Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles

Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles Denis Vekemans Ordre total compatible En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d une ensemble G, muni d une loi de composition interne notée + lui conférant une structure de groupe, et d une relation d ordre notée compatible avec la loi de groupe Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d ordre est compatible avec la loi + si, pour tous éléments x, y et g du groupe G, la relation x y entraîne les relations g + x g + y et x + g y + g On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d ordre est totale Exemples Le groupe additif (Z, +) des entiers relatifs, muni de la relation d ordre habituelle, est un groupe abélien totalement ordonné Le groupe multiplicatif (R +, ) des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné Mais le groupe multiplicatif (R, ) des réels non nuls n est pas un groupe ordonné Toujours en algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d un corps (K, +, ), muni d une relation d ordre notée compatible avec la structure de corps Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d ordre est compatible avec la structure de corps de (K, +, ) si les deux conditions suivantes sont réunies : Le groupe additif (K, +) est un groupe ordonné par la relation d ordre (c est-à-dire que celle-ci est compatible avec l addition) 2 On a, pour tous éléments x et y du corps (K, +, ) tels que x 0 et y 0, l inégalité x y 0 (la relation d ordre est compatible avec la multiplication) Par commodité, on dira par la suite qu un élément x de K est positif si l on a x 0, et qu il est négatif si l on a x 0 (on remarquera, par antisymétrie de la relation d ordre, que 0 est l unique élément du corps à la fois positif et négatif) Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

On appelle corps totalement ordonné un corps ordonné pour lequel la relation d ordre est totale Exemples Le corps Q des rationnels, muni de la relation d ordre habituelle, est un corps totalement ordonnés Le corps R des réels, muni de la relation d ordre habituelle, est un corps totalement ordonnés En revanche, le corps C des nombres complexes ne peut pas être muni d une structure de corps totalement ordonné Démonstration On raisonne par l absurde en supposant que C est muni d une relation d ordre compatible avec sa strucure de corps, et le rendant totalement ordonné On note cette relation (on prendra cependant garde à ce qu elle n a a priori aucune raison de coïncider avec la relation d ordre usuelle par restriction aux nombres réels) On note ı l un des deux nombres complexes de carré égal à Comme l ordre est total, d après la règle des signes et l égalité ı 2 =, on obtiendrait l inégalité 0 Cela entraînerait, par passage à l opposé, l inégalité 0 Mais comme 0 et sont comparables, on a nécessairement 0, et l on obtiendrait l égalité 0 =, ce qui est une contradiction Par conséquent, la relation d ordre ne peut pas être à la fois totale et compatible avec la structure de corps de C Théorème (R, +,, ) est un corps totalement ordonné Propriétés On peut additionner des inégalités : si i [[, n]], x i y i, alors n x i i= n y i i= Pour passer à l opposé une inégalité : si x y, alors y x On peut multiplier des inégalités à termes positifs : si i [[, n]], 0 x i y i, alors n n 0 x i y i i= i= Pour passer à l inverse une inégalité à termes positifs : si 0 < x y, alors 0 < y x 2 Archimède A l origine, l énoncé de l axiome d Archimède est le suivant : "Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande" Soit (G, +, ) un groupe commutatif totalement ordonné (G, +, ) vérifie l axiome d Archimède ou est archimédien si et seulement si quels que soient les éléments a > 0 et b 0 de G, il existe un entier naturel n tel que n a b Soit (K, +,, ) un corps totalement ordonné (K, +,, ) vérifie l axiome d Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif (K, +, ) lui-même est archimédien 2/9 Mathématiques

Théorème 2 R est archimédien 3 Valeur absolue Soit x R, on définit sa valeur absolue x par x = x si x 0 et x = x si x < 0 Propriétés x R, x R + x R, x = 0 x = 0 x R, x x x x R, y R, x y = x y x R, y R, x y = x y La distance d(x, y) entre deux valeurs réelles x et y peut s exprimer à l aide de la valeur absolue : d(x, y) = x y Théorème 3 Inégalités triangulaires x R, y R, x + y x + y x R, y R, x y x + y 4 Borne supérieure Théorème 4 Théorème de la borne supérieure Toute partie A non vide majorée de l ensemble R des nombres réels admet une borne supérieure sup A Caractérisation de la borne supérieure Soit A une partie non vide majorée de l ensemble R, le réel M est sup A si et seulement si M majore A (ie x A, x M) et M ε ne majore pas A (ie ε > 0, x A tel que M ε < x M) Une partie I de R est un intervalle si lorsqu elle contient deux réels, elle contient alors tous les réels intermédiaires En d autres termes, x I, y I, [x, y] I Il en existe différents types : [a, [, ], b], ]a, [, ], b[, [a, b], {a}, [a, b[, ]a, b],, R 5 Partie entière d un réel Soit x un réel, le plus grand entier inférieur ou égal à x est appelé partie entière de x et se note E(x) On a donc pour tout réel x : E(x) Z et E(x) x < E(x) + Valeurs décimales approchées La partie entière permet de définir les valeurs décimales par excès et par défaut d un réel x donné : pour x R et n N, la valeur décimale par défaut de x à 0 n près est u n = E(0n x) 0 et la valeur décimale par excès de x à 0 n près est v n n = +E(0n x) 0 = u n n + 0 n Densité de Q dans R Il existe une suite (croissante) de nombres rationnels (r n ) n convergeant vers x 3/9 Mathématiques

Théorème 5 Soit ]a, b[ un intervalle non vide de R Alors, il existe r Q tel que r ]a, b[ On dit que Q est dense dans R 6 Suites réelles Soit l R On dit que la suite (u n ) n N converge vers l si ε > 0, N N tel que n N = u n l ε On note lim u n = l ou u n l et on dit que la suite est convergente Si la suite ne converge vers aucun réel, on dit que la suite est divergente Théorème 6 La suite (u n ) n N converge vers l si et seulement si la suite ( u n l ) n N converge vers 0 Théorème 7 R est complet (ie toute suite de Cauchy de R converge et réciproquement) Théorème 8 Si la suite (u n ) n N converge, alors sa limite est unique Théorème 9 Toute suite convergente est bornée La suite (v n ) n N est extraite de la suite (u n ) n N s il existe une application φ strictement croissante de N dans N telle que v n = u φ(n) Théorème 0 Toute suite extraite d une suite convergente (u n ) n N converge vers la même limite que (u n ) n N Théorème Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles, λ et µ deux réels Si lim u n = l et lim v n = l 2, alors lim λu n + µv n = λl + µl 2 Si lim u n = l et lim v n = l 2, alors lim u n v n = l l 2 Si lim u n = l et lim v n = l 2 0, alors lim u n vn = l l2 Théorème 2 Soient (u n ) n N une suite convergeant vers l et soient λ et µ deux réels Si pour tout n N, u n λ, alors l λ Si pour tout n N, u n µ, alors l µ Théorème du gendarme Si pour tout n N, u n α n et si lim α n = 0, alors lim u n = 0 On dit que la suite (u n ) n N tend vers + ou diverge vers + et on note lim u n = + ou u n + si A R, N N tel que n N = u n A 4/9 Mathématiques

On dit que la suite (u n ) n N tend vers ou diverge vers et on note lim u n = ou u n si Théorème 3 Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles A R, N N tel que n N = u n A Si lim u n = + et si (v n ) n N est minorée, alors lim u n + v n = + Si lim u n = + et lim v n = l > 0, alors lim u n v n = + Si lim u n = +, alors lim u n = 0 Si u n > 0 et lim u n = 0, alors lim u n = + Théorème 4 Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles telles que : lim v n = +, 2 n N, v n u n, alors la suite (u n ) n N diverge aussi vers + Théorème 5 Théorème de la limite monotone Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite croissante et non majorée diverge vers + On dit que les suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes si l une est crcoissante, l autre décroissante et si la suite (u n v n ) n N tend vers 0 Théorème 6 Théorème des suites adjacentes Si les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes, alors elles convergent toutes les deux vers la même limite Théorème 7 Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente si Soit la suite réelle (u n ) n N et soit λ R On dit que λ est une valeur d adhérence de la suite (u n ) n N ε > 0, N N, n N, tel que u n λ < ε Caractérisation de la valeur d adhérence Soit la suite réelle (u n ) n N et soit λ R "λ est une valeur d adhérence de la suite (u n ) n N " équivaut à "il existe une suite extraite de (u n ) n N, de limite λ" Théorème 8 Soit A une partie de R a est un point d accumulation de A si et seulement s il existe une suite de (u n ) n N d éléments de A distincts de a lui-même telle que lim u n = a 5/9 Mathématiques

Suites récurrentes du type u n+ = f(u n ) On dit que I est un intervalle stable pour f si f(i) I Théorème 9 Si u 0 I et si u n+ = f(u n ) avec I intervalle stable pour f, alors la suite (u n ) n N est définie, quand f est croissante, la suite (u n ) n N est croissante lorsque u > u 0 et décroissante lorsque u < u 0, et quand f est décroissante, la suite (u 2n ) n N est croissante lorsque u 2 > u 0 et décroissante lorsque u 2 < u 0, pendant que la suite (u 2n+ ) n N est de monotonie contraire Exercice Justifier que le groupe multiplicatif (R, ) des réels non nuls n est pas un groupe ordonné Exercice 2 On définit la fonction g : R R ; x g(x) = Démontrer que pour tout (x, y) R 2, g(x + y) g(x) + g(y) x + x Exercice 3 Montrer que si A = { n n N }, alors sup A = Exercice 4 Soit A une partie non vide et majorée de R Soit M un majorant de A tel qu il existe une suite (u n ) n N d éléments de A qui converge vers M Montrer que sup A = M 2 Application : déterminer sup A et inf A pour A = {( ) n+ + n n N } Exercice 5 Pour tout n N, on définit l ensemble de réels E n = {k + n k k N } Montrer que E n admet une borne inférieure et que inf E n = inf k [[,n]] ( k + n k) 2 Montrer que n N, inf E n 2 n Dans quels cas y a-t-il égalité inf E n = 2 n? Exercice 6 0n définit l ensemble de réels E = { m + n m N, n N } Déterminer inf E et sup E Exercice 7 Montrer que x R, n Z, E(x + n) = E(x) + n Exercice 8 Exercice 9 Soit x R et n N Montrer que E( E(nx) n ) = E(x) Soit x R et n N Montrer que n k=0 E(x + k n ) = E(nx) Exercice 0 Montrer que toute suite extraite d une suite convergente est convergente de même limite 6/9 Mathématiques

Exercice Soit (u n ) n N une suite On suppose que les suites extraites (u 3n ) n N, (u 2n ) n N et (u 2n+ ) n N sont convergentes Montrer qu elles ont même limite et que (u n ) n N converge Exercice 2 Montrer que la suite (cos n) n N diverge Exercice 3 Montrer que la suite ( n k= k ) n N diverge Exercice 4 Moyenne de Cesaro Soit (u n ) n N une suite qui converge vers l On pose n N, v n = n+ n p=0 u p Montrer que la suite (v n ) n N converge vers l 2 Réciproquement, considérer l une des suites (( ) n ) n N ou (sinn) n N, et conclure 3 On suppose, de plus, que (u n ) une suite croissante Montrer que si (v n ) n N converge vers l, (u n ) n N converge vers l Exercice 5 Soit (u n ) n N une suite qui converge vers l On pose n N, v n = n 2 n p= pu p Montrer que la suite (v n ) n N converge vers l 2 Exercice 6 et Soit (a n ) n N une suite qui vérifie lim (a n+ a n ) = l Déterminer lim a n lim n n p= a p n 2 Exercice 7 Soient (u n ) n N une suite qui converge vers l et (v n ) n N une suite qui converge vers l On pose n N, w n = n+ n p=0 u pv n p Montrer que la suite (w n ) n N converge vers ll Exercice 8 Prouver que lim n p= p! n! = Exercice 9 Montrer que la suite de terme général u n = n que la suite de terme général v n = n p= Exercice 20 2 lim u n 2n+2p+ p= n+p est monotone et convergente ; montrer est monotone et convergente Montrer que la suite de terme général u n = n p= est convergente et que (n+k)(n+k+) Exercice 2 On considère les deux suites de termes généraux u n = n p=0 p! et v n = u n + nn!, pour n Montrer qu elles sont adjacentes Montrer que leur limite commune n est pas rationnelle 7/9 Mathématiques

Exercice 22 Soit la suite de terme général u n = cos(n!πx), où x est un réel donné Montrer que si x est rationnel, (u n ) est convergente La réciproque est-elle vraie? Exercice 23 Soit (p n ) n N une suite bornée d entiers naturels non nuls Soit (q n ) n N une suite d entiers naturels non nuls tels que q n divise q n+, avec lim u n = n p k k= q k converge vers une limite non rationnelle q n q n+ = 0 Montrer que la suite de terme général Exercice 24 Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 3 2 et u n+ = 2u n + 3 Exercice 25 Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 2 3 et u n+ = 3u n 2 Exercice 26 Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 2 et u n+ = 2 u n Exercice 27 Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 R et u n+ = 3 (4 u2 n) Exercice 28 Suites homographiques Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 R et u n+ = un 3 2u n Exercice 29 Suites homographiques Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 R et u n+ = +un u n Exercice 30 u n+2 = u n++2u n 3 Suites à récurrence linéaire Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 R, u R et Exercice 3 et u n+3 = 8u n+2 5u n+ +u n 4 Suites à récurrence linéaire Etudier la suite (u n ) n N définie par u 0 R, u R, u 2 R Exercice 32 Etudier les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par u 0 et v 0 réels positifs et les relations u n+ = u n + v n 2 et v n+ = 2u nv n u n + v n Exercice 33 Etudier les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par u 0 R et v 0 R et les relations u n+ = 2u n + v n 3 et v n+ = u n + 2v n 3 8/9 Mathématiques

Références [] D Duverney, S Heumez, G Huvent, Toutes les mathématiques MPSI PCSI PTSI TSI, Ellipses, 2004 [2] M Messeri, Exercices de mathématiques 2 Analyse I, Belin, Collection DIA, 987 9/9 Mathématiques