ACT-10412 Mathématiques financières Série d exercices 4 1. Un prêt est remboursé à l aide de n paiements annuels égaux. Après n 1 années, le montant total de capital remboursé s élève à 3 955,20. La part d intérêt dans le dernier paiement est de 30,51. Si le montant de capital dans le premier paiement est 43,49, quel est le taux d intérêt sur le prêt? 2. Soit un prêt d un montant a n / remboursé par des paiements de 1 à la fin de chaque k périodes de conversion d intérêt, pour un total de n périodes de conversion d intérêt. a) En utilisant la méthode rétrospective, démontrer que le solde de la dette au temps tk (t = 1,..., n/k) est a n tk /. Comparer ce résultat avec celui de la méthode prospective. b) Démontrer que la part d intérêt dans le t e paiement (soit au temps tk), est 1 v n (t 1)k. c) Démontrer que la part de capital dans le t e paiement est v n (t 1)k. Démontrer ensuite que le montant total de capital remboursé est, comme prévu, a n /. 3. Mia contracte un prêt d une durée de cinq ans. Elle rembourse à la banque 960 $ par année pour couvrir les frais d intérêts sur le prêt et elle remboursera le capital en un seul versement à la fin des cinq années. Simultanément, Mia accumule le capital par le biais de paiements mensuels égaux de 73,22 $ dans un compte d épargne rapportant du 6 % composé mensuellement. a) Déterminer le montant du prêt. b) Déterminer le taux d intérêt sur le prêt. c) En supposant que le compte d épargne se trouve à la même institution financière que le prêt, donner une expression pour calculer le taux de rendement de la banque sur ce prêt. 4. Vincent emprunte 3 000 $ pour dix ans à 13 % effectif. Il paie l intérêt annuellement et le capital par le biais de deux fonds d amortissement. Un tiers du capital est remboursé par un fonds rapportant du 16 %, et les deux autres tiers par un fonds rapportant du 11 %. a) Déterminer le paiement total annuel de Vincent. 1 de 8
b) Déterminer le taux d intérêt que Vincent paie réellement sur le prêt. c) Si le prêt et les deux fonds d amortissement sont tous à la même institution financière, trouver le taux de rendement de l institution sur ce prêt. d) Si, au lieu de cela, le prêt ainsi que le fonds à 16 % sont dans une banque A et que le fonds à 11 % est dans une banque B, trouver le taux de rendement de la banque A. Quelle est la situation pour la banque B? e) Refaire la partie a) si Vincent place plutôt un tiers de son dépôt total servant à accumuler 3 000 $ dans dix ans dans le fonds à 16 % et deux tiers dans le fonds à 11 %. 5. Une obligation d une valeur nominale de 5 000 $ rachetable au pair dans 10 ans paie des coupons semestriels de 8 %. Déterminer la valeur au marché de l obligation aux dates suivantes si l on exige un taux de rendement de 10 % composé deux fois par année. a) Quatre ans avant la date d échéance. b) Quatre ans et deux mois avant la date d échéance. c) Quatre ans et sept mois avant la date d échéance. 6. On vous offre deux obligations d une valeur nominale de 5 000 $ rachetables toutes deux au pair dans quatre ans. La première obligation a un taux de coupon annuel de 8 % et se détaille à 5 180 $. La deuxième obligation se vend 4 650 $ et a un taux annuel de coupon de 6 %. a) Est-il possible de déterminer, sans faire aucun calcul, quelle obligation offre le meilleur taux de rendement? b) Calculer le rendement offert par chacune des obligations et déterminer ensuite laquelle représente un meilleur investissement. 7. Une firme propose la restructuration suivante pour l une de ses obligations d une valeur de 1 000 rachetable au pair. Celle-ci vient à échéance dans 10 ans. Le taux de coupon est actuellement de 6,75 % payable semestriellement et le taux de rendement de 7,40 % composé deux fois par année. La compagnie propose de suspendre le paiement des coupons pour les quatre prochaines années et de plutôt les payer, avec intérêt, à l échéance de l obligation. Les intérêts ainsi accumulés seront calculés avec un taux nominal semestriel de 7,40 %. Calculer le prix de l obligation restructurée. 2 de 8
8. Pour tout achat payé comptant chez Canadian Tire, vous recevez 2 % du montant de vos achats en «argent» Canadian Tire. Vous pouvez utiliser cet argent immédiatement pour payer votre achat ou l accumuler pour usage futur. Vous achetez pour 100 $ par chaque mois durant un an chez Canadian Tire. Quelle est la meilleure stratégie : utiliser votre argent Canadian Tire lors de chaque achat ou l accumuler durant un an et l utiliser lors du 12 e achat? Supposer un taux d inflation de 3 % effectif par année. Réponses 1. 8,25 % 3. a) 5 108,56 b) 18,79 % c) 5 108,56 = 960a 5 + 73,22a (12) 5 4. a) 556,50 b) 13,16 % c) 13,16 % d) 12,73 % et 11 % e) 554,33 5. a) 4 676,84 b) 4 664,83 c) 4 638,70 6. a) Non b) la seconde 7. 954,63 8. Utiliser au fur et à mesure 3 de 8
Solutions 1. Soit P le paiement annuel. Des équations connues donnant le montant de capital et le montant d intérêt dans un tableau d amortissement, on a P(1 v) = 30,51 Pv n = 43,49. De plus, le montant total de capital remboursé une année avant la fin du prêt est égal au montant du prêt, Pa n, moins le montant de capital dans le dernier paiement, Pv. On a donc P(a n v) = 3 955,20, soit P Pv n i On cherche i. On sait que Pv = 3 955,20. P = 30,51 1 v = 30,51(1 + i) i et Pv = 30,51. i On doit donc résoudre l équation 30,51(1 + i) i 43,49 = 3 955,20i + 30,51 pour i. Il s agit d un polynôme du second degré. On trouve facilement i = 8,25 %. 2. On a un prêt d un montant a n / avec n/k remboursements de 1 à toutes le périodes : 1 1...... 1 0 1 2... k... 2k...... n 4 de 8
a) Le solde de la dette au temps tk (t = 1,..., n/k) calculé rétrospectivement est B tk = a n (1 + i) tk s tk = (1 + i)tk v n tk + (1 + i) tk 1 = 1 vn tk = a n tk. Cette dernière expression correspond aussi directement à la valeur actuelle des paiements futurs, soit le solde calculé de manière prospective. b) Puisque le solde de la dette s accroît durant k périodes entre deux paiement, la part d intérêt dans le t e paiement (au temps tk) est I tk = B tk k [(1 + i) k 1] = a n (t 1)k (i ) = ia n (t 1)k = 1 v n (t 1)k. c) De la partie b), on clairement que C tk = 1 I tk = v n (t 1)k. Le montant total de capital remboursé est n/k n/k C tk = v n (t 1)k t=1 t=1 = v k + v 2k + + v (n/k)k = v k ( 1 v n 1 v k ) = 1 vn (1 + i) k 1 = a n. 5 de 8
3. a) Le montant du prêt est le montant accumulé dans le fonds d amortissement, soit 73,22s 60 0,5 % = 5 108,56. b) Le taux d intérêt sur le prêt est la valeur de i telle que 5 108,56i = 960, soit i = 18,79 %. c) En omettant le capital qui, à la fin du prêt, sort du fonds d amortissement pour venir rembourser le prêt, la seule sortie de fonds pour la banque est le montant prêté, 5 108,56. Les entrées de fonds sont les remboursements annuels d intérêt et les versements mensuels dans le fonds d amortissement. Le taux de rendement i est donc la solution de l équation 5 108,56 = 960a 5 i + (12 73,22)a (12) 5 i. 4. a) Soit M le paiement annuel total. On accumule 1 000 $ dans fonds d amortissement rapportant du 16 % et 1 000 $ dans celui rapportant du 11 %. Par conséquent, M = 0,13(3 000) + 1 000 s 10 16 % + 2 000 s 10 11 % = 390 + 46,90 + 119,60 = 556,50. b) Le taux d intérêt réel payé par l emprunteur est la solution i de 3 000 = 556,60a 10 i. Par une méthode numérique quelconque, on trouve i = 13,16 %. c) Le taux de rendement de la banque est identique au taux d intérêt payé par l emprunteur, soit 13,16 %. d) La seule sortie de fonds de la banque A est le 3 000 $ du prêt. Les entrées de fonds sont les paiements d intérêts de 390 $, les versements dans le fonds d amortissement de 46,90 $ et le remboursement de capital de 2 000 $ provenant du second fonds d amortissement. Le taux de rendement de la banque A est donc la solution de 3 000 = 436,90a 10 + 2 000v 10. On trouve numériquement que i = 12,73 %. Quant à la banque B, elle ne fait que verser de l intérêt sur le fonds d amortissement à raison de 11 % par année. Son rendement est donc de 11 %. 6 de 8
e) Soit P la contribution totale dans les deux fonds d amortissement. On a que P 3 s 10 16 % + 2P 3 s 10 11 % = 3 000, d où P = 164,33. Le paiement annuel total est donc maintenant de 390 + 164,33 = 554,33. 5. On a une obligation d une valeur de 5 000 $ rachetable au pair payant des coupons de 200 $ tous les six mois. Le taux de rendement du marché pour cette obligation est de 5 % effectif par semestre. a) Il reste 8 coupons à verser. Le prix est donc B 6 = 200a 8 5 % + 5 000v 8 = 4 676,84. b) Il reste alors 9 coupons à verser, le prochain dans deux mois. Le prix au marché est donc B m 5+10/12 = (B 6 + 200)v 1/3 4 6 (200) = 4 798,17 400 3 = 4 664,83. c) Il reste alors 10 coupons à verser, le prochain dans un mois. Pour obtenir le prix au marché, on peut calculer le prix 5 ans avant l échéance puis l accumuler durant 5 mois : B m 5+5/12 = B 5(1,05) 5/6 5 6 (200) = (200a 10 5 % + 5 000v 10 )(1,05) 5/6 5 6 (200) = 4 805,37 5 6 (200) = 4 638,70 6. a) La première obligation de vend à prime, donc son rendement est inférieur au taux de coupon de 8 %. À l inverse, la seconde obligation se vend à escompte, alors son rendement est supérieur au taux de coupon de 6 %. Il est donc impossible, sans faire de calcul, de savoir avec certitude laquelle offre le rendement le plus élevé. Tout au plus sait on que, la prime étant plus petite que l escompte, le taux de rendement de la première obligation sera plus près de 8 % que celui de la seconde sera près de 6 %. 7 de 8
b) Par les techniques usuelles, on trouve que le rendement de la première obligation est de 6,94 % et que celui de la seconde est de 8,12 %. On choisira donc la seconde obligation. 7. Dans la mesure où les coupons impayés durant les quatre premières années sont repayés à la fin à leur valeur accumulée avec le même taux d intérêt que le taux de rendement de l obligation, la restructuration ne change strictement rien au prix de l obligation. On a donc P = 37,50a 20 3,7 % + 1 000v 20 = 954,63. 8. On va favoriser l option dont la valeur actuelle (ou accumulée) des coûts est la plus faible. Si l on applique immédiatement la remise en argent Canadian Tire sur chaque achat mensuel de 100 $, la valeur actuelle de ces achats sur une année est (12 98)a (12) 1 3 % = 1 157,36. En revanche, si l on applique les remises accumulées au cours d une année sur le dernier achat seulement, on a un coût total pour l année de (12 100)a (12) 24v = 1 157,68. 1 3 % Il est donc plus économique d utiliser immédiatement son argent Canadian Tire puisque celui-ci ne porte pas intérêt. On en apprend des choses... Vincent Goulet Ce document est publié selon le contrat Paternité-Partage à l identique 2.5 Canada <http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ca/> 8 de 8