L épreuve de mathématiques du DNB Les sujets Cette partie est consacrée aux sujets qui pourraient être proposés en épreuves finales du diplôme national du brevet à partir de juin 0. Leurs structure, contenu et objectifs respectent donc cette nouvelle maquette. Description SE PRÉPARER Ces sujets doivent permettre d évaluer les acquis des élèves, ceux-ci relevant de l intégralité du programme de la classe de e pour les élèves de la voie générale et exclusivement sur les points relevant du socle pour les élèves de la voie professionnelle. Ils sont constitués de six à dix exercices indépendants à réaliser dans l ordre de son choix. Pour chacun d entre eux, un équilibre est recherché entre : les différentes parties du programme et Résoudre des problèmes leurs attendus en fin de collège ; Rechercher, extraire et organiser l information utile. Mesurer, calculer, appliquer des consignes ; les quatre premiers items de la compétence Modéliser, conjecturer, raisonner et démontrer du socle commun appliqués à la résolution Argumenter et présenter les résultats à l aide d un langage adapté. d un problème mathématique (voir ci-contre). Un des exercices au moins, a pour objet une tâche non guidée exigeant donc une prise d initiative de sa part. Le tableau de la page 7 atteste de cette répartition sur les 4 sujets proposés en indiquant quels exercices : traitent de chacun des attendus du programme en fin de collège ; nécessitent de prendre des initiatives ; mettent en œuvre l un des quatre items de la compétence. Le dernier item de la compétence du socle concernant la plupart des exercices, sa ligne est ouverte. Quelques conseils, indications destinés à l élève Des temps de réalisation ont été indiqués afin de vous apprendre à vous organiser le jour de l épreuve. 8 points Le barème est donné à titre indicatif mais peut être modifié, il n est pas une base du choix. Les exercices sont à réaliser dans l ordre qui vous convient, qui vous permet surtout de valoriser ce que vous savez faire, et pour cela, vous devez commencer par lire le sujet intégralement. Ensuite, vous devez garder à l esprit que, si l évaluation doit certes prendre en compte la clarté et la précision des raisonnements, elle prendra également en compte les essais et les démarches engagées même non abouties. En conséquence, vous devez prendre l habitude de limiter votre brouillon et rédiger au fur et à mesure sur votre copie, le brouillon servant plus pour l esquisse d une figure, la dernière mise au point d un raisonnement, ou un calcul intermédiaire. Donc, un va et vient entre les deux supports doit s instaurer. Vous devez vous exprimer dans une langue correcte puisque quatre points seront éventuellement réservés à l évaluation de votre maîtrise de celle-ci et vous relire au fur et à mesure car la fin de l épreuve peut être précipitée. SE préparer 55
SUJET Exercice 8 points 56 SUJET SE PRÉPARER Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera point, l absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse correspondante. ABCD est un carré de côté (IJ) et (KL) sont parallèles HI =, cm ; HL =,4 cm ; HK =,5 cm et IJ =,8 cm. A, B, C et D sont 4 points d un cercle de diamètre 5 cm ; le triangle ABD est rectangle en D et BAD = 7. I B C Exercice 4 points J cm. H A D K L 7 A B C D Réponse A Réponse B Réponse C Le périmètre de ABCD Le périmètre de ABCD Le périmètre de ABCD est égal à 8 cm est égal à 8 cm est égal à 8 8 cm L aire de ABCD est L aire de ABCD est L aire de ABCD est égale à 8 cm égale à 6 cm égale à 4 cm AC = 4 cm AC = 4 cm AC = 6 cm KL =, cm KL,7 cm KL,7 cm 4 HJ, cm HJ 5, cm HJ = cm Le triangle ABC est rectangle Le triangle ABC est isocèle Le triangle ABC est équilatéral BD 5, cm BD,5 cm BD 4,8 cm 7 BCD = 6,5 BCD = 7 BCD = 46 Pour une personne, le cocktail Délices des îles se prépare en mélangeant : 6 cl de jus de maracuja ; 4 cl de jus de goyave ; cl de jus de kiwi ; cl de jus d ananas.. Quels sont les ingrédients nécessaires à la préparation de litres de ce cocktail?. On verse 5 cl de ce cocktail dans un verre cylindrique de 5 cm de diamètre. Jusqu à quelle hauteur le cocktail monte-t-il dans le verre (on donnera un arrondi au mm)? Exercice 4 points Luxiang a reçu un collier formé de 50 petites perles en métal de mm de diamètre. Les perles sont toutes du même métal. Elle se demande si le collier est en or ou en argent, et décide de le peser. Elle trouve environ g. Sachant que la masse volumique de l argent est de 0,5 g/cm, et celle de l or de 9, g/cm, son collier est-il en or ou en argent? Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l évaluation. Exercice 4 points On considère l expression A(n) = (n + ) - (n - ).. Développer et réduire A(n).. En déduire 00-999.. Quels sont les nombres n tels que (n + ) - (n - ) = 00. 5 6 8
SUJET SUJET 57 Exercice Exercice Exercice Exercice 4 Les couples de réponses sont : (, B) ; (, A) ; (, A) ; (4, A) ; (5, C) ; (6, A) ; (7, C) ; (8, B).. Pour une personne, on obtient 6 + 4 + + = 5 cl de cocktail. On veut obtenir L soit 00 cl de cocktail, c est à dire 0 fois plus. Les quantités de chaque ingrédient, exprimées en centilitres, s obtiennent en les multipliant chacune par 0. On a donc besoin de 0 cl de jus de maracuja, 80 cl de jus de goyave, 60 cl de jus de kiwi et 40 cl de jus d ananas.. Le cocktail dans le verre épouse la forme d un cylindre de 5 cm de diamètre soit,5 cm de rayon dont le volume est de 5 cl. 5 cl = 0,5 L = 0,5 dm = 50 cm. Si la hauteur de cocktail est nommée h, le volume du cocktail s écrit π r h = π,5 h. Ce qui donne : π,5 h = 50, donc h = π 50,5 soit h 7,6. Le cocktail monte à 7,6 cm environ dans le verre. Le diamètre de chaque perle étant de mm, le rayon est de,5 mm. Le volume d une perle est donc : π = π 4 4,5 r mm. D où, le volume des 50 perles vaut π 4,5 50 soit environ 0 mm =, cm. Le poids du collier s obtient en multipliant ce volume qui vaut approximativement, par la masse volumique du métal employé. 9, ne peut convenir car la masse du collier excéderait largement g mais en multipliant ce volume par 0,5 on retrouve le poids approximatif du collier. Le collier de Luxiang est donc en argent.. A(n) = (n + ) - (n - ) = n + n + - (n - n + ) = n + n + - n + n - = 4n.. 00-999 = 4 000 = 000 (n = 000 dans la formule réduite obtenue).. (n + ) - (n - ) = 00 revient à 4n = 00 qui donne une seule solution : n = 5. On peut aussi penser à la différence de deux carrés et faire : (n + ) - (n - ) = [(n + ) + (n - )][(n + ) - (n - )] = (n)() = 4n.
SUJET Exercice 5 5 points Une galette des rois a un diamètre de 8 cm. Elle a été fabriquée avec 80 g de beurre. Une fève est cachée au hasard dans la galette. Nicolas y découpe des parts.. Il sert à Sarah une part dont l angle au centre est de 0. Quelle est la probabilité que Sarah découvre la fève dans sa part?. Sébastien dit à Nicolas : «donne-moi une part de galette, mais je veux avoir une chance sur huit d y trouver la fève». Comment Nicolas va-t-il découper la part demandée?. Alexandra mange les de la galette. Sachant que 00 g de beurre apportent 760 kilocalories 5 à l organisme, quel est l apport en kilocalories provenant du beurre qu Alexandra absorbe en mangeant sa part de galette? Exercice 6 points Tracer en vert le symétrique de la figure par rapport à la droite D, et en rouge le symétrique de la figure par rapport au point O. Exercice 7 points La somme de deux nombres multiples de 7 est-elle un multiple de 7? Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Exercice 8 6 points 58 SUJET D Rose souhaite passer quelques jours à Londres. Elle se rend dans une agence qui propose les formules suivantes pour la location d une chambre dans la capitale anglaise : Formule A : un prix de location de 0 à la journée ( = livre sterling, monnaie officielle du Royaume-Uni). Formule B : l achat de la carte privilège au prix de 0, et un prix de 0 à la journée au titulaire de cette carte. Formule C : un prix de location au mois de 600.. Compléter le tableau suivant : Nombre de journées de location 7 4 0. Quelle formule choisit Rose si elle veut louer Formule A ce studio jours, 4 jours, un mois au prix le plus avantageux? Formule B Formule C. On a représenté dans un repère les formules de location ; avec en abscisse, le nombre de jours de location, et en ordonnée, le prix à payer. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes 600 Prix à payer Formule C en faisant apparaître les tracés nécessaires : Formule B Quel est le prix à payer avec la formule A pour 400 0 jours de location? Quel est le prix à payer avec la formule B pour 4 jours de location? 00 Pour combien de jours la formule A et la formule Formule A B reviennent-elles au même prix? À partir de combien de jours de location la 0 0 formule C devient-elle la plus intéressante? O Nombre de jours de location 4 6 8 0 4 6 8 0 4 6
SUJET Sp é Vid cim éo en pro en jec sei tio gna ni n nte t rdi te Exercice 5. Puisque un angle plein mesure 60, une part de 0 représente 0 = ième de la galette 60 entière. La probabilité que Sarah ait la fève est donc de.. Il faut découper la galette en huit parts. Pour cela, on marque deux diamètres perpendiculaires, puis les deux bissectrices de ces diamètres. Il suffit de découper l un des secteurs comme part.. La galette a été fabriquée avec 80 g de beurre, donc la quantité de beurre contenu dans la part d Alexandra vaut : 80 = 4 g. 5 Sachant que 00 g de beurre apporte 760 kcal, le beurre contenu dans la part d Alexandra apporte 760 4 = 8,4 kcal. 00 Exercice 6 Les traits pointillés correspondent O aux traits verts et les traits continus aux traits rouges demandés. D Exercice 7 Avant de vouloir démontrer, on peut faire des essais en sommant deux multiples de 7. Ainsi, 4 et sont des multiples de 7 et 4 + = 5 est aussi un multiple de 7. Le faire ensuite avec + 5 et 5 + 56 pour constater qu on obtient des multiples de 7. Soient m et n deux nombres entiers multiples de 7. Cela signifie qu il existe deux nombres entiers k et l tels que m = 7k et n = 7l. Alors, m + n = 7k + 7l = 7(k + l). Puisque k et l sont des nombres entiers k + l est multiple de 7. Exercice 8 Nombre de journées de location Formule A Formule B Formule C 600 7 4 0 90 80 600 0 60 600 40 400 600 900 70 600. Pour bénéficier à chaque fois de la formule la plus avantageuse : si Rose veut louer ce studio jours, elle choisit la formule A ; Prix à payer si Rose veut louer ce studio Formule C 4 jours, elle choisit la formule B ; si Rose veut louer ce studio un Formule B 400 mois, elle choisit la formule C.. Le prix à payer avec la formule A pour 0 jours de location est de 00 Formule A 0 Nombre de jours de location 0 4 6 8 0 4 6 8 0 4 6 00. Le prix à payer avec la formule B pour 4 jours de location est de 00. Le nombre de jours de location pour lequel la formule A et la formule B reviennent au même prix est égal à jours. La formule C devient la plus intéressante à partir de 4 jours de location. SUJET 59
SUJET Exercice points ε Voici une esquisse de la constellation de Cassiopée sur laquelle sont indiquées les longueurs en centimètres et les mesures d angles en degrés d une représentation qui serait correcte.,5 Faire cette représentation. 0 Exercice 8 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera point, l absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse correspondante. Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D + + =.... +... =..... 4. ( ). =... +. 7. la solution positive de x ( ) = 9. + ( ). passe par le point passe par le point passe par le point passe par le point 4 La représentation graphique de g : x x - 0 M ( ; -0). N (-5 ; 0 ). P ( ; -4). R ( -5 ; -0). 5 Soit f : x 7x - 5. L antécédent de 0 par f est : 0. 0. 05. 5. Un magasin propose du lait sous différents formats : Avec ces trois Le format Le format Le format 6 brique de L à 0,85 ; formats, le prix est le plus intéressant le plus intéressant le plus intéressant bouteille de,5 L à,44 ; proportionnel à la est la brique est la bouteille est celui des petites pack de 6 petite bouteilles de 50 cl à 4,44. quantité de lait. de L. de,5 L. bouteilles. On lit les valeurs La proportion de nutritionnelles moyennes protéines par rapport, 7 pour 00 ml de lait. à l ensemble des,. 8..,0 %. Protéines :, g. nutriments égale Glucides : 4,8 g. Lipides :,6 g. Le nombre de 8 Valeur énergétique : kilocalories dans un 5.,5. 84. 8. 9 kj (46 kcal). verre de 5 cl égale On considère que les protéines, les glucides et les lipides forment l ensemble des nutriments. Exercice 4 points On considère deux quadrilatères non croisés JUAS et SAIL tels que : les droites ( SL ) et ( AI ) sont parallèles ; SL = AI ; le point d intersection O des droites ( JA ) et ( US ) vérifie OJ = OA = OU = OS.. Tracer une figure qui réponde aux conditions décrites ci-dessus.. Montrer que les droites ( SA ) et ( LI ) sont parallèles.. Montrer que les droites ( UA ) et ( LI ) sont perpendiculaires. Exercice 4 5 points Anna note sur une feuille la durée, en minutes et secondes, des morceaux d un album de musique rock : 06 min 0 s 04 min 6 s 04 min 48 s 0 min 48 s 04 min s 05 min 4 s 0 min 06 s 0 min s 04 min 07 s 0 min s 05 min s min 4 s.. Quelle est l étendue de cette série?. Quelle est la durée moyenne t d un morceau de cet album?. Quelle est la durée médiane d un morceau de cet album? Interpréter le résultat. 4. Comparer la moyenne et la médiane de cette série. Comment expliquer? 60 SUJET δ γ 9,5 80,7 α β
On peut convertir les durées des morceaux en secondes : 6, 76, 88, 68, 5, 4, 6, 5, 47, 0,, 4. Il y a morceaux donc t = (6 + 76 + 88 + 68 + 5 + 4 + 6 + 5 + 47 + 0 + + 4)/ d où 4 t = qui s arrondit à 44 s. Or, 44 = 5 60 + 44 donc 44 s = 5 min 44 s. La durée moyenne d un morceau de l album est donc de 5 min 44 s. Exercice On trace à la règle et au rapporteur :...................................................................................................................................................................................................... Exercice Les couples de réponses sont : (, C) ; (, A) ; (, B) ; (4, C) ; (5, D) ; (6, B) ; (7, C) ; (8, A). SUJET Exercice. J U Exercice 4 L S ε,5 0 δ. Le quadrilatère SAIL possède deux côtés, [SL] et [AI], parallèles et de même longueur, SAIL est donc un parallélogramme. Par conséquent, les droites (SA) et (LI) sont parallèles.. Les diagonales du quadrilatère JUAS se coupent en leur milieu et sont de même longueur puisqu elles ont même demi-longueur : le quadrilatère JUAS est donc un rectangle et ainsi les droites (UA) et (SA) sont perpendiculaires. Les droites (SA) et (LI) étant parallèles d après., la droite (UA) est également perpendiculaire à la droite (LI)...... On..... calcule.......... la... différence............... des..... termes.......... extrêmes.............:...... min...... 4.... s..-..... min...... 06.... s.. =...... min...... 7.... s....................... L étendue.............. est..... de........ min...... 7.... s........................................................................................................... On..... peut....... ne.... pas..... convertir............... En.... additionnant................... séparément................ minutes............ et... secondes,............. la.... durée........ totale......... est.... de........ 64... min....... 8..... s.. mais....... 8...... =.. 4..... 60.... +... 4.... donc....... 8...... s.. =.. 4... min...... +.. 4.... s.. donc........ durée........ totale.........:.. 68.... min...... 4.... s................ Que...... l on...... divise......... par......... pour........ obtenir.......... la.... moyenne............:.. 68.... =... 5......... +.. 8.. qui...... donne......... 5.. min...... mais....... reste...................... 8.. min...... =.. 480...... s.. à.. ajouter........... à.. 4.... avant........ de.... diviser.......... par........... 5...... =.. 4........... +.. 7,... le... quotient............ est..... plus...... proche.......... de.... 44...... Donc,........ t..... 5.. min...... 44.... s...................................................................................................................... On..... range........ les..... données............ dans....... l ordre.......... croissant.............:.... min...... 06.... s..;.... min.......... s.. ;..... min...... 48.... s..;.... min.......... s..;.......... 4.. min...... 07.... s..;.. 4.. min.......... s.. ;.. 4... min...... 6.... s..;.. 4.. min...... 48.... s..;.. 5.. min.......... s...;. 5... min...... 4.... s...;.. 6.. min...... 0.... s..;...... min...... 4.... s.......... L effectif............ total....... est.......... On..... s intéresse............... à... la... sixième........... et... la... septième............. donnée,........... soit...... 4.. min.......... s.. et.... 4.. min...... 6.... s........(..... +.. 6).....:.... =... 4..... La..... médiane............ égale........ 4.. min...... 4.... s.... Il... y.. a... autant......... de.... morceaux............... d une........ durée......... inférieure...................... à.. 4.. min...... 4.... s.. que...... de.... morceaux.............. d une......... durée........ supérieure................ à.. 4.. min....... 4.... s................................................... 4.... La.... moyenne............. est..... supérieure............... à.. la.... médiane............ de.... plus...... d une......... minute............ En..... effet,....... la... moyenne,.............. contrairement.................... à la médiane, est sensible aux valeurs extrêmes et notamment à la durée du dernier morceau. SUJET O 9 I γ,5 A 80 α,7 β 6
SUJET Exercice 5 4 points. Sophie a tracé deux droites dans le repère ci-dessous. 6 SUJET y (d ) (d ) 0 x x y = 0 Peut-elle en déduire une résolution graphique du système? Si oui, en donner le couple solution. x y = 5. Un aimant coûte deux fois plus cher qu un porte-clé. Si on ajoute 5 au prix d un porte-clé, cela vaut le prix de trois aimants. Quel est le prix d un aimant? D un porte-clé? Exercice 6 4 points Folaké dit à Jorris : «J ai plus de 400 morceaux de musique sur mon téléphone portable, mais moins de 450. En les regroupant par, ou par, ou par 4 ou même par 5, il me reste toujours un morceau tout seul.» Combien de morceaux de musique Folaké possède-t-elle? Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Exercice 7 4 points On considère une canette de soda. La base a pour rayon r =,5 cm et la hauteur est égale à h = cm.. Justifier que cette canette peut bien contenir cl de soda.. Une étiquette est collée sur toute la surface latérale de la canette. Calculer l aire de cette étiquette. Exercice 8 5 points La figure fournie n est pas en vraie grandeur. Les points I, K et M sont alignés et IK = 4, cm ; de même, les points J, K et L sont alignés. Les segments [ IK ] et [ KM ] sont des diamètres respectifs des cercles et. Le point N est le symétrique de L par rapport à la droite (KM). Le cercle a pour rayon,5 cm. Le segment [ IJ ] mesure, cm.. Quelle est la nature du triangle IJK? Justifier.. Calculer la longueur ML.. En déduire la longueur du segment [ MN ]. I J K L N M
6 SUJET SUJET Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8. On voit que Sophie a tracé les droites d équations y = 0,5x et y = x 5. y = 0,5x revient à 0 = 0,5x y ; x y = 0 en multipliant les deux membres par. y = x 5 revient à 5 = x y. Ces deux équations sont donc équivalentes aux deux équations qui forment le système = = 0 5 x y x y. Les coordonnées du point d intersection vérifient les deux équations donc le système. On lit graphiquement ses coordonnées pour obtenir le couple solution : ( ; ).. En posant, en euros, x le prix d un aimant et y le prix d un porte-clé, puisque l aimant coûte deux fois plus cher que le porte-clé on a x = y et puisqu en ajoutant 5 au prix d un porte-clé, on obtient le prix de trois aimants, on a : y + 5 = x. Cela revient à résoudre le système = + = 5 x y y x, soit le système = = 0 5 x y x y de la question. qui avait pour solution ( ; ). Donc, le prix d un aimant est et celui d un porte-clé est. Comme le reste de la division euclidienne par égale, il y a un nombre impair de morceaux. On cherche les nombres impairs dont la division euclidienne par 5 donne un reste égal à. Reste alors : 40, 4, 4, 4 et 44. Seul 4 a pour reste dans la division par. De plus, puisque 4 = 4 05 +, il a bien pour reste quand on le divise par 4. Folaké possède donc 4 morceaux de musique. Autre méthode Dire qu il reste quand on divise ce nombre par,, 4 ou 5, c est dire que lorsqu on enlève à ce nombre, il est multiple de,, 4 et 5 donc de 4 5 = 60 puisque tout multiple de 4 est multiple de. En examinant les multiples de 60, on voit aisément qu entre 99 et 449, il n y a qu un multiple de 60 : 7 60 = 40. Folaké a donc 40 + = 4 morceaux.. Le volume en cm du cylindre de révolution qu est la canette vaut : = pr h = p,5 = 4,75 p soit 4 cm en arrondissant à l unité. Or, L = dm = 000 cm, donc cl = 0, L = 0 cm. Le volume de la canette peut bien contenir cl.. L étiquette est un rectangle dont une dimension est h = cm et l autre est le périmètre de la base : pr =,5p = 7p. L aire du rectangle est égale à 77p cm soit 4 cm en arrondissant à l unité.. Le triangle IJK est inscrit dans le cercle qui a pour diamètre le côté [IK] du triangle IJK. Par conséquent, le triangle IJK est rectangle en J.. Démontrons tout d abord que les droites (LM) et (IJ) sont parallèles. On a vu que le triangle IJK est rectangle en J. On démontre de même que le triangle KLM est rectangle en L. Ainsi les droites (IJ) et (LM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (LJ) et par conséquent, (IJ) et (LM) sont parallèles. De plus, les points I, K, M sont alignés et les points J, K, L sont alignés. D après le théorème de Thalès, on a KI KM = IJ ML et donc = 4, 5, ML, c est-à-dire = ML 5, 4, c est-à-dire = = = ML 6 4, 60 4 0 7. Donc = ML 0 7 cm.. La symétrie axiale conservant les longueurs et le segment [MN] étant le symétrique du segment [ML] par rapport à la droite (KM) : = MN 0 7 cm
SUJET Exercice 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 0,5 point, l absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse correspondante. On considère la fonction f définie par f (x) = x + 5. Réponse A Réponse B Réponse C f est une fonction : linéaire. affine. constante. f (x) est de la forme ax + b. La valeur de a est :. 5.. L image de par la fonction f est :... 4 La droite qui représente la fonction f passe par le point : A( ; 8). B(5 ; 0). C( ; ). 5 Un antécédent de par la fonction f est : 8. 5.. 6 La droite qui représente la fonction f coupe l axe des ordonnées en : D(0 ; 5). E 5 ;0 5. F ;0. 7 8 64 La droite qui représente la fonction f coupe l axe des abscisses en : La droite qui représente la fonction f et la droite qui représente la fonction g définie par g(x) = x - 5 se coupent en : Exercice 4 points Sébastien souhaite mesurer la hauteur du collège Victor Hugo, représentée par [VH] sur la figure. Pour cela, il utilise un bâton de cm de haut, représenté par [BA], et se place au point S situé à 8 m du collège. Il tient le bâton à bout de bras et le positionne de telle sorte que les points O, B, V soient alignés, le point O désignant son œil. Sachant que OA = 70 cm et que OS =,6 m, déterminer la hauteur VP. En déduire la hauteur VH du collège Victor Hugo. Le schéma est indicatif, il n est pas à l échelle. Exercice 4 points SUJET D(0 ; 5). E 5 ;0. 5 F ;0. G( ; ). H( ; ). O(0 ; 0). Dans un collège, une enquête a été menée sur le nombre de fruits et de légumes mangés la veille par les élèves. On a interrogé un échantillon de 50 élèves de ce collège ; les résultats figurent dans le tableau ci-dessous. Nombre de fruits et légumes mangés 0 4 5 6 7 8 9 0 Effectif 4 5 8 8 5. Calculer l étendue de cette série statistique.. Déterminer la moyenne et la médiane de cette série statistique.. Alex affirme : «Plus des trois quarts des enfants de cet échantillon ont mangé au moins 6 fruits et légumes hier». A-t-elle raison? Justifier votre réponse. Exercice 4 5 points ABC est un triangle. On note p son périmètre et r le rayon du cercle inscrit dans ce triangle. Trouver une relation entre l aire de ABC, p et r. Toute trace de recherche même incomplète sera prise en considération. O S B A Sol P H V
Exercice Les couples de réponses sont : (, B) ; (, A) ; (, C) ; (4, A) ; (5, C) ; (6, A) ; (7, B) ; (8, B). SUJET Exercice Les droites (VB) et (PA) sont sécantes en O. Les droites (AB) et (VP) sont parallèles, car elles sont toutes les deux perpendiculaires au sol, c est-à-dire à (SH). OB OA BA D après le théorème de Thalès, on a : = = OV OP VP. 0,7 0, On en déduit que =, car 0A = 70 cm = 0,7 m ; BA = cm = 0, m et SH = OP = 8 m ; 8 VP 8 0, d où VP = = 9, m. Donc VH = VP + PH = 9, +,6 = 0,8 m, car PH = OS =,6 m. 0,7 La hauteur du collège est donc de 0,80 m, soit environ m. Exercice. Étendue de la série = 0-0 = 0.. L effectif total est de 50, donc la moyenne de la série vaut : 0 + + + 4 + 4 + 5 5 + 6 + 7 8 + 8 8 + 9 + 0 5 50 c est-à-dire 6,6. Exercice 4............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 66 = = 50 00, Pour calculer la médiane, on calcule les effectifs cumulés croissants jusqu à dépasser 5, qui correspond à la moitié de l effectif total. Nombre de fruits et légumes mangés 0 4 5 6 7 8 9 0 Effectifs 4 5 8 8 5 Effectifs cumulés croissants 4 8 0 5 6 La médiane de cette série est donc 6.. En sommant les effectifs des valeurs supérieures à 6, on obtient : + 8 + 8 + + 5 = 5 élèves sur 50 ont mangé au moins 6 fruits et légumes la veille. Les trois quarts de 50 valent 7,5. 5 étant strictement inférieur, Alex a tort. Soit I le centre du cercle inscrit dans ce triangle ; il est au point de concours des bissectrices. Soient A, B et C les projections orthogonales respectives du point I sur les côtés [BC], [CA] et [AB], C B A. c est-à-dire................ les.... points......... de.... tangence............. du.... cercle......... inscrit............ sur..... chaque.......... côté........................................................ A C B AB IC BC IA CA IB Aire(ABC) = Aire(AIB) + Aire(BIC) + Aire(CIA) = + +. A, B et C étant des points de tangence du cercle inscrit, on a IA = IB = IC = r. AB r BC r CA r (AB + BC+ CA) r pr On en déduit : Aire(ABC) = + + = =. L aire du triangle est donc égale au demi-produit de son périmètre par le rayon de son cercle inscrit. SUJET I 65
SUJET Exercice 5 4 points Un flacon de parfum a la forme d une pyramide tronquée à base carrée ; ci-contre, une vue de coupe du flacon. Sa hauteur est de 6 cm. Ce flacon peut-il contenir 00 ml de parfum? Exercice 6 6 points On donne le programme de calcul ci-contre. Choisir un nombre.. On choisit comme nombre de départ. Lui ajouter. Montrer que le résultat du programme est 6. Calculer le carré de cette somme.. On choisit comme nombre de départ. Soustraire 9 au résultat obtenu. Calculer le résultat du programme.. On choisit comme nombre de départ. Écrire le résultat du programme sous la forme a + b, où a et b sont deux entiers relatifs. 4. On appelle x le nombre de départ. Écrire le résultat du programme en fonction de x. 5. Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour que le résultat du programme soit nul? Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en considération. Exercice 7 5 points. Alain, Benoît, Claire, Denis, Esther et Fabien prennent une consommation dans un bar et décident de tirer au sort celui d entre eux qui paiera l addition. Pour cela, ils inscrivent leur prénom sur des petits papiers et demandent au serveur de choisir un papier au hasard. Calculer la probabilité que le papier tiré soit marqué «Alain», la probabilité que le papier tiré soit marqué «Claude», la probabilité que le papier tiré porte le prénom d une fille.. À une deuxième table du même bar, les clients ont consommé cafés et thés. Leur addition s élève à 9,80. À une troisième table du même café, l addition s élève à 6 pour café et thés. Alain, Benoît, Claire, Denis, Esther et Fabien, eux, ont bu 4 cafés et thés. À combien s élève leur addition?. Des clients ont laissé,80 sur leur table. Sachant qu ils ont ajouté 5 % à leur addition pour le pourboire, à combien se montait l addition? Exercice 8 4 points Dans chacun des cas suivants, dire si le triangle ABC est rectangle, en justifiant la réponse. Cas Cas Cas B M B 66 6 cm 4,8 cm C SUJET A, cm B A 55 0 C A 6 cm cm (AB) et (CD) sont parallèles. C D
67 SUJET SUJET Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Pour calculer le volume du flacon, on doit commencer par calculer le volume d une pyramide à base carrée de 6 cm de côté. Il nous faut connaître sa hauteur. Or, on sait que le côté du carré de section est cm, soit la moitié du côté de carré de base qui est de 6 cm. On a donc fait une réduction de rapport et sectionné la pyramide à la moitié de sa hauteur. Donc, la hauteur de la pyramide complète serait de cm, car la hauteur du flacon est de 6 cm. Volume de la pyramide à base carrée (6 cm de côté, cm de hauteur) : 6 6 44 = cm. Volume de la pyramide à base carrée ( cm de côté, 6 cm de hauteur) : 44 = 8 cm. Volume du flacon = 44 8 = 6 cm = 6 ml. Le flacon peut donc contenir 00 ml de parfum.. 5 5 6. 8. + ( + ) ( + ) 9 = + 4 + 9 = + 4 4. x x + (x + ) (x + ) 9 5. On veut que (x + ) 9 = 0, ce qui revient à (x + ) = 9 ; donc x + = ou x + = -, c est-à-dire x = ou x = 5. Pour que le résultat du programme soit nul, il faut choisir ou 5 comme nombre de départ.. Le serveur tirant au hasard, chaque papier a la même chance d être tiré et il y en a 6. Donc, la probabilité que le papier tiré soit marqué «Alain» est de 6. La probabilité que le papier tiré soit marqué «Claude» vaut 0 car il n y a pas de papier marqué «Claude». La probabilité que le papier porte le prénom d une fille vaut 6 =, car il y a prénoms de fille.. Soit a le prix d un café et b celui d un thé. «cafés et thés coûtent 9,80» donne a + b = 9,8 et «café et thés coûtent 6» donne a + b = 6. On a donc 9,80 6 a b a b + = + =. On en déduit 9,80 4 a b a b + = + =, d où b = 9,8 =, en soustrayant membre à membre, et a = 6, =,6. On vérifie que ces valeurs satisfont les deux égalités initiales et on en conclut qu un café vaut,60 et un thé,0. Alain, Benoît, Claire, Denis, Esther et Fabien vont payer 4,60 +,0 = 0,80.. Soit x le montant de l addition ; les clients ont payé : 5 00 5 00,5 x x x x + = + =. Sachant qu ils ont laissé,80, on a,5x =,8, donc,8,5 x =, soit x =. L addition se montait à. Cas : BC étant la plus grande valeur, le triangle ne peut être rectangle qu en A. Il suffit donc de calculer BC et AB + AC. BC = 6 = 6 ; AB + AC = 4,8 +, =,04 + 0,4 =,8 ; BC AB + AC, d après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n est pas rectangle en A. Il n est donc pas rectangle. Cas : ABC est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte l arc AB, tout comme AMC ; ils ont donc la même mesure d où ABC = 55. Dans un triangle, la somme des trois angles vaut 80. Donc, dans le triangle ABC, BAC = 80 55 0 = 95. Le triangle ABC n est pas rectangle. Cas : les droites (AB) et (CD) sont parallèles et (CD) est perpendiculaire à (AC) ; on en déduit que (AB) est aussi perpendiculaire à (AC). Autrement dit, le triangle ABC est rectangle en A.
SUJET 4 Exercice 6 points On veut installer un billard de m sur 4 m dans une salle. La température de cette salle doit toujours être de 8 C et la table chauffée à 0 C.. Sachant que l on a besoin de,75 m pour pouvoir évoluer autour de cette table : a. Quelles doivent être les dimensions minimales de la salle sachant qu elle a une forme rectangulaire? b. Quelle fraction de l aire de la salle représente l aire de la table?. On peut assimiler le billard à un rectangle ABCD, [AB] étant sa longueur. Lors d un choc avec une bande, la boule repart symétriquement par rapport à la perpendiculaire à la bande au point de choc. Une boule est lancée du centre du billard en direction du côté [AB] tel que le point de contact M soit à m de B. a. Représenter le billard à l échelle 50. b. Tracer le trajet de la boule après un rebond. c. Que se passe-t-il après trois rebonds? Exercice 6 points Pierre quitte Paris en direction de Rennes à 5 h. Au même moment, Sandra part de Rennes vers Paris. Distance (en km) Pierre 400 Sandra 50 00 50 00 50 00 50 Temps (en min) 0 0 60 90 0 50 80 0 40. Que représente l origine du repère?. Quel temps met chaque personne pour parcourir son trajet?. Que fait Pierre au bout d une heure et demie? 4. Quelle est la vitesse moyenne de chaque conducteur? 5. Sandra a dépensé 69, carburant et péages compris. Sachant que le coût des péages est de 7, que le carburant coûte,5 /L, quelle est la consommation moyenne de Sandra pour 00 km sur ce trajet? Exercice 6 points ABCDE est une pyramide régulière de sommet E et de base carrée ABCD. Le carré ABCD a pour centre H. On donne EH = 70 et on pose AB = x.. Exprimer le volume de la pyramide en fonction de x.. Le volume de la pyramide est-il proportionnel à la mesure du côté x?. Dans un vieux manuel, il est écrit que la pyramide de Gizeh était une pyramide régulière à base carrée d une hauteur de 70 coudées royales et de coudées royales de base. La mesure de la base est effacée mais on connaît le volume de la pyramide 7 44 000 (coudées royales). Retrouver la dimension manquante. 4. Sachant qu une coudée royale mesurait 5,4 cm, quelles étaient les dimensions de la pyramide en mètres? 68 SUJET 4 A D H E B C
69 SUJET 4 SUJET 4 Exercice......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Exercice Exercice. a. Il faut augmenter les dimensions d au moins,75 de part et d autre du billard. Or, +,75 = 5,5 et 4 +,75 = 7,5. Les dimensions minimales de la pièce sont donc 5,5 m et 7,5 m. b. L aire de la table est de 8 m, l aire de la salle est de 5,5 7,5 soit 4,5 m. L aire de la table représente 8 4,5, soit 65 de l aire de la salle.. a. et b. À cette échelle, le rectangle a pour mesures 4 cm sur 8 cm. On nomme M le point de rebond sur la bande [BC], M sur [CD] et H le pied de la perpendiculaire à (AB) issue de A. O étant le centre du rectangle ABCD, OH = et H est le milieu de [AB], donc HB =. Puisque BM =, M est le milieu de [BH], donc OHM est un triangle isocèle rectangle en H. L angle d arrivée au premier rebond vérifie donc HOM = 45 et la symétrie conservant les angles, BMM = 45. L angle OMM est donc droit. Puisque l angle MBM est droit, le triangle MBM est isocèle rectangle en B. Donc, BM = et M est le milieu de [BC]. c. En recommençant deux fois le procédé, on arrive à O milieu de [HH ]. La boule est revenue au point de départ et a décrit un carré puisque chaque angle est droit et MO = MM. M O A H B C D M M. L origine du repère correspond au départ de Pierre de Paris à 5 h.. Graphiquement, on lit, en abscisse, que Sandra met 0 min, soit h 40 min et Pierre, 90 min, soit h 0 min.. La distance parcourue par Pierre n augmente pas de 90 à 0 min. On peut donc dire qu au bout de 90 min, c est-à-dire h 0 min, il s arrête 0 min. 4. La vitesse moyenne sur un trajet correspond au quotient de la distance parcourue par la durée de ce trajet. On lit graphiquement en ordonnée, que tous deux parcourent 50 km. Donc : la vitesse moyenne par heure de Pierre vaut 50 90 60, soit km/h en arrondissant à l unité. la vitesse moyenne par heure de Sandra vaut 50 0 60, soit 95 km/h en arrondissant à l unité. 5. La dépense en carburant est de 69 7, soit 4. Le carburant coûtant,50 /L, sa consommation est de 4,5 8 = L. Cela représente une consommation de 8 L sur l ensemble du trajet, ce qui donne, pour 00 km : 8 00 50 4 00 50 8 = =. Sa consommation est donc de 8 L/00 km.. (x) = AB HE 70 90 x x = =.. Puisque (x) = 90x, n est pas une fonction linéaire donc (x) n est pas proportionnel à x.. On sait que (x) = 90x et on veut que (x) = 7 44 000. On résout 7 44 000 = 90x, ce qui donne x = 9 600. La solution x cherchée étant une longueur, elle est positive. Donc, la solution x est le nombre positif dont le carré vaut 9 600, soit la racine carrée de ce nombre qui vaut 440. La base de la pyramide est de 440 coudées royales. 4. AB = 440 5,4 = 056, soit 0,56 m. EH = 70 5,4 = 4 48, soit 4,48 m.
SUJET 4 Exercice 4 5 points Voici le bilan de l été 0 des sauveteurs embarqués. Ces derniers interviennent en mer au-delà de la zone de proximité immédiate du littoral. 70 SUJET 4 Juin Juillet Août Septembre Total Nombre d interventions 84 586 74 40 05 Nombre de flotteurs impliqués 479 57 65 67 Nombre de personnes impliquées 97 45 8 64 4 796 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera point, l absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse correspondante. 4 5 En pourcentage, l augmentation du nombre d interventions de juin à août est de : En pourcentage, l augmentation du nombre de personnes impliquées de juin à août est de : L augmentation du nombre de flotteurs impliqués de juin à juillet est de 54 %, celle de juillet à août, de 9 % et celle de juin à août, de : Si le nombre d interventions augmente l été 0 de 0 % par rapport aux résultats de l été 0, il sera de : Si l année suivante, il baisse de 0 %, il sera en 0 de : Exercice 5 4 points Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D 58.,9. 9. 9.,8. 8. 95.,95. 84. 7. 6,5. On ne peut le déterminer. 06. 05. 57. 4. 0. 04. 6. 05. Une boîte contient 00 jetons indiscernables au toucher, numérotés ; ; ; 00. On tire un jeton au hasard et on note son numéro.. Quelle est la probabilité que le numéro du jeton tiré soit pair?. Quelle est la probabilité que le numéro du jeton tiré soit divisible par 5?. Quelle est la probabilité que le numéro du jeton tiré contienne au moins une fois le chiffre? Exercice 6 5 points Deux tours, l une haute de 40 pas, l autre de 0 pas, sont distantes de 50 pas. Entre les deux tours se trouve une fontaine sur laquelle deux oiseaux, partant chacun d une des tours et volant à la même vitesse, arrivent en même temps. Sur du papier quadrillé sur lequel la situation sera représentée, construire l emplacement de la fontaine par rapport aux deux tours. À quelle distance des deux tours se trouve-t-elle? Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en considération. Exercice 7 4 points On a répertorié les principaux loisirs de 6 élèves d un même collège. On les a classés dans le tableau ci-dessous. Loisirs Sport Télévision Lecture Musique Ordinateur Total Effectifs 8 9 0 6 6 Fréquence (en %) 00 Angles (en ) 80. Compléter ce tableau. Les fréquences seront arrondies à l unité près et les mesures d angle au degré près.. Construire un diagramme semi-circulaire représentant la situation.
Exercice 4 Les couples de réponses sont (, D) ; (, C) ; (, A) ; (4, C) ; (5, A). SUJET 4 Exercice 5. Un jeton sur deux porte un numéro pair, donc la probabilité que le numéro du jeton tiré soit pair. est.... égale........ à..... ou.... 0,5...................................................................................................................... Afin d obtenir la probabilité pour que le numéro du jeton soit divisible par 5, il faut savoir combien de jetons portent un numéro divisible par 5. Ces nombres se terminent par 0 ou par 5 : 0 ; 5 ; 0 ; ; 95 et 00 ; il y en a 0. Donc, la probabilité que le numéro du jeton tiré soit divisible par 5 est de 0 = 0,. 00. Il faut d abord savoir combien de jetons portent un numéro qui contient le chiffre. Les nombres contenant le chiffre sont : ; ; ; 4 ; ; 9 et 0 ; ; ; ; ; 9. Jusqu à 00, ce sont les nombres dont le chiffre des unités vaut et ceux dont le chiffre des dizaines vaut, sans compter deux fois ; il y en a 9. Donc, la probabilité que le numéro du jeton tiré contienne le chiffre est égale à 9 = 0,9. 00 Exercice 6 En respectant une échelle, représentons la première tour............................................................................ par un segment vertical [AB] de 4 unités et la seconde,............................................................................ par un segment vertical [CD] de unités............................................................................. Les points A et C représentant la base des deux tours............................................................................ sont distants de 5 unités. On nomme F la fontaine............................................................................. Puisque les oiseaux arrivent en même temps alors............................................................................ qu ils partent en même temps et volent à même vitesse,............................................................................ les distances BF et DF sont égales............................................................................. Cela signifie que F est sur la médiatrice de [BD]............................................................................. Mais, comme F est aussi un point de [AC], il est à l intersection de la médiatrice de [BD] et de [AC]. Le triangle BAF est rectangle en A et DCF est rectangle en C. En appliquant le théorème de Pythagore dans ces deux triangles, on obtient : FB = AB + AF et FD = CD + CF. Mais, FB = FD, donc FB = FD, ce qui donne : 4 + AF = + CF. Puisque CF = AC AF = 5 AF, on obtient : 4 + AF = + (5 AF) ; 6 + AF = 9 + 5 0AF + AF, ce qui donne 0AF = 8, soit AF =,8. Comme CF = 5 AF = 5,8 =,. Le point F est à,8 unité du point A et, unités du point B. D où, à l échelle, la fontaine se trouve à 8 pas de la grande tour et pas de la petite tour. Exercice 7. Pour exprimer chaque........................................ fréquence en pourcentage,........................................ on calcule le quotient........................................ de l effectif par l effectif........................................ total, multiplié par 00......................................... Les valeurs des angles........................................ s obtiennent en multipliant........................................ les fréquences par,8................................................................................. Loisirs Sport Télévision Lecture Musique Ordinateur Total Effectifs 8 9 0 6 6 Fréquences (en %) 5 9 5 8 00 Angles (en ) 59 45 6 9 5 80. Lecture Musique 6 9 B Première tour SUJET 4 A F E Télévision Ordinateur 45 5 59 D C Seconde tour Sport 7
Les compétences travaillées dans les exercices de chaque sujet Les attendus en fin de collège Sujet n Sujet n Sujet n Sujet n 4 Dans le domaine des nombres : Maîtriser le calcul numérique ; 4 ; 4 ; 6 6 ; 7 ; ; 4 Maîtriser les premiers éléments du calcul littéral Dans le domaine de l organisation et la gestion des données : Maîtriser les éléments de base en statistique descriptive Maîtriser les éléments de base en probabilités Maîtriser les premières connaissances sur les fonctions, représenter et interpréter graphiquement Dans le domaine géométrique : Maîtriser les figures de base et propriétés de configurations du plan 7 5 8 Connaître les solides usuels de l espace, maîtriser leurs représentations et propriétés 7 5 Dans le domaine des grandeurs et mesures : Maîtriser l utilisation des grandeurs ; 4 ; 7 5 usuelles, des grandeurs composées et les changements d unités Prendre des initiatives ; 7 6 4 6 Items de la compétence du socle Sujet n Sujet n Sujet n Sujet n 4 Rechercher, extraire, organiser l information utile ; ; ; 8 ; 4 ; ; 6 ; 7 ; ; ; 4 ; 7 Mesurer, calculer, appliquer des consignes ; ; 5 ; ; 4 ; 6 ; 7 ; 5 ; ; 4 ; 5 ; 7 Modéliser, conjecturer, raisonner et démontrer ; 4 ; 7 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 4 ; 7 ; 8 ; ; ; 6 Argumenter et présenter les résultats à l aide d un langage adapté - 8 4-8 4-8 ; ; 5 ; 6 Couverture : Nathalie Dudek Maquette intérieure : SG Création Réalisation : SG production Coordination éditoriale : Adrien Fuchs assisté d Émeline Marx Magnard Paris, 0 5, allée de la e D.B., 7505 Paris ISBN : 978--0-08-7 SE PRÉPARER 5 4 ; 5 ; 5 ; ; 8 6 ; 7 7 ; 4 ; 8 ; 6 7 5 ; 6 Aux termes du code de la propriété intellectuelle, toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle de la présente publication, faite par quelque procédé que ce soit (reprographie, microfilmage, scannérisation, numérisation ), sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayant cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles L.5- et suivants du code de la propriété intellectuelle. L autorisation d effectuer des reproductions par reprographie doit être obtenue auprès du Centre Français d exploitation du droit de Copie (CFC), 0 rue des Grands-Augustins 75006 Paris Tél. : 0 44 07 47 70 Fax : 0 46 4 67 9. Ce manuel est imprimé sur des papiers certifiés, provenant de forêts durablement gérées, et par un imprimeur certifié Imprim Vert.