Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme

Université Catholique de Louvain-La-Neuve Ecole Polytechnique de Louvain Travail de fin d étude présenté par Christophe Pochet sous la direction du Professeur Pierre Devolder en vue de l obtention du grade d Ingénieur Civil en Mathématiques Appliquées Mesures de Risque Multipériodes Cohérentes Appliquées au Compte à Terme Date : 23 juin 2010 Promoteur : Lecteurs : Pierre Devolder Michel Denuit et Yves Smeers Travail réalisé par : Christophe Pochet 5114-05-00 christophe.pochet@student.uclouvain.be Année académique 2009-2010

Je remercie mon promoteur, le Professeur Pierre Devolder, pour m avoir confié un sujet de mémoire qui m a intéressé dès le début du travail et qui continuera à m intéresser encore longtemps. Je remercie aussi mon prmoteur ainsi que mes lecteurs, les Professeurs Yves Smeers et Michel Denuit, pour l intérêt qu ils ont manifesté à mon travail et le temps qu ils y ont consacré. Je remercie mes cokoteuses, le QG, mon staff scout et mes amis qui m ont soutenu et encouragé tout au long de ce travail. Je remercie enfin ma famille pour le soutien et la motivation qu ils m ont communiqués.

Table des matières Introduction 4 1 Mesures de risque statiques 6 1.1 Mesure de risque cohérente.......................... 6 1.2 Value-at-Risk : VaR.............................. 7 1.3 Tail Value-at-Risk : TVaR.......................... 9 2 Compte à terme sans sorties intermédiaires 15 2.1 Despciption du problème.......................... 15 2.2 Détermination de la réserve......................... 16 2.3 Calcul de la réserve.............................. 18 2.4 Application numérique............................ 20 3 Mesures de risque multipériodes 26 3.1 Exemple de motivation........................... 26 3.2 Mesures de risque conditionnelles...................... 31 3.3 Mesures de risque multipériodes cohérentes................ 32 3.4 Consistance dans le temps.......................... 33 3.5 Information monotone............................ 36 3.6 Mesures multipériodes............................ 37 3.7 Mesure récursive conditionnelle....................... 38 3.8 Mesure indépendante............................ 39 4 Compte à terme avec sorties intermédiaires 42 4.1 Description du problème........................... 42 4.2 Mécanisme de pénalités........................... 43 4.3 Détermination de la réserve......................... 44 4.4 Mesure indépendante............................ 45 4.5 Mesure récursive conditionnelle....................... 47 4.6 Analyse des mesures multipériodes..................... 50 4.7 Calcul de la réserve............................. 56 4.8 Critique des mesures............................. 66 5 Extensions 68 Conclusion 71 A Code de référence 73 3

Introduction Les mesures de risque sont des outils mathématiques qui permettent de quantifier le risque associé à une variable aléatoire. Elles sont utilisées dans de nombreuses sphères du monde financier et industriel, que ce soit pour mesurer le risque d un investissement par exemple, ou encore optimiser la gestion de stocks. Dans ce mémoire, nous allons les utiliser dans le but de quantifier les réserves financières dont une banque a besoin afin d assurer la solvabilité d un compte à terme. Un compte à terme est un placement bancaire de long terme pour lequel les clients s engagent à ne pas récupérer leur investissement avant le terme du contrat. En contre partie, ils reçoivent un taux d intérêt très avantageux i supérieur au taux sans risque du marché r en guise de prime de liquidité. Une illustration est donnée à la figure 1. On y compte L 0 personnes devant rester T années. Au terme du contrat, les clients disposent de leur capital investi capitalisé au taux avantageux i. t=0 L = T t=t (1+i) T L 0 1 L 0 Fig. 1: Compte à terme sans sorties intermédiaires Pour offrir un tel rendement, la banque n a d autre choix que de réaliser des placements risqués. Selon les principes de finance stochastique, les actifs risqués seront modélisés à l aide de browniens géométriques S(t). Vu le rendement incertain des actifs risqués, la banque n est pas sûre de rencontrer ses engagements à terme. Une de ses obligations légales est alors de devoir constituer une réserve financière, c est-à-dire un matelas de sécurité, qui lui servira en cas de rendement insuffisant des actifs risqués. Reprenons le cas d étude donné à la figure 1. Si L 0 clients achètent le produit 1e en t = 0, ils repartent avec (1 + i) T e en t = T. Le bilan actif passif en t = T est donné par F(T) = L 0 ( (1 + i) T S(T) ) où F(T) est la variable aléatoire décrivant les pertes du processus dues à l incertitude sur la valeur de l actif S(t) en t = T. Ce sont les mesures de risque qui vont déterminer les réserves financières que la banque doit légalement constituer afin de garantir la solvabilité en fin d horizon. 4

INTRODUCTION Les mesures de risque actuellement utilisées dans les textes légaux sont dites statiques dans le sens qu elles ne s appliquent qu en un point de l horizon. Pour le problème du compte à terme ayant un unique cash flow en fin d horizon et ne comportant donc qu un seul instant de risque de solvabilité, elles constituent la solution. Les mesures de risque les plus populaires pour ce type d application sont la VaR et la TVaR. Leur particularité est de se fixer sur la fonction de répartition de la variable aléatoire dont elles calculent le risque pour assurer un niveau de solvabilité à un certain niveau de confiance. Le calcul de la réserve financière se complique lorsque des clients décident de quitter le compte à terme avant la fin de l horizon, voir figure 2. Naturellement, vu que le rendement du compte à terme est plus élevé que celui d un compte classique, ils ne disposeraient en cas de sortie anticipée que d une fraction de ce qu ils auraient capitalisé jusqu à leur instant de sortie. Les départs constituent des cash flows intermédiaires P i pour la banque, ce qui en des temps de faible rendement de leur actif génère un risque financier. La réserve financière devrait dès lors être réévaluée après chaque cash flow afin de maintenir un certain niveau de solvabilité. Nous obtenons donc un problème dynamique. 1 t=0 N1 Nt NT t=t P1 Pt PT = (1+i) T L 0 Fig. 2: Compte à terme avec sorties intermédiaires L objet de ce mémoire est de trouver des mesures de risque multipériodes qui nous permettront de déterminer la réserve financière à constituer en t = 0 afin de se prémunir face aux divers risques financiers ayant lieu aux divers instants de cash flows du processus. Il est important de faire la distinction entre le problème dynamique et la mesure de risque multipériode. Pour un problème dynamique, la question est de déterminer la réévaluation de la réserve lorsqu un cash flow a lieu et ce, pour chaque état du monde. L idée des mesures de risque multipériodes est de prévoir à l avance le capital nécessaire qu il faudrait mettre en réserve si des cash flows ont lieu dans le futur et ce en considérant l ensemble des états du monde possibles. Dans ce travail, nous commencerons par rappeler le contexte théorique des mesures de risque statiques de VaR et TVaR. Nous les utiliserons en vue de déterminer la réserve financière du compte à terme sans sorties intermédiaires. Nous passerons ensuite à l élaboration des mesures de risque multipériodes. Nous développerons deux approches différentes : une indépendante et une récursive conditionnelle qui représentent deux manières différentes et à la fois complémentaires d apréhender le risque en multipériodes. Nous les appliquerons alors au compte à terme avec sorties intermédiaires. Pour terminer, nous exposerons quelques extensions au travail. 5

Chapitre 1 Mesures de risque statiques Ce chapitre a pour but de synthétiser les connaissances principales sur les mesures de risque statiques utilisées pour le calcul de réserves de solvabilité, qui sont par excellence la Value-at-Risk (VaR) et la Tail Value-at-Risk (TVaR). Afin d étudier ces mesures de risque à proprement parler, nous commençons par aborder le concept de mesure de risque cohérente. L essentiel des développements présentés dans ce chapitre proviennent du livre de Shapiro et Ruszczyński, voir [14]. Certains ajouts sont néanmoins personnels. 1.1 Mesure de risque cohérente Le concept de mesure de risque cohérente a été abordé pour la première fois par Artzner et al. dans [1]. Ce concept a été reformulé par la suite par différents auteurs. Nous utilisons la formulation proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14] pour des variables aléatoires mesurant des pertes. Ainsi, plus la variable aléatoire est grande, plus la mesure de risque est grande, plus le risque financier est important. Avant de développer mathématiquement ce concept, nous donnons une formulation intuitive de ce qu est une mesure de risque destinée au calcul de réserves de solvabilité. Formulation intuitive des mesures de risque Soit une fonction F : Ω R, ω F(ω). A chaque scénario ω Ω est associé une réalisation F(ω). On suppose que les F(ω) représentent des coûts ou plus particulièrement des pertes. Soit une mesure de risque ρ( ). Cette mesure est appliquée aux réalisations F(ω) dans le but de déterminer le capital de réserve à constituer de manière à ce qu il contrebalance les pertes des F(ω) pour un maximum d états du monde ω. Formulation mathématique Soit un espace (Ω, F) muni d une sigma-algèbre F. Soit la mesure P telle que (Ω, F,P) est un espace mesuré 1. Soit une variable aléatoire F mesurant des pertes définie sur L p (Ω, F, P) avec p [1, + ) 2. Pour F, F L p (Ω, F, P), la relation d ordre partiel est notée par F l F et est définie par P(F > x) P(F > x), x R. Définition 1.1. La fonction ρ(f) est appelée mesure de risque, associée à F, si elle est définie par ρ(f) : L p (Ω, F, P) R = R {± } et qu elle est propre : ρ(f) > F L p (Ω, F, P) et que dom(ρ) = {F L p (Ω, F, P) : ρ(f) < + } est non-vide. 1 Ceci signifie typiquement que Ω est un espace de probabilité muni de la loi de probabilité P. 2 L p (Ω, F, P) = {f : Ω R : f mesurable et f p < + } est l espace des fonctions F-mesurables et dont la p-ième puissance est intégrable au sens de Lebesgue. Typiquement, F est une variable aléatoire qui peut être mesurée dans Ω par la loi de probabilité P. 6

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Définition 1.2. Si pour tout c R et F, F L p (Ω, F, P), la mesure de risque ρ( ) vérifie les 4 propriétés (C1)-(C4), alors ρ( ) est une mesure de risque cohérente. (C1) Convexité : ρ(λf + (1 λ)f ) λρ(f) + (1 λ)ρ(f ) pour 0 λ 1 (C2) Monotonicité : Si F l F alors ρ(f) ρ(f ) (C3) Equivariance sous translations : ρ(f + c) = ρ(f) + c (C4) Homogénéité positive : ρ(cf) = cρ(f), pour c > 0 La cohérence a été définie dans le but de définir une classe de mesures de risque possédant des propriétés financières intéressantes. L interprétation des propriétés est réalisée à l aide de la définition de la comonotonicité 3 expliquée par M. Denuit dans [5]. Analyse des propriétés (C1) La convexité est induite par l homogénéité positive (C4) et de la sous-additivité : ρ(f + F ) ρ(f) + ρ(f ) F, F L p (Ω, F, P) (1.1) La sous-additivité signifie que le risque associé à une somme d événements incertains est plus petit ou égal à la somme des risques d événements incertains, c est-àdire que le risque financier peut être réduit par diversification. Nous noterons que l égalité dans (1.1) vaut si F et F sont comonotones. La répartition de leur risque est alors identique et la diversification n est plus possible. (C2) La monotonicité est une propriété naturelle. Si une variable aléatoire génère moins de pertes qu une autre, alors son critère de risque est inférieur. (C3) L équivariance sous translations signifie que les éléments déterministes additifs ne sont pas sujets à la mesure de risque. La propriété implique : ρ(f ρ(f)) = 0. Ainsi, ρ(f) est ce qu il faut retirer à F pour annuler son risque sous la mesure ρ( ). (C4) L homogénéité positive signifie que les éléments déterministes multiplicatifs n influencent pas la mesure de risque. Pour le cas particulier c N, la mesure s écrit : ρ(cf) = ρ(f + F + +F) = ρ(f) + ρ(f) + + ρ(f) = cρ(f). On constate que le concept est similaire à celui de la comonotonicité. 1.2 Value-at-Risk : VaR La Value-at-Risk est la mesure de risque de référence pour les textes légaux. Plusieurs formulations ont été proposées. Nous reprenons la formulation la plus usuelle proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14] portant sur des variables aléatoires mesurant des pertes. La démonstration de la non-cohérence de la VaR est personnelle. Nous ajoutons la définition de la VaR portant sur des variables aléatoires mesurant des bénéfices. 3 Pour une certaine variable aléatoire Z et deux fonctions h( ) et h ( ) non-décroissantes, si F = h(z) et F = h (Z), alors les deux variables F et F sont comonotones. 7

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Soit F, une variable aléatoire mesurant des pertes et H F (f) = P(F f) sa fonction de répartition. Pour tout α (0, 1), on peut définir le quantile de niveau α H 1 F (α) = inf{f : H F(f) α} = inf{f : P(F f) α} = inf{f : P(F > f) 1 α} Si la fonction de répartition présente un plateau au niveau α, alors H 1 F (α) est le quantile gauche de H F (f) de niveau α, le quantile de droite étant donné par : sup{f : H F (f) < α}. Définition 1.3. La Value-at-Risk mesurée sur des pertes est définie par : VaR α (F) = H 1 F (α) = inf{t : H F(t) α} (1.2) c est-à-dire que la Value-at-Risk de niveau α est une valeur telle que des pertes plus importantes que VaR α (F) arrivent avec une probabilité qui ne dépasse pas 1 α. Pour un calcul de risques financiers, on est intéressé par de grandes valeurs de α. Typiquement, α = 0.99 ou α = 0.995. Proposition 1.4. La VaR n est pas cohérente. Plus spécifiquement, elle n est pas convexe, mais est monotone, équivariante sous les translations et positivement homogène. Preuve. Les 4 propriétés définissant les mesures cohérentes sont montrées séparément. Vu que nous montrerons que la VaR n est pas convexe, elle n est alors pas cohérente. (C1) La VaR n est pas convexe. Nous allons le démontrer par le contre-exemple suivant. Soit, 2 variables aléatoires mesurant des pertes F i, i = 1, 2. Elles admettent deux réalisations équiprobables F i = 1 ou F i = 2. On a donc VaR 0.5 (F i ) = 1. Leur réalisation conjointe admet deux scénarios équiprobables, soit (F 1, F 2 ) = (1, 2), soit (F 1, F 2 ) = (2, 1), tels que F 1 + F 2 = 3 pour tous les scénarios. On a donc VaR 0.5 (0.5(F 1 + F 2 )) = 1.5. Nous constatons qu il n y a pas convexité, vu que : 1.5 = VaR 0.5 (0.5F 1 + 0.5F 2 ) > 0.5VaR 0.5 (F 1 ) + 0.5VaR 0.5 0.5(F 1 ) = 1 (C2) La VaR est monotone. Il vient de la définition de la monotonicité que F 1 l F 2 P(F 1 > t) P(F 2 > t) inf{t : P(F 1 > t) 1 α} inf{t : P(F 2 > t) 1 α} inf{t : P(F 1 t) α} inf{t : P(F 2 t) α} VaR α (F 1 ) VaR α (F 2 ) (C3) La VaR est équivariante sous les translations. Si c R VaR α (F + c) = inf{f : P(F + c f) α} = inf{f + c : P(F f ) α} = inf{f : P(F f ) α} + c = VaR α (F) + c t 8

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES (C4) La VaR est homogène positivement. Si c R + 0, VaR α (cf) = inf{f : P(cF f) α} = inf{cf : P(F f ) α} = c inf{f : P(F f ) α} = c VaR α (F) Malgré le fait qu elle ne soit pas cohérente, elle constitue la référence du législateur en matière de calcul de réserves financières de solvabilité. Solvency II par exemple se base sur une VaR à 99,5%. Value-at-Risk sur des bénéfices Si F est une variable aléatoire mesurant des bénéfices, la Value-at-Risk peut aussi être définie symétriquement pour les niveaux de profits trop faibles. Vu que α réprésente le niveau de sécurité, nous restons intéressés par des valeurs grandes de α, typiquement 0.99 ou 0.995. Il s agira donc de fixer la Value-at-Risk au quantile 1 α de la distribution. Définition 1.5. La Value-at-Risk mesurée sur des bénéfices VaR B α (F) est définie par : VaR B α (F) = H 1 F (1 α) = inf{f : H F(f) 1 α} (1.3) où la Value-at-risk de niveau α pour des bénéfices est la valeur telle que des bénéfices inférieurs à VaR B α (F) arrivent avec une probabilité qui ne dépasse pas 1 α. Mathématiquement, on a VaR B α(f) = VaR 1 α (F). 1.3 Tail Value-at-Risk : TVaR Beaucoup d auteurs et d articles dans la littérature définissent la Tail Value-at-Risk (TVaR) 4. C est cependant l approche de Shapiro et Ruszczyński dans [14] que nous retiendrons. Ils définissent la TVaR comme une approximation convexe de la VaR. En effet, la non-convexité de la VaR est un frein pour les problèmes d optimisation convexes voulant intégrer une contrainte de VaR. Pour F mesurant des pertes, la contrainte de VaR pourrait s écrire VaR α (F) 0, c est-à-dire fixer un niveau de pertes négatif, donc de bénéfices. On peut contruire une approximation conservative convexe de cette contrainte au sens de la restriction de l ensemble des valeurs admissibles notée TVaR α (F) 0 pour laquelle on définit la mesure de Tail Value-at-Risk (TVaR), voir définition 1.6. Nous reprenons dans cette section les démonstrations qui mènent à la défintion usuelle de la TVaR, voir définition 1.8. Les preuves présentées dans [14] ont été retravaillées dans un but de clarté et de complétude. La démonstration de la cohérence de la TVaR est personnelle. Nous ajoutons aussi la définition de la TVaR pour des variables aléatoires mesurant des bénéfices. 4 Elle est aussi appelée Conditional Value-at-Risk (CVaR) ou Average Value-at-Risk (AVaR). 9

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Définition 1.6. La Tail Value-at-Risk est définie par : TVaR α (F) = inf t R {t + (1 α) 1 E[F t] + } (1.4) Cette définition ne sera utilisée que pour monter la cohérence de la TVaR. La défintion usuelle sera dérivée en (1.9). L interprétation de la mesure y sera expliquée. Proposition 1.7. L équation (1.4) est équivalente à TVaR α (F) = VaR α (F) + (1 α) 1 E[F VaR α (F)] + (1.5) Dès lors, on a TVaR α (F) VaR α (F). Preuve. Le but est de montrer que dans (1.4), on a t = VaR α (F). Ainsi, l équation (1.5) serait démontrée. De plus, vu que le deuxième terme de cette équation est positif, alors on aurait bien TVaR α (F) VaR α (F). Montrons donc t = VaR α (F) dans (1.4). Nous définissons φ(t) de sorte que TVaR α (F) = inf t {φ(t)}. On a φ(t) = t + (1 α) 1 E[F t] + (1.6) On cherche l argument de φ(t), noté t, auquel son infimum est réalisé. On montre à la proposition 1.10 que φ(t) est convexe en t. Ceci implique que tout infimum local est global et que φ(t) est continue en t. Dès lors, nous savons que t sera tel que φ (t ) 0 φ + (t ) où φ (t ) et φ +(t ) sont respectivement les dérivées à gauche et à droite de φ( ) pour t t. En particulier, si φ(t) est dérivable en t = t, la condition revient à φ (t ) = 0. Nous devons donc calculer φ (t ), φ (t ) et φ +(t ). Nous calculons ci-dessous l expression de φ (t ), les autres se calculant d une manière similaire. Pour calculer φ (t ), on a besoin de connaitre la dérivée de E[F t] + en t = t. On note h F (f) la fonction de densité de F et H F (f) sa fonction de répartition. On a, d dt E[F t] + = d + (f t)h F (f)df t=t dt t t=t = (t t)h F (t) d + dt t + t t (f t)h F(f)df t=t + = h F (f)df t = H F (t ) 1 t=t La dérivée de φ(t) en t = t est dès lors donnée par φ (t ) = 1 + (1 α) 1 [H F (t ) 1] (1.7) Les expressions φ (t ) et φ +(t ) sont données par l équation (1.7) dans laquelle H F (t ) est remplacée par H F (t ) et H + F (t ) respectivement, les limites à gauche et à droite de H F (t) pour t t. 10

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Supposons que l infimum de φ(t) est réalisé en l argument t donné par t = inf{f : H F (f) α} = VaR α (F) (1.8) Nous allons montrer que (1.8) vérifie les conditions donnant t l argument de φ(t) auquel son infimum est réalisé. Par (1.8), on a H + F (t ) α. Par (1.7), on a φ + (t ) 0. Pour tout point t < t, on a par (1.8), H F (t) < α et donc en particulier H F (t ) < α. Ainsi, par (1.7), on a φ (t ) 0. On a bien φ (t ) 0 φ + (t ), ce qui montre donc que l infimum de φ(t) est réalisé en t. La définition proposée pour t est alors validée. Notons qu en particulier, si H F (t) est continue en t = t, alors par (1.8), on a H F (t ) = α et donc par (1.7), φ (t ) = 0. Cette remarque clôt la preuve. Proposition 1.8. La TVaR α (F) pour des pertes se définit usuellement par TVaR α (F) = 1 1 α 1 α VaR ξ (F)dξ (1.9) La TVaR de niveau α est décrite comme étant une mesure moyenne des pertes plus importantes que celles données par VaR(α). Preuve. La relation (1.5) s écrit TVaR α (F) = VaR α (F) + 1 1 α VaR α(f) (f VaR α (F))dH F (f) Si l on pose le changement de variable ξ = H F (f), on a f = H 1 F (ξ) = VaR ξ(f) et les bornes deviennent H F (VaR α (F)) = α et H F (+ ) = 1. Les différents termes se simplifient alors pour donner l énoncé. On constate par la proposition 1.8 que TVaR 0 (F) = E(F), ce qui permet de réécrire TVaR α (F) sous la forme équivalente TVaR α (F) = 1 ( α ) E(F) VaR ξ (F)dξ 1 α Proposition 1.9. Si la fonction de répartition H F ( ) de F est continue en VaR α (F), alors la TVaR α (F) peut aussi se calculer par TVaR α (F) = 1 1 α VaR α(f) Preuve. La relation (1.5) permet d écrire : TVaR α (F) = VaR α (F) + 1 1 α = VaR α (F) + 1 1 α VaR α(f) [ 0 fdh F (f) = E[F F VaR α (F)] (1.10) (f VaR α (F))dH F (f) fdh F (f) VaR α (F) VaR α(f) 11 VaR α(f) ] dh F (f)

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES avec VaR α(f) dh F (f) = 1 P(F < VaR α (F)) Vu que H F est continue en VaR α (F), alors P(F < VaR α (F)) = P(F VaR α (F)) = α. On obtient alors, après simplification des termes, la première des deux égalités de la relation (1.10). Pour vérifier la seconde relation de (1.10), il suffit d appliquer à la première la formule de l espérance conditionnelle. Pour un calcul de risques financiers, nous noterons que tout comme pour la VaR, on est intéressé par de grandes valeurs de α. Typiquement, α = 0.99 ou α = 0.995. Proposition 1.10. La TVaR est cohérente. Elle admet donc les propriétés de convexité, de monotonicité, d équivariance sous les translations et d homogénéité positive. Preuve. Nous démontrons les 4 propriétés, ce qui montre la cohérence. (C1) Convexité : Pour montrer la convexité de la TVaR en F, il faut montrer la convexité de φ(t) conjointement en F et t. En effet, TVaR α (F) = inf t {φ(t)}. Pour montrer la convexité de φ(t) en F et t, il suffit de montrer la convexité de E[F t] + en F et t. En effet, φ(t) est donné par E[F t] + mis à l échelle par un facteur déterministe (1 α) 1 et additionné à une fonction linéaire t. Ainsi, si E[F t] + est conjointement convexe en F et t, alors la TVaR est convexe en F. Montrons la convexité de E[F t] + en F et t. Soit F 1 et F 2 définies sur L p (Ω, F, P). Soit t 1, t 2 R. Pour la lisibilité, nous notons K = λ(f 1 t 1 ) + (1 λ)(f 2 t 2 ). Pour 0 λ 1, on a E[K =λ(f 1 t 1 ) + (1 λ)(f 2 t 2 )] + = E[K K 0] P[K 0] + E[0 K < 0] P[K < 0] = λe[(f 1 t 1 ) K 0] P[K 0] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) K 0] P[K 0] λe[(f 1 t 1 ) + K 0] P[K 0] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) + K 0] P[K 0] car pour a R, on a a [a] + λe[(f 1 t 1 ) + ] P[K 0] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) + ] P[K 0] car pour deux variables aléatoires positives A et B, on a P[A B] P[A] λe[(f 1 t 1 ) + ] + (1 λ)e[(f 2 t 2 ) + ] car P[K 0] [0, 1] Nous avons donc montré que E[F t] + est conjointement convexe en F et t. Ceci cloture la preuve de la convexité en F de la TVaR. (C2) Monotonicité : Si F 1 l F 2, on a P(F 1 > t) P(F 2 > t), t. D où E[F 1 t] + E[F 2 t] + t inf{t : t + (1 α) 1 E[F 1 t] + } inf{t : t + (1 α) 1 E[F 2 t] + } TVaR α (F 1 ) TVaR α (F 2 ) 12

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES (C3) Translation équivariance : Si c R TVaR α (F + c) = inf{t : t + (1 α) 1 E[F + c t] + } = inf{t : t + c + (1 α) 1 E[F t ] + } = TVaR α (F) + c (C4) Homogénéité positive : Si c R + 0 TVaR α (cf) = inf{t : t + (1 α) 1 E[cF t] + } = inf{t : ct + c(1 α) 1 E[F t ] + } = c TVaR α (F) De par sa cohérence, cette mesure de risque constitue dès lors le candidat théorique idéal aux futurs modèles de calcul de réserves financières. Il faut toutefois garder à l esprit que la valeur de référence législative est la VaR. Comparaison VaR et TVaR Les relations (1.9) et (1.10) signifient que la TVaR est une mesure moyenne des pertes plus importantes que la VaR. Ainsi, on dira que cette mesure prend en compte la forme de la queue de la distribution, d où le nom de Tail Value-at-Risk. De plus, à la proposition 1.7, on a montré que TVaR α (F) VaR α (F). On illustre à la figure 1.1 que la mesure de TVaR est en effet plus grande que celle de VaR. α 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.5 1 1.5 VaR 2 TVaR 2.5 3 CDF LogN Niveau α VaR TVaR Fig. 1.1: Comparatif des mesures de VaR et TVaR. VaR= 1.7940 et TVaR= 2.0846 pour X LogN(µ = 0.2,σ 2 = 0.09) et α = 0.9 Tail Value-at-Risk sur des bénéfices Si F est une variable aléatoire mesurant des bénéfices, la Tail Value-at-Risk peut être définie symétriquement pour les niveaux trop faibles de bénéfices. Vu que α réprésente le niveau de sécurité, nous restons intéressés par des valeurs grandes de α, typiquement α = 0.99 ou α = 0.995. Elle s exprime alors par l intégrale des VaR générant des bénéfices inférieurs à VaR B α(f). 13

CHAPITRE 1. MESURES DE RISQUE STATIQUES Définition 1.11. La TVaR mesurée sur des bénéfices TVaR B α (F) est définie par : TVaR B α (F) = 1 1 α 1 Si la fonction de répartition est continue en VaR B α(f), alors TVaR B α (F) = 1 1 α VaR B α (F) α VaR B ξ (F)dξ (1.11) fdh F (f) = E[F F VaR B α (F)] (1.12) où la TVaR B de niveau α est une mesure moyenne des bénéfices plus faibles que ceux donnés par VaR B α. Il apparait pour la TVaR que TVaR B α(f) TVaR 1 α (F). En effet, il ne s agit pas d un simple quantile, mais d une mesure pondérée. Pour ce qui est de l ordre de comparaison avec la VaR, on peut montrer que TVaR B α (F) VaRB α (F). Conclusion Dans ce chapitre, nous avons défini les deux mesures de risque statiques les plus utilisées pour le calcul de réserves financières : la Value-at-Risk (VaR) et la Tail Valueat-Risk (TVaR). Nous avons défini le concept de mesure de risque cohérente et avons montré que la VaR ne l est pas et que la TVaR l est. Dans le chapitre suivant, nous nous intéresseront à l application de ces deux mesures au calcul de la réserve financière d un problème statique de compte à terme. 14

Chapitre 2 Compte à terme sans sorties intermédiaires Au chapitre précédent, les mesures de risque statiques VaR et TVaR ont été définies. Ces mesures sont dites statiques, car elles ne peuvent mesurer le risque que d une unique variable aléatoire. Dans ce chapitre, nous effectuons une application originale du calcul de la réserve financière de solvabilité d un problème de compte à terme à l aide de ces mesures. Après avoir décrit le problème, nous passerons au calcul de la réserve pour enfin donner la solution au problème. Tous les résutats et développements sont personnels. 2.1 Despciption du problème Le cas d application sur lequel nous travaillons pour les mesures de risque statiques est un compte à terme sans sorties intermédaires, voir figure 2.1. Un total de L 0 clients placent 1e en banque pour une durée fixe T et ne peuvent pas récupérer leur placement avant le terme du contrat. En guise de prime de liquidité, la banque leur offre un rendement i supérieur au taux sans risque du marché r. t=0 L = T t=t (1+i) T L 0 1 L 0 Fig. 2.1: Compte à terme sans sorties intermédiaires Pour créer un rendement supérieur au taux sans risque du marché, la banque constitue un portefeuille d actifs sans risque et d actifs risqués qui a un plus grand rendement en espérance que le taux i offert par le compte à terme. Afin de générer un maximum de profits, la banque rebalance en permanence ses investissements. L actif de la banque est alors représenté par un portefeuille dynamique. Selon Pierre Devolder, dans [7], la valeur d un actif financier risqué peut être représenté par un brownien géométrique. Nous représentons dès lors l actif dynamique par le brownien géométrique S(t). Définition 2.1. Le brownien géométrique S(t) est défini par l équation différentielle ds(t) = δs(t)dt + σs(t)dw(t) 15

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES qui peut être intégré par l intégrale de Ito pour ainsi donner S(t) = S 0 exp(δt + σw(t) σ 2 t/2) (2.1) où δ est le trend, σ le drift et w(t) N(0, t) le mouvement brownien de moyenne nulle et de variance égale à t. Dès lors, S(t) est distribué selon une loi lognormale 1 ( S(t) S 0 LogN (δ 1 ) 2 σ2 )t, σ 2 t Nous constatons que S(t) croit exponentiellement à un taux proportionnel au temps t et avec une dispersion (écart-type) proportionelle à la racine carrée du temps t. Vu que S(t) est une variable aléatoire, sa valeur en fin d horizon est incertaine. Le problème ainsi posé est statique, car un unique problème de solvabilité se pose pour la banque en fin d horizon. Le bilan actif passif de la banque en t = T peut être décrit par une variable aléatoire F mesurant des pertes. Le bilan F des pertes est donné par le passif à payer au client (1 + i) T moins la valeur de revente incertaine de l actif S(T) : F(T) = (1 + i) T S(T) (2.2) où l on a pris sans pertes de généralités L 0 = 1. En effet, pour un problème statique, il ne s agit que d une normalisation des pertes à une entrée. 2.2 Détermination de la réserve Afin de se protéger du risque financier que représente le compte à terme, la banque doit constituer une réserve financière en t = 0. Ainsi, si en t = T, le rendement effectué sur ses actifs S(T) est insuffisant pour rencontrer ses engagements (1 + i) T, alors elle pourra puiser dans sa réserve financière afin de rester solvable pour ses clients. Comment déterminer le montant de cette réserve? La banque se fixe un certain niveau de risque typiquement grand α = 0.995. Elle désire ainsi être solvable en t = T dans 99,5% des scénarios. Si elle connait la fonction de répartition de ses pertes F en t = T, il lui suffit de disposer d un montant égal à VaR 0.995 (F). En effet, cette dernière quantité représente une borne supérieure de ce que coûterait la perte en t = T dans 99,5% des cas. Dès lors, si nous notons r, le taux sans risque du marché, alors la banque doit mettre un capital C0 VaR en réserve en t = 0 et placé au taux sans risque r pour être solvable à ce même niveau en t = T. Ce capital est donné par : C VaR 0 = (1 + r) T VaR 0.995 (F(T)) (2.3) Si la banque veut prendre en compte l influence de la queue de la distribution de F, alors elle peut préférer mettre de côté un capital plus important donné par C TVaR 0 = (1 + r) T TVaR 0.995 (F(T)) (2.4) 1 Par définition, si X N(µ, σ 2 ) et Y = e X, alors Y LogN(µ, σ 2 ). On peut identifier pour le brownien géométrique Y = S(t)/S 0 et X = δt + σw(t) σ 2 t/2. 16

= E[S S VaR B α (S)] = TVaRB α (S) CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Afin de dériver correctement les expressions (2.3) et (2.4), nous avons besoin d un résultat intermédiaire donné à la proposition 2.2. Celui-ci sera appliqué sur S(T) une variable aléatoire de loi lognormale, donc positive, strictement croissante et continue. Proposition 2.2. Soit S une variable aléatoire de loi de répartition H S (s) = P(S s) continue, strictement croissante et positive. On a alors VaR α ( S) = VaR B α (S) et TVaR α( S) = TVaR B α (S) Preuve. Vu que S est une variable aléatoire de loi de répartition H S (s) = P(S s) continue, strictement croissante et positive, on a H S (s) = P( S s) = P(S s) = 1 P(S s) = 1 H S ( s) La thèse découle de cette égalité et des hypothèses sur S : Pour la VaR : Pour la TVaR : VaR α ( S) = {s : H S (s) = α} = {s : 1 H S ( s) = α} = { s : H S (s) = 1 α} = VaR B α (S) TVaR α ( S) = E[ S S VaR α ( S)] = E[ S S VaR B α (S)] Nous sommes maintenant en mesure de dériver les expressions (2.3) et (2.4) afin d aboutir sur les formulations que nous utiliserons en pratique pour le calcul de la réserve financière du compte à terme. Nous commençons par le capital de réserve calculé à l aide de la VaR. Pour cela, nous remplaçons l expression de F(T) donnée à la relation (2.2) dans (2.3). Nous utilisons ensuite la propriété d équivariance sous les translations de la VaR ainsi que la proposition 2.2. Nous aboutissons à l expression finale de C0 VaR. C VaR 0 = (1 + r) T VaR 0.995 ((1 + i) T S(T)) = (1 + r) T ( (1 + i) T + VaR 0.995 ( S(T)) ) = (1 + r) T ( (1 + i) T VaR B 0.995(S(T)) ) (2.5) Si nous faisons de même pour la relation (2.4), nous obtenons C TVaR 0 = (1 + r) T TVaR 0.995 ((1 + i) T S(T)) = (1 + r) T ( (1 + i) T + TVaR 0.995 ( S(T)) ) = (1 + r) T ( (1 + i) T TVaR B 0.995 (S(T))) (2.6) Les réserves (2.5) et (2.6) sont entièremment déterminées à condition de savoir calculer VaR B 0.995 (S(T)) et TVaRB 0.995 (S(T)), ce que nous abordons à la section suivante. 17

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Choix du niveau de risque Le niveau de risque choisi par défaut est de 99,5% car c est le taux imposé par Solvency II. On estime ainsi que les crises financières n arriveront que dans 1 cas sur 200. Nous baserons nos calculs à la fois sur la VaR et la TVaR. Il n y a pas une bonne mesure, mais chacune a ses avantages. C est en conciliant les deux informations qu on en tire le plus grand avantage. 2.3 Calcul de la réserve Les équations (2.5) et (2.6) nécessitent le calcul de la VaR et de la TVaR de S(T) respectivement. Après un bref commentaire sur la méthode de Monte Carlo, nous développerons des formules analytiques permettant de calculer la VaR et la TVaR d une distribution lognormale et ainsi permettre le calcul de la réserve financière. 2.3.1 Méthode de Monte Carlo Une première approche consiste à générer un ensemble de N scénarios indépendants donnant l évolution de l actif financier S(t). On génère ainsi N états du monde distincts en t = T, donnés par S(T, ω). La théorie de Monte Carlo nous dicte que pour un N suffisamment grand, la distribution des S(T, ω) converge vers S(T). Pour calculer la VaR, il suffit alors de trier les réalisations S(T, ω) et d en prendre le bon quantile. Pour générer les scénarios, nous devons au préalable générer les N mouvements brownien w(t). Vu que le mouvement brownien est un processus à accroissements indépendants et stationnaires en tous points, voir P. Devolder [7], la seule manière de le générer est par approximations successives. La taille des pas de l approximation rend donc les résultats sensibles. Pour des α 1, le nombre de scénarios à écarter par la VaR est faible par rapport au nombre total. Pour que l approximation soit valable, il faut dès lors effectuer un grand nombre de scénarios N. Cette méthode nécessite donc un grand temps de calcul et propage des erreurs. Nous n étudierons pas plus cette méthode et laissons la place aux méthodes exactes analytiques basées sur la fonction de répartition de S(t). 2.3.2 Méthode exacte Définition 2.3. La fonction φ(z) est définie telle que φ(z) = P(Z z) où Z N(0, 1). Dès lors, φ(z) est la fonction de répartition d une distribution normale centrée et réduite. φ(z) = z 1 2π e t2 2 dt (2.7) Lemme 2.4. g( ) fonction strictement croissante, α : VaR α (g(y )) = g(var α (Y )). Preuve. On a H Y (y) = P(Y y) = P(g(Y ) g(y)) = H g(y ) (g(y)) vu que g( ) est une fonction strictement croissante. Dès lors, inf{g(y) : H Y (y) α} = inf{g(y) : H g(y ) (g(y)) α} 18

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES où le membre de droite est par définition VaR α (g(y )). Pour le membre de gauche, vu que g( ) est strictement croissante, l infimum sur g(y) est obtenu pour la même valeur de y que si on avait d abord pris l infimum sur y puis composé à g( ). Ainsi, on a inf{g(y) : H Y (y) α} = g (inf{y : H Y (y) α}) qui est par définition g(var α (Y )). Nous avons dès lors montré l énoncé. Proposition 2.5. Soit X N(µ, σ 2 ) et Y = e X tel que Y LogN(µ, σ 2 ). On a VaR α (Y ) = exp(φ 1 (α)σ + µ) (2.8) VaR B α(y ) = exp(φ 1 (1 α)σ + µ) (2.9) Preuve. Vu que VaR B α(f) = VaR 1 α (F) selon la définition 1.5, il nous suffit de montrer la relation (2.8). En utilisant le lemme 2.4 ainsi que les propriétés d équivariance sous les translations et d homogénéité positive de la VaR, on montre que VaR α (Y ) = exp(φ 1 (α)σ + µ) ln(var α (Y )) = φ 1 (α)σ + µ VaR α (ln(y )) = φ 1 (α)σ + µ ( ) ln(y ) µ VaR α = φ 1 (α) σ ln(y ) µ Vu que par définition, ln(y ) = X et X N(µ, σ 2 ), alors la variable est la σ normale réduite N(0, 1). La VaR d une normale réduite est bien par définition égale à φ 1 ( ). Ce qui clôt la preuve. Proposition 2.6. Soit X N(µ, σ 2 ) et Y = e X tel que Y LogN(µ, σ 2 ). On a TVaR α (Y ) = 1 ) (µ 1 α exp + σ2 φ(φ 1 (1 α) + σ) (2.10) 2 TVaR B α(y ) = 1 ) (µ 1 α exp + σ2 φ(φ 1 (1 α) σ) (2.11) 2 Preuve. Nous nous focalisons sur TVaR B α (Y ). Une démonstration similaire permet de vérifier la formule pour TVaR α (Y ). La loi lognormale est continue, donc, selon la définition 1.11, l expression de TVaR B α (Y ) peut être calculée par TVaR B α(y ) = 1 1 α = 1 1 α VaR B α (Y ) VaR B α (Y ) 19 ydh Y (y) 1 y y 2πσ e 1 2σ 2 (ln(y) µ)2 dy

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Posons x = ln y, cela devient TVaR B α (Y ) = 1 1 α ln(var B α (Y )) où l on développe l argument de l exponentielle de la forme L équation devient donc 1 2πσ e x 1 2σ 2 (x µ)2 dx x 1 2σ 2(x µ)2 = 1 2σ 2([x (µ + σ2 )] 2 2µσ 2 σ 4 ) TVaR B α (Y ) = 1 σ 2 1 α eµ+ 2 = 1 σ 2 1 α eµ+ 2 ln(var B α (Y )) ln(var B α (Y )) 1 2πσ e 1 2σ 2 (x (µ+σ2 )) 2 dx f N(µ+σ 2,σ 2 )dx où f N(µ+σ 2,σ 2 ) est la fonction de densité de probabilité d une variable W distribuée normalement W N(µ + σ 2, σ 2 ). Dès lors, si on appelle Z N(0, 1), ln(var1 α (Y )) f N(µ+σ 2,σ 2 )dx = P(W ln(var B α (Y )) ( ) = P Z ln(varb α(y )) (µ + σ 2 ) σ ( ln(var B ) = φ α(y )) µ σ σ Or, on a montré à la proposition 2.5 que VaR B α(y ) = exp(φ 1 (1 α)σ + µ). D où ( ln(var B ) α (Y )) µ φ σ = φ(φ 1 (1 α) σ) σ En regroupant l ensemble, on obtient TVaR B α (Y ) = 1 1 α exp ) (µ + σ2 φ(φ 1 (1 α) σ) 2 Les formules de calcul de la VaR et la TVaR d une loi lognormale (2.9) et (2.11) s expriment en fonction de la loi φ( ), c est-à-dire de la loi normale N(0, 1). Ceci est un avantage considérable, car cette loi est bien connue et tabulée pour toutes ses valeurs. Nous sommes dès lors en mesure de calculer la réserve financière du compte à terme par les formules (2.5) et (2.6). 2.4 Application numérique Dans cette section, nous calculons la réserve financière par la VaR et par la TVaR pour le problème du compte à terme sans sorties intermédiaires. Nous évaluerons tout d abord les réserves financières pour un cas de référence. Nous évaluerons ensuite la sensibilité de ces calculs par rapport aux paramètres de description du problème. 20

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES 2.4.1 Détermination du cas de référence 0n choisit pour i et r des valeurs proches de celles d un marché hors crise : typiquement r = 0.03 le taux sans risque du marché et i = 0.04 le taux du compte à terme. Comme expliqué à la section 2.1, S(t) est en réalité un portefeuille dynamique d actifs risqués et de titres sans risque. Nous considérons que S(t) garde les caractéristiques d un actif risqué mais moins volatile qu un actif risqué pur en raison de sa nature dynamique optimale. Pour calibrer S(t), il faut déterminer le trend δ et le drift σ. Les valeurs typiques pour un actif risqué pur sont (δ, σ) = (0.08, 0.2). Etant un mélange dynamique d actifs risqués et de titres sans risque, l actif S(t) sera considéré avec une diminution certaine de son drift σ. Si nous représentons l actif S(t) par un schéma binomial, où u est le rendement à la hausse et d le rendement à la baisse, nous devons imposer en vertu de l hypothèse d absence d opportunités d arbitrage (pour la définition voir [7]) les contraintes 1 + u > 1 + i > 1 + r > 1 + d. Nous considérons que les deux scénarios du schéma binomial sont équiprobables. Supposons que nous adaptions notre brownien géométrique S(t) aux deux premiers moments du schéma binomial. Les deux représentations ne seront naturellement pas équivalentes car tous les autres moments ne seront pas identiques, mais cela permettra d avoir une idée des paramètres choisis. Pour une unique étape du schéma binomial et pour une durée unitaire t = 1 du brownien géométrique, en identifiant les 2 premiers moments 2, on obtient δ = ln (1 + (u + d)/2) et σ = ln ( ) ((u d)/2) 2 1 + (u + d)/2 + 1 Pour un actif binomial équiprobable équilibré autour du rendement i offert par le compte à terme, on aura δ = ln(1+i) i, ce qui semble pessimiste pour des rendements d actifs. Plus l écart entre u et d est petit, plus σ est petit. Vu que l actif S(t) est un mélange d actifs avec et sans risque, il faut veiller à ce que cet écart ne soit pas trop grand, de manière à limiter la valeur de σ tout en conservant une valeur minimale correspondant à une part de risque dans S(t). Vu que le rendement typique d un actif risqué est de δ = 0.08, nous essyons de définir S(t) pour la même valeur. Ainsi, pour (1 + u, 1 + d) = (1.13, 1.03), on a δ 0.08 et σ 0.05. On constate que pour ces valeurs 1 + d = 1 + r, ce qui signifie que l actif dynamique rapporte au moins le taux sans risque du marché, ce qui est une hypothèse raisonnable. La valeur de 1 + u a été choisie de sorte que la dispersion ne soit pas trop grande. Le cas de référence est dès lors défini par (i, r) = (0.04, 0.03) et (δ, σ) = (0.08, 0.05). En vue de respecter au mieux la philosophie de Solvency II, la mesure de risque est prise à α = 0.995. Nous noterons encore que la durée du contrat sera par défaut de T = 5 ans. 2 Selon P. Devolder dans [7] : Pour S(t), on a E(S) = S 0 e δt et V(S) = S 2 0 e2δt (e σ2t 1) 21

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES 2.4.2 Résultats numériques Dans cette section, nous calculons les réserves financières du problème du compte à terme sans sorties intermédiaires pour le cas de référence. Nous analyserons l impact du choix de la durée du contrat T ainsi que du niveau de sécurité α choisi. Nous réaliserons ensuite une brève analyse de sensibilité permettant de mettre en évidence la sensibilité du calcul face au choix des paramètres (δ, σ) de S(t). Cas de référence Nous rappelons que les réserves sont calculées par C0 VaR = (1 + r) ( T (1 + i) T VaR B 0.995(S(T)) ) C0 TVaR = (1 + r) ( T (1 + i) T TVaR B 0.995(S(T)) ) Conformément aux défintions du chapitre 1, on a TVaR B α (F) VaRB α (F). Dès lors, on doit obtenir des capitaux de réserves tels que C0 VaR C0 TVaR. Pour le cas de référence (δ, σ) = (0.08, 0.05) et (i, r) = (0.04, 0.03) et α = 0.995 sur une durée de 5 ans, les réserves financières sont : C0 VaR = 0.0907 et C0 TVaR = 0.1235. Selon la VaR, ceci signifie que pour assurer sa solvabilité à 99.5%, lorsqu un client achète le produit de compte à terme à 1e, la banque doit mettre de côté au moins 0.09e. La mesure de TVaR nous indique une augmentation de 36% de la réserve, ce qui montre que la distribution de la queue est bien marquée. La banque aurait intérêt, selon le critère de TVaR à mettre plus d argent en réserve. Pour la même série de paramètres (δ, σ) = (0.08, 0.05) et (i, r) = (0.04, 0.03), nous allons étudier l influence de la durée et ensuite l inflence de α. L influence de la durée sur les réserves C0 VaR et C0 TVaR est donnée à la table 2.1. T 1 2 3 4 5 6 7 8 VaR B α (S(T)) 0.9512 0.9757 1.0133 1.0591 1.1116 1.1700 1.2343 1.3044 C VaR 0 0.0862 0.0999 0.1021 0.0984 0.0907 0.0798 0.0664 0.0507 TVaR B α (S(T)) 0.9364 0.9543 0.9862 1.0266 1.0735 1.1263 1.1846 1.2484 C TVaR 0 0.1006 0.1200 0.1269 0.1273 0.1235 0.1164 1.1068 0.0949 Tab. 2.1: Influence du nombre d années sur le calcul de la réserve pour le cas de référence Plus la durée est longue, plus les mesures de risque VaR B α(s(t)) et TVaR B α(s(t)) sont importantes. Ceci est la conséquence de la proportionnalité de la variance du brownien géométrique S(t) avec la durée t. Par contre, pour les capitaux de réserve C0 VaR et C0 TVaR, on observe un comportement concave unimodal avec un maximum entre T = 3 et T = 4. Ceci est le reflet des différentes influences des facteurs et termes (1 + r) T et (1 + i) T selon le temps avec i > r. 22

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES L influence du niveau de risque α est aussi importante. Plus α est grand, plus l écart entre VaR B α (S(T)) et TVaRB α (S(T)) diminue. En effet, la mesure de TVaR est une intégrale des mesures de VaR au-dessus de α. Les deux mesures convergent donc au bord en α = 1. A la figure 2.2, les valeurs de VaR B α (S(T)) et TVaRB α (S(T)) sont données en fonction de α pour le cas de base et T = 5. Nous y observons un comportement identique pour les capitaux de réserve C0 VaR et C0 TVaR. En effet, ils sont simplement translatés et mis à l échelle par (1 + i) T et (1 + r) T. En ce qui concerne la VaR, ce n est que pour des valeurs critiques de α supérieures à α c = 96, 3% que la VaR et la TVaR mènent à des capitaux de réserves C0 VaR et C0 TVaR positifs. Pour les α plus petits, le capital à réserver est négatif, en d autres mots, il n est pas utile pour couvrir le compte à terme à ce niveau de risque. 2.5 2 1.5 1 0.5 0 B VaR (S(T)) α B TVaR (S(T)) α TVaR C 0 VaR C 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 α Fig. 2.2: Influence du choix de α pour le cas de référence sur VaR B α (S(T)) et TVaRB α (S(T)) ainsi que sur C0 VaR et C0 TVaR. Ce résultat est fort dépendant du choix des paramètres. Ainsi, si on décide de multiplier par deux le drift du brownien géométrique : σ = 0.1, la valeur critique α c descend à 78,8%. En effet, augmenter σ signifie qu on augmente l incertitude et donc on expose le compte à terme à de plus grandes pertes. Dès lors, le niveau de sécurité minimal pour assurer la solvabilité doit diminuer. Pour σ = 0.2, l effet s emplifie, on obtient un α c de 59,3%. Naturellement, on observe l effet inverse si on diminue σ au lieu de l augmenter. Le même résultat peut être observé en jouant sur δ. Si on décide de diviser par deux le trend : δ = 0.04, on obtient α c = 49,2%. En effet, en diminuant δ, le rendement moyen de l actif S(t) diminue, donc on expose le compte à terme à de plus grandes pertes. Dès lors, le niveau de sécurité minimal pour assurer la solvabilité doit diminuer. Pour δ = 0.06, l effet s accroit, on obtient α c = 80,95%. L effet inverse est observé si nous augmentons δ au lieu de le diminuer. On constate donc que les résultats sont fort sensibles aux valeurs des paramètres financiers (δ, σ). Nous allons donc réaliser une brève analyse de sensibilité du calcul de la réserve en fonction de ces paramètres. 23

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES Analyse de sensibilité Les paramètres financiers (δ, σ) sont très sensibles en fonction du marché et la bonne estimation de la réserve financière dépend fortement d eux. Les valeurs de (i, r) choisies (i, r) = (0.04, 0.03) sont des valeurs typiques qui ne fluctuent pas beaucoup avec le temps. On les considèrera bien estimées. La véritable question est l estimation des paramètres (δ, σ) de l actif dynamique de la banque. Celui-ci ne doit pas être sous- ou sur-estimé. Nous réalisons tout d abord une analyse en faisant varier δ et ensuite une autre pour σ. Les valeurs des capitaux de réserve C0 VaR et C0 TVaR sont données aux figures 2.3 et 2.4 en fonction de δ et σ respectivement. 0.4 0.3 C 0 TVaR = 0.1235 C 0 VaR C 0 TVaR 0.2 0.1 0 C 0 VaR = 0.0907 0.1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 δ Fig. 2.3: Influence du choix de δ pour le cas de référence sur les réserves C VaR 0 et C TVaR 0. 1.5 C 0 VaR C 0 TVaR 1 C 0 TVaR = 0.1235 0.5 0 C 0 VaR = 0.0907 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 σ Fig. 2.4: Influence du choix de σ pour le cas de référence sur les réserves C VaR 0 et C TVaR 0. Nous commençons par analyser les résultats de la figure 2.3. Nous avons indiqué le cas de référence sur le graphe pour plus de clarté. La réserve est inversément proportionnelle à la valeur du trend δ. Par exemple, si l on divise par deux le rendement δ = 0.04 au lieu de δ = 0.08 (la banque aura réalisé pour une durée de 1 an, un rendement égal à celui qu elle offre à ses clients), les réserves sont multipliées environ par 3. A l inverse, si la banque réalise un rendement δ = 0.12, alors la banque ne nécessite plus de capitaux de réserve. Ceci montre donc l importance de la bonne estimation de δ. 24

CHAPITRE 2. COMPTE À TERME SANS SORTIES INTERMÉDIAIRES La sensibilité par rapport à σ est analysée à la figure 2.4. La réserve est directement proportionnelle à la valeur du drift σ. De nouveau, nous avons indiqué le cas de référence pour plus de clarté. Si l on fait varier la volatilité, on observe le même genre de phénomène. Si on diminue σ, le produit devient trop sûr et les capitaux de réserve deviennent négatifs. Si on l augmente, l actif devient trop volatile et on obtient des réserves de plus en plus grandes. A titre d exemple, si σ = 0.1 au lieu de σ = 0.5, les capitaux de réserve sont quadruplés. Pour σ = 0.2 quadruplé, les capitaux sont multipliés par 7. Ceci nous montre donc l importance de la bonne estimation de σ. La solvabilité du compte à terme est en grande partie déterminée par les mesures de risque appliquées à S(t). En vertu des observations rélaisées aux figures 2.3 et 2.4, la bonne estimation des paramètres (δ, σ) du brownien géométrique est de la plus grande importance. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons utilisé les mesures de risque statiques pour calculer la réserve financière d un compte à terme sans sorties intermédiaires. L incertitude sur un tel processus provient de l actif sous-jacent modélisé sous forme d un brownien géométrique. Le calcul des réserves nous a mené à déterminer des formules explicites, moyennant l évalutaion d une fonction normale, permettant la calcul de la VaR et de la TVaR d une loi lognormale, en l occurrence d un brownien géométrique. Le calcul de réserve a été réalisé sur un cas de référence. L objet du travail n est pas de se focaliser sur cette analyse, ni d en mesurer la sensibilité, mais bien de pouvoir la comparer par la suite à un calcul de réserve permettant d inclure d éventuelles sorties intermédaires au compte à terme. Dans le chapitre 3, nous définissons les mesures multipériodes, c est-à-dire les mesures permettant de calculer le risque associé à un ensemble de cash-flows d un processus. Dans le chapitre 4, nous passons alors à l application sur le compte à terme avec sorties intermédiaires. 25

Chapitre 3 Mesures de risque multipériodes Que se passe-t-il point de vue de la mesure du risque d un processus si on admet un cash flow supplémentaire avant celui de la fin de l horizon? Cela crée un risque financier à cet instant qui interagira avec le risque financier de fin d horizon. La VaR et la TVaR ne sont dès lors plus des mesures appropriées, car elles ne peuvent pas mesurer le risque en plusieurs instants. Pour prendre en compte des cash flows intermédiaires, il va falloir utiliser des mesures de risques multipériodes qui permettront de calculer le risque pour l ensemble de cash flows sur l ensemble de l horizon de temps. L avantage non-négligeable des mesures statiques VaR et TVaR est de se baser sur la fonction de répartition de la variable sous-jacente pour en extraire le risque. L objectif sera alors de définir des mesures multipériodes pouvant se baser sur ces mesures statiques. Les mesures multipériodes n ont pas pour seul avantage de pouvoir calculer le risque d un système à plusieurs cash flows, mais permet aussi de mieux répondre aux besoins de modélisation du risque de problèmes dynamiques. En effet, pour ces derniers, il s agit à chaque temps de revoir sa stratégie pour l ensemble du futur, c est-à-dire sur l ensemble de la durée future et non sur le résultat à terme. Nous limiterons ce travail à l application des mesures au calcul de réserve de solvabilité. Nous motiverons tout d abord le besoin de telles mesures sur base d un exemple simple. Nous passerons ensuite à la définition des mesures multipériodes et de leurs propriétés. Nous serons amenés à aborder les concepts de consistance dans le temps et d information monotone. Nous définirons alors deux mesures multipériodes, l une indépendante présentée par Pflug et Romisch dans [8] et l autre récursive conditionnelle présentée par Shapiro et Ruszczyński dans [14]. L essentiel des développements se trouvent dans ces deux références ainsi que dans l article [9] de Kovacevic et Pflug. Certaines modifications et développements sont néanmoins personnels. 3.1 Exemple de motivation Une banque vend un produit de compte à terme de durée 2 ans. Deux personnes achètent ce produit. La banque leur promet un taux garanti de 4%. Le taux sans risque du marché est de 3%. Supposons que l actif de la banque, à l aide duquel elle compte générer ce rendement, a une valeur distribuée selon une loi binomiale. Les deux scénarios sont équiprobables. L un envisage le rendement de l actif à la hausse, l autre à la baisse. Supposons que la valeur d achat en t = 0 de l actif soit de A(0) = 1e. L évolution de sa valeur aux instants t = 1 : A(1) et t = 2 : A(2) est donnée à la figure 3.1. On constate qu en moyenne, la banque devrait rencontrer ses engagements. En effet, E[A(1)] = 1.04 et E[A(2)] = 1.04 2. Nous effectuons le calcul de réserve financière pour une VaR à 60%. 26

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES w 1 1.1881 1 w 1 w 2 1.09 0.99 w 2 w 3 1.0791 1.0791 w 4 0.9801 Fig. 3.1: Exemple de motivation : scénario binomial de l actif A(t). Les distributions des actifs en t = 1 et t = 2 sont notées par A(1) et A(2). On distinguera pour A(2) les réalisations provenant d une hausse ou d une baisse de l actif en t = 1, notées A(2 1 + ) et A(2 1 ) respectivement. On a A(2) = A(2 1 + ) A(2 1 ). A(1) = (1.09, 0.99) A(2 1 + ) = (1.1881, 1.0791) A(2 1 ) = (1.0791, 0.9801) A(2) = (1.1881, 1.0791, 1.0791, 0.9801) Par cet exemple, nous allons mettre en évidence l impact sur la réserve financière d une sortie anticipée d un des deux clients. Pour cela, nous allons tout d abord calculer la réserve nécessaire pour le cas statique, c est-à-dire sans départ anticipé. Nous la comparerons ensuite à deux formulations différentes de la mesure de capital pour un système multipériode représenté ici par un départ anticipé à mi-échéance. Les deux clients partent en t = 2 : Statique. Si les deux clients partent à la fin, le capital de réserve est calculé par la formulation statique : C0;60% V ar 1 ( = 2 VaR0.6 (1.04 2 A(2)) ) 1.03 2 1 ( = 2 1.04 2 1.0791 ) = 0.0047 1.03 2 Pour une solvabilité à 60% selon la VaR, la banque doit mettre 0.0047e de côté, soit 0.235% du capital investi par les clients. Nous allons constater que ce montant est insuffisant si un client part à mi-échéance. Un client part en t = 1 et un en t = 2 : Multipériode indépendant. La méthode indépendante, comme son nom l indique, suppose que les scénarios de sortie des clients sont indépendants. Non seulement, les décisions de sortie du produit sont indépendantes, mais aussi les valeurs de l actif aux instants de sorties. Le capital de réserve s écrit alors comme la somme des capitaux nécessaires pour un produit de durée 1 an et un produit de durée 2 ans, calculés par la formulation statique : C0;60% V ar, = 1 1.03 (VaR 0.6(1.04 A(1))) + 1 ( VaR0.6 (1.04 2 A(2)) ) 1.03 2 = 1 1 ( (1.04 0.99) + 1.04 2 1.0791 ) = 0.05 1.03 1.03 2 27

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Nous constatons une importante différence lorsqu une sortie est anticipée. La réserve passe de 0.235% à 2.5% du capital investi! Il faut toutefois faire remarquer, pour un processus dynamique, que l hypothèse d indépendance est abusive. En effet, une fois arrivé en t = 1, un des deux scénarios de A(1) s est réalisé, d où la moitié des scénarios en t = 2 ne peuvent plus se produire. Les valeurs des actifs en t = 2 sont alors dépendantes de celles en t = 1. Afin de prendre en compte cette dépendance, il est possible de calculer les capitaux de réserve de manière récursive et conditionnelle. Un client part en t = 1 et un en t = 2 : Multipériode récursif conditionnel. La mesure multipériode récursive conditionnelle considère que les valeurs des actifs à chaque instant de sortie sont dépendants des réalisations des actifs aux temps précédents. Pour prendre en compte la dépendance, la mesure de l actif à chaque instant de sortie est mesurée conditionnellement à l information de l actif aux instants de sorties précédents. La méthode de calcul est récursive, de la fin au début de l horizon de temps. Pour le client sortant en t = 2, l information sur la valeur de l actif en t = 1 est connue. En t = 1, un des deux scénarios de l actif A(1) s est réalisé. Vu que le calcul est effectué depuis t = 0, on ne sait pas lequel s est réalisé. Deux cas sont alors à envisager : 1. Le client restant en t > 1 provient du scénario à la hausse, 1 +. Le capital C 1 nécessaire en t = 1 pour assurer son départ en t = 2 ne dépend plus que de la réalisation de A(2 1 + ) et est donné par C1;60%(2 1 V ar + ) = 1 ( VaR0.6 (1.04 2 A(2 1 + )) ) 1.03 = 1 ( 1.04 2 1.0791 ) = 0.0024 1.03 2. Le client restant en t > 1 provient du scénario à la baisse, 1. Le capital C 1 nécessaire en t = 1 pour assurer son départ en t = 2 ne dépend plus que de la réalisation de A(2 1 ) et est donné par C1;60%(2 1 V ar ) = 1 ( VaR0.6 (1.04 2 A(2 1 )) ) 1.03 = 1 ( 1.04 2 0.9801 ) = 0.0985 1.03 Le capital nécessaire à assurer la sortie du second client est donc une variable aléatoire. Elle admet deux réalisations en fonction de la la valeur de l actif en t = 1. C1;60% V ar (2 1) = [ C1;60% V ar (2 1+ ) ; C1;60% V ar (2 1 ) ] Cette variable désigne dès lors la valeur du capital en t = 1 du risque résiduel associé à la sortie en t = 2 et conditionnellement à la valeur de l actif en t = 1. Le risque résiduel de fin d horizon C1;60% V ar (2 1) est dès lors fonction de la réalisation en t = 1 et est ramené au même temps que A(1). Ainsi, c est comme si le processus initial était remplacé par un processus à horizon d un an pour lequel la source d incertitude est donnée par la somme des deux cash flows en t = 1 donnés par 1.04 A(1) et C1;60% V ar (2 1). Nous nous ramenons alors à un processus satique. 28

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Le capital de réserve C 0 peut dès lors être calculé par la VaR à 60%. { VaR0.6 [1.04 A(1) + C1;60% V ar (2 1)]} C V ar 0;60% = 1 1.03 = 1 1.03 {VaR 0.6[1.04 1.09 + 0.0024 ; 1.04 0.99 + 0.0985]} = 1 {1.04 0.99 + 0.0985} = 0.095 1.03 La prise en compte de la dépendance des valeurs des actifs est fort marquée. Le capital de réserve nécessaire est presque doublé, soit de 2.5% à 4.75% du capital investi. Comparaison des mesures indépendante et récursive conditionnelle. Par les propiétés d équivariance sous les translations et d homogénéité positive de la VaR, nous pouvons reformuler le calcul de capital pour le cas indépendant. Nous avons C0;60%, V ar = 1 1.03 (VaR 0.6(1.04 A(1))) + 1 ( VaR0.6 (1.04 2 A(2)) ) 1.03 2 = 1 1.03 VaR 0.6 = 1 1.03 VaR 0.6 ( 1.04 A(1) + 1 1.03 ( 1.04 A(1) + C V ar 1;60% (2)) ( VaR0.6 ( 1.04 2 A(2) ))) où C1;60% V ar (2) est défini par la mesure du risque résiduel en t = 1 de la sortie en t = 2 peu importe la réalisation en t = 1. Vu que la mesure est prise sur l ensemble des scénarios A(2), cette variable a une valeur identique pour tous les scénarios de A(1), donc pour toutes les réalisations en t = 1. Pour le cas récursif conditionnel, le capital est donné par C V ar 0;60% = 1 1.03 où l on a remplacé C V ar 1;60% { VaR0.6 [1.04 A(1) + C V ar 1;60% (2 1)]} (2) par CV ar 1;60% toute la différence. En effet, C V ar 1;60% de la réalisation de A(1), alors que C V ar 1;60% (2 1) par rapport au cas indépendant. C est là (2 1) est une variable aléatoire dont la valeur dépend (2) est déterministe et n en dépend pas. Ces deux différences sont illustrées sur les arbres binomiaux résiduels à la figure 3.2. Cas Indépendant Cas Récursif Conditionnel w 1 1.04-1.09 + 0.0024 w 1 1.04-1.09 + 0.0024 w 2 1.04-0.99 + 0.0024 w 2 1.04-0.99 + 0.095 Fig. 3.2: Scénarios binomiaux des cash flows en t = 1, compte tenu du capital de risque résiduel de la sortie en t = 2, pour le cas indépendant et pour le cas récursif conditionnel. La mesure indépendante attribue la même valeur du risque résiduel 0.0024 à tous les scénarios en t = 1, alors que la mesure récursive attribue des valeurs qui dépendent de l état en t = 1 : soit 0.0024 pour le scénario à la hausse et 0.095 pour celui à la baisse. C est le scénario à la baisse, auquel on a ajouté une valeur de risque résiduelle plus importante, qui va faire augmenter le capital de risque total par la mesure récursive conditionnelle pour le processus. 29

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Analyse de l exemple Cet exemple a mis en évidence les effets des sorties intermédiaires. Nous constatons que lorsque le processus contient des sorties anticipées, le montant de réserve peut augmenter. Il est donc primordial de prendre en compte les sorties anticipées. Si nous sortons du cadre du problème du compte à terme et revenons aux mesures de risques multipériodes, plusieurs conclusions s imposent : Les mesures de risque multipériodes peuvent s écrire comme une utilisation successive de mesures de risque statiques. Nous notons A(1) le premier cash flow et A(2) le second. La mesure multipériode appliquée au processus dynamique sera notée ρ D ( ). Deux manières de mesurer ce risque ont été développées : une mesure indépendante et une mesure récursive conditionnelle. Mesure indépendante. Cette méthode consiste à calculer le risque comme si le système dynamique était une somme finie de problèmes statiques indépendants et ce en effectuant la somme des mesures de risque statiques des différents sous-problèmes. Si nous supposons que les réalisations de A(1) et A(2) sont indépendantes, alors on a ρ D (A) = ρ[a(1)] + ρ[a(2)]. Mesure récursive conditionnelle. Cette méthode consiste à calculer le risque de manière récursive, de la dernière réalisation à la première et conditionnellement à chaque réalisation précédente. Cette approche fait aussi appel à des mesures de risque statiques. Le risque résiduel du second cash flow exprimé en t = 1 est donné par ρ(a(2) A(1)). Le risque associé aux deux cash flows est donné par celui du premier auquel on ajoute le risque résiduel du second. La mesure multipériode est donnée par ρ D (A) = ρ { A(1) + ρ [A(2) A(1)] A(0) }. A chaque étape, le risque d un cash flow est conditionnel à la réalisation du précédent. La mesure indépendante est un cas particulier de la mesure conditionnelle. En effet, il suffit pour cela de considérer que le risque de chaque cash flow est conditionnel à la valeur de départ A(0). On a ρ D (A) = ρ { A(1) + ρ [A(2) A(0)] A(0) } = ρ[a(1) A(0)] + ρ[a(2) A(0)] car ρ[a(2) A(0)] est mesuré par A(0). = ρ[a(1)] + ρ[a(2)] Ainsi, on pourra dire que les mesures que nous avons introduites se résument à la mesure récursive conditionnelle où la mesure indépendante figure comme un cas particulier. Nous nous limitons dans ce travail à l utilisation des mesures statiques de VaR et de TVaR, l une n étant pas cohérente et l autre si. Ceci nous mènera à définir les mesures de risque multipériodes de VaR et TVaR indépendantes et récursives conditionnelles. Afin de définir ces mesures, nous devons au préalable définir les mesures conditionnelles. Ensuite, nous pourrons définir la cohérence multipériode ainsi que les propriétés des mesures multipériodes. Enfin, nous définirons les mesures à proprement parler. 30

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES 3.2 Mesures de risque conditionnelles Afin de définir les mesures multipériodes, nous devons définir les mesures de risque conditionnelles. Le concept de mesure de risque conditionnelle cohérente est défini par Shapiro et Ruszczyński dans [14]. Un concept similaire, appelé fonction d acceptabilité monotone a été défini par Pflug et Romisch dans [8]. Nous avons retravaillé la définition de [14] afin de faire apparaitre explicitement la conditionnelle de la mesure. Ce concept est fort proche de celui de mesure de risque statique cohérente. Nous reprenons dès lors le contexte mathématique utilisé pour la définition des mesures statiques cohérentes, voir section 1.1. Le concept de mesure de risque conditionnelle est donc aussi défini pour des variables aléatoires mesurant des pertes. Ainsi, plus la variable aléatoire est grande, plus la mesure de risque est grande, plus le risque financier est important. Soit un espace de probabilité (Ω, F) muni d une sigma-algèbre F. On associe à cet espace la mesure P de sorte que (Ω, F, P) soit un espace mesuré. Soit les deux sigmaalgèbres F 1 et F 2 telles que F 0 F 1 F 2 F n où F 0 = {, Ω} est la sigma-algèbre triviale et F n = F la sigma-algèbre totale. Dans le cadre d un processus se développant sur [t 0, t n ], on peut interpréter F i comme étant l information disponible sur le processus au temps t i. Ainsi, au début du processus, l information est triviale (les scénarios futurs ne peuvent pas être distingués) et à la fin totale (tous les scénarios sont distingués), avec tous les états intermédiaires possibles. La mesure de risque statique définie à la section 1.1 est définie de L p (Ω, F n, P) dans L p (Ω, F 0, P) = R. La mesure conditionnelle que nous désirons définir, est une mesure de risque statique mais dont les espaces domaine et image ne sont pas restreints aux sigmaalgèbres totale F n et triviale F 0 respectivement. Nous allons la définir de L p (Ω, F 2, P) dans L p (Ω, F 1, P). L espace image n est donc pas égal à R. Nous définirons de plus la mesure conditionnellement à l information disponible dans l espace image, c est-à-dire conditionnellement à F 1. Ainsi, la mesure sera une variable aléatoire dont la valeur dépend de l état du monde décrit par la réalisation du processus en t 1 donné par F 1. Définition 3.1. Soit une variable aléatoire Y mesurant des pertes définie sur L p (Ω, F 2, P) avec p [1, + ). Soit ρ(y F 1 ) : L p (Ω, F 2, P) L p (Ω, F 1, P) propre avec F 1 F 2. On dira alors que ρ(y F 1 ) est une mesure de risque conditionnelle associée à Y. Par soucis de concision, on notera ρ 2,1 (Y ) pour évoquer ρ(y F 1 ) où Y L p (Ω, F 2, P). Définition 3.2. Si pour tout Y, Y L p (Ω, F 2, P) et Z L p (Ω, F 1, P) la mesure ρ 2,1 ( ) vérifie les propriétés (D1)-(D4), alors elle est une mesure de risque conditionnelle cohérente. Nous noterons qu il s agit d une mesure statique conditionnelle. (C1) Convexité : ρ 2,1 (λy + (1 λ)y ) λρ 1 (Y ) + (1 λ)ρ 2,1 (Y ) pour 0 λ 1 (C2) Monotonicité : Si Y l Y alors ρ 2,1 (Y ) ρ 2,1 (Y ) (C3) Equivariance sous les translations : ρ 2,1 (Y + Z) = ρ 2,1 (Y ) + (Z F 1 ) (C4) Homogénéité positive : Si (Z F 1 ) 0, alors ρ 2,1 (ZY ) = (Z F 1 )ρ 2,1 (Y ) où (Z F 1 ) désigne la réalisation de Z dans F 1. L ordre partiel entre deux variables aléatoires Y l Y est formellement défini par P(Y > x) P(Y > x), x. 31

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Analyse des propriétés Le concept de mesure de risque statique cohérente conditionnelle a été défini à partir du concept de mesure de risque cohérente statique. Ainsi, les 4 propriétés sont identiques pour les deux concepts et leur interpétation financière aussi. Pour plus de détails, nous renvoyons à la section 1.1. Une unique différence est à noter entre les deux concepts. Dû à la définition de l espace image de la mesure conditionnelle, l élément équivariant et ou homogène ne doit plus être forcément un élément déterministe, mais déterministe pour la mesure ρ 2,1 ( ). Ceci veut dire que pour les propriétés (C3) et (C4), l élément déterministe de la mesure statique est remplacé par tout élément Z L p (Ω, F 1, P) car il est vu de manière déterministe par la mesure ρ 2,1 ( ). Ainsi, la mesure conditionnelle est cohérente si la mesure statique par laquelle elle est définie l est. 3.3 Mesures de risque multipériodes cohérentes Dans le cadre bien restreint d une mesure particulière, Pflug et Romisch ont défini le concept de mesure de risque multipériode cohérente dans [8]. Nous étendons ce concept à un ensemble de mesures plus grand. Les propriétés que doivent vérifier les mesures multipériodes constituent un socle raisonnable de propriétés qui sont en rapport direct avec les propriétés des mesures de risque statiques cohérentes. Soit un processus dynamique se développant sur [t 0, t n ]. Soit un ensemble de cash flows (Y 1, Y 2,...,Y n ) mesurant des pertes, aux instants t = (t 1, t 2,...,t n ). La mesure de risque multipériode associée à l ensemble des cashs flows sur [t 0, t n ] est notée ρ D ( ). Soit un espace de probabilité (Ω, F) muni d une sigma-algèbre F. On associe à cet espace la mesure P de sorte que (Ω, F, P) soit un espace mesuré. Soit la séquence de sigma-algèbres F 0 F 1 F n avec F 0 = {Ω, } la sigma-algèbre triviale et F n = F la sigma-algèbre totale. La séquence de sigma-algèbres est telle que F i représente l information disponible sur le processus en t i. On construit donc la séquence de F i pour i = 1,..., n de sorte que les différents cash-flows Y i soient F i -mesurables. Ceci implique alors que Y i L p (Ω, F i, P) avec p [1, + ). Ainsi, Y i est déterministe pour les espaces L p (Ω, F j, P) pour j i et aléatoire pour les espaces L p (Ω, F j, P) avec j < i. Les mesures de risque servent à calculer le risque d un cash flow par anticipation. Pour i = 1,..., n, le risque de chaque cash flow Y i doit dès lors être mesuré conditionnellement une sigma-algèbre inclue à F i, vu que Y i est F i -mesurable. La sigma-algèbre conditionnelle sera notée F i telle que F i F i. Dès lors, chaque Y i est mesuré conditionnellement à F i par ρ i,i ( ). Définition 3.3. Soit un ensemble de cash flows mesurant des pertes Y i L p (Ω, F i, P), pour i = 1,...,n. Soit la mesure ρ D (Y ; F ) où Y = (Y 1,..., Y n ) et F = (F1,..., F n ). On a ρ D (Y ; F ) : n i=1 L p(ω, F i, P) L p (Ω, F 0, P) = R. Si chaque Y i est mesuré conditionnellement à Fi par ρ i,i ( ) avec Fi F i, alors la mesure ρ D (Y ; F ) est dite multipériode par rapport aux cash flows Y = (Y 1, Y 2,...,Y n ) et conditionnellement aux sigma-algèbres F = (F1,...,Fn ). 32

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES La mesure multipériode cohérente doit englober le cas statique cohérent. Ainsi, si on fixe un unique cash flow Y 1 en t 1 pour un processus sur [t 0, t 1 ], la mesure multipériode cohérente doit vérifier les mêmes propriétés qu une mesure statique cohérente. Définition 3.4. Si pour tout c R et Y = (Y 1,...,Y n ), Y = (Y 1,...,Y n) tels que Y i, Y i L p (Ω, F i, P), la mesure de risque multipériode ρ D (Y ; F ) vérifie les 4 propriétés (D1)-(D4), alors ρ D (Y ; F ) sera dite cohérente. (D1) Convexité : La fonction ρ D ( ; F ) : Y ρ D (Y ; F ) est convexe (D2) Monotonicité : Si Y l Y (i.e. Y t l Y t t) : ρ D (Y ; F ) ρ D (Y ; F ) (D3) Equivariance sous tanslations : ρ D (..., Y t + c,... ; F ) = c + ρ D (Y ; F ) (D4) Homogénéité positive : Pour c 0, ρ D (cy 1,...,cY n ; F ) = cρ D (Y 1,...,Y n ; F ) où l ordre partiel entre deux variables aléatoires Y l Y est formellement défini pour toutes ses composantes Y t l Y t t par P(Y t > x) P(Y t > x), x, t. 3.4 Consistance dans le temps Le concept de consistance dans le temps a été discuté dans beaucoup d articles avant d être formalisé par Artzner et al. dans [2]. N ayant pas eu connaissance immédiatement de ce travail, nous avons basé notre réflexion sur la définition verbale proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14]. Sur cette base, nous avons personnellement construit une définition mathématique. Il s est finalement avéré que ces considérations ont abouti à la formulation proposée par Jocelyne Bion-Nadal dans [3]. Plus récemment, Kovacevic et Pflug ont montré dans [9] que les définitions d Artzner et al. et Bion-Nadal sont en réalité équivalentes. Nous terminerons par ce point. Nous partons donc de la définition proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14] : «At every state of the system, optimality of our decisions should not depend on scenarios which we already know cannot happen in the future». Pour un processus dynamique représenté par un arbre de décision, cela signifie que la valeur d une variable de décision à un certain noeud ne dépend que des scénarios issus de son état. Ainsi, si l on mesure le risque résiduel du processus en un noeud de l arbre, il ne dépend que des scénarios issus de ce noeud. Cette définition établie dans un cadre plus large que les mesures de risque suggère l utilisation d une approche conditionnelle. De plus, afin de déterminer les scénarios issus de chaque noeud, il convient d opter pour une démarche récursive. En fin d horizon, le risque est calculé pour chaque groupe de noeud enfants et constitue un risque résiduel de fin d horizon pour leur noeud parent. Ensuite, le risque de chaque groupe de noeud parent est calculé, en tenant compte du risque résiduel de leurs enfants. Ce risque constitue à son tour un risque résiduel pour leurs noeuds parents. On remonte alors ainsi de suite jusqu au temps initial. De cette manière, le risque associé à un noeud ne prend en compte que le risque associé à ses enfants. Le concept de Shapiro et Ruszczynski défini dans [14] est alors correctement vérifié. Dans le contexte des mesures multipériodes, nous avons affaire à un processus finiancier sur [t 0, t n ] dont les cash flows (Y 1,...,Y n ) forment un processus en temps discret sur 33

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES {t 1, t 2,...,t n }. Pour que la mesure soit consistante dans le temps, il faut dès lors que le risque associé à chaque réalisation du cash flow Y i soit donné par la mesure de son propre risque auquel on ajoute le risque résiduel de ses enfants. Ainsi, la mesure multipériode résiduelle du processus sur [t i, t n ] est construite de la même manière que la mesure du processus entier sur [t 0, t n ]. Selon les hypothèses sur le processus d informations de la mesure de risque multipériode, entre deux instants de cash flow [t i 1, t i ], aucun risque n est mesuré. Le risque évolue dès lors en temps discret et est réévalué à chaque instant de cash flow, donc aux instants {t 1, t 2,...,t n }. Construisons cette mesure selon la méthode récursive. Nous parcourons donc les temps selon l ordre {t n, t n 1,...,t 0 }. Par hypothèse, en t n, aucun risque n est à calculer car tout y est mesuré et connu. Par hypothèse, aucune variation du risque n est observée sur (t n 1, t n ). En t n 1, la mesure de risque doit prendre en compte Y n. Vu que la mesure de risque est évaluée en t n 1, elle est donnée par ρ n,n 1 (Y n ), ce qui constitue le risque résiduel de fin d horizon évalué en t n 1. Un nouveau cash flow a lieu en t n 1. A nouveau, aucune variation du risque n est observée sur (t n 2, t n 1 ). En t n 2, le cash flow Y n 1 doit être mesuré. A ce cash flow, on doit ajouter le risque résiduel de ses enfants donné par ρ n,n 1 (Y n ). Le risque sera mesuré en t n 2 à l aide de la mesure ρ n 1,n 2 ( ). Le risque résiduel de fin d horizon est alors donné par ρ n 1,n 2 (Y n 1 + ρ n,n 1 (Y n )). On remonte ainsi de suite et on obtient la définition 3.5 de la consistance dans le temps pour les mesures multipériodes. On retombre sur l énoncé défini par J. Bion-Nadal dans [3] par une approche différente. Définition 3.5. La mesure multipériode cohérente sur [t 0, t n ] est consistante dans le temps, si le risque résiduel du processus [t s, t n ] pour tout s tel que n > s 0 peut s écrire ρ res n,s (Y s+1,...,y n ) = ρ s+1,s (Y s+1 + + ρ n 1,n 2 (Y n 1 + ρ n,n 1 (Y n )) ) n > s 0 où ρ k+1,k ( ) pour k = s,..., n 1 sont des mesures de risque conditionnelles. De plus, le risque associé à chaque Y i est mesuré conditionnellement à F i 1 où Y i est F i -mesurable. Nous avons défini les mesures multipériodes cohérentes, notées ρ D ( ), à la section 3.3. Par rapport à la définition 3.5 et par construction, pour que ρ D ( ) soit consistant dans le temps, il faut que pour tout s = 1,...,n cette mesure s écrive sous la forme : ρ D (Y 1,...,Y s ; F 0,...,F s 1 ) = ρ res s,0(y 1,...,Y s ) ρ D (Y s,...,y n ; F s 1,...,F n 1 ) = ρ res n,s 1(Y s,...,y n ) Ces considérations nous mènent à la définition 3.6 équivalente à la définition 3.5 Définition 3.6. Pour que la mesure multipériode cohérente ρ D ( ) sur [t 0, t n ] soit consistante dans le temps, il faut que le risque du processus résiduel sur [t s 1, t n ], pour tout s = 1,...,n 1, puisse être écrit sous la forme : ρ D (Y s,...,y n ; F s 1,...,F n 1 ) = ρ s,s 1 (Y s + ρ D (Y s+1,...,y n ; F s,...,f n 1 )) Cette définition fait remarquer que pour qu une mesure multipériode cohérente soit consistante dans le temps, il faut qu elle soit mesurée de manière récursive à l aide de 34

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES mesures statiques cohérentes conditionnelles. De plus, les mesures conditionnelles sont définies de sorte que les variables Y i sont mesurées par rapport à F i 1, l information disponible sur le processus au temps t i 1 associé au cash flow Y i 1. La conséquence directe de ces deux définitions est que s = 1,...,n 1, on a : ρ D (Y 1,...,Y n ; F 0,...,F n 1 ) = ρ D (Y 1,...,Y s + ρ D (Y s+1,...,y n ; F s,...,f n 1 ) ; F 0,..., F s 1 ) Définition alternative de la consistance dans le temps Les définitions 3.5 et 3.6 nous indiquent que la consistance dans le temps est définie de manière récursive. Ce concept a été formalisé par Artzner et al. dans [2] d une autre manière. Kovacevic et Pflug ont redéfini ce concept dans [9] dans le cadre des mesures multipériodes cohérentes et ont montré son équivalence avec la définition 3.6. Nous reprenons ici ce concept et montrons son équivalence dans le cadre des mesures ρ D ( ) à la définition 3.7 et à la proposition 3.8. Définition 3.7. Soit la séquence de sigma-algèbres F 0 F 1 F n 1 F n. Soit Y = (Y 1,...,Y n ), Y = (Y 1,...,Y n) tels que Y i, Y i L p (Ω, F i, P). La mesure multipériode cohérente ρ D ( ; F 0,...,F n 1 ) est consistante dans le temps si pout tout s = 0...,n 1, on a ρ D (Y s+1,...,y n ; F s,...,f n 1 ) ρ D (Y s+1,...,y n; F s,...,f n 1 ) et Y s Y s ρ D (Y s,..., Y n ; F s 1,...,F n 1 ) ρ D (Y s,..., Y n ; F s 1,...,F n 1 ) Cette définition signifie que pour qu une mesure multipériode cohérente sur [t 0, t n ] soit consistante dans le temps, il faut que si le risque multipériode observé sur le sousprocessus [t s+1, t n ] admet un ordre entre deux variables Y et Y, alors, pour des varibles Y s+1 et Y s+1 vérifiant ce même ordre, cet ordre soit maintenu pour le sous-processus [t s, t n ] englobant le sous-processus [t s+1, t n ]. Proposition 3.8. Les définitions 3.6 et 3.7 sont équivalentes. Preuve. Nous montrons que 3.6 implique 3.7 et vice-versa, ce qui montre l équivalence. Pour simplifier les notations, nous noterons F s = (F s,..., F n 1 ). 1. Si la définition 3.6 est vraie, montrons la définition 3.7. Soit deux variables Y et Y telles que Y = (Y 1,...,Y n ) et Y = (Y 1,..., Y n ). Pour s = 1,...,n, supposons qu on a ρ D (Y s+1,...,y n ; F s ) ρ D (Y s+1,...,y n ; F s). Supposons aussi Y s Y s. Par hypothèse, la mesure multipériode est cohérente. Ainsi, la propriété de monotonicité est vérifiée pour ρ s,s 1. On a dès lors par la monotonicité ρ s,s 1 (Y s + ρ D (Y s+1,...,y n ; F s )) ρ s,s 1 (Y s + ρ D(Y s+1,..., Y n ; F s)) Si on applique la définition 3.6 aux deux membres de l inégalité, alors on montre que la définition 3.7 est vraie. 35

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES 2. Si la définition 3.7 est vraie, montrons la définition 3.6. Vu que ρ D (Y s+1,..., Y n ; F s ) est F s -mesurable, on a ρ D [ ρd (Y s+1,..., Y n ; F s ) ; F s ] = ρd (Y s+1,..., Y n ; F s ). De plus, Y s = Y s. Nous pouvons réécrire les deux dernières égalités sous la forme ρ D [ ρd (Y s+1,...,y n ; F s ) ; F s ] ρd (Y s+1,...,y n ; F s ) et Y s Y s (3.1) ρ D [ ρd (Y s+1,...,y n ; F s ) ; F s ] ρd (Y s+1,...,y n ; F s ) et Y s Y s (3.2) Nous appliquons la définition 3.7 à chacune des inégalités. Pour (3.1), on obtient ρ D [( Y s, ρd (Y s+1,...,y n ; F s ) ) ; F s 1 ] ρd (Y s,...,y n ; F s 1 ) où les deux cash flows du membre de gauche Y s et ρ D (Y s+1,...,y n ; F s ) sont F s - mesurables et donc interviennent au même temps t s de la mesure de risque ρ D ( ). Dès lors, ils peuvent être rempacés par un unique cash flow donné par leur somme. Vu que la mesure multipériode ne prend alors en compte qu un unique instant de cash flow, elle devient une mesure statique conditionnelle et est donnée par définition par ρ s,s 1 ( ). L inégalité devient alors ρ s,s 1 (Y s + ρ D (Y s+1,...,y n ; F s,...,f n 1 )) ρ D (Y s,...,y n ; F s 1 ) On fait de même pour la relation (3.2). On obtient la même relation mais de sens contraire. Ces deux derniers résultats mis ensemble se combinent pour montrer la définition 3.6. Ceci clôt la preuve. Nous avons donc montré qu une mesure multipériode cohérente est consistante dans le temps si elle peut s écrire de manière récursive, voir définition 3.6 ou si pour des variables aléatoires différentes ordonnées, elle conserve l ordre du risque sur tous les sous-processus [t s, t n ], voir définition 3.7. 3.5 Information monotone L information monotone est un concept qui a été défini dans [8] par Pflug et Romisch. Cette propriété signifie que si la mesure est information monotone, alors si toutes les informations F i de la mesure augmentent, la valeur de la mesure de risque diminue. Cette propriété semble naturelle. En effet, on aimerait que la mesure de risque que l on choisit soit telle que si on lui donne plus d information sur le processus, alors sa valeur diminue. Sinon, ceci enlèverait l intérêt d obtenir de l information. Etrangement, nous allons montrer que ce n est pas le cas pour toutes les mesures. Mais avant cela, nous définissons plus formellement ce concept. Définition 3.9. Soit la mesure multipériode ρ D (Y ; F ) donnée à la définition 3.3 où Y = (Y 1,..., Y n ) sont les cash flows mesurant des pertes et F = (F1,...,Fn ) les informations. La mesure sera information monotone si pour toute filtration F telle que F t Ft t, on a ρ D (Y ; F ) ρ D (Y ; F ). 36

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Il faut toutefois signaler que cette propriété n est pas souvent vérifiée. Par exemple, Kovacevic et Pflug ont montré dans [9] qu une composée de TVaR de même niveau α n est pas toujours information monotone. Nous reprennons cette idée et reformulons l exemple dans le cadre des mesures ρ D ( ). Nous illustrons ceci à la figure 3.3. 1 0 0 3 0.5 0.25 0 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 2 2 1 0 0.5 0 0.5 0.5 3 2 2 1 Fig. 3.3: Arbres de scénarios possédant les mêmes cash flows, mais pas la même information. L arbre de droite possède une information plus grande que celui de gauche. La mesure TVaR 0.6 (TVaR 0.6 (Y 2 F 1 ) F 0 ) n est pas information monotone. En effet, le deuxième arbre est celui qui a le plus d information et aussi la mesure de risque la plus élevée. Nous notons à l avance qu il s agit d un exemple de la mesure récursive conditionnelle qui sera développée à la section 3.7. La composée de TVaR se calcule récursivement en suivant le même procédé que celui présenté pour la mesure récursive conditionnelle à la section 3.1 pour l exemple de motivation mais à l aide d une TVaR. On obtient : 1. Pour le premier arbre : TVaR 0.6 (TVaR 0.6 (Y 2 F 1 ) F 0 ) = 2, 625 2. Pour le second arbre : TVaR 0.6 (TVaR 0.6 (Y 2 F 1 ) F 0 ) = 3 Ce qui montre bien que TVaR α (TVaR α ( ) ) n est pas information monotone. 3.6 Mesures multipériodes Nous avons défini à la section 3.2 le concept de mesures de risque statiques conditionnelles cohérentes nécessaires à l élaboration du concept de mesures de risque multipériodes cohérentes réalisé à la section 3.3. Nous avons identifié deux propriétés intéressantes pour les mesures multipériodes qui sont la consistance dans le temps, voir section 3.4, et l information monotone voir section 3.5. Nous gardons à l esprit que les mesures multipériodes seront définies ici dans le but de les appliquer à l aide des mesures statiques de VaR et de TVaR. La VaR n est pas cohérente alors que la TVaR l est. Dès lors, nous constaterons que les mesures multipériodes définies à l aide de la TVaR admettront certaines propriétés que celles définies à l aide de la VaR n auront pas. Nous allons passer aux définitions des mesures multipériodes à proprement parler. Comme l exemple à la section 3.1 le suggérait, nous allons définir deux types de mesures. Nous définirons tout d abord la mesure récursive conditionnelle, énoncée par Shapiro et Ruszczyński dans [14]. Nous définirons ensuite la mesure indépendante énoncée par Pflug et Romisch dans [8]. Pour chacune de ces mesures, les analyses de la cohérence, de la consistance dans le temps et de l information monotone sont personnelles. 37

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES 3.7 Mesure récursive conditionnelle La mesure récursive conditionnelle aurait pu s appeler mesure dynamique ou encore mesure consistante. En effet, sa construction se base sur la définition de la consistance dans le temps des processus dynamiques. Nous nous basons sur la définition proposée par Shapiro et Ruszczyński dans [14]. Les développements sur la cohérence, la consistance dans le temps et l information monotone sont cependant personnels. Soit un processus dynamique se développant sur [t 0, t n ]. Soit un ensemble de cash flows aléatoires (Y 1, Y 2,...,Y n ) mesurant des pertes, aux instants t = (t 1, t 2,..., t n ). Soit la séquence de filtrations F 0 F 1 F n de sorte que Y i est F i -mesurable. Soit ρ( ) une mesure de risque statique. On lui associe un ensemble de mesures statiques conditionnelles telles que ρ i,i 1 (Y i ) = ρ(y i F i 1 ) pour i = 1, 2,..., n Si on considère que l ensemble du processus dynamique peut être vu comme un arbre, le risque en un noeud à l instant t i est donné par celui du cash flow Y i auquel on a ajouté le risque résiduel des cash flows futurs. Vu que Y i est F i -mesurable, le risque de Y i est évalué par ρ i,i 1 ( ), la plus grande information disponible. On définit la mesure récursivement, selon la formulation de la consistance dans le temps, voir définition 3.5. Définition 3.10. La mesure multipériode récursive conditionnelle ρ D ( ) est définie par ρ D (Y 1,...,Y n ; F 0,..., F n 1 ) = ρ 1,0 (Y 1 + + ρ n 1,n 2 (Y n 1 + ρ n,n 1 (Y n )) ) (3.3) Par exemple, pour n = 3, on a ρ D (Y 1, Y 2, Y 3 ; F 0, F 1, F 2 ) = ρ 1,0 (Y 1 + ρ 2,1 (Y 2 + ρ 3,2 (Y 3 ))). Proposition 3.11. La mesure multipériode récursive conditionnelle est cohérente si la mesure de risque statique conditionnelle sous-jacente est cohérente. Preuve. Selon la définition 3.3, pour que la mesure soit multipériode, il faut que chaque cash flow soit mesuré par une mesure conditionnelle et que l espace image final soit R. Ceci est bien le cas. Il nous reste donc à vérifier les 4 propriétés (D1)-(D4) de la définition 3.4 pour montrer la cohérence. Pour montrer la cohérence de la mesure conditionnelle récursive, il convient de procéder par induction. De par la structure récursive de la définition de la mesure multipériode, il est évident que si nous montrons les relations pour n = 2, par induction, elles sont vraies jusque n. Nous nous limiterons donc à cela pour la démonstration. (D1) Pour montrer la convexité, il suffit de montrer que ρ 1,0 ρ 2,1 ( ) est convexe. On a ρ 1,0 ρ 2,1 (λy + (1 λ)y ) ρ 1,0 (λρ 2,1 (Y ) + (1 λ)ρ 2,1 (Y )) ρ 1,0 (λρ 2,1 (Y )) + ρ 1,0 ((1 λ)ρ 2,1 (Y )) λρ 1,0 (ρ 2,1 (Y )) + (1 λ)ρ 1,0 (ρ 2,1 (Y )) Où l on a utilisé les propriétés de convexité et d homogénéité positive de ρ( ). 38

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES (D2) Si Y 2 Y 2, alors ρ 2,1(Y 2 ) ρ 2,1 (Y 2 ). Dès lors, si on nomme Z 1 = Y 1 + ρ 2,1 (Y 2 ) et Z 1 = Y 1 + ρ 2,1(Y 2 ), alors, si Y 1 Y 1, on a Z 1 Z 1 et donc ρ 1,0(Z 1 ) ρ 1,0 (Z 1 ). On a donc ρ 1,0 (Y 1 + ρ 2,1 (Y 2 )) ρ 1,0 (Y 1 + ρ 2,1 (Y 2)). (D3) Si c R, alors ρ 1,0 (Y 1 +ρ 2,1 (Y 2 +c)) = ρ 1,0 (Y 1 +c+ρ 2,1 (Y 2 )) = c+ρ 1,0 (Y 1 +ρ 2,1 (Y 2 )). (D4) Si c R +, alors ρ 1,0 (cy 1 + ρ 2,1 (cy 2 )) = ρ 1,0 (c(y 1 + ρ 2,1 (Y 2 ))) = cρ 1,0 (Y 1 + ρ 2,1 (Y 2 )). Pour être complet, il faudrait ajouter à ces 4 preuves pour n = 2 l induction sur n. Pour cette étape d induction, il suffit de reprendre les preuves pour n = 2 et de remplacer la mesure ρ 2,1 ( ) par ρ res n,1 ( ). La preuve d induction sur n étant identique aux cas n = 2, nous ne la développons pas. Ceci clôt la preuve. Proposition 3.12. La mesure récursive conditionnelle est consistante dans le temps. Preuve. Par la définition 3.5, on vérifie aisément que cette mesure est consistante dans le temps. En effet, par identification, pour s = 1,..., n, la mesure est donnée par ρ D (Y s,...,y n ; F s 1,...,F n 1 ) = ρ res n,s 1 (Y s,...,y n ) Proposition 3.13. La mesure récursive conditionnelle n est pas information monotone. Preuve. Pour montrer qu elle n est pas information monotone, il suffit de donner un contre-exemple. Pour cela, nous nous référons à l exemple donné à la figure 3.3 de la section 3.5. Cet exemple montrait que la mesure TVaR 0.6 (TVaR 0.6 (Y 2 F 1 ) F 0 ) n est pas information monotone. Cette mesure correspond bien à la mesure multipériode récursive conditionnelle pour le cas n = 2 et ρ( ) = TVaR 0.6 ( ) avec Y 1 = 0. Nous avons donc donné un contre-exemple. La mesure multipériode récursive conditionnelle n est dès lors pas information monotone. 3.8 Mesure indépendante Nous nous basons sur la définition de la mesure indépendante proposée par Pflug et Romisch dans [8]. Les développements sur la cohérence, la consistance dans le temps et l information monotone sont cependant personnels. Si on considère que les valeurs des différents cash flows sont indépendantes, alors elles ne s influencent pas. Pour un système sur [t 0, t n ] à n cash flows (Y 1, Y 2,..., Y n ), aux instants t = (t 1, t 2,...,t n ), on peut alors le décomposer en n systèmes [t 0, t i ] ayant un unique cash flow à terme Y i pour i = 1, 2,..., n. 39

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Définition 3.14. La mesure multipériode indépendante ρ D ( ) est définie par ρ D (Y 1, Y 2,..., Y n ; F 0 ) = n i=1 c i ρ(y i F 0 ) (3.4) où c i est un facteur de pondération et ρ( ) une mesure de risque statique telle que ρ(y i F 0 ) = ρ i,0 (Y i ) est une mesure conditionnelle. La conditionnelle est fixée par rapport à l origine du processus, en l occurrence F 0. Proposition 3.15. La mesure multipériode indépendante est cohérente si la mesure de risque statique conditionnelle sous-jacente est cohérente. Preuve. Selon la définition 3.3, pour que la mesure soit multipériode, il faut que chaque cash flow soit mesuré par une mesure conditionnelle et que l espace image final soit R. Ceci est bien le cas. Il nous reste donc à vérifier les 4 propriétés (D1)-(D4) de la définition 3.4 pour montrer la cohérence. Pour montrer la cohérence de la mesure indépendante, il convient de procéder par induction. De par la structure additive de la définition de la mesure multipériode, il est évident que si nous montrons les relations pour n = 2, par induction, elles sont vraies jusque n. Nous nous limiterons donc à cela pour la démonstration. (D1) ρ 1,0 (Y 1 ) + ρ 2,0 (Y 2 ) est la somme de deux fonctions convexes, donc convexe. (D2) Si Y 1 Y 1 et Y 2 Y 2, alorsρ 1,0 (Y 1 ) ρ 1,0 (Y 1) et ρ 2,0 (Y 2 ) ρ 2,0 (Y 2). Dès lors, on a ρ 1,0 (Y 1 ) + ρ 2,0 (Y 2 ) ρ 1,0 (Y 1 ) + ρ 2,0(Y 2 ). (D3) Si c R, alors ρ 1,0 (Y 1 ) + ρ 2,0 (c + Y 2 ) = c + ρ 1,0 (Y 1 ) + ρ 2,0 (Y 2 ). (D4) Si c R +, alors ρ 1,0 (cy 1 ) + ρ 2,0 (cy 2 ) = c(ρ 1,0 (Y 1 ) + ρ 2,0 (Y 2 )). Pour être complet, il faudrait ajouter à ces 4 preuves pour n = 2 l induction sur n. Pour cette étape d induction, il suffit de reprendre les preuves pour n = 2 et de remplacer la mesure ρ 2,0 ( ) par n k=2 ρ k,0( ). La preuve d induction sur n étant identique aux cas n = 2, nous ne la développons pas. Ceci clôt la preuve. Proposition 3.16. La mesure indépendante n est pas consistante dans le temps Preuve. Pour montrer qu elle n est pas consistante dans le temps, il suffit d appliquer la définition 3.5. Pour qu elle soit consistante dans le temps, il faut que le risque résiduel sur [t s, t n ] s écrive sous la forme : ρ res n,s (Y s+1,...,y n ) = ρ s+1,s (Y s+1 + + ρ n 1,n 2 (Y n 1 + ρ n,n 1 (Y n )) ) n > s 0 40

CHAPITRE 3. MESURES DE RISQUE MULTIPÉRIODES Or, pour la mesure indépendante, le risque résiduel sur [t s, t n ] est donné par : ρ D (Y s+1,..., Y n ; F 0 ) = c s+1 ρ s,0 (Y s+1 ) + + c n ρ n,0 (Y n ) Pour montrer que la mesure indépendante n est pas consistante dans le temps, il suffit par exemple de montrer que pour le risque résiduel sur [t n 1, t n ], on a : ρ n,0 (Y n ) ρ n,n 1 (Y n ). Ceci découle de la définition 3.1 des mesures conditionnelles. Propriété 3.17. La notion d information monotone n a pas de sens pour la mesure indépendante. Par abus de langage, on dira que cette mesure n est pas information monotone. Pour qu une mesure multipériode soit bien définie, il faut que son espace image soit R, voir définition 3.3 des mesures multipériodes. Pour la mesure indépendante, si l on remplace les filtrations F 0 par F i avec F 0 F i, alors les différents termes de la définition 3.14 de la mesure seront donnés par des mesures de risque conditionnelles statiques dont l espace image n est pas R. La mesure n est alors plus un résultat déterministe mais une somme de variables aléatoires. Pour que la mesure soit bien définie, il faut que la filtration triviale soit choisie comme conditionnelle. Remarque : Cas particulier de la mesure récursive conditionnelle Si ρ( ) admet la propriété d équivariance sous les translations, la mesure indépendante peut s écrire comme un cas particulier de la mesure récursive conditionnelle. Il suffit pour cela de remplacer les diverses filtrations de l équation (3.3) par les filtrations triviales F 0 = {, Ω}. On a : n ρ D (Y 1,...,Y n ; F 0 ) = ρ(y 1 + + ρ(y n F 0 ) F 0 ) = ρ(y i F 0 ) Sans perte de généralités, on peut ajouter des coefficients c i tels qu on obtienne la définition 3.14. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons abordé les mesures de risque multipériodes. Nous avons défini ce qu est la cohérence pour une mesure multipériode sur base de la définition statique. Nous avons abordé le concept de consistance dans le temps qui est une préoccupation actuelle dans la littérature. Nous avons aussi abordé le concept d information monotone. Nous avons dès lors défini deux mesures multipériodes : une mesure indépendante et une mesure récursive conditionnnelle. Il ressort de nos recherches que ces deux mesures de risque multipériodes sont cohérentes si la mesure de risque statique sousjacente est elle-même cohérente. La mesure indépendante n est pas consistante dans le temps, alors que la mesure récursive conditionnelle l est par construction. Ces deux mesures ne sont pas information monotone. Dans le chapitre suivant, nous appliquerons ces mesures au calcul de la réserve financière d un compte à terme avec sorties intermédiaires. 41 i=1

Chapitre 4 Compte à terme avec sorties intermédiaires Dans ce chapitre, nous allons appliquer les mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle définies au chapitre 3 au calcul de la réserve financière du problème du compte à terme étudié au chapitre 2. L intérêt de ces mesures est que nous pouvons considérer le compte à terme avec plusieurs cash flows incertains, représentés par des sorties de clients anticipées. Les développements de ce chapitre sont personnels. 4.1 Description du problème Soit un compte à terme de durée T comptant L 0 clients entrant en t = 0 plaçant 1e. En pricipe, les clients doivent rester jusqu en t = T et reçoivent (1 + i) T e à l échéance où i représente le taux d intérêt offert par le compte à terme. En guise de prime à la liquidité, on a i > r où r est le taux sans risque du marché. Si tous les clients restent bel et bien jusqu en t = T, le processus financier est statique : le risque de solvabilité est observé au remboursement du passif en t = T. Pour diverses raisons, certains clients partiront du compte à terme avant l échéance. Les flux financiers que cela génère vont interagir avec le risque financier du produit initial. Le processus intégrant les départs est alors un processus dynamique, dont le risque peut être capturé par les mesures de risque multipériodes. Le compte à terme est représenté à la figure 4.1 où N t représente le nombre de clients partant à l instant t et P t le passif attribué à chaque client sortant en t. 1 t=0 N1 Nt NT t=t P1 Pt PT = (1+i) T L 0 Fig. 4.1: Compte à terme avec sorties Cette formulation est cohérente avec le cas statique. En effet, si aucun départ n est observé avant T, on a N t = 0 pour 0 t < T et N T = L 0 ainsi que P t = 0 pour tout 0 t < T et P T = (1 + i) T. 42

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES En principe, la prime de liquidité i > r ne vaut que si les clients restent jusqu au terme du contrat. Il est donc normal que s ils partent avant terme, une pénalité leur soit imposée. Ils ne toucheront donc qu une partie de leur investissement capitalisé au taux i jusqu à l instant de sortie. Nous détaillons à la section 4.2 le mécanisme des pénalités. Le compte à terme défini à la figure 4.1 est un processus double. D une part, il comprend le processus financier permettant de réaliser le rendement souhaité et d autre part le processus de sortie des clients qui détermine les temps auxquels le risque financier devra être mesuré. Les mesures de risque multipériodes définies au chapitre 3 sont telles que les instants de sortie doivent être connus a priori. Nous appliquerons donc ces mesures au calcul de la réserve du compte à terme aux sections 4.4 et 4.5 en supposant les instants de sortie connus. Nous les analyserons à la section 4.6. Nous passerons alors à une application de référence du problème du compte à terme à la section 4.7. Jusque là, nous aurons considéré que les temps de sortie étaient connus a priori. Nous étudierons alors l impact de différents processus de sortie. Nous espérons ainsi définir un processus de sortie de référence. Avec ce processus de référence, la réserve financière sera calculée à l aide des mesures développées aux sections 4.4 et 4.5 qui supposent les temps de sortie connus. Nous terminerons ce chapitre à la section 4.8 par une critique des mesures multipériodes en terme de conservation de leur niveau de risque ainsi que de leur utilité. 4.2 Mécanisme de pénalités Lorsque les clients sortent en un temps t < T avant la fin du contrat, il est normal qu ils n aient pas droit à ce qu ils auraient capitalisé au taux d intérêt i jusqu en t. En effet, le taux i est une prime de liquidité. En récupérant leur argent avant terme, les clients renoncent à cette prime de liquidité. Ainsi, il serait normal qu ils récupèrent leur investissement capitalisé alors à un taux i tel que r < i < i. Nous ne pouvons cependant pas exprimer cette pénalité en modifiant le taux du contrat. Pour la clientèle, il est alors plus aisé de comprendre qu ils n auront droit qu à une fraction de ce qu ils avaient capitalisé. En sortant avant terme t < T, ils toucheront P t = γ t (1 + i) t où γ t < 1 est tel que (1 γ t ) est la pénalité de sortie. Cette pénalité est également une manière de se préserver face au risque financier que représente un cash flow intermédiaire. D une part, la pénalité poussera les clients à rester et d autre part, s ils partent, cela diminue le passif et donc le risque financier associé. Evidemment, la pénalité ne peut pas être trop importante, sinon personne n achètera le produit. Tout le risque ne peut pas être transféré sur la clientelle par la pénalité. Comment calibrer γ t? Il est certain qu au terme du contrat, les clients ont droit à la prime de liquidité complète, c est-à-dire γ n = 1. Si les clients partent en t = 0 +, il 43

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES est logique qu ils ne récupèrent que leur investissement 1e moins les frais de gestion dus au départ anticipé. On aura donc comme autre condition au bord : γ 0 = β où 1 β est la pénalité de frais de sortie anticipée. Pour ce qui est des autres valeurs, plus les gens restent, plus ils rapportent. On propose donc comme fonction de pénalités pour [t 0, t n ] = [0, T] la fonction croissante linéaire de 0 et T valant de β à 1. γ t = 1 β t + β pour t [0, T] T où 1 β est la pénalité de frais de sortie anticipée typiquement de l ordre de 5%. 4.3 Détermination de la réserve Comme introduit à la section 4.1, L 0 personnes achètent le produit en t 0 = 0. Le processus financier dynamique se développe sur [t 0, t n ] = [0, T]. Le processus de sorties comporte n instants de sorties {t 1, t 2,..., t n }, dont le dernier instant t n = T est la fin du processus financier. A chaque sortie, N t individus quittent le compte à terme. Les différents cash flows aléatoires générant le risque du processus dynamique sont donnés par les paiements des passifs P j à l aide des actifs S(t j ) aux clients sortant aux temps t j. Les différents cash flows Y j, pour j = 1,...,n sont donnés par les bilans actif passif pondérés par les N j. Y j = N j [ γj (1 + i) t j S(t j ) ] (4.1) avec S(t j ) le brownien géométrique est introduit à la définition 2.1 au chapitre 2. Définition 4.1. X(t j t 0 ) est défini tel que S(t j ) = S(t 0 )e X(t j t 0 ). On a donc ( X(t) = δt + σw(t) σ 2 t/2 et X(t) N (δ 1 ) 2 σ2 )t, σ 2 t e X(t) LogN ( (δ 1 ) 2 σ2 )t, σ 2 t (4.2) (4.3) où w(t) N(0, t) est le mouvement brownien. Pour le cas statique, voir section 2.2, la réserve financière se calculait en actualisant la mesure de risque appliquée à l unique cash flow de fin d horizon. Pour le processus dynamique, nous allons introduire les facteurs d actualisation dans la mesure de sorte que la réserve soit donnée par la mesure multipériode elle-même. Les formulations des mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle pour le compte à terme que nous dériverons dans ce chapitre feront apparaitre la somme de n réserves associées aux n différents cash flows. Parmis ces réserves, certaines peuvent être négatives. Si c est le cas, comment les gérer? D un point de vue économique, si le calcul d une réserve donne une valeur négative, cela signifie que le produit est sûr et que la réserve est inutile. Dès lors, il faudrait ne prendre en compte que les parties positives des n réserves. D un point de vue financier, on pourrait se dire qu une réserve négative 44

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES contribue à diminuer le risque total des n réserves et que c est la somme sur les n réserve qui doit être prise en partie positive. Le problème du point de vue financier, c est qu il y a un transfert de risque entre les différents temps. La banque pourrait donc être en déficit avant d être en bénéfice. Du point de vue d un organisme de contrôle, une telle stratégie n est pas défendable. Nous opterons donc pour la formulation économique qui consistera à sommer les parties positives des différentes contributions à la réserve totale. Nous allons passer à la dérivation des mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle dans le cadre du compte à terme. Nous nous limiterons aux cas de la VaR et de la TVaR appliquées aux différents cash flow Y j. Une fois ceci réalisé, nous serons en mesure de calculer la réserve pour un cas de référence, ce qui nous permettra de mettre en évidence certaines des propriétés de ces mesures. 4.4 Mesure indépendante La mesure indépendante est donnée à la définition 3.14 de la section 3.8. Nous la rappelons : n ρ D (Y 1, Y 2,...,Y n ; F 0 ), = c j ρ(y j ; F 0 ) (4.4) où ρ(y j ; F 0 ) est une mesure statique conditionnelle telle que ρ(y j ; F 0 ) = ρ i,0 (Y i ). Nous notons que dans notre cas d étude, la seule information disponible sur le processus est celle sur le brownien géométrique S(t). La filtration en t 0, F 0 est alors donnée par S(t 0 ). Vu que les mesures de risque sont appliquées à des cash flows de temps différents, il va falloir actualiser les mesures au début de l horizon. Les différents facteurs c j de pondération réaliseront l actualisation depuis t j jusqu en t 0 = 0 au taux sans risque r. c j = j=1 1 (1 + r) t j t 0 pour j = 1, 2,...,n (4.5) Proposition 4.2. Soit ρ( ) une mesure statique équivariante sous les translations et homogène positivement. Soit un processus dynamique sur [t 0, t n ] à plusieurs cash flows Y j en {t 1,...,t n } définis aux équations (4.1)-(4.3). La mesure multipériode indépendante est donnée par ρ D (Y 1, Y 2,...,Y n ; F 0 ), (4.6) n N j [ = γj (1 + r) t j t 0 (1 + i) t j t 0 + S(t 0 )ρ( e X(t j t 0 ) ) ] j=1 où X(t j t 0 ) est donné à la définition 4.1 de sorte que S(t j ) = S(t 0 )e X(t j t 0 ). Preuve. Vu que ρ( ) est une mesure statique équivariante sous les translations et homogène positivement, on a ρ(y j S(t 0 )) = N j ρ ( γ j (1 + i) t j t 0 S(t j ) S(t 0 ) ) = N j [ γj (1 + i) t j t 0 + ρ( S(t j ) S(t 0 )) ] = N j [ γj (1 + i) t j t 0 + S(t 0 )ρ( e X(t j t 0 ) ) ] 45

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Le résultat est alors obtenu en appliquant la définition de la mesure, à l équation (4.4) et des factueurs c j à l équation (4.5). L équation (4.6) permet d identifier deux composantes à la mesure multipériode indépendante : les sommes actualisées des passifs γ j (1+i) t j t 0 et des actifs S(t 0 )ρ( e X(t j t 0 ) ). Les passifs étant déterministes, la mesure de risque ne porte alors plus que sur les actifs, les seuls éléments aléatoires du calcul. On identifie aussi la somme des n réserves associées aux n cash flows qui est pondérée par le nombre de clients N i générant chaque réserve et du facteur d actualisation depuis t i jusque t 0. Définition 4.3. Conformément à la discussion à la section 4.3 sur le calcul de la réserve, le capital de réserve du compte à terme normalisé au nombre de clients et mesuré à l aide de la mesure multipériode indépendante est donné par C ρ( ) 0,D, = 1 L 0 n j=1 N j (1 + r) t j t 0 [ γj (1 + i) t j t 0 + S(t 0 )ρ( e X(t j t 0 ) ) ] + (4.7) Cas particulier de la VaR et de la TVaR Si nous nous restreignons aux mesures VaR α ( ) et TVaR α ( ), positivement homogènes et équivariantes sous les translations, les formules (4.6) et (4.7) peuvent être réécrites. En effet, selon la proposition 2.2, vu que e X(t) a une fonction de répartition strictement monotone, continue et positive, les expressions ρ(y j S(t 0 )) deviennent VaR α (Y j S(t 0 )) = N j ( γj (1 + i) t j t 0 S(t 0 )VaR B α (ex(t j t 0 ) ) ) TVaR α (Y j S(t 0 )) = N j ( γj (1 + i) t j t 0 S(t 0 )TVaR B α (ex(t j t 0 ) ) ) où VaR B α ( ) et TVaRB α ( ) ont été définies au chapitre 1 aux définitions 1.5 et 1.11. Définition 4.4. Pour les cas des mesures ρ B ( ) = VaR B α ( ) ou ρb ( ) = TVaR B α ( ), la mesure indépendante (4.6) devient ρ B D (Y 1, Y 2,...,Y n ; F 0 ), (4.8) n N j [ = γj (1 + r) t j t 0 (1 + i) t j t 0 S(t 0 )ρ B (e X(t j t 0 ) ) ] j=1 Définition 4.5. Pour le cas des mesures ρ B ( ) = VaR B α ( ) ou ρb ( ) = TVaR B α ( ), la réserve financière (4.7) devient C ρb ( ) 0,D, = 1 L 0 n j=1 N j (1 + r) t j t 0 [ γj (1 + i) t j t 0 S(t 0 )ρ B (e X(t j t 0 ) ) ] + (4.9) 46

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES 4.5 Mesure récursive conditionnelle La mesure récursive conditionnelle est définie à la section 3.7 à la définition 3.10. Nous proposons d étendre la définition à l aide de coefficients multiplicatifs c j. Ceci n influence pas les propriétés de la mesure car par les propriétés d équivariance sous les translations et d homogénéité positive, ces coefficients peuvent être imputés aux cash flows Y i redonnant ainsi la définition 3.10. ρ D (Y 1,...,Y n ; F 0,...,F n 1 ) = c 1 ρ 1,0 (Y 1 + + c n 1 ρ n 1,n 2 (Y n 1 + c n ρ n,n 1 (Y n )) ) où ρ n,n 1 (Y n ) = ρ(y n F n 1 ) est une mesure statique conditionnelle mesurant le risque de Y n conditionnellement à F n 1, l information disponible sur le processus jusqu en t n 1. Les coefficients c j vont servir de facteurs d actualisation pour ramener tous les termes en t = 0. Nous effectuons des sommes du type : Y n 1 +c n ρ n,n 1 (Y n ). Afin que la somme ait du sens, le coefficient c n doit être défini de sorte que le montant ρ n,n 1 (Y n ) soit actualisé à l instant du cash flow Y n 1. On procède de même pour tous les coefficients c j c j = 1 (1 + r) t j t j 1 pour j = 1, 2,..., n Avant de passer à la formule récursive conditionnelle, nous attirons l attention sur le lemme suivant qui constitue l étape fondamentale du calcul permettant de faire tomber les conditions des mesures statiques. Lemme 4.6. Soit ρ( ) une mesure statique équivariante sous les translations et homogène positivement telle que ρ j,j 1 ( ) est une mesure conditionnelle. Soit S(t j ) le brownien géométrique mesuré en t j et donné à la définition 2.1 du chapitre 2. On a ρ( S(t j ) F j 1 ) = S(t j 1 )ρ ( e X(t j t j 1 ) ) (4.10) où X(t j t j 1 ) est donné à la définition 4.1 de sorte que S(t j ) = S(t j 1 )e X(t j t j 1 ). Preuve. Les propriétés de la mesure et du brownien géométrique montrent l énoncé. ρ( S(t j ) F j 1 ) = ρ ( S(t j 1 )e X(t j t j 1 ) F j 1 ) Par définition de S(t) et de X(t) = ρ ( S(t j 1 )e X(t j t j 1 ) S(t j 1 ) ) Car l information sur le processus F est donnée par S(t) = S(t j 1 )ρ ( e X(t j t j 1 ) S(t j 1 ) ) Par homogénéité positive de ρ( ) et vu que S(t j 1 ) est mesuré = S(t j 1 )ρ ( e X(t j t j 1 ) ) Car e X(t j t j 1 ) est indépendant de la condition S(t j 1 ) 47

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Nous passons dès lors à la dérivation de la mesure récursive conditionnelle dans le cas du compte à terme. Proposition 4.7. Soit ρ( ) une mesure statique équivariante sous les translations et homogène positivement. Soit un processus dynamique sur [t 0, t n ] à plusieurs cash flows Y j en {t 1,..., t n } définis aux équations (4.1)-(4.3). La mesure multipériode récursive conditionnelle est donnée par ρ D (Y 1,...,Y n ; F 0,...,F n 1 ) (4.11) n N k = (1 + r) t k t 0 γ k (1 + i) t k t 0 k=1 + S(t 0 ) n k=1 N k (1 + r) t k t 0 ( 1) k+1 k ρ ( e ) X(t j t j 1 ) où X(t j t j 1 ) est donné à la définition 4.1 de sorte que S(t j ) = S(t j 1 )e X(t j t j 1 ). Preuve. Pour démontrer l équation (4.11), nous allons procéder par induction. Nous montrerons tout d abord que la formule est vraie pour un unique cash flow. Nous supposerons ensuite qu elle est vraie pour n cash flows et montrerons l induction sur un n + 1-ème cash flow. Le résultat du lemme 4.6, vérifié pour j = 1,..., n, est la clé de la récursion. En effet, il permet d écrire la mesure d une variable S(t j ) en fonction de S(t j 1 ). Vrai pour n = 1. On a S(t 1 ) = S(t 0 ) exp(x(t 1 t 0 )). ρ D (Y 1 F 0 ) = c 1 ρ 1,0 (Y 1 ) 1 t j=1 = c 1 ρ(y 1 F 0 ) (1 + r) t 1 t 0 1 = (1 + r) t 1 t 0 ρ(n 1 γ 1 (1 + i) t 1 t 0 N 1 S(t 1 ) F 0 ) = = N 1 ( γ1 (1 + r) t 1 t 0 (1 + i) t 1 t 0 + S(t 0 )ρ( e X(t 1 t 0 ) ) ) N 1 N 1 (1 + r) t 1 t 0 γ 1 (1 + i) t 1 t 0 + S(t 0 ) (1 + r) t 1 t 0 ρ( e X(t 1 t 0 ) ) On suppose que la récurrence est vraie jusque n sorties. Montrons qu elle est vraie pour une n + 1-ème sortie. Pour ce faire, nous allons considérer la mesure multipériode sur [t 0, t n ] et ajouter un premier cash flow en t 0. La nouvelle mesure sera prise alors en t 1. Pour exprimer la mesure comme fonction des temps couverts par le processus, on définit ρ D [0, n] = ρ D (Y 1,...,Y n ; F 0,...,F n 1 ) La nouvelle mesure sur [t 1, t n ] sera notée ρ D [ 1, n] et comporte n + 1 sorties (Y 0,...,Y n ) en (t 0,..., t n ). Pour déterminer la mesure, nous utilisons la relation de récurrence. ρ D [ 1, n] = c 0 ρ 0, 1 (Y 0 + ρ D [0, n]) 48

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES qui n est autre que l écriture de la consistance dans le temps de la mesure récursive. La relation de récurrence devient alors ρ D [ 1, n] =c 0 ρ ( N 0 γ 0 (1 + i) t 0 t 1 N 0 S(0) + ρ D [0, n] F 1 ) 2 =c 0 (N 0 γ 0 (1 + i) t 0 t 1 + + c 0 ρ ( =(K P ) + (K A ) N 0 S(0) + S(0) n k=1 n k=1 N k (1 + r) t k t 0 γ k (1 + i) t k t 0 ( 1) k+1 N k (1 + r) t k t 0 1 ) ) k ρ( e X(t j t j 1 ) ) F 1 où (K P ) est la composante associée au passif et (K A ) celle associée aux actifs et où la 3-ème égalité provient de notre hypothèse d induction. Par la définition de c 0, la composante des passifs devient (K P ) = n k=0 j=1 N k (1 + r) t k t 1 γ k (1 + i) t k t 1 Par le lemme 4.6, la composante associée aux actifs devient ( ) n ( 1) k+1 N k k (K A ) = c 0 S(t 1 ) N 0 (1 + r) t k t 0 ρ( e X(t j t j 1 ) ) ρ ( e ) X(t 0 t 1 ) = S(t 1 ) n k=0 Dès lors, nous avons ρ D [ 1, n] = k=1 ( 1) k+1 N k (1 + r) t k t 1 n k=0 j=1 k ρ( e X(t j t j 1 ) ) j=0 N k (1 + r) t k t 1 γ k (1 + i) t k t 1 + S(t 1 ) n k=0 ( 1) k+1 N k (1 + r) t k t 1 k ρ( e X(t j t j 1 ) ) Il nous reste à montrer l équivalence avec la formulation pour n sorties. Pour montrer cela, il suffit de faire un changement de variable sur l échelle des temps. Les différents t i sont renvoyés en t i+1. On obtient alors ρ D [0, n + 1] = n+1 k=1 j=0 N k (1 + r) t k t 0 γ k (1 + i) t k t 0 n+1 N k + S(t 0 ) (1 + r) t k t 0 ( 1) k+1 k=1 k ρ( e X(t j t j 1 ) ) On démontre ainsi que (4.11) est vraie pour n + 1. Ceci clot la démonstration. 49 j=1

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Dans l expression (4.11), nous identifions deux groupes de termes. Le premier est donné par la somme des passifs actualisés. Il est entièrement déterministe et identique à celui de la mesure indépendante. Le deuxième terme est donné par la somme des mesures sur les actifs exprimée par la somme des produits des mesures de risques statiques appliquées aux variations des actifs entre deux pas de temps successifs. Définition 4.8. Conformément à la discussion à la section 4.3 sur le calcul de la réserve, le capital de réserve du compte à terme normalisé au nombre de clients et mesuré à l aide de la mesure multipériode récursive conditionnelle est donné par [ C ρ( ) 0,D = 1 n N k k L 0 (1 + r) t k t 0 γ k (1 + i) t k t 0 + S(t 0 )( 1) k+1 ρ ( e )] X(tj tj 1) (4.12) k=1 j=1 + Cas particulier de la VaR et de la TVaR Si nous nous resteignons au cas ρ( ) = VaR α ( ) ou ρ( ) = TVaR α ( ), les formules (4.11) et (4.12) peuvent être réécrites par la proposition 2.2 car e X(t) a une fonction de répartition continue, strictement monotone et positive. Définition 4.9. Pour les cas des mesures ρ B ( ) = VaR B α ( ) ou ρb ( ) = TVaR B α ( ), la mesure récursive conditionnelle (4.11) devient ρ B D(Y 1,...,Y n ; F 0,...,F n 1 ) (4.13) [ n N k k = (1 + r) t k t 0 γ k (1 + i) t k t 0 S(t 0 ) ρ ( B e )] X(t j t j 1 ) k=1 Définition 4.10. Pour le cas des mesures ρ B ( ) = VaR B α ( ) ou ρb ( ) = TVaR B α ( ), la réserve financière (4.12) devient [ C ρb ( ) 0,D = 1 L 0 n k=1 N k (1 + r) t k t 0 γ k (1 + i) t k t 0 S(t 0 ) 4.6 Analyse des mesures multipériodes k j=1 j=1 ρ B ( e X(tj tj 1) )] + (4.14) Dans cette section, nous allons comparer les mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle. Nous ne nous préoccupons pas du calcul de la réserve, mais uniquement des formulations des deux mesures. Dans le cadre de l étude que nous réalisons, nous travaillons uniquement sur les mesures de VaR α ( ) et TVaR α ( ). Nous nous focaliserons donc sur les définitions 4.4 et 4.9. Dans un premier temps, nous analyserons la complexité asymptotique du calcul de ces deux mesures. Dans un second temps, nous établirons un ordre de comparaison entre ces deux mesures. 4.6.1 Calcul et complexité asymptotique Les formules (4.8) et (4.13) sont entièrement déterminées à condition de savoir calculer la mesure ρ B (e X(t) ). Or, e X(t) est distribué selon une loi lognormale, voir définition 4.1. 50

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Ainsi, dans le cas de la VaR et de la TVaR, la mesure pourra être calculée à l aide des propositions 2.5 et 2.6 développées au chapitre 2. Nous abordons alors la question de la complexité asymptotique. La seule opération dont nous ne connaissons pas la complexité est le calcul de ρ B (e X(t) ). Pour les mesures auxquelles nous nous restreignons, ce calcul prend le nombre d opérations nécessaires à l évaluation de φ( ) et φ 1 ( ), voir formules (2.8) et (2.11). De manière générale, on dira que ce calcul nécessite φ opérations, ce qui asymptotiquement sur la taille du problème est réalisé en temps constant, soit en O(1). Propriété 4.11. La complexité de la mesure indépendante est en O(n). En effet, le passif est calculé en O(n) car il est donné par une somme de n termes calculés en O(1) et l actif en O(n), car il s agit d une somme de n termes calculés en O(1). Propriété 4.12. La complexité de la mesure récursive conditionnelle est en O(n). Le passif est calculé en O(n) car il est donné par une somme de n termes calculés en O(1). L actif se mesure aussi en O(n), car il s agit d une somme de n termes pouvant être calculés en O(1). En effet, pour que le calcul de chaque terme soit en O(1), il suffit de mesurer les actifs successifs de manière séquentielle. Le calcul de la mesure en un temps t j est donné par celui de t j 1 multiplié par la mesure sur l accroissement entre t j 1 et t j, ce qui se réalise bien en O(1). 4.6.2 Ordre entre les deux mesures Nous allons formuler un ordre de comparaison entre les mesures données aux définitions 4.4 et 4.9. Nous étudions d abrod cette question par les concepts de consistance dans le temps et d information monotone. Nous établissons par la suite l ordre formellement. Consistance dans le temps Selon la définition 3.5, une mesure multipériode est consistante dans le temps si elle peut s écrire de manière récursive. Ainsi, à tout temps, le risque résiduel du processus est donné par la mesure appliquée au sous-processus, lui conférant ainsi les mêmes propriétés que la mesure sur le processus total. Point de vue du risque, ceci signifie qu en tout temps, le niveau de risque sur le cash flow suivant est imposé de la même manière. Lorsque la mesure n est pas consistante dans le temps, il n y a aucune garantie que le niveau de risque soit maintenu aux risques résiduels. Comme nous l avons montré aux sections 3.7 et 3.8, la mesure récursive conditionnelle est consistante dans le temps et la mesure indépendante ne l est pas. Ceci signifie que le niveau de risque n est pas maintenu pour la mesure indépendante alors qu il est maintenu pour la mesure récursive conditionnelle. Financièrement, ceci se traduit par une baisse de la valeur de la mesure de risque pour le cas indépendant. Par le concept de consistance dans le temps, on s attend donc à ce que la mesure indépendante soit inférieure à la mesure récursive conditionnelle. Information monotone La mesure indépendante est un cas particulier de la mesure récursive, pour laquelle toutes les filtrations ont été réduites à la filtration triviale. Vu que la mesure récursive conditionnelle n est pas information monotone, on s attend à ce que la mesure avec les plus petites filtration soit celle qui donne la plus petite valeur de risque. Par le concept d information monotone, on s attend donc à ce que la valeur de la mesure indépendante soit inférieure à la valeur de la mesure récursive conditionnelle. 51

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES En vertu de ces deux principes, nous nous attendons donc à ce que la mesure indépendante soit toujours inférieure à la mesure récursive conditionnelle. Nous allons vérifier cette idée en établissant formellement l ordre de comparaison entre ces deux mesures. Si nous analysons ces mesures aux définitions 4.4 et 4.9, nous constatons que les passifs sont identiques dans les deux formules, et que ces mesures ne se différencient que par le calcul de leurs actifs. Les critères de comparaison des deux méthodes proviennent donc du calcul de l actif S(t) par la mesure de risque ρ B ( ). Afin d identifier les deux mesures, nous décomposons le brownien géométrique S(t j ) des deux manières suivantes : S(t j ) = S(t 0 )e X(t j t 0 ) = S(t 0 ).e X(t 1 t 0 ).e X(t 2 t 1 )...e X(t j t j 1 ) Selon la formule (4.8), la mesure de risque indépendante de l actif S(t j ) est calculée à l aide d une mesure statique sur l ensemble de ses accroissements : ρ B D(S(t j )) = S(t 0 )ρ B (e X(t j t 0 ) ) Selon l équation (4.13), la mesure récursive conditionnelle mesure le risque de S(t j ) comme le risque de S(t j 1 ) auquel on multiplie le risque associé à l accroissement de S(t) sur [t j, t j 1 ]. De manière récursive, cela signifie que le risque de S(t j ) est donné par ρ B D(S(t j )) = S(t 0 ).ρ B (e X(t 1 t 0 ) ).ρ B (e X(t 2 t 1 ) )...ρ B (e X(t j t j 1 ) ) Afin de déterminer l impact de la décomposition de S(t j ) sur la mesure ρ B D (S(t j)), nous réalisons un exemple, pour lequel ρ B ( ) = VaR B 0.995. Le brownien géométrique S(t) est paramétrisé par (δ, σ) = (0.08, 0.05) et S(0) = 1. On cherche à estimer S(5) selon les deux mesures. Nous nous donnons deux cadres d étude : soit S(5) est décomposé en produit de 2 exponentielles, soit en produit de 3 exponentielles. Aux figures 4.2 et 4.3, nous traçons la valeur de la mesure récursive conditionnelle VaR B D,α (S(t)) en fonction des temps auxquels S(5) est décomposée. Nous comparons ces valeurs à celle obtenue par la mesure indépendante qui est de VaR B α (S(5)) = 1.1116. L observation des figures 4.2 et 4.3 conduit à formuler la proposition 4.13. Proposition 4.13. Soit S(t) un brownien géométrique défini sur [t 0, t n ]. Soit les temps de décomposition du brownien géométrique {t 1,...,t n 1 }. Pour α 1/2, et α < 1, on a VaR B α (S(t n)) = S(t 0 )VaR B α (ex(tn t 0) ) n ( S(t 0 )VaR ) B α e X(t j t j 1 ) (4.15) où X(t j t k ) est donné à la définition 4.1 de sorte que S(t j ) = S(t k )e X(t j t k ) avec t j t k. Notons que l égalité vaut pour α = 1/2. Preuve. Vu que S(t) est un brownien géométrique, il suit une distribution lognormale décrite par ( S(t n ) S(t 0 )LogN (δ 1 ) 2 σ2 )(t n t 0 ), σ 2 (t n t 0 ) (4.16) j=1 52

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES 1.12 1.1 VaR D B (S(5)) 1.08 1.06 1.04 1.02 1 0.98 Independant Recursif 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t 1 Fig. 4.2: Soit t 1 le temps auquel est décomposé le brownien géométrique S(5) en produit de deux exponentielles. S(t) est paramétrisé par (δ,σ) = (0.08,0.05). On observe que VaR B α(s(5)) S(0).VaR B α(e X(t 1 0) ).VaR B α (e X(5 t 1) ). 5 4 3 VaR D B (S(5)) 1.1 1.05 t 2 2 1 1 0.95 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t 1 0.9 Fig. 4.3: Soit t 1 et t 2 les temps auxquels est décomposé le brownien géométrique S(5) en produit de trois exponentielles. S(t) est paramétrisé par (δ, σ) = (0.08, 0.05). On observe que VaR B α (S(5)) S(0).VaRB α (ex(t 1 0) ).VaR B α (ex(t 2 t 1 ) ).VaR B α (ex(5 t 2) ). Dès lors, par définition de X(t n t 0 ) et de la loi lognormale, on a ( X(t n t 0 ) N (δ 1 ) 2 σ2 )(t n t 0 ), σ 2 (t n t 0 ) (4.17) Dès lors, par définition, e X(tn t0) suit une loi lognormale. Par la proposition 2.5, la VaR B α ( ) de cette lognormale se calcule par ( VaR B α(e X(tn t0) ) = exp φ 1 (1 α)σ t n t 0 + (δ 1 ) 2 σ2 )(t n t 0 ) Si on applique ce résultat à la proposition, la thèse devient après passage au logarithme et simplification des termes identiques : φ 1 (1 α)σ n t n t 0 φ 1 (1 α)σ tj t j 1 (4.18) 53 j=1

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Or, vu que les t j sont des temps positifs tels que t j t j 1, on sait que n n tn t 0 = (t j t j 1 ) tj t j 1 j=1 Ainsi, pour que l équation (4.18) soit correcte, il faut φ 1 (1 α) 0. Ceci est équivalent à imposer la condition α 1/2. Si α = 1/2, alors φ 1 (1 α) = 0, ce qui montre que les deux membres de la proposition sont égaux. Ce qui clôt la preuve. Ce résultat est fondamental dans la comparaison que nous effectuerons entre les deux mesures multipériodes. Cette proposition sera d application car nous sommes intéressés par des mesures pour α grand, typiquement, α = 0.995. Nous pouvons démontrer un résultat similaire pour la TVaR B α ( ), mais pour lequel il n y a pas de restriction sur la valeur de α. Nous n illustrons pas cette mesure car ces illustrations ne nous apprennent rien de plus que la proposition 4.15. Avant cela, un lemme sur la convexité du produit de TVaR d un brownien géométrique est formulé. Lemme 4.14. Soit S(t) un brownien géométrique défini sur [t 0, t n ]. Soit les temps de décomposition du brownien géométrique {t 1,...,t n 1 }. Le produit de TVaR suivant est convexe : n ( S(t 0 )TVaR ) B α e X(t j t j 1 ) j=1 où X(t j t k ) est donné à la définition 4.1 de sorte que S(t j ) = S(t k )e X(t j t k ) avec t j t k. Preuve. Soit deux fonctions f et g positives, croissantes, convexes et doublement dérivables. Le produit de ces fonctions est convexe. En effet, on a f, f, f 0 et g, g, g 0. Dès lors, (fg) = f g + fg + 2f g 0, ce qui montre que fg est convexe. Nous pouvons appliquer ( ceci au cas de la TVaR sur le brownien géométrique. Les différents termes TVaR ) B α e X(t j t j 1 ) sont positifs car e X(t j t j 1 ) 0. De plus, la TVaR est montone croissante et convexe. Nous disposons aussi d une formule( explicite et doublement dérivable, à la proposition 2.6, permettant le calcul de TVaR ) B α e X(t j t j 1 ). Toutes les condititons sont alors vérifiées telles que le produit de deux TVaR de e X(t j t j 1 ) est convexe. A fortiori, on a que n j=1 S(t ( 0)TVaR ) B α e X(t j t j 1 ) est convexe. Ce résultat nous sera utile dans la preuve de la proposition 4.15. Proposition 4.15. Soit S(t) un brownien géométrique défini sur [t 0, t n ]. Soit les temps de décomposition du brownien géométrique {t 1,...,t n 1 }. On a pour tout α (0, 1) TVaR B α(s(t n )) = S(t 0 )TVaR B α(e X(tn t 0) ) j=1 n ( S(t 0 )TVaR ) B α e X(t j t j 1 ) (4.19) où X(t j t k ) est donné à la définition 4.1 de sorte que S(t j ) = S(t k )e X(t j t k ) avec t j t k. L égalité vaut lorsque pour i = 1...,n 1, chaque t i est égal soit à t 0 soit à t n. 54 j=1

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Preuve. Vu que S(t) est un brownien géométrique, il suit une distribution lognormale, voir (4.16). Dès lors, par définition de la loi lognormale, X(t n t 0 ) suit une distribution normale de paramètres identiques, voir (4.17). Dès lors, par définition, e X(tn t0) suit une loi lognormale. Par la proposition 2.6, la TVaR B α ( ) de cette lognormale se calcule par TVaR B α(e X(tn t0) ) = 1 1 1 α e(δ 2 σ2 )(t n t 0 )+ σ2 2 (tn t 0) φ ( φ 1 (1 α) σ t n t 0 ) Si on applique ce résultat au membre de droite de la proposition, on obtient n ( S(t 0 )TVaR ) B α e X(t j t j 1 ) = S(t 0 )e W(tn t 0) j=1 n j=1 (4.20) 1 1 α φ ( φ 1 (1 α) σ ) t j t j 1 où W(t n t 0 ) = (δ 1 2 σ2 )(t n t 0 ) + σ2 2 (t n t 0 ). Pour borner supérieurement cette expression, il suffit de la considérer comme une fonction des temps de décomposition du brownien géométrique {t 1,...,t n 1 } et de trouver les temps qui déterminent la borne supérieure à cette expression pour toutes valeurs des autres paramètres. On définit donc F(t 1, t 2,...,t n 1 ) = S(t 0 )e W(tn t 0) n j=1 1 1 α φ ( φ 1 (1 α) σ ) t j t j 1 (4.21) où les temps t i sont tels que t i [t i 1, t i+1 ] [t 0, t n ] pour i = 1,...,n 1 et avec t 0 et t n le début et la fin du processus connus par hypothèse. Par le lemme 4.14, F( ) est convexe. Supposons tout d abord que tous les temps intermédiaires sont fixes sauf t 1. Dès lors, pour t 1 [t 0, t 2 ] et F( ) convexe, la borne supérieure de F( ) sera obtenue à l un des deux bords de l intervalle, soit en t 1 = t 0 ou en t 1 = t 2. Ce résultat peut en toute généralité être effectué pour les autres temps intermédiaires. Dès lors, la borne sur F( ) est obtenue pour un des scénarios de temps tel que les temps t i sont égaux soit à t 0 soit à t n, avec t i t i+1 pour i = 1..., n 1. Vu que F( ) s écrit comme le produit des TVaR sur les accroissements, tous ces scénarios sont équivalents et donnent mathématiquement la même borne. Pour obtenir la borne, il suffit dès lors d évaluer par exemple F(t 0, t 0,...,t 0 ) : F(t 1, t 2,...,t n 1 ) = n ( S(t 0 )TVaR ) B α e X(t j t j 1 ) F(t 0, t 0,...,t 0 ) (4.22) j=1 Pour estimer F(t 0, t 0,...,t 0 ), il suffit de constater que pour tout i = 1,..., n 1, on a t i = t i 1 = t 0 et donc φ (φ 1 (1 α) σ t i t i 1 ) = φ (φ 1 (1 α)) = 1 α. Dès lors F(t 0, t 0,..., t 0 ) = S(t 0 )e W(tn t 0) ( n 1 j=1 1 1 α φ ( φ 1 (1 α) ) ) 1 1 α φ ( φ 1 (1 α) σ ) t n t 0 = 1 1 α S(t 0)e W(tn t 0) φ(φ 1 (1 α) σ t n t 0 ). = S(t 0 )TVaR B α(e X(tn t 0) ) où la dernière égalité est obtenue par la relation (4.20), ce qui avec (4.22) clôt la preuve. 55 1

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Les deux propositions 4.13 et 4.15 permettent de donner un ordre entre la mesure indépendante et la mesure récursive conditionnelle pour le problème du compte à terme. Il est formulé à la proposition 4.16. Comme attendu, pour des α adéquats, ces résultats sont cohérents avec les remarques énoncées au sujet des concepts de consistance dans le temps et d information monotone. Proposition 4.16. Dans le cadre des mesures VaR B α ( ) ou TVaRB α ( ), l ordre entre les mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle est le suivant. VaR B α,d ( ) VaRB α,d ( ), pour α [1/2, 1) (4.23) TVaR B α,d ( ) TVaRB α,d ( ), pour α (0, 1) (4.24) Preuve. En effet, si nous reprenons la formulation (4.8) de la mesure indépendante, nous arrivons à la borner supérieurement par la formulation récursive conditionnelle (4.13). Pour ρ B ( ) donné par VaR B α( ) ou TVaR B α( ) et pour les α adéquats, nous avons : ρ B D (Y 1, Y 2,...,Y n ; F 0 ), (4.25) n N j n = (1 + r) t j t 0 γ j (1 + i) t j t 0 N j (1 + r) t j t 0 S(t 0 )ρ B (e X(t j t 0 ) ) j=1 n j=1 N j (1 + r) t j t 0 γ j (1 + i) t j t 0 ρ B D (Y 1,...,Y n ; F 0,...,F n 1 ) 4.7 Calcul de la réserve j=1 n j=1 N j (1 + r) t j t 0 j S(t 0 )ρ ( B e ) X(t k t k 1 ) Nous quittons le cadre des mesures multipériodes pour celui des capitaux de réserve financières. Vu que nous travaillons uniquement sur les mesures de VaR α ( ) et TVaR α ( ), nous nous référerons aux définitions 4.5 et 4.10. A titre d information, un code MAT- LAB réalisant le calcul de ces capitaux de réserve a été mis à l annexe A. L ordre de comparaison établi à la proposition 4.16 est conservé pour les réserves C 0 et est établi à la proposition 4.17. Nous définissons ensuite un cas de référence pour lequel nous comparons d une part comment l écart entre ces deux capitaux évolue et d autre part, comment ces capitaux se comparent à la réserve statique. Nous en étudions par après la sensibilité relativement aux paramètres financiers et au processus de sortie. Ceci nous permettra d établir qu il n existe pas d ordre entre les mesures multipériodes et la mesure statique. Nous terminerons alors par une analyse de l impact de différents processus de sortie sur le calcul de la réserve, afin d en extraire un processus de sortie de référence. Proposition 4.17. Dans le cadre des mesures VaR B α( ) ou TVaR B α( ), l ordre entre les capitaux de réserve calculés sur base des mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle est le suivant. C VaRB α ( ) 0,D C VaRB α ( ) 0,D, pour α [1/2, 1) (4.26) C TVaRB α ( ) 0,D C TVaRB α ( ) 0,D, pour α (0, 1) (4.27) 56 k=1

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Preuve. La démontration est similaire à celle de la proposition 4.16. Les ordres définis aux équations (4.23) et (4.24) entre les mesures multipériodes valent aussi pour le caclul des capitaux de réserve. En effet, pour a, b R, si a b, alors [a] + [b] +. D où en prenant les parties positives des différents termes de la relation (4.25) et en divisant les deux membres par L 0, on obtient les relations d ordre données en (4.26) et (4.27). 4.7.1 Cas de référence Les valeurs des réserves que nous obtenons pour le cas de référence sont naturellement fort sensibles aux choix des paramètres financiers δ et σ. Le but de cette section n est pas d analyser la sensibililité de ces paramètres, ce qui a été fait à la section 2.4 pour le cas statique et sera complété par l analyse de la sensibilité multipériode à la section 4.7.2, mais de mettre en lumière l influence des sorties intermédiaires du compte à terme sur le calcul de sa réserve financière. Tout comme pour le cas de référence statique, voir chapitre 2, nous prenons un processus sur 5 ans [t 0, t n ] = [0, 5] et un niveau de sécurité α = 0.995. Les paramètres financiers sont donnés par (δ, σ) = (0.08, 0.05), (i, r) = (0.04, 0.03) et S(t 0 ) = 1. Nous supposons que le nombre de clients entrant dans le processus est L 0 = 10. Le choix du processus de sortie sera étudié à la section 4.7.4. Pour l instant, lorsqu on prend en compte des sorties intermédiaires, on supposera que 40% de l effectif part avant terme. Ceci équivaut à un taux de sortie d un client par an et de 6 clients en fin d horizon. On fixe les sorties N = (1, 1, 1, 1, 6) aux temps {1, 2, 3, 4, 5}. Nous comparons aux tables 4.1 et 4.2 les réserve calculées à l aide de la mesure statique et des deux mesures multipériodes pour la VaR et la TVaR. Afin de déterminer l effet des pénalités γ k sur les sorties anticipées, deux ensembles de résultats seront donnés : à la table 4.1 les pénalités sont négligées γ k = 1 et à la table 4.2 elles sont fixées par β = 0.95, voir définition à la section 4.2. Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.0907 0.0931 0.3074 ρ B = TVaR B α 0.1235 0.1216 0.3499 Tab. 4.1: Comparaison des capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence en négligeant l effet des pénalités : γ k = 1. Comme annoncé à la proposition 4.17, la réserve récursive conditionnelle est supérieure à la réserve indépendante. Comme nous le verrons dans les analyses de sensibilité aux sections 4.7.2 et 4.7.3, nous ne pouvons pas déterminer d ordre de comparaison entre les réserves multipériodes et la réserve statique. La réserve indépendante reste du même ordre que la réserve statique. Ceci s explique par sa formulation mathématique proche de la formulation statique. Pour ce qui est de la réserve récursive conditionnelle, on constate une augmentation importante par rapport à la mesure statique, ceci provenant de sa formulation mathématique récrusive. 57

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.0907 0.0829 0.2972 ρ B = TVaR B α 0.1235 0.1114 0.3397 Tab. 4.2: Comparaison des capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence prennant en compte l effet des pénalités, c est-à-dire γ k déterminé pour le cas de référence par β = 0.95. Nous commençons par analyser le cas de référence au tableau 4.1 sans transfert de risque sur la clientelle, c est-à-dire avec γ k = 1. Pour la VaR, la mesure indépendante prévoit une légère augmentation du capital de réserve alors qu avec la TVaR, elle prévoit une légère diminution. Pour ce qui est de la mesure récursive, on constate une augmentation importante avec la VaR et la TVaR par rapport à la mesure statique. Si nous jouons sur les paramètres financiers et sur le processus de sortie, nous pouvons inverser ces ordres. Ceci sera abordé aux sections 4.7.2 et 4.7.3. Pour le cas avec pénalités sur les sorties intermédiaires à la table 4.2, les valeurs des capitaux de réserve pour les mesures multipériodes diminuent par rapport au cas γ k = 1. Ceci est la conséquence de la capture de risque réalisée par les pénalités, voir section 4.2. La valeur du capital par la mesure indépendante peut descendre sous la valeur de la réserve statique pour la VaR. Ceci est observé pour le cas de référence si β 0.9882. Nous noterons que la réserve récursive ne descend pas sous le niveau du cas statique pour le cas de référence. 4.7.2 Sensibilité par rapport aux paramètres financiers L objet de cette section n est pas de réaliser une étude longue et fastidieuse mettant en avant tous les paramètres pouvant intervenir sur le capital et dans quelle mesure ils interviennent. Le but est de montrer que le calcul des réserves est bel et bien sensible aux différents paramètres, et dont une conséquence majeure est l absence d ordre de comparaison entre la réserve indépendante et la réserve statique. Afin de ne pas trnasférer le risque au clients, nous réalisons ces analyses pour γ k = 1. Son effet a été étudié à la section 4.7.1. Prenons par exemple, δ = 0.09 pour le cas de référence au lieu de δ = 0.08. Ainsi, nous supposons que l actif bancaire admet une meilleure croissance en moyenne sans avoir changé sa volatilité. Dès lors, les capitaux de réserve nécessaires seront moindres. Les différentes réserves sont données à la table 4.3. Nous constatons pour le cas décrit à la table 4.3 que la réserve multipériode indépendante est supérieure à la valeur statique pour les mesures de VaR et TVaR. Nous allons montrer que cet ordre s inverse avec δ = 0.07, c est-à-dire une croissance moyenne de l actif bancaire inférieure au cas de référence. Ainsi, les capitaux de réserve nécessaires seront plus grands. Les différentes réserves sont données à la table 4.4. 58

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.0415 0.0541 0.2787 ρ B = TVaR B α 0.0760 0.0839 0.3232 Tab. 4.3: Comparaison des capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence avec δ = 0.09 et γ k = 1. Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.1374 0.1303 0.3348 ρ B = TVaR B α 0.1686 0.1576 0.3755 Tab. 4.4: Comparaison des capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence avec δ = 0.07 et γ k = 1. Nous constatons pour le cas décrit à la table 4.4 que la mesure multipériode indépendante est inférieure à la valeur statique pour les mesures de VaR et TVaR. Si nous combinons ce résultat à celui observé à la table 4.3, nous montrons que l ordre entre la mesure indépendante et la mesure statique dépend des paramètres financiers. Ceci peut aussi être montré à l aide d une analyse de sensibilité sur la volatilité de l actif bancaire. Aux tables 4.5 et 4.6, nous réalisons qu une baisse à σ = 0.04, par rapport au cas de référence (σ = 0.05), engendre une réserve indépendante supérieure à la valeur statique et qu une augmentation à σ = 0.06 engendre une réserve indépendante supérieure. Naturellement, une diminution (resp. augmentation) de la volatilité implique des capitaux plus petits (resp. grands). Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.0315 0.0421 0.2294 ρ B = TVaR B α 0.0596 0.0663 0.2680 Tab. 4.5: Comparaison des capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence avec σ = 0.04 et γ k = 1. Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.1468 0.1416 0.3771 ρ B = TVaR B α 0.1836 0.1738 0.4222 Tab. 4.6: Comparaison des capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence avec σ = 0.06 et γ k = 1. 59

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Malgré l absence d ordre entre la réserve indépendante et la réserve statique, cette analyse de sensibilité nous a permis d observer que les réserves calculées par les mesures indépendantes et statiques sont toujours du même ordre de grandeur. Par contre, les réserves calculées par la mesure récursive restent beaucoup plus importantes que celles calculées par les autres mesures. 4.7.3 Sensibilité par rapport aux temps de sortie Dans cette section, nous allons évaluer la sensibilité du calcul des réserves par rapport aux temps des sorties intermédiaires. Ceci nous mènera à mieux décrire l écart qu il peut y avoir entre les capitaux deux mesures multipériodes ainsi qu à montrer l absence d ordre de comparaison entre la mesure récursive et la mesure statique. Pour déterminer l impact des temps auxquels les clients décident de partir sur le calcul de la réserve, nous réduisons le problème à un unique départ anticipé parmi L 0 clients. On définit un processus se développant sur [t 0, t n ] = [0, 5] avec un niveau de sécurité α = 0.995. Les paramètres du brownien géométrique sont donnés par (δ, σ) = (0.08, 0.05) et S(t 0 ) = 1. Les paramètres marché sont (i, r) = (0.04, 0.03). Afin de ne pas prendre en compte de transfert de risque vers la clientelle, nous prenons γ k = 1. Nous supposons que le client sortant partira avant terme et que les L 0 1 autres clients partiront à terme. Aux figures 4.4 et 4.5, nous donnons, pour les cas L 0 = 2 et L 0 = 10, les capitaux de réserve en fonction du temps de sortie du premier client pour la mesure indépendante et la mesure récursive conditionnelle. Pour chaque figure, le graphe de gauche concerne la VaR et celui de droite la TVaR. Nous comparons ces valeurs à celle de la mesure statique de VaR et TVaR, c est-à-dire à la mesure considérant que tous les clients sortent à terme. 0.16 0.14 VaR 0.2 TVaR Reserve 0.12 0.1 0.08 0.06 Recursif Independant Statique Reserve 0.15 0.1 Recursif Independant Statique 0.04 0 1 2 3 4 5 Temps de sortie du client sortant 0.05 0 1 2 3 4 5 Temps de sortie du client sortant Fig. 4.4: Analyse de la sensibilité de la réserve par rapport au temps de sortie anticipé d un client parmi un ensemble de L 0 = 2 clients. Les capitaux multipériodes sont comparés au cas statique pour la mesure VaR sur le graphe de gauche et TVaR sur le graphe de droite. Sans surprise, nous constatons que la réserve caclulée par la mesure récursive conditionnelle est toujours supérieure à celle calculée par la mesure indépendante. La réserve statique n est pas toujours la valeur la plus petite. Comme nous l avions montré pour le mesure indépendante à la section 4.7.2, il n existe pas d ordre entre les mesures multipériodes et la mesure statique. Pour les figures 4.4 et 4.5, on constate qu en début d horizon, c est la réserve statique qui est la plus grande. La réserve récursive conditionnelle repasse à un capital plus grand que le cas statique pour un temps de sortie inférieur à celui de 60

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Reserve 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 VaR Recursif Independant Statique Reserve 0.25 0.2 0.15 TVaR Recursif Independant Statique 0.1 0.08 0 1 2 3 4 5 Temps de sortie du client sortant 0.1 0 1 2 3 4 5 Temps de sortie du client sortant Fig. 4.5: Analyse de la sensibilité de la réserve par rapport au temps de sortie anticipé d un client parmi un ensemble de L 0 = 10 clients. Les capitaux multipériodes sont comparés au cas statique pour la mesure VaR sur le graphe de gauche et TVaR sur le graphe de droite. la réserve indépendante. Les réserves multipériodes prévoient une valeur inférieure à la valeur statique en début d horizon car le départ immédiat d un client réduit le risque dans le sens qu il part avec le montant avec lequel il est arrivé et n influence donc plus le risque du compte à terme. Cet effet disparait quand L 0. Nous formulons dès lors la propriété suivante. Propriété 4.18. Il n existe pas d ordre de comparaison entre les réserves multipériodes (indépendante et récursive conditionnelle) et la réserve statique. En effet, cet ordre est fonction des paramètres de définition du processus. Ceci découle des observations effectuées aux sections 4.7.2 et 4.7.3. Les valeurs des réserves en fonction du temps de sortie du client sortant sont des fonctions concaves. Nous constatons que la réserve récursive conditionnelle présente des tangentes infinies en bord de domaine. Il est aisé de prouver ceci mathématiquement. En effet, il suffit pour cela d analyser l expression de la dérivée du produit des TVaR à l aide des formules établies à la proposition 2.6. Pour ce qui est de la méthode indépendante, elle présente une tangente infinie en début de domaine et pas en fin de domaine. Déplacer une sortie d un delta de temps en fin d horizon a dès lors peu d effet sur la réserve indépendante alors qu elle en a beaucoup sur la réserve récursive conditionnelle. On constate aussi que le maximum pour la réserve récursive est à un temps plus ou moins égal à la mi-échéance et aussi égal à celui de la réserve indépendante. Pour les deux mesures multipériodes, l accroissement hypersensible de la réserve en début de domaine s explique par le financement immédiat de la sortie du client, se traduisant par une augmentation du risque. En fin de domaine, cet effet disparait pour la mesure indépendante. Ceci s explique par sa formulation mathématique proche de la mesure statique. Par contre, cet effet n est pas observé pour la réserve récursive conditionnelle. Ceci découle de sa formulation mathématique apliquée à un brownien géométrique, pour laquelle seul l accroissement de temps importe. Dès lors, qu un client sorte en début ou en fin d horzon, ceci se traduit via sa formule par le même accroissement de capital. Plus la proportion de clients sortant est faible, plus les différences entre les réserves indépendante et récursive conditionnelle sont marquées, voir figure 4.5. Ceci est une 61

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES conséquence directe du produit des VaR et TVaR sur les accroissements de brownien géométrique qui est très largement inférieur à la VaR et à la TVaR sur le brownien géométrique total, voir propositions 4.13 et 4.15. Par contre, plus la proportion de clients sortant est faible plus la différence entre la mesure indépendante et la mesure statique s estompe, voir figure 4.4. En effet, le terme associé au client sortant aura de moins en moins de poids dans la somme des cash flows de la mesure. Pour mieux comprendre l écart entre les deux mesures, il nous faut le saisir sous forme du risque que couvre chacune des mesures, ce que nous abordons à la section 4.8. Sensibilité aux paramètres Comme nous l avons montré à la section 4.7.2, le calcul des réserves est sensibles aux paramètres financiers. Ainsi, si nous modifions ces paramètres, les figures 4.4 et 4.5 ne sont pas identiques mais conservent la même allure. Par exemple, si nous augmentons légèrement δ, les courbes des figures atteignent des valeurs réduites. Pour le drift, si nous augmentons légèrement σ, alors les courbes sont légèrement plus grandes. Les formes des courbes ne sont cependant pas modifiées et les remarques restent de vigueur. 4.7.4 Etude du processus de sortie Jusqu à présent, nous avons considéré que les temps de sortie du processus étaient connus. En effet, comme nous l avons vu à la section 3.3, les mesures de risque multipériodes nécessitent que les temps de cash flows soient connus. En réalité, pour le problème du compte à terme, on ne connait pas ces temps. Or, la seule manière d estimer la réserve financière est de les fixer avant de calculer la réserve. Afin de prendre en compte le caractère aléatoire du processus de sortie, nous allons faire varier le processus de sortie et voir si un scénario de sortie de référence s en dégage peut donner une borne supérieure sur l estimation de la réserve. Le processus de sortie est défni à partir des temps de sortie t i et du nombre de clients sortant à chaque temps N ti. Nous allons définir deux types de processus permettant d étudier les effets de t i et de N ti séparément. Le premier pocessus suppose que les clients peuvent sortir à tout temps (version bancaire du problème) formant un processus de sortie en temps continu. Dès lors, deux sorties simultanées sont mathématiquement impossibles, ce qui se traduit par des N ti égaux à 1 pour les sorties intermédiaires. Le premier processus est donc déterminé uniquement pas les temps de sortie t i. Le deuxième processus suppose quant à lui que les temps de sortie sont fixés a priori (version assurance du produit) formant un processus de sortie en temps discret. Les temps de sorties étant fixés, ce sont les nombres de clients sortant N ti qui déterminent le processus. Processus de sortie en temps continu Soit T, la durée du compte à terme, telle que la sortie à terme soit en t n = T. Soit η, la fraction du nombre de clients partant avant terme. Partant de l hypothèse que deux sorties intermédiaires simultanées sont impossibles, un unique client sort à chaque sortie intermédiaire. Si le nombre de clients total est noté L 0, le nombre de sortie sera alors donné par n = ηl 0 où désigne la partie entière inférieure ou égale au nombre. 62

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Comme le suggéraient les figures 4.2 et 4.3 pour les mesures récursives conditionnelles, le processus de sortie pénalisant le plus la mesure récursive conditionnelle est tel que le temps séparant deux sorties est constant. Dès lors, deux sorties successives seront séparées d un temps constant donné par T/(ηL 0 ). On choisit dès lors le processus de sortie suivant avec t 0 = 0 : t i = t i 1 + T ηl 0 i = 1,..., n 1 et t n = T A chaque temps t i < T, un client quitte le compte à terme. Au temps t n = T, le nombre de clients restant L 0 n + 1 quitte le compte à terme. Dès lors, le nombre de personnes sortant au temps t i est donné par N i = 1 pour i = 1,...,n 1 et N n = L 0 n + 1. Afin de déterminer un éventuel processus de référence permettant de donner une borne supérieure sur l estimation de la réserve, nous effectuons une analyse sur le cas de référence defini à la section 4.7.1 avec L 0 = 1000. Nous illustrons à la figure 4.6 l évolution de la réserve en fonction de la valeur de η pour la VaR par les mesures indépendante et récursive conditionnelle. Le graphe est similaire pour la TVaR. 1 0.8 Reserve 0.6 0.4 0.2 Recursif Independant Statique 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 η Fig. 4.6: Evolution de la réserve en fonction de η (fraction de clients sortant avant terme) calculée par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence avec le processus de sortie en temps continu. Comme expliqué aux sections 4.7.2 et 4.7.3, les résultats sont fort sensibles aux paramètres financiers. Dès lors, le résultat de la figure 4.6 n est qu un exemple. Pour chacune des mesures multipériodes, nous reprenons ci-dessous une analyse. Mesure indépendante On observe pour le cas de référence que la mesure indépendante n est presque pas sensible. Comme énoncé à la propriété 4.18, l ordre de comparaison entre la mesure indépendante et la mesure statique est fonction des paramètres financiers. Dès lors, pour d autres paramètres (δ, σ), (i, r), la courbe peut être modifiée de sorte qu elle soit croissante ou décroissante et supérieure ou inférieure à la courbe statique. On ne peut donc pas déterminer un processus de sortie de référence, qui serait une borne maximale, pour cette mesure. Néanmoins, elle reste linéaire et toujours inférieure à la mesure récursive, conformément à la proposition 4.17. 63

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES Mesure récursive conditionnelle En ce qui concerne la mesure récursive, la réserve est bien plus variable à la fraction η de clients sortant. Pour des valeurs η < 0.15, on parcourt de 1 à 11 fois le capital nécessaire par la mesure statique. Pour des valeurs η 0.15, la réserve se stabilise entre 10 et 11 fois le capital nécessaire par la mesure statique. Comme nous l avons vu à la section 4.7.3, la mesure récursive est très sensible aux temps de sortie. Numériquement, avec un certain nombre de sortie suffisamment rapprochées, nous avons toujours obtenu une réserve financière récursive plus importante que la réserve statique, bien que ceci ne soit pas garanti, voir propriété 4.18. Dès lors, dans ce contexte, un processus de sortie de référence fournissant une borne supérieure pourrait être déterminé par η 0.15. Processus de sortie en temps discret Soit T, la durée du compte à terme, telle que la sortie à terme soit en t n = T. Soit L 0 le nombre de clients total. Pour des raisons similaires au processus en temps continu, nous considérons que le temps qui sépare deux sorties anticipées successives est constant. Soit τ, la durée entre deux sorties. Soit n le nombre total d instants de sorties dont n 1 sont anticipés. On aura donc n = T/τ où désigne la partie entière supérieure ou égale au nombre. Dès lors, les différents temps de sortie, après t 0 = 0, sont donnés par t i = iτ pour i = 1,...,n 1 et t n = T A priori, il n y a pas de raison que plus de clients sortent en un temps qu un autre. Dès lors, on pose N, le nombre de clients partant à chaque sortie anticipée. On aura donc N ti = N pour i = 1,...,n 1 et N n = L 0 N(n 1) Il ne peut y avoir plus de sorties que de clients au total. Dès lors, il faut veiller à ce que N L0/([T/τ] 1) où désigne la partie entière inférieure ou égale au nombre. Afin de déterminer un éventuel processus de référence permettant de donner une borne supérieure sur l estimation de la réserve, nous effectuons une analyse sur le cas de référence defini à la section 4.7.1 avec L 0 = 1000. Nous illustrons à la figure 4.7 l évolution de la réserve en fonction de la valeur de N pour les mesures indépendante, récursive conditionnelle et statique pour la VaR. Le graphe de gauche est donné pour τ = 1/12 et celui de droite pour τ = 1, c est-à-dire pour des contrats renouvelables mensuellement ou annuellement. Les conclusions concernant le processus de sortie sont similaires pour le cas de la TVaR. Comme expliqué aux sections 4.7.2 et 4.7.3, les résultats sont fort sensibles aux paramètres financiers. Dès lors, le résultat de la figure 4.7 n est qu un exemple. Pour chacune des mesures multipériodes, nous reprenons ci-dessous une analyse. Mesure indépendante On observe pour le cas de référence que cette mesure n est pas très sensible. Les résultats pour la mesure indépendante sont fort variables en fonction des paramètres financiers. En fonction de nouveaux paramètres, cette courbe peut être modifiée de sorte qu elle soit croissante ou décroissante et supérieure ou inférieure à la courbe statique. On ne peut donc pas déterminer un processus de sortie de référence, qui serait une borne maximale, pour cette mesure. 64

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES 1 0.8 τ = 1/12 0.4 0.35 0.3 τ = 1 Reserve 0.6 0.4 0.2 Recursif Independant Statique Reserve 0.25 0.2 0.15 0.1 Recursif Independant Statique 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 N/N max 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 N/N max Fig. 4.7: Evolution de la réserve en fonction de la valeur de N par les mesures indépendante et récursive conditionnelle pour la VaR. Le graphe de gauche est donné pour τ = 1/12 et celui de droite pour τ = 1, c est-à-dire pour des contrats renouvelables mensuellement ou annuellement. Mesure récursive conditionnelle En ce qui concerne la mesure récursive, les valeurs sont bien plus sensibles. La courbe est linéaire décroissante. Comme montré à la section 4.7.3, rien n assure que cette réserve reste supérieure à la réserve statique, voir propriété 4.18. Cependant, pour un certain nombre de sortie suffisamment rapprochées, nous avons toujours obtenu une réserve financière récursive plus importante que la réserve statique. Dès lors, dans ce contexte et pour tout τ, un processus de sortie de référence fournissant une borne supérieure pourrait être déterminée en prenant des sorties telles que N = 1, nous ramenant ainsi au processus défini en temps continu. Processus de sortie de référence Pour les processus de sortie tels que nous les avons définis, il n existe pas de scénario de sortie permattant de définir une borne supérieure sur la réserve financière pour la mesure indépendante. Cependant, pour les tests que nous avons réalisés, nous avons constaté qu une borne supérieure pouvait être déterminée pour la mesure récursive conditionnelle. Le processus de sortie de référence consiste à prendre des sorties intermédaires unitaires telles que environ 15% des clients sortent avant terme. Les valeurs de réserve correspondant à ces hypothèses sur le cas de référence sont données au tableau 4.7. Afin de mieux analyser le caractère aléatoire du processus de sortie, une autre démarche sera proposée en tant qu extension au chapitre 5. Statique : C ρb ( ) 0 Indépendant : C ρb ( ) 0,D, Récursif : ( ) CρB 0,D ρ B = VaR B α 0.0907 0.0908 0.9703 ρ B = TVaR B α 0.1235 0.1219 0.9861 Tab. 4.7: Capitaux de réserve calculés par les mesures multipériodes et la mesure statique pour le cas de référence avec L 0 = 1000, γ k = 1 et le processus de sortie de référence. Nous constatons pour le processus de sortie de référence, que la mesure indépendante est plus ou moins égale à la mesure statique, la rendant superflue. La mesure récursive conditionnelle définit un capital de réserve plus de dix fois plus grand que la mesure 65

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES statique. Comme le principe de consistance dans le temps nous l a fait remarqué, ceci est le prix de la conservation du critère de risque sur le processus entier. Afin de mieux comprendre ces différences, nous réalisons une critique des mesures à la section 4.8. 4.8 Critique des mesures Dans cette section, nous faisons le point sur les différentes mesures abordées. Nous donnerons une interprétation des mesures en terme de risque cumulé sur les périodes du processus et aboutirons ensuite à une discussion sur le choix des mesures. 4.8.1 Interprétation en terme de risque cumulé Nous allons comparer les approches de calcul de réserve financière en terme de conservation du niveau de risque, soit par la mesure statique, soit par la mesure multipériode indépendante, soit par la mesure multipériode récursive conditionnelle. Mesure statique La mesure statique ne prend pas en compte les sorties intermédiaires. Or, la présence de cash flows intermédiaires influence la solvabilité d un produit, d une manière avantageuse ou désavantageuse. Afin de bien déterminer le risque d un produit, il faut alors utiliser une mesure multipériode. Mesure indépendante La mesure indépendante n est pas consistante dans le temps. L estimation des risques résiduels de fin d horizon se calculent en ignorant ce qu on pourrait apprendre en cours de déroulement du processus. Ainsi, lorsqu on se fixe un certain niveau de risque en début d horizon, il n est pas sûr qu il soit conservé à tout temps. Or, la conservation du niveau de risque a un certain prix, ce qui doit induire une augmentation du capital de réserve. La réserve calculée par la mesure indépendante est donc inférieure à celle d une mesure consistante dans le temps. Le niveau de risque n est donc pas conservé au cours du processus mais est fixé par rapport à la seule information connue, la valeur du processus en début d horizon. On peut aussi voir la mesure indépendante comme une extension de la mesure statique où l on a pris en compte les sorties anticipées comme s il s agissait de processus indépendants. Dès lors, la mesure indépendante ne nous apprend pas beaucoup plus en terme de risque que la mesure statique. Mesure récursive conditionnelle La mesure récursive conditionnelle est consistante dans le temps. L estimation de la réserve est effectuée récursivement de la fin de l horizon jusqu au début, en utilisant à chaque période l information la plus récente disponible sur le processus. Ainsi, de la fin du processus jusqu au début, la réserve est calculée de sorte que le critère de risque soit maintenu entre chaque période. Cette conservation du critère de risque a un prix, celui de l augmentation de la réserve par rapport à des mesures qui ne sont pas consistantes dans le temps. Ajoutons un bémol à cela : le niveau de risque global est dégradé par rapport au niveau de risque effectué sur chaque période. En effet, la composée de deux mesures de niveau α n assure pas un niveau α global. Malgré cet effet, les différentes valeurs de α peuvent être définies de sorte que le niveau global désiré soit atteint. Nous retiendrons de cette mesure que le critère de risque est conservé et que ceci génère un coût qui est responsable de l augmentation cruciale de la réserve. 66

CHAPITRE 4. COMPTE À TERME AVEC SORTIES INTERMÉDIAIRES 4.8.2 Quelle mesure choisir? Pour le cas et le processus de référence décrit à la table 4.7 de la section 4.7.4, nous constatons que le capital de réserve estimé par la VaR passe de 9.07% du capital investi pour la mesure statique à 9.09% pour la mesure indépendante à 97.03% pour la mesure récursive conditionnelle. Les valeurs de la VaR entre les mesures statique et indépendante sont fort semblables. La mesure récursive conditionnelle préconise plus que de décupler la réserve. Est-ce raisonnable? Comment faire son choix entre ces mesures? La première chose à signaler est qu avec la mesure statique, on a beaucoup de chance de sous-estimer le risque. Il faut donc trouver une mesure capable de prendre en compte les sorties intermédiaires. En première approximation, la mesure indépendante fournit des résultats intéressants. Pour des temps de départ raisonnables, elle estime une augmentation du capital de réserve calcul par rapport au modèle statique et ce, en prenant en compte les cash flow intermédiaires. Sa faiblesse est qu elle n apprend rien sur son actif au cours du processus, ce qui ne garantit pas le niveau de risque fixé a priori sur l intégralité du processus. Pour que le niveau de risque soit garanti, il faut utiliser une mesure récursive conditionnelle. L inconvénient de cette méthode, c est qu elle est très fortement sensible aux temps auxquels les clients quittent le processus et augmente de manière inconsidérable le capital de réserve. Ceci fut observé à la figure 4.5 de la section 4.7.3. Malgré la possible estimation d un processus de sortie de référence, cette mesure semble attribuer un capital fort grand à la réserve. Le choix de la mesure dépend en fait de la défintion du risque que l on souhaite couvrir. Si on cherche une estimation de la réserve ayant peu de chance de devoir être refinancée, alors la mesure récursive conditionnelle est le bon choix. En revanche, si le désir est de couvrir d éventuels départs tout en sachant que la réserve a de bonnes chances de devoir être refinancée année après année, alors la mesure indépendante est amplement suffisante. Il faut toutefois veiller aux possibilités de refinancement de la réserve. Dans un contexte économique désavantageux pour la banque, comment la banque pourrait-elle refinancer sa réserve? Le choix n est donc pas à prendre à la légère. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons appliqué les mesures multipériodes indépendante et récursive conditionnelle au calcul de la réserve d un compte à terme. Pour des niveaux de risque usuels, nous avons montré que la réserve calculée par la méthode récursive est toujours plus grande que celle mesurée par la méthode indépendante. Nous avons pourtant montré qu aucune de ces deux mesures ne convient universellement au calcul de la réserve. La mesure indépendante n étant pas consistante dans le temps n assure pas le niveau de risque tout au long du processus. La mesure récursive quant à elle garantit le critère de risque mais est trop sensible au processus de sortie. Dans le chapitre suivant, nous exposons des extensions à ce travail qui pourraient être réalisées afin de soit d améliorer les mesures précédemment définies, soit définir de nouvelles mesures multipériodes plus performantes. 67

Chapitre 5 Extensions L étude des mesures multipériodes cohérentes est un domaine très vaste. Nous n avons réalisé qu un travail partiel par rapport à tout ce qui peut être réalisé. Dans ce chapitre, nous reprenons des pistes de réflexion que nous n avons pas, ou partiellement, traitées et qui pourraient s avérer intéressantes. Mesures statiques Dans ce travail, nous nous sommes limités à l utilisation des mesures statiques de VaR et de TVaR. Pour chacune d elles, nous avons défini deux mesures multipériodes. Les propriétés de consistance dans le temps et d information monotone ont été critiquées pour ces cas précis. Qu en est-il pour d autres mesures statiques? Mesure récursive conditionnelle Les temps {t 1, t 2,...,t n } auxquels cette mesure est calculée correspondent aux temps des cash flows. Ces temps sont considérés comme les seuls temps où l information est disponible. Que deviendrait cette mesure si nous ajoutions des temps auxquels ils n y a pas de cash flows, mais auxquels de l information serait disponible? Comme nous l avons montré à la section 4.7.3, pour le cas du compte à terme, cette mesure est très sensible aux cash flows intermédiaires, surtout s ils ont lieu en début ou fin d horizon. Afin de réduire cet effet, pourrions-nous jouer sur la définition du processus de sortie en regroupant certaines sorties? Comme expliqué à la section 4.8.1, le critère de risque est identique à toute période du processus, mais le niveau de risque imposé entre chaque période n est pas conservé pour la mesure globale. En effet, évaluer une VaR de niveau α d une autre VaR de niveau α ne donne pas une mesure globale de niveau α. Comment pourrions-nous définir les différents niveaux de risque de sorte que le niveau global soit entièrement déterminé? Processus de sortie A la section 4.7.4, nous avons tenté de définir un processus de sortie de référence. Nous aurions pu étendre le contexte mathématique de la manière suivante. Soit λ le taux de sortie, c est-à-dire le nombre de clients sortant par an. Soit N t, le nombre total en t de clients sortis avant t. Dès lors, N t peut être distribué selon la loi de poisson. On a N t Poi(λt). De la même manière, le temps t séparant deux sorties est distribué selon une loi exponentielle négative telle que t Exp(λ). 68

CHAPITRE 5. EXTENSIONS Ne pouvant intégrer ces processus tels quels dans la formulation de nos mesures, nous avons deux processus à simuler. D une part, les temps de sorties t i et d autre part, le nombre de personnes partant à chaque temps de sortie N ti. Pour déterminer les temps entre chaque cash flow, nous allons considérer un processus de naissance et mort d une chaine de Markov en temps continu. Pour un processus de sorties uniquement, il s agira d un processus de mort. De manière générale, les temps entre deux sorties successives peuvent être distribués selon une exponentielle négative à un certain taux λ i. Pour le cas qui nous occupe, il n y a pas de raison a priori de prendre des taux de sortie différents entre chaque départ, c est pourquoi nous avons choisi λ i = λ, i 0. Les différents temps de sortie sont construits récursivement. On part de t 0 = 0, l orignie des temps. On construit alors les temps de sortie de la manière suivante t i = t i 1 + Êxp(λ) i = 1,... où Êxp(λ) est une réalisation de Exp(λ). Nous construisons la suite des temps récursivement. Une fois le temps t n atteint tel que t n T > t n 1, alors nous imposons t n = T. Ceci nous fournit le processus de sortie donné par {t 1, t 2,...,t n = T }. Pour déterminer le nombre de personnes sortant en t i, nous devons simuler le processus de poisson. Dès lors, le nombre de personnes sortant en t i est donné à l aide de la loi de poisson de taux λ sur la durée jusqu en t i moins le nombre de personnes déjà parties. N ti = Poi(λ(t i 1 i t 0 )) k=1 N tk i = 1,..., n où Poi(λ(t i t 0 )) est une réalisation de Poi(λ(t i t 0 )). Ainsi, le processus est déterminé à l aide d une double simulation. En effet, pour chaque simulation de temps de sortie {t 1, t 2,...,t n = T }, nous pouvons effectuer plusieurs simulations du nombre de personnes partant en ces temps {N t1, N t2,...,n tn=t }. Analyser l intérêt et ou la convergence de cette formulation mathématique est fort coûteuse en temps et ne promet rien. Sa réalisation pourrait néanmoins nous en apprendre sur l apport des simulations des processus de sortie pour le problème. Mesure information monotone Une mesure satisfaisant la propriété d information monotone a été proposée par Pflug et Romisch dans [8]. Elle est formulée de la manière suivante. TVaR D,α (Y ; F) = n E[TVaR α (Y i F i 1 )] i=1 Analysons cette formule. Après avoir évalué TVaR α (Y i F i 1 ), l espérance attribuera autant de poids aux scénarios avantageux que désavantageux de F i 1. Ceci ne définit pas une mesure visant à exlure les scénarios les plus désavantageux. 69

CHAPITRE 5. EXTENSIONS Conformément aux notations utilisées au chapitre 4, pour le problème du compte à terme, on peut montrer que cette mesure s écrit TVaR D,α (Y ; F) = n j=1 N j (1 + r) t j t 0 [ γj (1+i) t j t 0 E(S(t j 1 ))TVaR B α (ex(t j t j 1 ) ) ] (5.1) Pour Y i = S(t i ), on a E[TVaR α (S(t i ) F i 1 )] = E(S(t j 1 ))TVaR B α (ex(t j t j 1 ) ). Le risque porte uniquement sur l accroissement du brownien géométrique entre t j 1 et t j. La mesure considère que la valeur du brownien géométrique en t j est donnée par son espérance. Ceci est donc trop optimiste, ce qui explique que numériquement, nous obtenions des valeurs négatives pour le calcul de la réserve donnée par TVaR D,α (Y ; F). La mesure multipériode indépendante peut être vue comme le cas particulier de la mesure définie en (5.1) pour laquelle, toutes les filtrations F i ont été remplacées par F 0 = {, Ω} telle que F 0 F i i. Ainsi, vu que la mesure (5.1) est information monotone, sa valeur devra donc être inférieure à celle de la mesure indépendante. Ceci va à l encontre de nos objectifs, estimant la mesure indépendante pas assez prudente. Au regard de ces considérations, nous nous demandons s il est possible de trouver une mesure information monotone qui permet le calcul d une réserve financière. Transfert de risque Comme nous l avons expliqué à la section 4.2, les pénalités de sorties intermédiaires γ k peuvent être considérées comme une manière de transférer du risque de la banque vers le client. Dès lors, est-il possible de redéfinir les pénalités de sortie γ k de sorte que le capital de réserve pour des processus multipériodes soit donné par la mesure statique? Ainsi, la part du risque supplémentaire due aux sorties anticipées serait assumée par les clients, la banque assumant le risque financier des actifs sous-jacents. Pour déterminer cela, il ne faut pas oublier qu en fin d horizon, il n y a pas de pénalité de sortie, c est-à-dire : γ n = 1. Conformément aux notations utilisées au chapitre 4, pour la mesure indépendante, on peut montrer que les γ k peuvent être donnés par : [ { 1 γ k = max (1 + i) t k t 0 ρ B (e X(t k t 0 ) 1 [ ) + (1 + i) t n t 0 ρ B (e X(tn t0) ) ]} ] ; 1 (1 + r) tn t k qui vérifie bien γ n = 1. On constate que γ k ne dépend que de la sortie réalisée en t k. Ceci signifie que chaque client est uniquement maitre du risque associé à sa sortie anticipée. Pour le cas de référence multipériode introduit à la section 4.7.1, les γ k seraient les suivants : (γ 1, γ 2, γ 3, γ 4, γ 5 ) = (1; 0.991; 0.9889; 0.9925; 1). On constate que le risque peut être transféré sur la clientelle moyennant une lègère pénalité. Pour ce qui est de la mesure récursive conditionnelle, nous n avons pas réussi à déterminer une formule pour γ k vérifiant γ n = 1 telle que chaque client assume son risque de sortie anticipée sans être influencé par les autres sorties. Nous laissons donc cette question ouverte : Sous quelles contraintes pouvons-nous transférer le risque des sorties anticipées sur la clientelle? 70

Conclusion Afin de définir des mesures de risque multipériodes cohérentes, nous avons commencé par analyser les mesures de Value-at-Risk et Tail Value-at-Risk dans un contexte statique. Nous avons abordé le concept de cohérence et avons montré la non-cohérence de la VaR et la cohérence de la TVaR. Leurs propriétés étant intéressantes, nous avons essayé de définir des mesures multipériodes qui pouvaient se réécrire comme une combinaison de ces mesures statiques. Nous avons défini deux mesures multipériodes : la mesure indépendante et la mesure récursive conditionnelle. Nous avons montré que ces mesures conservaient la cohérence si la mesure statique sur laquelle elles sont définies est elle-même cohérente. Afin de mieux les décrire, nous avons abordé les concepts d information monotone et de consistance dans le temps. Aucune de ces mesures n est information monotone. Nous n avons pas réussi à définir une mesure information monotone permettant le calcul d une réserve financière. La mesure récursive est la seule à être consistante dans le temps, ce qui lui confère des propriétés de conservation du critère de risque sur le processus entier en opposition à la mesure indépendante. L objet d application de ces mesures multipériodes portait sur le calcul de la réserve financière d un compte à terme. Un compte à terme est un processus double comprenant d une part le processus financier et d autre part le processus de sortie de la clientelle. Le calcul de la réserve par les mesures statiques ne prend en compte que le processus financier alors que les mesures multipériodes peuvent prendre en compte les deux processus. Pour des niveaux de risques usuels, nous avons montré que la mesure récursive conditionnelle donne toujours une réserve supérieure à celle déterminée par la mesure indépendante. L écart entre ces deux réserves est la conséquence financière de la conservation du critère de risque pour la mesure récursive. Pour un cas de référence, nous avons montré que la mesure indépendante est toujours du même ordre que la mesure statique. La mesure récursive, quant à elle, décuple la réserve afin de garantir le critère de risque pour le processus complet. Le travail ainsi terminé peut encore rencontrer des améliorations. Nous retiendrons que la mesure récursive possède des propriétés intéressantes et pourrait donc être adaptée de sorte qu elle soit plus robuste. Il serait alors intéressant d étudier plus en profondeur la question de l information monotone et de voir par exemple jusqu à quel point le risque associé au processus de sortie ne pourrait pas être pris en charge par la clientelle, laissant pour unique risque à la banque le risque de marché. 71

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Annexe A Code de référence Dans cette annexe, nous donnons à la fonction Mesure le code de référence permettant d évaluer le capital de réserve par la mesure statique, par la mesure multipériode indépendante et par la mesure multipériode récursive conditionnelle en fonction des différents paramètres nécessaires. Ce code a été utilisé pour calculer les capitaux de réserves pour les différents paramètres et scénarios de sortie utilisés dans le travail. A titre d exemple, nous donnons la fonction TableauComparaison qui a été utilisée pour générer les tableaux 4.1 et 4.2 de la section 4.7.1. Fonction Mesure function Tab = Mesures(delta,sigma,tx_i,tx_r,alpha,t,Nt,gamma) % Nombre de clients L0 = sum(nt); %-------------------------------------------------------------------------- % Mesure Statique --------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- % Paramètres des lois lognormales mu_s = (delta-0.5*sigma^2)*t(end); ecartt_s = sqrt(t(end)*(sigma^2)); % Capital Statique par la VaR Brow_VaR_S = exp(norminv(1-alpha)*ecartt_s+mu_s); C0_VaR_S = (1+tx_r)^(-t(end))*((1+tx_i)^t(end) - Brow_VaR_S); % Capital Statique par la TVaR Brow_TVaR_S = (1/(1-alpha))*exp(mu_S+(ecartt_S^2)/2)*... normcdf(norminv(1-alpha)-ecartt_s); C0_TVaR_S = (1+tx_r)^(-t(end))*((1+tx_i)^t(end) - Brow_TVaR_S); %-------------------------------------------------------------------------- % Mesure independante ----------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- % Paramètres des loi lognormales mu_i = (delta-0.5*sigma^2).*t; ecartt_i = sqrt(t.*(sigma^2)); 73

ANNEXE A. CODE DE RÉFÉRENCE % Capital Independant par la VaR Brow_VaR_I = exp(norminv(1-alpha)*ecartt_i+mu_i); C0_VaR_I = (1/L0)*sum(max(0,Nt.*(((1+tx_r).^(-t)).*... (gamma.*((1+tx_i).^t) - Brow_VaR_I)))); % Capital Independant par la TVaR Brow_TVaR_I = (1/(1-alpha)).*exp(mu_I+(ecartt_I.^2)/2)....*normcdf(norminv(1-alpha)-ecartt_I); C0_TVaR_I = (1/L0)*sum(max(0,Nt.*(((1+tx_r).^(-t)).*... (gamma.*((1+tx_i).^t) - Brow_TVaR_I)))); %-------------------------------------------------------------------------- % Mesure recursive conditionnelle ----------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- % Ecarts entre les sorties Dt = diff([0 t]); % Paramètres des loi lognormales mu_rc = (delta-0.5*sigma^2).*dt; ecartt_rc = sqrt(dt.*(sigma^2)); % Capital récursif conditionnel par la VaR Brow_VaR_RC = exp(norminv(1-alpha)*ecartt_rc+mu_rc); for i = 2 : length(brow_var_rc) Brow_VaR_RC(i) = Brow_VaR_RC(i)*Brow_VaR_RC(i-1); end C0_VaR_RC = (1/L0)*sum(max(0,Nt.*((1+tx_r).^(-t)).*... (gamma.*(1+tx_i).^t-brow_var_rc))); % Capital récursif conditionnel par la TVaR Brow_TVaR_RC = (1/(1-alpha)).*exp(mu_RC+(ecartt_RC.^2)/2).*... normcdf(norminv(1-alpha)-ecartt_rc); for i = 2 : length(brow_tvar_rc) Brow_TVaR_RC(i) = Brow_TVaR_RC(i)*Brow_TVaR_RC(i-1); end C0_TVaR_RC = (1/L0)*sum(max(0,Nt.*((1+tx_r).^(-t)).*... (gamma.*(1+tx_i).^t-brow_tvar_rc))); %-------------------------------------------------------------------------- % Stockage des reserves --------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- Tab = [C0_VaR_S, C0_VaR_I, C0_VaR_RC ; C0_TVaR_S, C0_TVaR_I, C0_TVaR_RC]; end 74

ANNEXE A. CODE DE RÉFÉRENCE Fonction TableauComparaison function Tab = TableauComparaison() % Nombre de clients L0 = 10; % Duree du contrat [an] T = 5; % Taux garanti et taux sans risque tx_i = 0.04; tx_r = 0.03; % Parametres du brownien geometrique delta = 0.08; sigma = 0.05; % Generation des temps de sortie : t tau = 1; % Duree entre deux sorties [an] % Si tous les mois (assurances par exemple), alors tau = 1/12 t = zeros(1,ceil(t/tau)); t(1,1)= tau; for j = 2:length(t) t(1,j)=tau+t(1,j-1); end t(1,end)=t; % Generation du processus de sortie N = 1; % Nombre de clients sortant a chaque sortie intermediaire % Attention, doit etre plus petit ou egal à floor(l0/((t/tau)-1)); Nt = N.*ones(1,length(t)); Nt(end) = L0-(length(t)-1).*N; % Choix des penalites de sortie : beta = 1; % Si prise en compte, par exemple beta = 0.95 gamma(1:length(t)) = beta + (1-beta).*t./T; % Parametre de securite alpha = 0.995; % Resolution pour les mesures statique, independante et recursive Tab = Mesures(delta,sigma,tx_i,tx_r,alpha,t,Nt,gamma); end 75