CH V Le second degré :

CH V Le second degré : I) Les fonctions polynômes (Rappels) : 1) Développer, factoriser : Rappels : Pour tout réels a, b et c a( b + c) = ab + ac On dit que l on lorsque l on passe de a( b + c) à ab + ac On dit que l on lorsque l on passe de ab + ac à a( b + c) Eemples : Développer 3(a 3b + 4c) 3(a 3b + 4c) = Développer ( + 3)( 4) ( + 3)( 4) = Dans cet eemple, le calcul n est pas terminé. Il faut rassembler les termes semblables, on dit qu on les. ( + 3)( 4) = Factoriser 5 + Factoriser, c est chercher un au deu membres, dans ce cas le terme commun est 5 + = Eercice : Développer et réduire les epressions suivantes. 5(a 3) = 3(3a + 1) = 3 a 1 + = 3 3 ( 1a 15)= 5 3 ( ) = ( + 1) = a( a 3) = 3a(- a + 5) = ( + 1)( + ) = (3 + )( 1) = (- + 3)( 1) = (7 )(1 ) = 1 1 7 = 4 4 1 (3 1)( + 4) = 3 Eercice : Factoriser 4a + 4b = 3a + 1 b = a 6b + 8c = + = Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 1 / 1

8 + = + 5 = 3 7 3 = 6a 1a = ) Les fonctions polynômes : A() = 3 ; B() = 3 4 + 7 ; C() = 6 3 1 et D() = 4 4 + 3 3 5 sont des polynômes. J Un polynôme est caractérisé par : - - A() est de degré ; B() est de degré ; C() est de degré et D() est de degré. Pour définir le degré d un polynôme, on dira que C() est du troisième degré. On peut calculer la valeur d un polynôme en écrivant par eemple B(). du polynôme pour =. B() = B() est la valeur On peut additionner des polynômes. Calculons C() + D() C() + D() = On peut multiplier des polynômes. Calculons A(). B() ( On utilisera la distributivité de la multiplication par rapport à l addition ) A(). B() = J Lorsque l on multiplie un polynôme de degré b par un polynôme de degré c, on obtient un polynôme de degré. Le rapport de deu polynômes A( ) C( ) simplifier des fractions rationnelles. est une fraction rationnelle.parfois, il est possible de E() = + = = (pour ) Eercice :On donne les polynômes A() = 4 3 + 5 ; B() = - + 6 7 et C() = 3 3 9 Calculer A() + B() + C() = Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page / 1

A() B() + C() = -A() + B() - C() = A() + B() - C() = A() B() - C() = -3A() + B() + C() = A().B() = II) Les fonctions polynômes du second degré : 1) Activité : Soit la fonction f définie sur [- ; 7] par = 5 +. a) Compléter le tableau de valeurs : - -1 1,5 5 7 b) Tracer la courbe sur l écran de la calculatrice. La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas? c) Quelle est l abscisse du sommet de? d) Compléter le tableau de variation de f. -,5 7 Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 3 / 1

e) Quelles sont les coordonnées du sommet de? f) Quelle est la valeur du minimum de f? ) Activité : Soit f la fonction définie sur [- ; 4] par = - + 4 + 3 a) Compléter le tableau de valeurs suivant : - -1 1 3 4 b) Utiliser le tableau de valeurs ou la courbe pour répondre au questions suivantes : b1) La parabole représentative de f est-elle tournée vers le haut ou le bas? b) Dresser le tableau de variation de f : B3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la courbe représentative de f. En déduire le maimum de f. 3) Représentation graphique d une fonction polynôme du second degré : J La représentation graphique d une fonction polynôme du second degré est une d équation y = a + b + c. En reprenant les fonctions des activités 1 et, identifier les lettres a et b et calculer le b rapport. a Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 4 / 1

Pour = 5 + a = b = b a = Pour = - + 4 + 3 a = b = b a = Comparer vos résultats avec les abscisses des sommets des deu paraboles. Conclusion : Pour chacune des paraboles précédentes, déterminer le signe de a et indiquer si la courbe est tournée vers le haut ou le bas. Conclusion : J La parabole est tournée vers le haut lorsque a et vers le bas lorsque a. Le sommet S de la parabole est le point dont l ordonnée est le de la fonction polynôme lorsque a > ou le de la fonction polynôme lorsque a <. L abscisse du sommet S est. III) Équation du second degré : 1) Résoudre une équation du second degré : Étude graphique. Avec un traceur de courbes, on a réalisé la représentation graphique de trois fonctions du second degré dans un repère orthogonal. En utilisant les graphiques, résoudre les équations : 7 6-4 + 3 = 5 4 3 1-4 -3 - -1 1 3 4 5-1 - Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 5 / 1

7 6,5 +,5 = 5 4 3 1-4 -3 - -1 1 3 4 5-1 - 7 6 1,5 + = 5 4 3 1-4 -3 - -1 1 3 4 5-1 - ) Résoudre une équation du second degré : Étude algébrique. Les équations précédentes sont de la forme a + b + c = ; pour chacune d elles vous identifierez les valeurs a, b et c. On note (lire delta) le nombre défini par : = b 4ac J Ce nombre est appelé discriminant Compléter le tableau suivant : Équations Valeurs de a b c Valeur de Signe de Nombre de solutions - 4 + 3 =,5 +,5 = 1,5 + = Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 6 / 1

a) Quel lien peut-on observer entre le signe de et le nombre de solutions de l équation? b) En utilisant les formules générales données ci-dessous, retrouver pour chaque équation les résultats obtenus à l étude graphique. J Formules générales de résolution b + Si >, deu solutions 1 = et = a 1 et sont les racines du polynôme Si =, une solution dite solution double = Si <, pas de solution b a b a - 4 + 3 =,5 +,5 = 1,5 + = 3) Eercices : 3.1) Résoudre les équations proposées en utilisant la formule du discriminant. a) 7 + 1 = b) + 8 + 16 = c) 1 +16 = d) 9 1 + 16 = e) = -3 f) + 1,5 = 1 Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 7 / 1

3.) On donne un tracé de la parabole représentative d une fonction polynôme du second degré de la forme = a + b + c (a ). Pour chaque cas, déterminer graphiquement : a) le signe du coefficient a. b) le nombre de solution de l équation = et le signe du discriminant. c) Les solutions éventuelle de l équation =.,5 1,5 1,5-6 -4-4 6 -,5-3 - -1 1 3 - -4-6 -8-1 1 1 8 6 4-3 - -1 1 Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 8 / 1

4) Signe du polynôme a + b + c : On donne un tracé de la parabole représentative d une fonction polynôme f définie sur un intervalle [a ; b]. Dans chacun des cas : a) Marquer d une croi les points d intersections de la courbe et de l ae des abscisses. b) Repasser en vert la partie de la courbe située au dessus de l ae des abscisses. c) Repasser en rouge la partie de la courbe située en dessous de l ae des abscisses. d) Compléter le tableau de signes de f en précisant les valeurs de changement de signe. f est définie sur [-3 ; -,5] par = - 7 6-3,5-3 -,5 - -1,5-1 -,5-1 Signe de - -3 f est définie sur [-4 ; 1] par = + 3 + 6 4 Signe de -4-3 - -1 1 f est définie sur [1 ; 9] par = 1 + 5 16 1 8 Signe de 4 4 6 8 Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 9 / 1

f est définie sur [-3 ; ] par = - 6 + 4,5-3 - -1 - -4 Signe de J Signe du polynôme a + b + c Deu cas sont possibles : Si l équation a + b + c = admet deu solutions distinctes 1 et, c est à dire si > Le polynôme est du signe de a à l etérieur des racines. Si l équation a + b + c = n admet pas deu solutions distinctes, c est à dire si = ou si < Le polynôme est du signe de a pour tout réel. 4.1) Eercice : Résoudre l inéquation > : a) = - + 9 b) = + 4 + 3 c) = - - 9 + 1 4.) Eercice : Résoudre l inéquation > : a) = -1 + 3 1 b) = - + 14 49 c) = - + 1 IV) Problèmes : 1) Vente de bijou : Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 1 / 1

Une jeune créatrice fabrique des bijou fantaisies et vend toute sa production. Le bénéfice total obtenu par la vente de n bijou est, en euros, B(n) = -,5n + 5n 45. a) Calculer le bénéfice rapporté par la fabrication et la vente de : bijou : 6 bijou : b) Résoudre par le calcul l équation : -,5 + 5 45 = c) Donner le signe du coefficient de dans l epression précédente et en déduire l intervalle de pour lequel la créatrice fait un bénéfice. d) Indiquer pour combien de bijou fabriqués et vendus la jeune créatrice fait un bénéfice maimum. Quel est ce bénéfice? ) Restauration collective : La société de restauration collective «Saveurs du monde» prépare et commercialise des repas cuisinés. Les contraintes de production imposent la préparation de 3 à 8 repas par jour. a) Le coût de production C (en ) varie en fonction du nombre n de repas vendus par jour. Ce coût de production est donné par la relation C = -,5n + 1n + 1. Calculer le coût de production pour 5 repas vendus par jour. b) On suppose que le pri de vente V (en ) de n repas vendus par jour est donné par la relation V = 6n + 1 8 où n appartient à l intervalle [3 ; 8]. Calculer le pri de vente pour 5 repas vendus. c) On considère les fonctions f et g définies sur l intervalle [3 ; 8] par = -,5 + 1 + 1 et g() = 6 + 1 8. Résoudre algébriquement l équation g() >. En déduire à partir de combien de repas l entreprise fait-elle un bénéfice? Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 11 / 1

3) Contrôler la qualité : Un laboratoire étudie l évolution de bactéries dans le jus d orange non pasteurisé. À un instant t M que l on devra déterminer, on introduit une molécule capable de stopper la progression des bactéries. L objectif est de savoir quand les bactéries seront entièrement détruites. Pour cela, on dénombre les bactéries avant et après l introduction de la molécule. Le nombre N de bactéries à l instant t (en minutes) est donné par N = - 5t + 13t + 6 où t est compris entre et 3 min. a) Calculer le nombre de bactéries à l instant t =, puis à l instant t = 1 min. b) On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; 3] par = - 5 + 13 + 6. La fonction admet un maimum. Le justifier. Calculer la valeur de pour lequel f est maimum, quel est ce maimum? Cette valeur de est le moment t M choisi pour introduire la molécule. Combien de temps faudra-t-il encore attendre pour qu il n y ait plus de bactéries dans le jus d orange non pasteurisé. Cours_Bac_Pro_1ere_CH_V_Le_second_degre.doc Page 1 / 1