Leçon 04 : La fonction eponentielle (f() = e ) L eponentielle naturelle (à base e). f() = e est définie pour tout réel. C est une fonction positive, R, e > 0. e 0 = 1 et e 1 = e.718. Si < 0 alors 0< e < 1 et si > 0 alors e > 1. lim e = 0 ; lim e = + ; lim n e e = 0 ; lim = + (n N * e 1 ) ; lim =1. n + + 0 Théorème : e a = e b a = b. Théorème : a > b e a > e b, a R et b R.(L eponentielle e est aussi une fonction croissante sur R comme la fonction logarithme) R, e e >. Propriétés algébriques : e a e b = e a+b a R et b R. a e = e a b a R et b R. b e (e a ) b = e ab a R et b R. En particulier, (e ) = e, e = (e ) 1 = e 1, R (Très utilisés dans les eercices). Enfin une propriété très importante pour les équations : = ln, > 0 = e. 5 4 = e = 1 = ln -6-5 -4 - - 0 1 4 5 6 7 - - -4 Voici donc les deu courbes des fonctions nouvelles de la terminale.
Nous voons une smétrie par rapport à la droite d équation = en effet, le logarithme népérien et l eponentielle naturelle sont des fonctions réciproques l une de l autre. En conséquence, ln e a = a, a R et e ln a = a pour a > 0. Enfin pour les dérivées, nous avons Théorème : (e ) = e pour tout réel. Et (e u() ) = u () e u() lorsque la fonction u est définie et dérivable. Nous avons toute une famille de fonctions eponentielles : Les fonctions eponentielles à base a : a > 0 et a 1 : f a () = a = e ln a, R. Ces fonctions interviennent beaucoup en sciences ou en économie pour décrire des phénomènes à variations rapides. (a ) = (e ln a ) = ln a e ln a = ln a a avec a > 0 et a 1 et R. Si 0 < a <1, alors ln a négatif et donc la fonction a sera décroissante sur R. Si a > 1, alors ln a sera positif et donc la fonction a sera croissante sur R. Eemple : f 0.5 () = 0.5 R et f 10 () = 10 R. 4 f() = 10^ f() = 0.5^ 1 1-4 - - 0 1 4 5 6-4 - - 0 1 4 Tout ce qui précède ne dispense pas d une fiche personnelle car je répète que c est en faisant ses fiches de révisions que l on prépare efficacement le BAC.
TERMINALE ES Les fonctions numériques La fonction eponentielle Eercice 1 Chercher R tels que e = e 1 Chercher R tels que 8e e + = 0 Eercice Etudier la fonction f() = e pour R. Résoudre en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires : Chercher R tel que e = 0. Eercice Voici un eemple statistique portant sur le revenu d eploitation(total) au Canada La courbe ci-contre est caractéristique par sa forme de la courbe d une fonction logistique. Une fonction logistique est de la forme : a, b et k positifs a f a,b,k () = R + k 1+ be Les fonctions logistiques sont utilisées pour décrire l évolution de populations à croissante limitées, la limite étant le paramètre a quand tend vers +. (Par eemple, la vente des téléphones portables) 5 Etudier par eemple f() = (a = 5, b = et k = 1) R +. 1+ e Donner une équation de la demi-tangente pour = 0 Eercice 4 (Tpe Bac) On considère la fonction f définie pour tout réel par : f() = e (e ) On désigne par (C) la courbe représentant la fonction f. 1) Déterminer les limites de f quand tend vers + puis vers. ) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variations. ) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d abscisse = ln puis tracer (C) et (T). 4) Déterminer graphiquement en fonction du réel m le nombre de solutions de l équation : e e m = 0. Résolvez cette équation par le calcul.
Eercice 6 Bac 008 (Eercice à 9 points) Commun à tous les candidats On se propose d étudier l évolution des ventes d un modèle de voiture de gamme moenne depuis sa création en 1999. Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Partie I Le tableau suivant donne le nombre annuel, eprimé en milliers, de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation : Année 1999 000 001 00 00 Rang de l année : i 0 1 4 Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : i 81, 9, 109,7 18,5 11, 1) Dans le plan (P) muni d un repère orthogonal d unités graphiques 1 cm pour une année sur l ae des abscisses et 1 cm pour 10 milliers de véhicules vendus sur l ae
des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série statistique (i ; i ) pour i entier variant de 0 à 4. ) L allure du nuage de points permet d envisager un ajustement affine. a. Déterminer les coordonnées du point moen G de ce nuage. b. Déterminer l équation = a +b de la droite (D) d ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés. c. Placer le point G et tracer la droite (D) sur le graphique précédent. d. En utilisant l ajustement affine du b., donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 007. ) Le tableau suivant donne le nombre annuel de véhicules vendus, eprimé en milliers, de 00 à 007 : Année 00 004 005 006 007 Rang de l année : i 4 5 6 7 8 Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : i 11, 110,8 101,4 86, 76,1 a. Compléter le nuage de points précédent à l aide de ces valeurs. b. L ajustement précédent est-il encore adapté? Justifier la réponse. c. On décide d ajuster le nuage de points associé à la série statistique (i ; i ), pour i entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme = e c+d. Déterminer les réels c et d pour que cette courbe passe par les points A(4 ; 11,) et B(8 ; 76,1). On donnera la valeur eacte, puis l arrondi au millième de chacun de ces nombres réels. Partie II Soit f la fonction définie sur l intervalle [4 ; 10] par : f () = e 0,16 + 5,41. On suppose que f modélise en milliers l évolution du nombre annuel de véhicules vendus à partir de l année 00. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [4 ; 10].. Tracer la courbe (C) représentative de la fonction f dans le même repère que le nuage de points.. L entreprise décide d arrêter la fabrication du modèle l année où le nombre annuel de véhicules vendus devient inférieur à 65 000. a. Résoudre algébriquement dans l intervalle [4 ; 10] l inéquation f () 65. En quelle année l entreprise doit-elle prévoir cet arrêt? b. Retrouver graphiquement le résultat précédent en laissant apparents les traits de construction nécessaires.
Correction Eercice 1 Chercher R tels que e = e 1 Pas de conditions de calculs, R. Nous avons deu membres positifs car e > 0 R et de même e 1 > 0 R. Utilisons la fonction ln qui s applique sur des fonctions strictement positives. ln( e ) = ln(e 1 ) ln + ln e = ln + ln(e 1 ) (ln ab = ln a + ln b avec a > 0 et b > 0) ln + = ln + 1 (ln e a = a, a R) = 1 + ln ln 1 + ln = 1 + ln et donc = Conclusion : S = 1 + ln 1+ ln ( 0.7) (Voir calculette en traçant f() = e et g() = e 1 et en observant l intersection des deu courbes) Chercher R tels que 8e e + = 0 Ici aussi, pas de conditions de calculs. Nous pouvons multiplier les deu membres par e (C est une astuce de calcul) e (8e e + ) = 0 8 e + e = 0 e + e + 8 = 0 Nous posons X = e (X est donc strictement positif) e + e + 8 = 0 X + X + 8 = 0 X 1 = est solution évidente ( 1 + 4 + 8 = 0) La deuième solution X sera telle que X 1 X = 8 donc X = 4. Une seule solution est valable (X > 0) donc : X = = e = ln. S ={ln }. (Vérification à faire à la calculette en traçant f() = 8e e + ) Eercice f() = e R. f est définie et continue pour tout réel. Df = R. Déterminons les limites au bornes de Df : lim e = + en effet lim e = 0 et lim = +. Nous avons une branche infinie. lim (e ) ( ) = lim e = 0, nous aurons une asmptote d équation =. lim e = lim e 1 = + car lim = 0. e e + + +
Nous avons encore une branche infinie (Etude hors programme). Calcul de la dérivée : f () = e Df = R. Cherchons R tel que f () = 0 : e = 0 e = soit = ln. Tableau de variations : Si > ln alors e > et donc f () > 0 Inversement si < ln alors f () < 0. 1 ln + f () 0 + + + f() 0 0 m Cette fonction possède un minimum m qui vaut m = f(ln ) = e ln ln = ln. (m = (1 ln ) ou = ln = ln 7 0.96) Cherchons R tel que e = 0. Si nous observons le tableau de variations ci-dessus, nous avons m<0 et sur les intervalles ] ; ln[ et ]ln ;+ [, la fonction est définie et continue. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d affirmer que : la fonction prendra une fois la valeur 0 entre et ln et une autre fois entre ln et +. Il nous reste par tâtonnement et en utilisant la courbe à donner des valeurs approchées de 1 et. Traçons la courbe : 5 4 1 - - 0 1 4 - - 1 ]0 ;1[ et ]1 ;[. Cherchons pour 1 : f(0.5)=e 0.5 (0.5) 0.149 f(0.6)=e 0.6 (0.6) 0.0
f(0.7)=e 0.7 (0.7) 0.086 donc 1 ]0.6 ;0.7[. Faisons ensuite : f(1.5)=e 1.5 (1.5) 0.018 f(1.6)=e 1.6 (1.6) 0.15 donc ]1.5 ;1.6]. Eercice 5 f() = (a = 5, b = et k = 1) R + 1+ e Cette fonction est calculable pour tout réel positif, en effet, e > 0 et donc 1 + e > 0. C est une fonction positive. Elle est dérivable : ( 1+ e ' 5( e ) 10 e f () = (5) = = >0 pour tout R ) +. (1 + e ) (1 + e ) (1 + e ) La fonction f sera donc monotonement croissante sur R +. 0 + f(0) = 5 5 lim e = 0 et donc lim f() = 5 f() + + 5 Nous avons bien une asmptote horizontale quand tend vers + d équation = 5. (Caractéristique des fonctions logistiques) 5 10 Pour = 0, nous avons f(0) = et f (0) = 9 10 5 Une équation de la demi tangente (T 0 ) sera : = + 9 > 0. (Voir les courbes sur calculette, n oubliez pas!) Remarque : en eercice supplémentaire mais ce n est pas facile, vous pouvez étudier la position de la courbe (C) et de (T 0 ) pour démontrer la conjecture suivante : la tangente se trouve au début en dessous de la courbe puis elle recoupe cette courbe pour une valeur de comprise entre et.
Eercice 4 f() = e (e ) R. Cette fonction est parfaitement définie pour tout réel. 1) lim f() = 0 car lim e = 0 et donc lim e =. Il a donc une asmptote horizontale d équation = 0 quand tend vers. lim f() = + car lim e = + et lim e = +. Il s agit d une branche infinie quand tend vers + sans asmptote (Ceci se démontre plus tard). ) f () = e (e ) + e (e ) (Dérivée d un produit de deu fonctions : (uv) = u v +uv ) f () = e (e + e ) f () = e (e ) f () = e (e 1) R. Cherchons R tel que f () = 0 ceci équivaut à e (e 1) = 0 donc e 1 = 0 soit e = 1 et donc = 0. Si > 0 alors, e > e 0 donc e > 1 soit e (e 1) > 0 donc f () > 0 (e > 0 pour tout réel ). Et inversement f () < 0 si < 0. Tableau de variations : 0 + f(0) = e 0 (e 0 ) = 1( 1) = 1. f () 0 + f() 0 + 1 ) Cherchons une équation de la tangente (T) au point d abscisse = ln. (T 0 ) = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) (T) = f (ln )( ln ) + f(ln ) f (ln ) = e ln (e ln 1) = ()( 1) = 4 car e ln a = a si a > 0. f(ln ) = e ln (e ln ) = 0 (T) = 4( ln) soit = 4 4ln. Traçons (C) et (T) : (T) 1 - - 0 1 (C)
4) Pour déterminer graphiquement en fonction du réel m le nombre de solutions de l équation e e m = 0, il s agit en fait de e (e ) = m soit f() = m. Il s agit d effectuer un balaage de la courbe par des droites d équation = m en faisant varier m dans R et d observer les intersections avec (C) 1 = 1 - (C) - 0 1 4 = 0 = - = - Discussion graphique : Si m< 1 alors pas d intersection donc pas de solution à l équation S =. Si m = 1 alors une seule solution = 0 donc S ={0}. Si 1< m <0 alors, deu solutions 1 et que nous trouverons par le calcul S ={ 1 ; }. Si m = 0 alors une seule solution = ln donc S ={ln }. Si m>0 alors une seule solution à voir par le calcul S ={ 1 }. Voons le calcul : e e m = 0, nous posons e = Z donc e = Z et : L équation devient Z Z m = 0 = b 4ac = 4 4(1)( m) = 4 + 4m Etudions le signe suivant les valeurs de m : m 1 + 0 + Si m< 1, alors pas de solutions à l équation de degré. Si m = 1, alors = 0, nous aurons une solution double Z = Revenons à, Z = 1 e = 1 soit = 0. Si m > 1, nous aurons deu solutions pour Z, b = 1 a
b + + 4 + 4m + 1+ 1m Z 1 = = = = 1 + a 1+ m b 4 + 4m 1+ 1m ou Z = = = = 1 a 1+ m Il reste à revenir à : Z = 1 + 1+ m e = 1 + 1+ m comme 1 + 1+ m > 0 alors : = ln(1 + 1+ m ). Ou Z = 1 1+ m e = 1 1+ m mais ici attention 1 1+ m n est pas toujours positif. Si 1< m < 0 alors 0 < 1 + m < 1 et 0 < 1+ m < 1 (car la fonction respecte les inégalités, c est une fonction croissante, si 0 < a < b alors 0 < a < b ) ; donc dans ce cas, 1 1+ m > 0 et = ln(1 1+ m ) possible. Conclusion : si 1< m < 0, deu solutions 1 = ln(1 + 1+ m ) et = ln(1 1+ m ). Voons m = 0 : Z 1 = donc e = donne = ln. Z = 0 et e = 0 pas de solution. Ceci est bien conforme à la discussion graphique ci-dessus. Enfin si m > 0 alors Z 1 donne bien une solution, = ln(1 + et ne donne pas de solution pour. Conclusion : Si m > 0 alors une seule solution : = ln(1 + 1+ m ). Cette question était un peu difficile! 1+ m ) mais Z devient négatif Eercice 5 Soit f() = 0( 1)e 0.5 [0.5 ; 8] Cette fonction est bien définie pour tous les réels de [0.8 ; 8] donc Df = [0.5 ; 8]. 1) Etudions les variations de f, f est le produit de fonctions dérivables. (uv) = u v + uv u() = 0( 1) donc u () = 0(1) = 0 v() = e 0.5 donc v () = 0.5 e 0.5 f () = 0 e 0.5 + 0( 1)( 0.5 e 0.5 ) f () = 0 e 0.5 10( 1) e 0.5 f () = 10 e 0.5 ( + 1) f () = 10 ( +) e 0.5 [0.5 ; 8]. Cette dérivée s annule pour = en effet, 10 ( +) e 0.5 = 0 ( +) = 0 soit =. Tableau de variations : 0.5 8 si > alors ( ) < 0 et comme 10 e 0.5 > 0 f () + 0 f () < 0. f(0.5) = 0(0.5 1)e 0.5 f() = 10 e 0.5 7.79 f() f() = 40 e 1.5 8.9 f(8) = 140 e 4.56 f(0.5) f(8)
) Construisons la courbe : ) Partie B Si l entreprise produit centaines de bicclettes alors la fonction f étudiée précédemment modélise le bénéfice réalisé en milliers d euros. 1) Si l entreprise produit,. centaines de bicclettes, alors elle réalise un bénéfice de:f(.)=0(. 1) e 0.5 = 0(1.) e 0.5(.) 7.989 milliers d euros soit 7989. De la même façon, pour 4.08 centaines de bicclettes, nous aurons comme bénéfice : f(4.08) = 0(4.08 1) e 0.5(4.08) 8.010 milliers d euros soit 8010. ) a) Pour ne pas travailler à perte, il faut f()>0 soit : 0( 1)e 0.5 > 0 et [0.5 ; 8] Soit 1 > 0 et [0.5 ; 8] donc 1 < 8 soit plus clairement plus de cent bicclettes et jusqu'à 800. Si nous regardons la courbe (C) représentant f, nous voons qu elle est au dessus de l ae si ]1 ; 8]. b) Si nous voulons le bénéfice maimum, alors nous utilisons le tableau de variations de f qui montre que f est maimum quand = donc pour 00 bicclettes produites ; le bénéfice maimum sera : f() = 40 e 1.5 8.95 milliers d euros soit 895. c) Pour que l entreprise réalise un bénéfice supérieur à 8000, il faut chercher dans l intervalle [0.5 ; 8] tel que f() > 8.
Nous pouvons utiliser le graphique en traçant = 8 et en prenant les valeurs de pour lesquelles, (C) est au-dessus de la droite. (A faire à la calculette) Nous ne pouvons pas résoudre par le calcul : Cherchons [0.5 ; 8] tels que 0( 1)e 0.5 > 8 Aussi, nous procédons par tâtonnements et nous pouvons utiliser le module «table» de la calculette. La première valeur est légèrement supérieure à : f() 7.57 ; f(.1) 7.698 ; f(.) 7.988 ; f(.) 8. donc nous avons une valeur 1 entre. et. où f vaut 8. Précisons cette valeur en prenant un pas de calcul de 0.01 entre. et. : f(.0) 7.988 et f(.1) 8.015 donc il faudra produire au moins 1 bicclettes. L autre valeur se trouve au alentours de 4 : f(4) 8.10 ; f(4.1) 7.981 donc nous cherchons entre 4 et 4.1 : f(4) 8.10 ; ; f(4.08) 8.009 et f(4.09) 7.995 donc il faudra produire jusqu à 408 bicclettes. Conclusion : si nous voulons un bénéfice supérieur à 8000, il faudra : [.1 ;4.08] soit à produire approimativement entre 1 et 408 bicclettes. Eercice 6 La partie 1 utilise la leçon sur les stats (Nuage de points et alignement linéaire) que nous verrons plus tard. Partie 1 1) Année 1999 000 001 00 00 Rang de l année : i 0 1 4 Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : i 81, 9, 109,7 18,5 11, Faisons le graphique : 170 160 150 140 (D) 10 10 110 G 100 90 80 - - 70 60 0 1 =65 4 5 6 7 8 9 10 11 1 ) Nous utiliserons ici la calculette qui donne une équation de la droite (D) d ajustement de par rapport à par la méthode des moindres carrés.
Nous entrons les deu listes L1 et L correspondant à i et à i et la calculette donne : n n i i 1 1 a) Le point moen est : G( ; ) soit G( ; 108.6). n n b) La droite d ajustement affine de par rapport à aura pour équation : (D) = 1.6 + 81.4 (avec un coefficient de corrélation linéaire r 0.98 donc un ajustement du nuage très correct) C (En fait, nous verrons plus loin que (D) = a + b avec a = et b = a ; V C covariance de et de, et moenne respective des i et des i ) r = σ C σ, σ et σ écart tpe respectif des i et des i ) c) Voir graphique ci-dessus. d) En utilisant l équation de la droite d ajustement, en 007 ( = 8), nous aurons, 1.6(8) + 81.4 190. milliers de véhicules vendus en supposant que la progression se poursuive comme les 5 premières années. ) Année 00 004 005 006 007 Rang de l année : i 4 5 6 7 8 Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : i 11, 110,8 101,4 86, 76,1 a) Voir graphique b) La tendance des 5 premières années s inverse et les ventes chutent rapidement. L ajustement linéaire précédent n est plus du tout adapté. c) On décide d ajuster le nuage de points associé à la série statistique (i ; i), pour i entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme = e c+d. Il s agit d une fonction eponentielle. Déterminons c et d : La courbe passant par les points A(4 ; 11,) et B(8 ; 76,1), nous avons : 11. = e 4c+d 76.1 = e 8c+d Nous pouvons utiliser ln car ce sont des quantités strictement positives : Le sstème devient : ln 11. = 4c + d (L1) ln 76.1 = 8c + d (L) En procédant par soustraction, nous avons L L1 : 76.1 4c = ln 76.1 ln 11. soit 4c = ln et donc c = 11. Et en utilisant L1 par eemple : 76.1 d = ln 11. 4c = ln 11. ln = ln 11. 1 ln 4 11. 5.41. 76.1 76.1 11. 0.16. Partie II Soit f la fonction définie sur l intervalle [4 ; 10] par : f () = e 0,16 + 5,41. Nous retrouvons les coefficients c et d calculés dans ). f modélise en milliers l évolution du nombre annuel de véhicules vendus à partir de l année 00.
1) Etude de cette fonction Cette fonction est parfaitement définie pour [4 ; 10]. f () = 0.16 e 0,16 + 5,41 car (e u ) = u e u. f () < 0 pour tout [4 ; 10] donc f sera décroissante sur cette intervalle. 4 10 f(4) = e 0,16(4) + 5,41 11.6 f () f() f(4) f(10) f(10) = e 0,16(10) + 5,41 58.0 ) Voir la courbe plus haut. ) a) Cherchons [4 ; 10] tels que f() 65 : e 0,16 + 5,41 65 donc 0.16 + 5.41 ln 65 0.16 (ln 65) 5.41 (ln 65) 5.41 (ln 65) 5.41 cela donne > 9 (en fait 9.166) 0.16 0.16 L entreprise descendra en dessous de 65000 véhicules entre la 9 ième et la diième année c est-à-dire entre 008 et 009. b) Pour résoudre graphiquement cette question, il suffit de tracer = 65 et de regarder pour quelle valeur de la courbe descend au-dessous de la droite. Nous pouvons lire entre 9 et 10.