Quantité de mouvement et moment cinétique

6 Quantité de mouvement et moment cinétique v7 p = mv L = r p 1

Impulsion et quantité de mouvement Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt. La vitesse du corps varie de Δv = v f - v i L'accélération (moyenne) vaut a = Δv / Δt = (v f - v i ) / Δt Par la deuxième loi de Newton: F = ma = m( v f - v i ) / Δt donc: F Δt = mv f - mv i = p f - p i avec la définition: quantité de mouvement = p = mv (un vecteur) Le produit FΔt est appelé impulsion (aussi un vecteur) La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion F Δt = p f - p i F = 0 <=> Δp = 0 c. à d. p est constante 2

Impulsion et quantité de mouvement, bis Variation infinitésimale de la vitesse dv L'accélération vaut a = dv / dt Deuxième loi de Newton: F = ma = m dv dt donc: F dt = mdv = dp La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion F dt = mdv = dp et aussi: F = dp/dt 3

Conservation de la quantité de mouvement Considérons deux corps qui effectuent un choc : i) la quantité de mvt totale vaut p i = p 1 + p 2 i) 1 p 1 p 2 2 Supposons que la collision dure δt. La force que 1 exerce sur 2 est égale et opposée à celle que 2 exerce sur 1 F 1 = -F 2 choc) L'impulsion sur 1 F 2 δt = p' 1 - p 1 => p' 1 = p 1 + F 2 δt = p 1 - F 1 δt pour l'objet 2 p' 2 = p 2 + F 1 δt f) p' 2 p'1 f) la quantité de mvt totale est p f = p' 1 + p' 2 = p 1 - F 1 δt+ p 2 + F 1 δt = = p 1 + p 2 = p i 4

Exemple 1 i) f) m v M+m M v' L'objet de masse M est initialement au repos. L'objet de masse m a une vitesse v Dans le choc "mou" M se réunit à m pour former un objet de masse M+m On applique le principe de la conservation de la quantité de mouvement: p i = mv + 0 = p f = (M+m)v' v' = mv/(m+m)! Si l'on utilise la conservation de l'énergie: mv 2 /2 = (M+m)v' 2 /2 ce qui donne v' 2 = mv 2 /(M+m) différent du résultat précédent! 5

Exemple 2 Une bille qui se déplace sur une table sans frottement N p w La réaction de la table N est égale et opposée à w. La force totale est donc nulle, l'impulsion est donc aussi nulle et p est constant au cours du temps 6

Exemple 3 1) m M quantité de mvt tot p tot = 0 2) v w p tot = 0 = mv + Mw => w = - mv/m 3) p tot = 0 le tout est immobile 7

Mouvement du Centre de Masse CM Le CM (ou Centre de Gravité CG) d'un système non soumis à des forces externes préserve son état de mouvement. Exemple: le CM du système de l'exemple 3 est à tout instant immobile dans le laboratoire. w v En effet il est immobile dans l'état initial et le système n'est pas soumis à des forces externes. 8

Mouvement du CM.2 r 1 v 1 v 2 r 2 m 2 v CM = d dt R = d dt = = 1 d( r 1 ) dt CM: R = r 1 r 2 calculons la vitesse du CM r 1 r 2 + d(m 2r 2 ) dt 1 (p 1 + p 2 ) = p tot m tot 1 = = d ( dt r 1 r 2 ) = 1 ( v 1 v 2 ) = p tot = m tot v CM La quantité de mouvement totale est une constante, donc v CM l'est aussi. 9

Collision élastique vs inélastique Lors d'une collision la quantité de mouvement est conservée. L'énergie mécanique ne l'est pas toujours, si la collision n'est pas parfaitement "élastique". Considérons la collision de deux objets isolés. Dans le cas "totalement inélastique" il y aura un maximum de perte d'énergie cinétique i) f) 10

Collision élastique On peut utiliser la conservation de p et E pour calculer l'évolution du système mécanique, v 1 m 2, v 2, w 1 m 2, w 2 p = p 1 + p 2 = v 1 v 2 = w 1 w 2 K i = 1 2 (m v 2 1 1 v 2 2 ) = K f = 1 2 (m w 2 1 1 w 2 2 ) v 1 v 2 = w 1 w 2 v 2 1 v 2 2 = w 2 2 1 w 2 à résoudre pour les inconnues w 1 et w 2 11

Collision élastique.2 v 1 v 2 = w 1 w 2 v 2 1 v 2 2 = w 2 2 1 w 2 cas particulier v 2 = 0 w 1 = v 1 1 R 1+ R w 2 = v 1 2 1+ R R = m 2 cas particulier v 2 = 0 et = m 2 w 1 =0 et w 2 = v 1 12

Collision inélastique, v 1 x Conservation de p: E cinétique: m 2, v 2 m= +m 2, v p = p 1 + p 2 = v 1 v 2 = mv = ( )v v = v 1 v 2 v CM K i = 1 2 (v 2 1 v 2 2 ) K f = 1 2 mv2 = 1 2 m m v + m v 1 1 2 2 m 1 [ v 1 v 2 ] 2 K f m = 1 [ v 1 v 2 ] 2 = K i v 2 2 1 v 2 ( ) v 2 2 1 v 2 ( ) 2 = 1 2 [ v 1 v 2 ] 2 13

Collision inélastique.2 K f K i = [ v 1 v ] 2 2 ( ) v 1 2 v 2 2 ( ) Cas particulier: v 2 =0 K f K i = [ v ] 2 1 ( ) v = 2 1 Cas particulier: v 1 =-v 2 et =m 2 K f = 0 14

Relation énergie cinétique - quantité de mouvement K = 1 2 mv2 = 1 2 1 m m2 v 2 = 1 2m (mv)2 = p2 2m K = p2 2m 15

Moment cinétique Le moment cinétique L joue un rôle analogue à la quantité de mouvement, dans le cas de la rotation. L r p L = r p L = r p sinθ On peut lier L à la vitesse angulaire ω et au moment d'inertie I, dans le cas d'un mvt circulaire de rayon r: L = r p = r m v = mr ωr = mr 2 ω = I ω L = I ω... analogue à p = m v 16

Conservation du moment cinétique Quand la résultante des forces agissant sur un corps est nulle, la quantité de mouvement du corps est constante F = ma = m (v 2 -v 1 )/Δt = (p 2 -p 1 )/Δt F = 0 p 2 = p 1 Si l'on fait de même dans le cas d'un mouvement circulaire: τ = Iα = I (ω 2 -ω 1 )/ Δt = (L 2 - L 1 )/ Δt τ = 0 L 2 = L 1 Quand la résultante des moments des forces agissant sur un corps est nulle, le moment cinétique du corps est constant au cours du temps. 17

Conservation du moment cinétique, bis F = ma = m dv/dt = dp/dt F = 0 dp = 0 De même, dans le cas d'un mouvement circulaire: τ = Iα = I dω/dt = dl/dt τ = 0 dl = 0 Quand la résultante des moments des forces agissant sur un corps est nulle, le moment cinétique du corps est constant au cours du temps. 18

Exercice Dresser une table d'analogies mvt linéaire mvt circulaire 19

Les vecteurs τ, L et ω ne sont pas toujours // Ex: cylindre homogène de longueur d, rayon r et masse m. Le moment d'inertie pour une rotation selon l'axe est I a = mr 2 /2. Pour une rotation autour d'un pivot central c'est I c = md 2 /12. Si r < d/2 on a I a < I c. Supposons que le cylindre tourne avec vitesses angulaires ω a et ω c autour de l'axe et du pivot respectivement. P. ex. prenons ω a = ω c en module et 2I a = I c On obtient le résultat de la figure: ω c ωa ω L c =I c ω c L ω c ω L et ω ne sont pas // ω a L a =I a ω a 20

La toupie pivot Ω r w ω La toupie a un moment d'inertie I autour de son axe. r position du CG, w poids Avec une rotation rapide autour de l'axe, de vitesse angulaire ω, la toupie ne tombe pas. Elle se stabilise par un mouvement de rotation lent autour du pivot. On cherche la valeur de Ω pour que le mvt soit stable... 21

Toupie.2 Le poids w produit le moment τ = r w, en module τ = rw. A tout instant L et τ sont orthogonaux. Ω 0 = L dl dt = d dt L 2 2 L 2 = cte τ Ω τ vue d'en haut w w L L=Iω L dl La variation de L vaut dl = τdt donc dl est orthogonal à L, donc le module de L est constant au cours du temps. Ω est égal à la vitesse de rotation du vecteur L... 22

Toupie.3 L(t+dt) dα L(t) dl = τdt Après dt, L (et ω) est déplacé de l'angle dα. Cela doit correspondre au déplacement angulaire de la toupie: dα = dl L = τ dt L Ω = dα dt = wr Iω = wrdt Iω Ω r w ω 23

Le modèle de Bohr pour l'h On considère un électron de charge -e et masse m en orbite circulaire autour du proton de masse M et charge +e. On a m ~ M/2000 donc le CG est proche du proton. A l'équilibre: F centrifuge = F Coulomb: E cinétique: E totale: K = 1 2 mv2 = r 2 mv 2 E(r)= K + U = k e2 r r = r 2 k e2 r 2 = k e2 2r E potentielle: U(r)= k ee = k e2 r r L'énergie potentielle est < 0 car le potentiel est attractif, il faut fournir du travail pour éloigner le e - du p. 1 2 1 = k e2 2r k ee r = m v2 2 r M r m 24

Le modèle de Bohr pour l'h.2 Hypothèse de Bohr: les électrons sont sur des orbites telles que le moment cinétique L est un multiple de h=h/2π : k e2 r = m v2 2 r ke 2 = mv 2 r = 1 mr m2 v 2 r 2 = L2 mr L n p n r n = nh L2 r = mke 2 Bohr L n = mv n r n = nh r n = (nh)2 mke 2 [ev] -1.51-3.39 E(r n )= K n + U n = k e2 2r n = k 2 e 4 m 2h 2 1 n 2-13.6 h est la constante de Planck h=6.63 10-34 Js 25