteur proportionnel et intégral : Amélioration de la précision. Correcteur à retard de phase : Gain et retard en basse freq. 121

V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI) et correction à retard de phase P.I. ω (log) retard de phase (-1) ω (log) ω (log) ω (log) 122

V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI) Illustration dans le plan de Black. et correction à retard de phase ω = 0 FTBO db -180 ω r -90 P.I. Arg(FTBO) ω = + Le PI apporte une augmentation importante du gain en BO aux basses freq. ce qui permet d améliorer la précision (sans modif. À proximité du pts critique). 123

V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI) Illustration dans le plan de Black. et correction à retard de phase P.I. mauvais réglage ω = 0 FTBO db -180 ω r -90 Arg(FTBO) ω = + 124

V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI) Illustration dans le plan de Black. et correction à retard de phase FTBO db -180 ω r -90 Arg(FTBO) retard de phase 125

V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID) Transmittance de Laplace théorique :! Pas de sens physique (d num. > d dénom.). Correcteur P.I.D. réel : 126

V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID) Diagramme de Bode (P.I.D. réel). C db P.I.D. (-1) (+1) ω (log) Pivot du P.I.D. Arg C ϕ = 0 ω (log) C db = 0 ϕ = 0 127

V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID) Illustration dans le plan de Black. ω = 0 P.I.D. FTBO db -180 ω r -90 Arg(FTBO) ω = + 128

V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID) M Φ = 25 M G = 4,75 db M Φ = 67 M G = 20 db 0 db 129

V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID) 130

V.5. Modèle du 2 nd ordre T BO db FTBO ω = 0 3,6 db ω r BF = 0,29 rad/s Φ BO ω = + 131

Outils et moyens d analyse Signaux types : Rampe unitaire causale. r(t) = 0 pour t < 0 (causalité) t pour t 0 r(t) 0 t Echelon unitaire Γ(t) - Fonction de Heaviside. Γ(t) = 0 pour t < 0 (causalité) 1 pour t > 0 Γ(t) dérivée de r(t) 1 Γ(t) 1 Γ 1 (t) 0 t -ε/2 +ε/2 t 132

Impulsion unitaire δ(t) Impulsion de Dirac. Outils et moyens d analyse δ 1 (t) En dérivant Γ 1 on obtient δ 1 : 1/ε tq -ε/2 +ε/2 t pour ε! 0 δ 1! δ (distributions) δ(t) 0 t F 1 (t) aire A A.δ(t) 0 t 0 t 133

Outils et moyens d analyse Signal sinusoïdal (périodique). s(t) s(t) = A.sin(ωt) Signal de test pour la réponse fréquentielle. 0 t T Signal causal retardé. g(t) = f(t - τ) f(t) g(t) 0 t τ 0 t 134

Outils et moyens d analyse Produit de convolution. pour des signaux causals : Le dirac est l élément neutre de la convolution : (x * δ)(t) = x(t) Pour un S.L.T.I, en notant h(t) sa réponse impulsionnelle on a: y(t) = (u * h)(t) 135

Transformée de Laplace monolatère. Outils et moyens d analyse Linéarité. Convolution. Fonction de transfert H(p). 136

Outils et moyens d analyse Dérivation en temps. pour une fonction f dérivable en tout point : pour une fonction f causale avec une discontinuité d ordre 1 en 0 : Intégration. Dérivation en p. 137

Outils et moyens d analyse Théorème du retard temporel. Translation en p. Théorème de la valeur initiale. Théorème de la valeur finale. 138

Outils et moyens d analyse Transformées de Laplace usuelles. Dirac : Echelon : Rampe : 139

II.1. Système du 1 er ordre Intégrateur pur. de fonction de transfert τ.y (t) = u(t) H(p) = 1 / τ.p H(jω) = 1 / jωτ 140