Application de la formule de la co-aire à deux problèmes d évolution géométrique.

Application de la formule de la co-aire à deux problèmes d évolution géométrique. François Dayrens Journées MMCS 19 décembre 2014 François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 1 / 44

Plan 1 Introduction 2 Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Notion d aire faible 3 Formule de la co-aire Définition et exemples Retour sur le mouvement par courbure moyenne 4 Flot de Willmore Flot régulier François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 2 / 44

Introduction Plan 1 Introduction 2 Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Notion d aire faible 3 Formule de la co-aire Définition et exemples Retour sur le mouvement par courbure moyenne 4 Flot de Willmore Flot régulier François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 3 / 44

Introduction Flot géométrique V : R 2 R 2 François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 4 / 44

Introduction Flot géométrique V : R 2 R 2 V : γ R 2 François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 4 / 44

Introduction Singularités des flots géométriques Croisement : François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 5 / 44

Introduction Singularités des flots géométriques Croisement : Pincement : François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 5 / 44

Introduction Représentation Comment représenter une courbe ou une surface? Par paramétrisation : autorise/ne voit pas les croisements ; calcul plus facile. Par équation implicite : autorise les changements de topologie ; méthode numérique plus précise/stable. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 6 / 44

Introduction Représentation Comment représenter une courbe ou une surface? Par paramétrisation : autorise/ne voit pas les croisements ; calcul plus facile. Par équation implicite : autorise les changements de topologie ; méthode numérique plus précise/stable. Comment aller au-delà des singularités? régulier non-régulier François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 6 / 44

Mouvement par courbure moyenne Plan 1 Introduction 2 Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Notion d aire faible 3 Formule de la co-aire Définition et exemples Retour sur le mouvement par courbure moyenne 4 Flot de Willmore Flot régulier François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 7 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Flot d une courbe dans le plan Soit γ : I R 2 une courbe C 2 régulière ( γ (s) > 0). Courbure La courbure de γ est donnée par κ(s) = det(γ (s), γ (s)) γ (s) 3. Soit (γ t ) t J une famille de courbes régulières. Mouvement par courbure moyenne La famille (γ t ) décrit un mouvement par courbure moyenne si elle satisfait l équation dγ t dt = κ γ t n γt. n γt est le vecteur unitaire normal à la courbe tel que (γ t, n γt ) soit directement orienté. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 8 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Exemple de flot par courbure moyenne dans le plan François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 9 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Courbure d une surface dans R 3 Soit M une surface C 2 de R 3. Courbure moyenne H = 1 2 (κ 1 + κ 2 ). κ 1, κ 2 : courbures principales. Normale : n. Vecteur courbure moyenne : H = H n. image Wikipédia Equation implicite Si M est donnée par une( équation ) implicite M = {x R 3 f (x) = 0} alors n = ± f f et H = div ± f f. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 10 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Flot d une surface dans R 3 Soit (M t ) t J une famille de surfaces. Mouvement par courbure moyenne La famille (M t ) décrit un mouvement par courbure moyenne si elle satisfait l équation dm t = H t. dt Equation implicite Si la famille est donnée par une équation implicite M t = {x R 3 f (t, x) = 0} alors la fonction (f t ) satisfait l équation ( ) f t f = f div f François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 11 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Propriété du flot par courbure moyenne 1 Flots gradient associés aux énergies longueur : l(γ) = γ (s) ds I aire : A(M) = dσ. M François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 12 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Propriété du flot par courbure moyenne 1 Flots gradient associés aux énergies longueur : l(γ) = γ (s) ds I aire : A(M) = dσ. M 2 Principe d inclusion : soient (E t ) et (F t ) deux familles d ensembles dont les bords évoluent par courbure moyenne, si E 0 F 0 alors tant que le flot est bien défini on a E t F t. 3 Si la condition initiale est compacte alors le flot existe sur un petit intervalle de temps. 4 Apparition de singularité en temps fini : évolution du cercle C(0, r(t)) r (t) = 1 r(t) r(t) = r 0 2t Le cercle s écrase sur son centre en temps fini. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 12 / 44

Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Une énergie non régulière? Comment définir une notion de longueur, de périmètre ou d aire pour des objets peu réguliers? François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 13 / 44

Mouvement par courbure moyenne Notion d aire faible Fonctions à variation bornée Soit Ω un ouvert de R d. Fonction BV f : Ω R est à variation bornée si f L 1 (Ω) et { } TV (f, Ω) = sup f div ϕdx ϕ Cc 1 (Ω, R d ), ϕ 1 Ω < +. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 14 / 44

Mouvement par courbure moyenne Notion d aire faible Fonctions à variation bornée Soit Ω un ouvert de R d. Fonction BV f : Ω R est à variation bornée si f L 1 (Ω) et { } TV (f, Ω) = sup f div ϕdx ϕ Cc 1 (Ω, R d ), ϕ 1 Ω < +. BV (Ω) muni de f BV = f L 1 + TV (f, Ω) est un espace de Banach W 1,1 (Ω) BV (Ω) L 1 (Ω) Pour f W 1,1 (Ω) on a TV (f, Ω) = Ω f dx. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 14 / 44

Mouvement par courbure moyenne Notion d aire faible BV en tant qu espace fonctionnel Semi-continuité inférieure. Densité de C. Compacité. Trace. Inégalité type Poincaré. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 15 / 44

Mouvement par courbure moyenne Notion d aire faible Périmètre Soit E R d un ensemble mesurable. Périmètre On dit que E est de périmètre fini dans Ω si sa fonction indicatrice 1 E est à variation bornée dans Ω. On note P(E, Ω) = TV (1 E, Ω) son périmètre. a TV = a Si E Ω est régulier alors P(E, Ω) = Aire( E). Inégalité isopérimétrique : si E Ω alors E d 1 C ( P(E, Ω) ) d. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 16 / 44

Mouvement par courbure moyenne Notion d aire faible Flot d une énergie non régulière? Comment définir le flot de P? François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 17 / 44

Mouvement par courbure moyenne - Idée générale d une énergie F : X R. point initial François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 18 / 44

Mouvement par courbure moyenne - Idée générale d une énergie F : X R. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 18 / 44

Mouvement par courbure moyenne Soit X un espace de Hilbert et F : X R une fonctionnelle. Si F est C 1 alors son flot gradient est défini par { u (t) = F(u(t)) u(0) = x. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 19 / 44

Mouvement par courbure moyenne Soit X un espace de Hilbert et F : X R une fonctionnelle. Si F est C 1 alors son flot gradient est défini par { u (t) = F(u(t)) Méthode d Euler implicite : u(0) = x. F(u n+1 ) + u n+1 u n τ = 0. Fait intervenir le gradient de la fonction v F(v) + 1 2τ v u n 2. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 19 / 44

Mouvement par courbure moyenne Soit X un espace de Hilbert et F : X R une fonctionnelle. Suite minimisante On dit que (u n ) est une suite minimisante de F partant de x si u 0 = x et ( u n+1 argmin F(v) + 1 ) v X 2τ v u n 2. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 19 / 44

Mouvement par courbure moyenne Soit X un espace de Hilbert et F : X R une fonctionnelle. Suite minimisante On dit que (u n ) est une suite minimisante de F partant de x si u 0 = x et ( u n+1 argmin F(v) + 1 ) v X 2τ v u n 2. Pour t [0, + [, on pose u τ (t) = u n avec n = [t/τ]. On dit que u : [0, + [ X est un mouvement minimisant si c est la limite (pour la convergence uniforme) d une suite extraite de (u τ ) τ lorsque τ 0. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 19 / 44

Mouvement par courbure moyenne Mesure d écart entre deux ensembles On peut définir un mouvement minimisant sur un espace dès qu on a une manière de mesurer l écart entre deux éléments de cet espace. Pour les ensembles mesurables : On note E F = (E F ) (F E) la différence symétrique entre deux ensembles. L application est un mauvais choix car (E, F ) E F = 1 E 1 F L 1 r P(B(0, r)) + 1 B(0, r) B(0, 1) 2τ est minimal en r = 1 pour τ assez petit. Donc le mouvement minimisant est stationnaire. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 20 / 44

Mouvement par courbure moyenne Mesure d écart entre deux ensembles On peut définir un mouvement minimisant sur un espace dès qu on a une manière de mesurer l écart entre deux éléments de cet espace. Pour les ensembles mesurables : L application est un mauvais choix. (E, F ) E F = 1 E 1 F L 1 On note sd la distance signée à un ensemble : L application sd(x, E) = d(x, E) d(x, R d E). (E, F ) permet d éviter le stationnement. E F sd(x, E) dx François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 20 / 44

Mouvement par courbure moyenne Luckhaus-Sturzenhecker (1995) dans l espace BV (Ω, {0, 1}). E ensemble de périmètre fini dans Ω f = 1 E f fonction de BV (Ω, {0, 1}) La suite minimisante est définie en minimisant la fonction E P(E, Ω) + 1 sd(x, E n ) dx. τ E E n Cette suite permet de définir un mouvement minimisant pour P. S. Luckhaus, T. Sturzenhecker. Implicit time discretization for the mean curvature flow equation. Calculus of Variations. 3 : 253-271 (1995). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 21 / 44

Mouvement par courbure moyenne Chambolle (2004) dans l espace L 2 (Ω). 1 Soit E 0 un ensemble mesurable. On minimise f TV (f, Ω) + 1 f (x) sd(x, E 0 ) 2 dx. τ 2 En notant f 1 un minimum, on pose Ω E 1 = {x Ω f 1 (x) < 0}. 3 on itère la minimisation en remplaçant E 0 par E 1 : f TV (f, Ω) + 1 f (x) sd(x, E 1 ) 2 dx. τ 4 On construit ainsi une suite minimisante. Cette suite permet de définir un mouvement minimisant pour P. Principe d inclusion : si E F alors à chaque étape E n F n. Ω François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 22 / 44

Mouvement par courbure moyenne Algorithme Figure: Exemple d évolution par courbure moyenne A. Chambolle. An algorithme for mean curvature motion. Interfaces and Free Boundary. 6 : 195-218 (2004). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 23 / 44

Formule de la co-aire Plan 1 Introduction 2 Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Notion d aire faible 3 Formule de la co-aire Définition et exemples Retour sur le mouvement par courbure moyenne 4 Flot de Willmore Flot régulier François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 24 / 44

Formule de la co-aire Définition et exemples Formule de la co-aire Soient n m deux entiers et f : R n R m une fonction lipschitzienne. Definition : Formule de la co-aire Pour toute fonction g L 1 (R n ) : g(x)j f (x)dx = R n R m ( ) gdh n m dy. f 1 (y) f 1 (y 1 ) f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) f 1 (y 2 ) François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 25 / 44

Formule de la co-aire Définition et exemples Exemple 1 g(x)j f (x)dx = R n R m Coordonnées polaires : f (x) = x g(x)dx = R n 0 + ( ) gdh n m dy. f 1 (y) ( avec σ la mesure d aire sur la sphère B(0, r). gdσ B(0,r) ) dr François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 26 / 44

Formule de la co-aire Définition et exemples Exemple 2 g(x)j f (x)dx = R n R m Variation totale d une fonction lipschitzienne Pour m = 1 et g = 1, on a R n f (x) dx = + R n f (x) dx est la variation totale de f ( ) gdh n m dy. f 1 (y) H n 1 ({f = λ}) dλ. H n 1 ({f = λ}) est le périmètre de la ligne de niveau {f = λ} François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 27 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Formule de la co-aire pour BV Formule de la co-aire Soit f BV (Ω), on note E λ = {x Ω f (x) λ} ses ensembles de niveau. Pour presque tout λ, E λ est de périmètre fini et TV (f, Ω) = + P(E λ, Ω)dλ. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 28 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Vers le flot TV Soit f 0 : R d R, le mouvement minimisant de {f 0 λ} est donné par la minimisation de E P(E) + 1 τ E {f 0 λ}. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 29 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Vers le flot TV Soit f 0 : R d R, le mouvement minimisant de {f 0 λ} est donné par la minimisation de E P(E) + 1 τ E {f 0 λ}. En utilisant la formule de la co-aire et f f 0 L 1 = + On obtient un flot dans BV défini par : {f 0 λ} {f λ} dλ. f TV (f ) + 1 τ f f 0 L 1. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 29 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Traitement des images 1 f 7 TV (f ) + f f0 2L2. τ Figure: Exemple de débruitage d image François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 30 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Traitement des images Figure: Exemple de débruitage d image - zoom P. Getreuer. Rudin-Osher-Fatemi Total Variation Denoising using Split Bregman. Image Processing On Line. 2 : 74-95 (2012). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 30 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Etude du flot TV Dans le cas régulier Le flot est défini par l EDP TV (f ) = f dx. R d t f = div f f. Rappel : Flot d une surface donnée par son équation t f = f div f f. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 31 / 44

Formule de la co-aire Retour sur le mouvement par courbure moyenne Etude du flot TV Dans le cas régulier TV (f ) = f dx. R d Le flot est défini par l EDP t f = div f f. Le problème est bien posé pour f 0 L 2. Dans R 2, pour f 0 = 1 E avec E convexe... le flot est donné par où λ E = P(E) E f t = (1 λ E t) + 1 E G. Bellettini, V. Caselles, M. Novaga. The total variation flow in R n. Journal of Differential Equations. 184 : 475-525 (2002). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 31 / 44

Flot de Willmore Plan 1 Introduction 2 Mouvement par courbure moyenne Flot régulier Notion d aire faible 3 Formule de la co-aire Définition et exemples Retour sur le mouvement par courbure moyenne 4 Flot de Willmore Flot régulier François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 32 / 44

Flot de Willmore Flot régulier Energie de Willmore Energie de Willmore d une surface Soit M une surface régulière de R 3 et H sa courbure moyenne. W (M) = H 2 dh 2. M François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 33 / 44

Flot de Willmore Flot régulier Energie de Willmore Energie de Willmore d une surface Soit M une surface régulière de R 3 et H sa courbure moyenne. W (M) = H 2 dh 2. La courbure totale d une courbe γ : κ ds. L énergie élastique d une courbe γ : κ 2 ds. L énergie invariante par homothétie d une hypersurface S : H d 1 dh d 1. M François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 33 / 44

Flot de Willmore Flot régulier Energie de Willmore Energie de Willmore d une surface Soit M une surface régulière de R 3 et H sa courbure moyenne. W (M) = H 2 dh 2. La courbure totale d une courbe γ : κ ds. L énergie élastique d une courbe γ : κ 2 ds. L énergie invariante par homothétie d une hypersurface S : H d 1 dh d 1. Applications : M mécanique : énergie de tension d une tige élastique ; biologie : énergie de tension de surface des globules rouges (Helfrich). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 33 / 44

Flot de Willmore Flot régulier Flot de Willmore Flot de Willmore Le flot de Willmore est défini comme étant la déformation qui diminue le plus l énergie de Willmore. Pour une famille de courbes γ t, l équation du flot est dγ t (κ dt = + 12 ) κ3 n avec n une normale à la courbe γ t et κ la courbure. Pour une famille de surfaces M t, l équation du flot est dm t dt = ( H + 2H(H 2 K) ) n avec n une normale à la surface M t, l opérateur de Laplace-Beltrami et K = κ 1 κ 2 la courbure de Gauss. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 34 / 44

Flot de Willmore Flot régulier Propriété du flot Existence en temps court du flot pour une surface compacte. Existence en temps long pour une surface proche d une sphère et convergence vers une sphère. Existence en temps long pour une surface de basse énergie et convergence vers une sphère. Pas de propriété d inclusion. E. Kuwert, R. Schätzle. The Willmore flow with small initial energy. Journal of Differential Geometry. 57 : 409-441 (2001) G. Simonett. The Willmore flow near spheres. Differential and Integral Equations. 14 : 1005-1014 (2001) François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 35 / 44

Flot de Willmore Flot régulier N. Olischläger, M. Rumpf. Two Step Time Discretization of Willmore Flow. (Mathematics of Surfaces XIII). Lecture Notes in Computer Science. 5654 : 278-292 (2009) François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 36 / 44 Exemple numérique

Flot de Willmore Flot régulier Fonctionnelle de Willmore Énergie de Willmore Soit u L 1 (R d ), on définit son énergie de Willmore par W (u) = u u 2 div R d u dx si u est C 2 et + sinon. Par la formule de la co-aire, on a pour u C 2 : + + W (u) = H 2 dh d 1 dλ = W ({u λ})dλ. {u λ} François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 37 / 44

Flot de Willmore Flot régulier Fonctionnelle de Willmore Énergie de Willmore Soit u L 1 (R d ), on définit son énergie de Willmore par W (u) = u u 2 div R d u dx si u est C 2 et + sinon. Énergie relaxée On définit les relaxées par W (u) = lim inf{w (u n ) u n u dans L 1 } et W (E) = lim inf{w (E n ) E n u dans L 1 }. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 37 / 44

Flot de Willmore On construit un mouvement minimisant avec la fonctionnelle u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. W n induit pas de compacité dans L 1. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 38 / 44

Flot de Willmore On construit un mouvement minimisant avec la fonctionnelle u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. W n induit pas de compacité dans L 1. Soit Ω un ouvert borné lipschitzien et L M = {u BV (Ω) TV (u, Ω) M}. Théorème (D. 2013) W admet un mouvement minimisant dans AC 2 loc ([0, + [, L M) où AC 2 est l ensemble des fonctions absolument continues d exposant 2. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 38 / 44

Flot de Willmore Cas des fonctions radiales W (u) = u u div R d u On note W les relaxées, on a + d 1 dx W (E) = W ({u λ})dλ W (u). E H d 1 dh d 1 François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 39 / 44

Flot de Willmore Cas des fonctions radiales Fonctions radiales λ u : R d R est une fonction radiale décroissante si {u λ} = B(0, r(λ)) avec r décroissante. 0 r 0 (λ) x Soit u une fonction radiale décroissante, positive, bornée et à support compact : + 0 u 0 W ({u λ})dλ = W (u). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 39 / 44

Flot de Willmore Étude du mouvement minimisant (1/2) 1 Condition initiale : u 0 radiale décroissante (positive, bornée et à support compact) et r 0 sa fonction rayon. 2 On étudie la minimisation de 3 Pour tout candidat u F : u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. fonction u radialisée ũ François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 40 / 44

Flot de Willmore Étude du mouvement minimisant (1/2) 1 Condition initiale : u 0 radiale décroissante (positive, bornée et à support compact) et r 0 sa fonction rayon. 2 On étudie la minimisation de F : u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. 3 Pour tout candidat u on remplace chaque {u λ} par une boule B(0, r(λ)) de même volume ; on définit une fonction ũ telle que On appelle ũ la radialisée de u. {ũ λ} = B(0, r(λ)). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 40 / 44

Flot de Willmore Intérêt de la radialisation Les boules minimisent W et W donc W ({ũ λ}) W ({u λ}). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 41 / 44

Flot de Willmore Intérêt de la radialisation Les boules minimisent W et W donc W ({ũ λ}) W ({u λ}). {ũ λ} et {u λ} ont le même volume. {ũ λ} et {u 0 λ} sont des boules concentriques. + f g = {f λ} {g λ} dλ {u λ} {u 0 λ} {ũ λ} {u 0 λ} François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 41 / 44

Flot de Willmore Intérêt de la radialisation Les boules minimisent W et W donc W ({ũ λ}) W ({u λ}). {ũ λ} et {u λ} ont le même volume. {ũ λ} et {u0 λ} sont des boules concentriques. + f g = {f λ} {g λ} dλ Donc et ainsi {ũ λ} {u0 λ} {u λ} {u0 λ} Finalement F(ũ) F(u). ũ u 0 u u 0. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 41 / 44

Flot de Willmore Étude du mouvement minimisant (2/2) 1 Condition initiale : u 0 radiale décroissante. 2 On étudie la minimisation de F : u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. 3 Pour tout candidat u, on définit sa radialisée ũ. 4 On obtient F(ũ) F(u). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 42 / 44

Flot de Willmore Étude du mouvement minimisant (2/2) 1 Condition initiale : u 0 radiale décroissante. 2 On étudie la minimisation de F : u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. 3 Pour tout candidat u, on définit sa radialisée ũ. 4 On obtient F(ũ) F(u). 5 W (ũ) ne dépend que de sup ũ (co-aire). Les troncatures sont les meilleurs minimiseurs (parmi les fonctions radiales décroissantes) u 1 = min(u 0, λ 1 ) avec 0 λ 1 < sup u 0. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 42 / 44

Flot de Willmore Étude du mouvement minimisant (2/2) 1 Condition initiale : u 0 radiale décroissante. 2 On étudie la minimisation de F : u W (u) + 1 2τ u u 0 2 L 1. 3 Pour tout candidat u, on définit sa radialisée ũ. 4 On obtient F(ũ) F(u). 5 W (ũ) ne dépend que de sup ũ (co-aire). Les troncatures sont les meilleurs minimiseurs (parmi les fonctions radiales décroissantes) u 1 = min(u 0, λ 1 ) avec 0 λ 1 < sup u 0. 6 En itérant le processus, on construit une suite décroissante (λ n ) et une suite minimisante pour F : u n = min(u 0, λ n ). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 42 / 44

Flot de Willmore Conclusion La suite minimisante converge et on obtient le comportement suivant. Théorème (D. 2014) Pour toute fonction u 0 L 1 (R d ) radiale décroissante, bornée, positive et à support compact, il existe un mouvement minimisant t u t pour W partant de u 0. Il existe une fonction λ : [0, + [ R + telle que u t = min(u 0, λ(t)). François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 43 / 44

Flot de Willmore Conclusion La suite minimisante converge et on obtient le comportement suivant. Théorème (D. 2014) Pour toute fonction u 0 L 1 (R d ) radiale décroissante, bornée, positive et à support compact, il existe un mouvement minimisant t u t pour W partant de u 0. Il existe une fonction λ : [0, + [ R + telle que u t = min(u 0, λ(t)). De plus, λ(0) = 0 et, en supposant que la fonction rayon r 0 associée à u 0 soit continue, pour tout t tel que λ(t) > 0 on a C d λ (t) = r 0 (λ(t)) 2d avec C d une constante dimensionnelle. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 43 / 44

Flot de Willmore u t λ(0) λ(t) 0 x Figure: u t. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 44 / 44

Flot de Willmore u t λ(0) λ(t) 0 x Figure: u t. Merci pour votre attention. François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre 2014 44 / 44