Sujet de la leçon. Les angles remarquables. Classe. 2 ème année de l enseignement général. Référence. A) Au programme. - Géométrie - Propriétés géométriques - Propriétés relatives aux angles et aux droites remarquables - Angles d un triangle - Déterminer la somme des angles d un triangle. - Déterminer la relation entre un angle extérieur et les angles intérieurs non-adjacents. B) Au socles de compétences. - Les solides et figures - Dégager des régularités, des propriétés, argumenter - Dans un contexte de pliage, de découpage, de pavage et de reproduction de dessins, relever la présence de régularités. - Relever des régularités dans des familles de figures planes et en tirer des propriétés relatives aux angles, aux distances et aux droites remarquables. - Comprendre et utiliser, dans leur contexte, les termes usuels propres à la géométrie. - Les grandeurs - Comparer, mesurer - Mesurer des angles. 1
Objectif de la leçon. a) Spécifiques. 1 ère heure Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement les propriétés concernant les angles correspondants, alternes internes et alternes externes. 2 ème heure Au terme de la leçon, l élève sera capable de résoudre des exercices dans lesquels il doit trouver l amplitude d un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. 3 ème heure Au terme de la leçon, l élève sera capable de déterminer l amplitude d un angle dans un triangle en ayant démontré antérieurement que la somme des amplitudes des angles dans un triangle vaut 180. b) Intermédiaires. 1 ère heure - Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier dans un pavage des angles qui ont la même amplitude qu un angle repéré en utilisant le rapporteur si besoin. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier avec ses mots l égalité d amplitude de certains angles dans un pavage. - Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier des angles remarquables grâce à leurs caractéristiques qui sont données. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles correspondants formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles alternes internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles alternes externes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que si deux droites forment soit des angles correspondants, soit des angles alternes internes, soit des angles alternes externes de même amplitude, alors ces deux droites sont parallèles. 2
2 ème heure - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux ont la même amplitude s ils sont tous les deux aigus. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux sont supplémentaires si l un est aigu et l autre obtus. - Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier sur une construction géométrique une paire d angles remarquables (angles correspondants, angles alternes internes, angles alternes externes, angles supplémentaires, angles complémentaires et angles opposés par le sommet). - Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier quels angles remarquables forment deux angles donnés dans une construction géométrique. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de résoudre des exercices simples dans lesquels il doit trouver l amplitude d un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de résoudre des exercices complexes dans lesquels il doit trouver l amplitude d un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. 3 ème heure - Au terme de la leçon, l élève sera capable d exprimer les données d une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. - Au terme de la leçon, l élève sera capable d exprimer la thèse d une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. - Au terme de la leçon, l élève sera capable d expliquer pourquoi la somme des amplitudes dans un triangle est de 180 en faisant la démonstration. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de déterminer l amplitude d un angle dans un triangle en ayant des renseignements sur les deux autres angles ou sur les côtés du triangle. - Au terme de la leçon, l élève sera capable de citer quelques propriétés liées aux angles de triangles particuliers (triangle isocèle, triangle équilatéral et triangle rectangle isocèle). Prérequis. - Les élèves doivent connaître les propriétés liées aux angles dans un pavage. - Les élèves doivent connaître la notion d angles adjacents. - Les élèves doivent connaître les propriétés de la translation et de la symétrie centrale liées aux angles. - Les élèves doivent connaître les notions d angles correspondants, d angles alternes internes et d angles alternes externes. - Les élèves doivent connaître les notions d angles supplémentaires et d angles complémentaires. - Les élèves doivent savoir reconnaître des angles alternes internes. - Les élèves doivent connaître les propriétés dans angles alternes internes. - Les élèves doivent savoir déterminer l amplitude d un angle dans un triangle en connaissant l amplitude des deux autres angles. 3
Références bibliographiques. - Le nouvel Actimath : Edition Van in Auteurs : P. ANCIA ; P. DEWAELE ; N. DUQUESNE ; C. GRONDAL ; A. WANT ISBN : 978-90-306-4436-1 - Astromath : Edition Plantyn Auteurs : J.-M. DANEL G. DELCROIX M. DEMUYNCK C.-A. HUGO ISBN : 978-2-8010-5603-5 a) Du maitre. Matériel. Les feuilles élèves complétées, des craies et le tableau noir. b) De l élève. Les feuilles élèves, un rapporteur et de quoi écrire. d) Documents distribués. Les feuilles élèves sont distribuées, elles se trouvent en annexe. 4
Plan de la leçon. a) La motivation. La motivation est l exercice sur le pavage. Activité 1 Dans le pavage ci-dessous, les droites a, b, c et d sont parallèles, les droites e, f et g sont parallèles et les droites h et i sont parallèles ; colorie quelques angles qui ont la même amplitude que l angle repéré (D 1 ). Comment est-il possible d expliquer ces égalités d amplitudes? 5
c) Le corps de la leçon. 1 ère heure Première étape. Dénomination. Un pavage avec des triangles est proposé aux élèves, ils vont devoir trouver des angles de même amplitude. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier dans un pavage des angles qui ont la même amplitude qu un angle repéré en utilisant le rapporteur si besoin. Unité de matière. Les angles Documents et matériels. - De l élève : les feuilles de cours, de quoi écrire et un rapporteur. - Du maître : les feuilles élèves complétées, le tableau noir et des craies. Niveau taxonomique. Analyse. Exemples. Méthode. Le professeur laisse les élèves chercher eux-mêmes quels sont les angles qui ont la même amplitude que l angle repéré sur le pavage. L angle D 1 étant l angle repéré, un angle de même amplitude peut être l angle A 1. Questions posées. Cette étape est une recherche aucune question n est donc posée. Réponses attendues. Aucune. Durée de l étape. 5 minutes. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau noir. 6
Deuxième étape. Dénomination. Après avoir identifié les angles de même amplitude, les élèves vont essayer de justifier mathématiquement pourquoi ces angles ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier avec ses mots l égalité d amplitude de certains angles dans un pavage. Unité de matière. Les angles. Documents et matériels. Rien de nouveau. Niveau taxonomique. Compréhension. Exemples. L angle C 1 peut être appliqué sur l angle D 1 par une translation de vecteur CD. Méthode. Le professeur demande aux élèves s ils ont une idée pour justifier pourquoi certains angles ont la même amplitude que l angle repéré. Questions posées. - Vous venez de trouver plusieurs angles qui ont la même amplitude, comment pouvez-vous expliquer cela? S ils ne trouvent pas, je les aide un petit peu. Réponses attendues? - Par une transformation du plan. - Est-ce que vous ne voyez pas une transformation du plan qui pourrait justifier certaines égalités? - Oui une translation est correcte pour certains angles, mais pas pour tous. N y aurait-il pas une transformation du plan qui applique aussi certains angles sur l angle repéré? Durée de l étape. 5 minutes. - Si, on peut appliquer les angles les uns sur les autres par une translation. - Si, une rotation. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau noir. 7
Troisième étape. Dénomination. Les élèves vont devoir repérer sur une petite figure des angles correspondants, des angles alternes internes et des angles alternes externes. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier des angles remarquables grâce à leurs caractéristiques qui sont données. Unité de matière. Les angles correspondants, alternes internes et alternes externes. Documents et matériels. Rien de nouveau. Niveau taxonomique. Compréhension. Exemples. Dénomination Conditions Paires d angles Angles -Situés d un même côté de la sécante. -L un à l intérieur et l autre à l extérieur des droites a et b. -Non adjacents. Méthode. Le professeur a indiqué sur les feuilles élèves les caractéristiques des angles correspondants, alternes internes et alternes externes. Les élèves vont devoir chercher eux-mêmes quels sont les angles qui répondent aux conditions données. Questions posées. - Quelles sont les angles qui sont situés d un même côté de la sécante? Réponses attendues. - A 2 ; A 4 ; B 2 ; B 4 ou A 1 ; A 3 ; B 1 ; B 3 8
- Parmi ces angles, pouvez-vous en citer deux qui sont disposés de façon à ce qu il y en a un à l intérieur et l autre à l extérieur des droites a et b? - Très bien, maintenant, la dernière condition est qu il ne faut pas qu ils soient adjacents. Quel est donc une des paires d angles qui répond aux trois conditions? - A2 et A4 ou A2 et B2 - A2 et B2 Le même genre de question sera posé pour les angles alternes internes et alternes externes. Durée de l étape. 10 minutes. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera une représentation du tableau que les élèves doivent compléter. Dénomination Conditions Paires d angles Angles Angles Angles -Situés d un même côté de la sécante. -L un à l intérieur et l autre à l extérieur des droites a et b. -Non adjacents. -Situés de part et d autre de la sécante. -À l intérieur des droites a et b. -Non adjacents. -Situés de part et d autre de la sécante. -À l extérieur des droites a et b. -Non adjacents. Quatrième étape. Dénomination. Les élèves vont devoir justifier pourquoi des angles correspondants ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles correspondants formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. Unité de matière. Les angles correspondants. Documents et matériels. Rien de nouveau. 9
Niveau taxonomique. Compréhension. Exemples. Méthode. Le professeur propose aux élèves une représentation d angles correspondants pour que les élèves puissent justifier pourquoi ils ont égaux. Les droites a et b étant parallèles, les angles  1 et Bˆ 1 sont des angles correspondants de mêmes amplitudes. Questions posées. - Quelle est la transformation du plan la plus caractéristique qui applique  1 sur Bˆ 1? - Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que  1 = Bˆ 1? Durée de l étape. 5 minutes. Réponses attendues. - Une translation de vecteur AB. - La translation conserve l amplitude des angles. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau, le professeur dicte aux élèves. Cinquième étape. Dénomination. Les élèves vont devoir justifier pourquoi des angles alternes internes ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles alternes internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. Unité de matière. Les angles alternes internes. Documents et matériels. Rien de nouveau. 10
Niveau taxonomique. Compréhension. Exemples. Les droites a et b étant parallèles, les angles  3 et Bˆ 2 sont des angles alternes internes de même amplitude. Méthode. Le professeur propose aux élèves une représentation d angles alternes internes pour que les élèves puissent justifier pourquoi ils ont égaux. Questions posées. - Quelle est la transformation du plan la plus caractéristique qui applique  3 sur Bˆ 2? Réponses attendues. - Une symétrie centrale dont le centre est le milieu du segment [AB]. - Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que  3 = Bˆ 2? Durée de l étape. 5 minutes. - La symétrie centrale conserve l amplitude des angles. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau, le professeur dicte aux élèves. Sixième étape. Dénomination. Les élèves vont devoir justifier pourquoi des angles alternes externes ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles alternes externes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. Unité de matière. Les angles alternes externes. Documents et matériels. Rien de nouveau. 11
Niveau taxonomique. Compréhension. Exemples. Les droites a et b étant parallèles, les angles  1 et Bˆ 4 sont des angles alternes externes de même amplitude. Méthode. Le professeur propose aux élèves une représentation d angles alternes externes pour que les élèves puissent justifier pourquoi ils ont égaux. Questions posées. - Quelle est la transformation du plan la plus caractéristique qui applique  1 sur Bˆ 4? Réponses attendues. - Une symétrie centrale dont le centre est le milieu du segment [AB]. - Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que  1 = Bˆ 4? Durée de l étape. 5 minutes. - La symétrie centrale conserve l amplitude des angles. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau, le professeur dicte aux élèves. Septième étape. Dénomination. Les élèves pourront expliquer que si une droite coupe deux autres droites en formant soit des angles correspondants, soit des angles alternes internes, soit des angles alternes externes de même amplitude, alors ces deux droites sont parallèles. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que si deux droites forment soit des angles correspondants, soit des angles alternes internes, soit des angles alternes externes de même amplitude, alors ces deux droites sont parallèles. Unité de matière. Les angles correspondants, alternes internes et alternes externes. Documents et matériels. Rien de nouveau. 12
Niveau taxonomique. Compréhension. Exemples. Les angles  1 et Bˆ 1 étant des angles correspondants, s ils ont la même amplitude alors les droites a et b sont parallèles. Méthode. Les élèves connaissant déjà les propriétés concernant les angles remarquables dans un sens, le professeur va poser des questions pour que les élèves remarquent que ces propriétés sont aussi vraies dans l autre sens. Questions posées. - Comment sont les angles  1 et Bˆ 1? - Quand ont-ils la même amplitude? - Sachant qu ils ont la même amplitude, que pouvez-vous affirmer concernant les droites a et b? Durée de l étape. 10 minutes. Réponses attendues. - Ce sont des angles correspondants. - Quand les droites a et b sont parallèles. - Elles sont parallèles. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau noir, les explications se font oralement. 2 ème heure Première étape. Dénomination. L élève saura prouver que deux angles aigus dont les côtés sont parallèles deux à deux sont de même amplitude. Unité de matière. Angles à côtés parallèles deux à deux. 13
Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux ont la même amplitude s ils sont tous les deux aigus. Niveau taxonomique. Analyse. Méthode. Le professeur propose une représentation d angles dont les côtés sont parallèles deux à deux et il écrit sous la forme d un texte lacunaire les différentes étapes à suivre pour réussir à prouver la propriété. Documents et matériels. - De l élève : les feuilles de cours et de quoi écrire. - Du maître : les feuilles élèves complétées, le tableau noir et des craies. Questions posées. - Comment sont les angles  1 et Bˆ 1? - Que pouvez-vous affirmer concernant l amplitude de ces angles? - Comment sont les angles Bˆ 1 et Ĉ 1? - Que pouvez-vous affirmer concernant l amplitude de ces angles? - Que pouvez-vous conclure concernant les angles  1 et Ĉ 1? Réponses attendues. - Ce sont des angles correspondants. - Ces deux angles ont la même amplitude. - Ce sont des angles correspondants. - Ces deux angles ont la même amplitude. - Ils ont la même amplitude. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera une représentation de la situation. Durée de l étape. 5 minutes.  1 = Bˆ 1 car ce sont des angles correspondants. Bˆ 1 = Ĉ 1 car ce sont des angles correspondants. =>  1 = Ĉ 1 14
Deuxième étape. Dénomination. L élève saura prouver qu un angle aigu et un angle obtus dont les côtés sont parallèles deux à deux sont supplémentaires. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux sont supplémentaires si l un est aigu et l autre obtus. Niveau taxonomique. Analyse. Méthode. Le professeur propose une représentation d angles dont les côtés sont parallèles deux à deux et il écrit sous la forme d un texte lacunaire les différentes étapes à suivre pour réussir à prouver la propriété. Unité de matière. Angles à côtés parallèles deux à deux. Documents et matériels. Rien de nouveau. Questions posées. - Comment sont les angles  1 et Bˆ 1? - Que pouvez-vous affirmer concernant l amplitude de ces angles? Réponses attendues? - Ce sont des angles correspondants. - Ces deux angles ont la même amplitude. - Comment sont les angles Bˆ 1 et Bˆ 2? - Comment sont donc les angles  1 et Bˆ 2? - Ce sont des angles supplémentaires. - Ils sont supplémentaires. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera une représentation de la situation.  1 = Bˆ 1 car ce sont des angles correspondants. Bˆ 1 et Bˆ 2 sont des angles supplémentaires. =>  1 et Bˆ 2 sont angles supplémentaires. Durée de l étape. 5 minutes. 15
Troisième étape. Dénomination. L élève saura appliquer la théorie vue sur les angles correspondants, les angles alternes internes, les angles alternes externes, les angles supplémentaires, les angles complémentaires et les angles opposés par le sommet Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier sur une construction géométrique une paire d angles remarquables (angles correspondants, angles alternes internes, angles alternes externes, angles supplémentaires, angles complémentaires et angles opposés par le sommet). Niveau taxonomique. Application. Unité de matière. Les angles remarquables. Documents et matériels. Rien de nouveau. Méthode. Le professeur laisse travailler les élèves pendant quelques instants, ensuite il corrige oralement l exercice. Si des élèves ont un problème, il refait un exemple au tableau noir de l angle remarquable qui a posé des problèmes. Exercices. Les angles B 1 et. sont correspondants. Les angles C 6 et. sont opposés par le sommet. Les angles C 2 et. sont complémentaires. Les angles B 2 et sont supplémentaires. Les angles C 3 et... sont alternes externes. Les angles B 3 et sont alternes internes. Questions posées. - Quel est l angle qui forme avec l angle B 1 des angles correspondants? - Quel est l angle qui forme avec l angle C 6 des angles opposés par le sommet? Réponses attendues. - L angle C 6. - L angle C 3. 16
- Quel est l angle qui forme avec l angle C 2 des angles complémentaires? - Quel est l angle qui forme avec l angle B 2 des angles supplémentaires? - Quel est l angle qui forme avec l angle C 3 des angles alternes externes? - Quel est l angle qui forme avec l angle B 3 des angles alternes internes? Durée de l étape. 5 minutes. - L angle C 3. - L angle B 3. - L angle B 1. - L angle C 6. Tableau noir. Une représentation de la construction géométrique est faite ai tableau noir. Quatrième étape. Dénomination. L élève saura appliquer la théorie vue sur les angles correspondants, les angles alternes internes, les angles alternes externes, les angles supplémentaires, les angles complémentaires et les angles opposés par le sommet Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d identifier quels angles remarquables forment deux angles donnés dans une construction géométrique. Unité de matière. Les angles remarquables. Documents et matériels. Rien de nouveau. Niveau taxonomique. Application. Exercices. Méthode. Le professeur laisse travailler les élèves pendant quelques instants, ensuite il corrige oralement l exercice. Si des élèves ont un problème, il refait un exemple au tableau noir de l angle remarquable qui a posé des problèmes. Les angles A 3 et A 2 sont.. Les angles E 2 et E 4 sont Les angles D 1 et B 1 sont Les angles F 1 et F 2 sont. Les angles G 2 et F 1 sont Les angles A 3 et C 3 sont 17
Questions posées. - Comment sont les angles A 3 et A 2? - Comment sont les angles E 2 et E 4? - Comment sont les angles D 1 et B 1? - Comment sont les angles F 1 et F 2? - Comment sont les angles G 2 et F 1? - Comment sont les angles A 3 et C 3? Durée de l étape. 5 minutes. Réponses attendues. - Ce sont des angles complémentaires. - Ce sont des angles opposés par le sommet. - Ce sont des angles alternes internes. - Ce sont des angles supplémentaires. - Ce sont des angles alternes externes. - Ce sont des angles alternes internes. Tableau noir. Une représentation de la construction géométrique est faite ai tableau noir. Cinquième étape. Dénomination. Les élèves vont utiliser les propriétés sur les angles remarquables pour résoudre des exercices simples. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de résoudre des exercices simples dans lesquels il doit trouver l amplitude d un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. Niveau taxonomique. Application. Méthode. Le professeur laisse travailler les élèves individuellement, la correction se fera ensuite au tableau noir. Unité de matière. - Les angles remarquables. Documents et matériels. Rien de nouveau. Exercices. 3. Sans mesurer, trouve l amplitude de l angle demandé. Justifie. a) a//b A 1 = 40 B 1 =? 18
b) a//b A 1 = 130 B 1 =? c) [AC // [BF [AD // [BE A = 53 B =? d) [AB [AC A 2 = 30 A 1 =? e) A d A 2 = 45 A 1 =? Questions posées. Exercice a. - Que vaut l amplitude de l angle B 1? - Pourquoi? Exercice b. - Que vaut l amplitude de l angle B 1? Réponses attendues. Exercice a. - 40? - Parce que les angles A 1 et B 1 étant formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, ils forment des angles correspondants de même amplitude. Exercice b. - 130 car les angles A 1 et B 1 étant formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, ils forment des angles alternes externes de même amplitude. 19
Exercice c. - Que vaut l amplitude de l angle B? Exercice d. - Que vaut l amplitude de l angle A 1? Exercice e. - Que vaut l amplitude l angle A 1? Durée de l étape. 15 minutes. Exercice c. - 53 car les angles B ont leurs côtés parallèles deux à deux. Exercice d. - 60 car les angles A 1 et A 2 sont des angles complémentaires. Exercice e. - 135 car les angles A 1 et A 2 sont des angles supplémentaires. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera la correction des exercices que les élèves n auront pas compris. Sixième étape. Dénomination. Les élèves vont utiliser les propriétés sur les angles remarquables pour résoudre des exercices complexes. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de résoudre des exercices complexes dans lesquels il doit trouver l amplitude d un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. Niveau taxonomique. Application. Unité de matière. Les angles remarquables. Documents et matériels. Rien de nouveau. Méthode. Le professeur laisse travailler les élèves individuellement, la correction se fera ensuite au tableau noir. Exercices. 4. Détermine l amplitude de l angle B 1 en connaissant celle de l angle D 1. a) a // b D 1 = 120 20
b) a // b D 1 = 80 c) a // b c // d D 1 = 50 Questions posées. Exercice a. - Est-ce que l on sait déterminer directement quelle est l amplitude de l angle B 1? Réponses attendues. Exercice a. - Non. - Comment pourrait-on procéder? - On pourrait calculer l amplitude du supplément de D 1. - Et que vaut cet angle? - Et maintenant - Quelle est donc l amplitude de l angle B 1? Exercice b. - Comment pourrait-on procéder dans ce cas? - 60 - Cet angle et l angle B 1 sont des angles correspondants, et comme ils sont formés par deux droites parallèles et une sécante, ils ont la même amplitude. - 60. Exercice b. - On pourrait calculer l amplitude du supplément de l angle B 1. - Pourquoi? - Parce que le supplément de l angle B 1 et l angle D 1 forment des angles de même amplitude. 21
- Quelle est donc l amplitude du supplément de l angle B 1? - 80. - Et finalement quelle est l amplitude de l angle B 1? Exercice c. - 100. Exercice c. - Quelle est l amplitude de l angle B 1? - Pourquoi? Durée de l étape. 15 minutes. - 50. - Parce que ces deux angles sont des angles à côtés parallèles et donc ils ont la même amplitude. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera la correction des exercices que les élèves n auront pas compris. 3 ème heure Première étape. Dénomination. Nous allons démonter que la somme des amplitudes des angles dans un triangle est de 180. Pour commencer la démonstration, les élèves vont devoir indiquer les données. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d exprimer les données d une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. Unité de matière. Somme des amplitudes des angles dans un triangle. Documents et matériels. - De l élève : les feuilles de cours et de quoi écrire. - Du maître : les feuilles élèves complétées, le tableau noir et des craies. Niveau taxonomique. Analyse. Exemples. Le pavage proposé aux élèves. 22
Méthode. Un pavage est proposé aux élèves, ils vont d abord remarquer que la somme des amplitudes des angles dans un triangle est bien de 180. Ensuite ils vont devoir rechercher les données pour commencer la démonstration. Questions posées. - Comment peut-on voir que la somme des amplitudes des angles dans un triangle est bien de 180? Réponses attendues. - Les trois angles du triangle ABC forme un angle plat dans le pavage. - Très bien, nous allons maintenant commencer la démonstration. Tout d abord quelles sont les données, c'est-à-dire ce que nous connaissons? - Ensuite quels sont les trois angles intérieurs du triangle ABC? - ABC est un triangle quelconque. - A, B et C - Très bien, mais nous allons juste noter A1 à la place de l angle A pour avoir plus facile pour la suite. Durée de l étape. 5 minutes. Tableau noir. Au tableau noir se trouveront les données de la démonstration. Données : - ABC triangle quelconque. -A 1, B et C angles intérieurs du triangle ABC. Deuxième étape. Dénomination. Après avoir trouvé les données, les élèves vont maintenant exprimer la thèse de la démonstration. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d exprimer la thèse d une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. Unité de matière. Somme des amplitudes des angles dans un triangle. Niveau taxonomique. Analyse. Documents et matériels. Rien de nouveau. 23
Méthode. Le professeur propose une représentation d angles dont les côtés sont parallèles deux à deux et il écrit sous la forme d un texte lacunaire les différentes étapes à suivre pour réussir à prouver la propriété. Questions posées. - Est-ce que vous savez ce que le mot «thèse»» signifie? - C est en fait ce que nous voulons prouver, et que veut-on prouver? - Comment pourrait-on exprimer cela avec les données que nous avons citées? Réponses attendues? - Non. - Que la somme des amplitudes des angles dans un triangle vaut 180. - A1 + B + C = 180 Durée de l étape. 5 minutes. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera la thèse de la démonstration. Thèse : A 1 + B + C = 180 Troisième étape. Dénomination. Maintenant que les données et la thèse de la démonstration sont écrites, nous allons passer à la démonstration en elle-même. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable d expliquer pourquoi la somme des amplitudes dans un triangle est de 180 en faisant la démonstration. Niveau taxonomique. Analyse. Unité de matière. Somme des amplitudes des angles dans un triangle. Documents et matériels. Rien de nouveau. 24
Méthode. Le professeur laisse chercher les élèves individuellement. Les élèves vont avoir beaucoup de temps étant donné que c est la première démonstration qu ils effectuent. Ensuite le professeur va faire la démonstration au tableau noir avec els élèves. Exemple. Démonstration : Astuce : - Par A, mène la parallèle à la droite BC. - Utilise ensuite les angles remarquables. Questions posées. - Quelle est la première chose à faire? - Deux nouveaux angles apparaissent, nous allons les noter A 2 et A 3. Que pouvez-vous dire de l angle A 2? - Comment sont leurs amplitudes? - Ensuite que pouvez-vous dire de l angle A 3? Réponses attendues. - Tracer la parallèle a à la droite BC qui passe par A. - A 2 et C forment des angles alternes internes. - Ils ont la même amplitude. - A 3 et B forment aussi des angles alternes internes. - Comment est donc leurs amplitudes? - Les angles A1 + A 2 + A3 forment quel type d angle? - Ils ont la même amplitude. - Un angle plat. - Comment pouvons-nous écrire cela sous forme d équation? - Et dans cette équation que peut-on remplacer? - Pourquoi? - Et ensuite? - Comment peut-on maintenant réécrire cette équation? - A 1 + A 2 + A 3 = 180 - A 3 par B - Ces deux angles ont la même amplitude. - A 2 par C pour la même raison. - A 1 + C + B = 180 25
- Et cette équation est la même que quoi? - Effectivement, donc nous avons bien réussi à prouver notre thèse, donc la somme des amplitudes des angles dans un triangle est de combien? Durée de l étape. 20 minutes. - Que notre thèse. - 180 Tableau noir. La démonstration sera effectuée au tableau noir. A1 + A 2 + A3 = 180 (1) A 2 et C forment des angles alternes internes. A 2 = C (2) A 3 et B forment des angles alternes internes. A3 = B (3) (1) devient par (2) et par (3) : A 1 + C + B = 180 La somme des amplitudes des trois angles intérieurs du triangle ABC est bien de 180. Quatrième étape. Dénomination. Après avoir fait la démonstration, des exercices sont maintenant proposés aux élèves. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de déterminer l amplitude d un angle dans un triangle en ayant des renseignements sur les deux autres angles ou sur les côtés du triangle. Unité de matière. Somme des amplitudes des angles dans un triangle. Documents et matériels. Rien de nouveau. 26
Niveau taxonomique. Application. Méthode. 5 minutes sont laissées aux élèves afin qu ils effectuent les exercices, ensuite la correction se fera au tableau noir. Exercices. Questions posées. Aucune question n est posée, les élèves résolvent les exercices et ensuite ils sont envoyés au tableau noir pour la correction. Réponses attendues. Aucune réponse. Durée de l étape. 10 minutes. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera la correction des exercices. 27
Cinquième étape. Dénomination. Quelques cas particuliers de triangles sont proposés aux élèves, ils vont découvrir plusieurs propriétés. Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l élève sera capable de citer quelques propriétés liées aux angles de triangles particuliers (triangle isocèle, triangle équilatéral et triangle rectangle isocèle). Niveau taxonomique. Synthèse. Unité de matière. Propriétés des angles de triangles particuliers. Documents et matériels. Rien de nouveau. 28
Méthode. Le professeur laisse un peu de temps aux élèves pour essayer de compléter le tableau. Ensuite la correction se fera oralement. Exemple. Le tableau reprenant les propriétés. Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même amplitude. ABC triangle isocèle en A => Les angles d un triangle équilatéral ont la même amplitude : 60. ABC triangle équilatéral => Les angles d un triangle rectangle isocèle ont toujours pour amplitudes : 90, 45 et 45. ABC triangle isocèle rectangle en A A = B = C = Questions posées. - Si un triangle est isocèle, comment sont les angles à la base? Réponses attendues. - Ils ont la même amplitude. - Sur le dessin, à quoi cela correspond-il? - Ensuite, si le triangle est maintenant équilatéral, comment seront l amplitude de chacun des angles? - Et de combien sera-t-elle? Durée de l étape. 15 minutes. - C = B - Tous les angles auront la même amplitude. - 60. Tableau noir. Rien n est écrit au tableau, cette étape se fait oralement. 29
d) Feuilles élèves. Différents types d angles. 1) Introduction. Activité 1 Les angles remarquables Dans le pavage ci-dessous, les droites a, b, c et d sont parallèles, les droites e, f et g sont parallèles et les droites h et i sont parallèles ; colorie quelques angles qui ont la même amplitude que l angle repéré (D1). Comment est-il possible d expliquer ces égalités d amplitudes? e f d c g h b i a 30
Activité 2 La sécante s coupe les droites a et b respectivement en A et en B. Cette sécante forme deux groupes de quatre angles respectivement de sommets A et B. Pour chaque dénomination, repère les paires d angles qui satisfont les conditions énoncées. Dénomination Conditions Paires d angles Angles Angles Angles o Situés d un même côté de la sécante. o L un à l intérieur et l autre à l extérieur des droites a et b. o Non adjacents. o Situés de part et d autre de la sécante. o À l intérieur des droites a et b. o Non adjacents. o Situés de part et d autre de la sécante. o À l extérieur des droites a et b. o Non adjacents......................... 31
2) Propriétés des angles remarquables. a) Quelle est la transformation du plan (+ caractéristique) qui applique  1 sur Bˆ 1? Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que  1 = Bˆ 1?. Deux parallèles coupées par une sécante déterminent des angles correspondants de même amplitude. b) Quelle est la transformation du plan (+ caractéristique) qui applique  3 sur Bˆ 2? Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que  3 = Bˆ 2? Deux parallèles coupées par une sécante déterminent des angles alternes internes de même amplitude. c) Quelle est la transformation du plan (+caractéristique) qui applique  1 sur Bˆ 4? Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que  1 = Bˆ 4? Deux parallèles coupées par une sécante déterminent des angles alternes externes de même amplitude. d) Si une sécante s détermine avec deux droites a et b - Soit deux angles correspondants de même amplitude - Soit deux angles alternes-internes de même amplitude - Soit deux angles alternes-externes de même amplitude alors, ces deux droites a et b sont parallèles 32
3) Angles à côtés parallèles deux à deux. a // b et c // d et  = 65 1) Comparons Ĉ 1 et  1. a)  1 et Bˆ 1 sont des angles....., donc Bˆ 1 = b) Bˆ 1 et Ĉ 1 sont des angles........., donc Ĉ 1 = c)  1 et Ĉ 1 ont donc.... Ce sont deux angles aigus dont les côtés sont. 2) Comparons  1 et Bˆ 2. a)  1 et Bˆ 1 sont des angles....., donc Bˆ 1 =... b) Bˆ 1 et Bˆ 2 sont des angles..., donc Bˆ 2 =... c)  1 et Bˆ 2 sont donc des angles... Ce sont deux angles dont les côtés sont  1 étant aigu et Bˆ 2 obtus. Conclusion. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles deux à deux : ont s ils sont aigus (ou obtus). sont... si l un est aigu et l autre obtus. 33
4) Exercices. 1. En observant la figure ci-dessous, complète les phrases. Les angles B 1 et. sont correspondants. Les angles C6 et. sont opposés par le sommet. Les angles C2 et. sont complémentaires. Les angles B2 et sont supplémentaires. Les angles C3 et... sont alternes externes. Les angles B3 et sont alternes internes. 2. Dans le parallélogramme ABCD de centre E, on a tracé [AF] [AB] et [CG] [CD]. Les angles A 3 et A 2 sont.. Les angles E2 et E4 sont Les angles D 1 et B 1 sont Les angles F 1 et F 2 sont Les angles G2 et F1 sont... Les angles A 3 et C 3 sont 34
3. Sans mesurer, trouve l amplitude de l angle demandé. Justifie. a) a//b A1 = 40 B1 =? b) a//b A1 = 130 B1 =? c) [AC // [BF [AD // [BE A = 53 B =? d) [AB [AC A 2 = 30 A 1 =? e) A d A 2 = 45 A 1 =? 35
4. Détermine l amplitude de l angle B1 en connaissant celle de l angle D1. a) a // b D1 = 120 b) a // b D1 = 80 c) a // b c // d D 1 = 50 36
Angles d un triangle. 1) Somme des amplitudes des angles intérieurs d un triangle. Tu sais peut être que dans un triangle, la somme des amplitudes des angles vaut 180. Montre dans ce pavage ci-dessous que les trois angles du triangle ABC peuvent former un angle plat. Démontre cette propriété. Données. Thèses. Démonstration : Astuce : - Par A, mène la parallèle à la droite BC. - Utilise ensuite les angles remarquables.............. 37
2) Exercices. Calcul l amplitude des angles de ces triangles. A = B = C = A = B = C = D = E = F = G = H = I =.. J = K = L = M =. N =. O =. 38
3) Propriétés des angles de triangles particuliers. Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même amplitude. ABC triangle isocèle en A => Les angles d un triangle équilatéral ont la même amplitude : 60. ABC triangle équilatéral =>. Les angles d un triangle rectangle isocèle ont toujours pour amplitudes : 90, 45 et 45. ABC triangle isocèle rectangle en A A = B = C = 39
4 Exercices. a) En utilisant les renseignements fournis par le dessin, détermine l amplitude de l angleb1. Explique tout ton raisonnement. b) Sachant que a // b et en utilisant les renseignements fournis par le dessin, détermine l amplitude de l anglea 1. Explique tout ton raisonnement. 40