Chapitre 13 Calcul matriciel Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44
On note K = R ou C Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 2 / 44
Généralités Plan 1 Généralités Ensemble des matrices Addition et multiplication par un scalaire Produit de matrices Transposition de matrices 2 Structure algébrique des matrices carrées 3 Matrices carrées particulières 4 Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 3 / 44
Généralités Ensemble des matrices Définition : Soient n et p deux entiers strictement positifs 1 On appelle matrice de taille np et à coefficients dans K tout tableau à n lignes et a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p p colonnes On note : A =, avec a ij K ; a n1 a n2 a np 2 On dit que deux matrices de taille np et à coefficients dans K sont égales lorsque leurs coefficients sont égaux ; 3 On note : M np(k) l ensemble des matrices de taille np et à coefficients dans K, 0 np l élement de M np(k) dont tous les coefficients sont égaux à 0, 4 Lorsque p = n, on dit que la matrice est carrée, et on écrit plus simplement : M n(k) au lieu de M nn(k), 0 n au lieu de 0 nn Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 5 / 44
Généralités Addition et multiplication par un scalaire Définition : Pour A = (a ij ) 1 i n,, B = (b ij ) 1 i n,, λ K, on note : 1 j m 1 j m 1 A + B la matrice de M (n,p) (K), de coefficients : i 1; n, j 1, p, a ij + b ij ; 2 λa la matrice de M (n,p) (K), de coefficients : i 1; n ; j 1; p, λa ij Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 7 / 44
Généralités Addition et multiplication par un scalaire 1 2 2 3 Exemple : Pour A = 0 1 et B = 1 2 : 1 0 0 1 3 5 A + B = 1 3 ; 1 1 2 4 2A = 0 2 ; 2 0 1 3 3A B = 1 1 3 1 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 8 / 44
Généralités Addition et multiplication par un scalaire Proposition (structure d espace vectoriel) 1 (M np (K), +) est un groupe abélien Plus précisément : Pour tous (A; B) (M np(k)) 2, A + B = B + A ; L élément neutre est 0 np, c est à dire : A M np(k), 0 np + A = A Le symétrique de A M n,p(k) est A : A + ( A) = 0 np 2 Pour A et B deux éléments de M np (K) et λ, µ deux éléments de K quelconques : λ(a + B) = λa + λb; (λ + µ)a = λa + µa Exercice 0 1 Résoudre dans M 32 (K) l équation : 2X + B = 0 32, avec B = 2 3 4 5 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 9 / 44
Généralités Produit de matrices Définition : Pour A = (a ij ) 1 i n M nr (K) et B = (b ij ) 1 i r M rp (K), on appelle 1 j r 1 j p produit de A et B, et on note AB = (c ij ) 1 i n M np (K) la matrice telle que : c ij = 1 j p r a ik b kj k=1 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 11 / 44
Généralités Produit de matrices Proposition (propriétés du produit matriciel) Soit A M np (K), alors : 1 pour λ K et B M pr (K), (λa)b = A(λB) = λab ; 2 pour B M np (K) et C M pr (K), (A + B)C = AC + BC ; 3 pour B M pr (K) et C M pr (K), A(B + C) = AB + AC ; 4 pour B M pr (K) et C M rs (K),(AB)C = A(BC) ; 5 0 rn A = 0 rp et A0 pr = 0 nr Exercice Soient A = 1 0 1 2 3 2, B = 2 1 ( ) ( ) 1 0 1 3 4 3 5, C = et D = 1 2 2 2 1 1 4 5 0 4 Calculer tous les produits possibles de deux matrices parmi les matrices précédentes Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 12 / 44
Généralités Produit de matrices Proposition Soit A M n,p (K), B M p,m alors AB = (AC 1 AC m ) où C 1,, C m sont les colonnes de B L 1 B AB = où L 1,, L m sont les lignes de A L n B Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 13 / 44
Généralités Transposition de matrices Définition : Soit A M np (K) On appelle matrice transposée de A et on note t A (ou A T ) la matrice appartenant à M pn (K) définie par : i 1; p, j 1 ; n, a ij = a ji REMARQUE : Autrement dit, t A s obtient à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes Proposition (propriétés de la transposition) 1 Pour A M np (K), t ( t A) = A; 2 Pour A et B deux éléments de M np (K) t (A + B) = t A + t B ; 3 Pour A M np (K) et λ K, t (λa) = λ t A ; 4 Pour A M nr (K) et B M rp (K), t (AB) = t B t A Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 15 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Plan 1 Généralités 2 Structure algébrique des matrices carrées Le neutre pour le produit matriciel Étude du produit Puissances d une matrice carrée Matrices inversibles 3 Matrices carrées particulières 4 Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 16 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Le neutre pour le produit matriciel Définition : La matrice identitée noté I n M n (K) est telle que tous ses coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux égaux à 1 Proposition A M n (K), AI n = I n A = A On dit que I n est l élément neutre pour la multiplication dans M n (K) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 18 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Étude du produit REMARQUE : Si A M n (K) et B M n (K), alors : AB M n (K) On dit que le produit matriciel est une loi de composition interne pour M n (K) Proposition Dans M n (K), le produit matriciel est : associatif : A(BC) = (AB)C ; non commutatif : AB BA en toute généralité Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 20 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Puissances d une matrice carrée notation : Pour A M n (K), on note : A 0 = I n, A 1 = A et pour tout n 2, A n = AA }{{ A } n termes REMARQUE : nous avons A n+1 = AA n = A n A Exercice ( ) 1 1 Soit A = Montrer par récurrence que A 0 1 n = entier naturel n ( ) 1 n pour tout 0 1 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 22 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Puissances d une matrice carrée Proposition (binôme de Newton) Soient A et B deux éléments de M n (K) qui commutent, c est à dire tels que : AB = BA Alors n ( ) (A + B) n n n ( ) = A k B n k n = B k A n k k k k=0 k=0 Il faut absolument vérifier AB = BA En effet, sinon, pour n = 2, (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + BA }{{} 2AB en toute généralité + B 2 Exercice ( ) ( ) 1 1 0 1 En écrivant A = = I 0 1 2 + et en utilisant la formule du 0 0 binôme de Newton, calculer A n pour tout n N Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 23 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Matrices inversibles Définition : Soit A M n (K) On dit que A est inversible lorsque A admet un symétrique pour le produit matriciel, c est à dire lorsqu il existe B M n (K) tel que : AB = BA = I n notations : On note A 1 le symétrique de A lorsqu il existe On dit aussi que A 1 est l inverse de A GL n (K) l ensemble des matrices inversibles Exercice Étudier l inversibilité des matrices suivantes : A = ( ) 1 1 et B = 1 1 ( ) 1 1 0 1 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 25 / 44
Structure algébrique des matrices carrées Matrices inversibles Proposition (propriétés algébriques des matrices inversibles) 1 GL n (K) muni du produit matriciel est un groupe Plus précisement : 1 Si A est inversible, alors A 1 est inversible et l inverse de A 1 est A : (A 1 ) 1 = A ; 2 Si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et son inverse est B 1 A 1 : (AB) 1 = B 1 A 1 2 Si A est inversible, alors t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 26 / 44
Matrices carrées particulières Plan 1 Généralités 2 Structure algébrique des matrices carrées 3 Matrices carrées particulières Matrices triangulaires et matrices diagonales Matrices symétriques et antisymétriques Matrices élémentaires 4 Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 27 / 44
Matrices carrées particulières Matrices triangulaires et matrices diagonales Définition : Soit A = (a ij) M n(k) On dit que A est : a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 1 triangulaire supérieure lorsque : a ij = 0 pour i > j : A = 0 0 a nn Si de plus a 11 = a 22 = = a nn = 0, on dit que A est strictement triangulaire supérieure ; a 11 0 0 a 2 triangulaire inférieure lorsque : a ij = 0 pour i < j : A = 21 a 22 0 a n a n2 a nn Si de plus a 11 = a 22 = = a nn = 0, on dit que A est strictement triangulaire inférieure ; a 11 0 0 0 a 3 diagonale lorsque : a ij = 0 pour i j : A = 22 0 0 0 a nn Si de plus a 11 = a 22 = = a nn, on dit que A est scalaire Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 29 / 44
Matrices carrées particulières Matrices triangulaires et matrices diagonales Proposition (propriétés des matrices triangulaires) Soient A et B deux matrices triangulaires supérieures (respinférieures) Alors : 1 A + B est triangulaire supérieure (respinférieure) ; 2 Pour λ K, λa est triangulaire supérieure (respinférieure) ; 3 AB est triangulaire supérieure (respinférieure) Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 30 / 44
Matrices carrées particulières Matrices symétriques et antisymétriques Définition : Soit A = (a ij ) M n (K) On dit que A est : 1 symétrique lorsque : t A = A : a 11 a 12 a 1n a 12 a 22 a 2n A = a 1n a 2n a nn On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques 2 antisymétrique lorsque : t A = A : 0 a 12 a 1n a 12 0 a 2n A = a 1n a 2n 0 On note A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 32 / 44
Matrices carrées particulières Matrices symétriques et antisymétriques Proposition Soient A et B deux matrices symétriques (resp antisymétriques) Alors : (a) A + B est symétrique (resp antisymétrique) ; (b) Pour λ K, λa est symétrique (resp antisymétrique) Le produit de deux matrices symétriques n est pas forcément symétrique ( De même ) pour les ( matrices ) antisymétriques Par exemple, pour A = 1 2 2 1 et B =, nous avons A et B symétriques, mais AB = 2 1 1 1 ( ) 4 3 n est pas symétrique 5 3 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 33 / 44
Matrices carrées particulières Matrices symétriques et antisymétriques Exercice Pour A M np (K), on pose : S = A t A M n (K) Montrer que S est symétrique Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 34 / 44
Matrices carrées particulières Matrices élémentaires Définition : Soient n N, (i, j) 1; n 2, i j, λ K Une matrice élémentaire est : 1 une matrice de dilatation D i (λ) = diag(1,, 1, λ, 1,, 1) M n(k) : n D i (λ) = E kk + λe ii k=1,k i 2 une matrice de transvection T ij (λ) M n(k) : T ij (λ) = I n + λe ij 3 une matrice de transposition P ij M n(k) : n P ij = E kk + E ij + E ji k=1,k i,k j Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 36 / 44
Matrices carrées particulières Matrices élémentaires Proposition Les matrices élémentaires sont inversibles et (i; j) 1; n 2 (i j) : 1 D i (λ) 1 = D i ( 1 λ ); 2 T ij (λ) 1 = T ij ( λ); 3 P 1 ij = P ij Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 37 / 44
Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Plan 1 Généralités 2 Structure algébrique des matrices carrées 3 Matrices carrées particulières 4 Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Produit matriciel et système linéaire Opérations élémentaires et matrices élémentaires Différentes caractérisations de l inversibilité Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 38 / 44
Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Produit matriciel et système linéaire Soient : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2p x p = b 2 (S) un système linéaire de n équations, à p a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a npx p = b n inconnues et à coefficients dans K ; a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A = Mnp(K) sa matrice augmentée ; a n1 a n2 a np x 1 x 2 X = M p1(k) le vecteur (ou matrice colonne) inconnu(e) x p Alors le produit AX M n1 (K) et : b 1 b 2 AX = B, avec B = b n Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 40 / 44
Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Opérations élémentaires et matrices élémentaires Proposition Soient A M np(k) ; λ K et (i; j) 1; n, (i j) Effectuer l opération élémentaire suivante sur les lignes de la matrice (ou du système) : L i λl i est équivalent à multiplier A à gauche par D i (λ) A B D i (λ)a = B L i αl i L i L j revient à multiplier A à gauche par P ij A B P ij A = B L i L j L i L i + λl j revient à multiplier la matrice A à gauche par T ij (λ) A B T ij (λ)a = B L i L i +λl j conséquence : Soit A M np(k) Il existe une unique matrice échelonnée réduite en lignes R M np(k) et E GL n(k) (E est un produit de matrices élémentaires) telles que A = ER Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 42 / 44
Interprétation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles Différentes caractérisations de l inversibilité Proposition Soit A M n (K) Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) A est inversible ; (ii) A est équivalente par lignes à I n ; (iii) L équation AX = 0 d inconnue X M n1 (K) n admet que la solution nulle ; (iv) Pour tout B de M n1 (K), le système AX = B admet une unique solution ; (v) Pour tout B de M n1 (K), le système AX = B admet au moins une solution Exercice Montrer que A = 1 1 1 0 2 1 est inversible et calculer A 1 0 0 3 Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 44 / 44