Document de liaison Mathématiques Cours de base 9 e -10 e -11 e Spécificité cantonale Programme de 10 e LS profil S

Document de liaison Mathématiques Cours de base 9 e -10 e -11 e Spécificité cantonale Programme de 10 e LS profil S Année scolaire 2013-2014 AVERTISSEMENT Ce document place les repères pour une cohérence partagée entre les 20 écoles du cycle d orientation dans la mise en œuvre du PER. Il ne se substitue pas au Plan d études romand, il en facilite l application concrète dans les classes genevoises. REPUBLIQUE ET CANTON DE GENEVE Enseignement Département de secondaire l'instruction I publique, Cycle d orientation de la culture et du sport Direction Enseignement générale secondaire Service I - de Cycle l enseignement d'orientation DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 1

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Préambule Les cantons romands disposent, dès la rentrée 2011, d un plan d études commun Plan d études romand (PER). Parallèlement, pour les mathématiques, un nouveau moyen d enseignement, la collection Mathématiques 9-10-11, élaboré et structuré en fonction des exigences du PER, est introduit dans les classes romandes. Ce document est destiné aux enseignant-e-s genevois-es appelé-e-s à enseigner en 9 e, 10 e ou 11 e en appliquant le PER. Il est constitué de trois parties : les précisions genevoises aux progressions du PER, la répartition genevoise des progressions d apprentissage PER pluriannuelles, une proposition intercantonale de cheminement sur la base du Plan d études romand. Ces trois parties reprennent les contenus du PER ainsi que la progression des apprentissages décrite en trois niveaux, Niv. 1 2 3. Elles adoptent aussi sa terminologie par exemple : s = sensibilisation, lorsqu un objectif d apprentissage ne demande pas d évaluation et sa typographie les exemples sont indiqués en italique, de la même façon que dans le PER. Cependant, ce document ne reproduit pas tous les détails du PER. Ce dernier reste la référence que chaque enseignant-e est invité-e à consulter pour compléter ou clarifier les informations données ici. Il est important de relever que les niveaux indiqués par le PER sont des repères pédagogiques qu il conviendra, lorsque cela est possible et souhaitable, de dépasser. Il semble indispensable, afin de garantir l acquisition des connaissances et savoir-faire de niveau 1, respectivement 2, de se placer dans une dynamique d atteinte de niveau 2, respectivement 3. Première partie : Précisions genevoises aux progressions du PER Certaines progressions de 11 e qui restent vagues dans le PER (y compris après lecture des attentes fondamentales) ont été précisées par les RD genevois. Deuxième partie : Répartition genevoise des progressions d apprentissage PER pluriannuelles Certaines progressions du PER n étant pas découpées par année, les RD genevois ont décidé en septembre 2011 de les répartir annuellement. Le document, entré en vigueur dès la rentrée 2011, est intégré au présent document de liaison. Troisième partie : Proposition intercantonale de cheminement sur la base du PER Les grilles horaires en vigueur dans les cantons ne sont pas uniformisées ; de ce fait, dans le cadre de ce document, le choix a été effectué de poser la «semaine» comme unité de temps et, en accord avec diverses expériences vécues dans les différents cantons romands, d adopter la durée de 32 semaines pour l année scolaire effective. Cette partie du document propose une progression des apprentissages, en séquences successives, par niveau et année, organisée sur trois fois 32 semaines et incluant le travail sur la résolution de problèmes et les évaluations diagnostiques, formatives et sommatives. Les thèmes, présentés ici successivement, peuvent être travaillés en parallèle avec les élèves, notamment dans Espace et Grandeurs et mesures. Il est précisé, pour chaque séquence : le thème, la durée en semaines, la progression des apprentissages. 2 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Première partie : Précisions genevoises aux progressions du PER FONCTIONS ET ALGÈBRE 1) «Connaissance et utilisation d identités remarquables de degré 2» (PER, Cycle 3, Domaine MSN, p. 28) En LC seules les identités ( a + b )², ( a - b )² et ( a + b ) ( a - b ) seront étudiées. En LS l identité ( x + a ) ( x + b ) sera étudiée en plus. 2) «Décomposition de polynômes en produits de facteurs» (PER, Cycle 3, Domaine MSN, p. 28) En LC on s en tiendra à appliquer séparément la mise en évidence ou une identité remarquable. En LS on appliquera plusieurs factorisations successives. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 3

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Deuxième partie : Répartition genevoise des progressions d apprentissage PER pluriannuelles Dans ce document sont recensées toutes les progressions d apprentissage du PER qui sont prévues sur deux ou trois ans. L assemblée des RD de mathématiques a décidé, pour chacune, de la manière dont elle doit être traitée. ESPACE Figures géométriques planes Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de : triangles quadrilatères, cercles (9, 10) polygones réguliers (niv. 1s, 2, 3) (10, 11) X X Reconnaissance, dénomination, description des propriétés de construction de : (9, 10) droites parallèles, droites perpendiculaires hauteur, médiatrice, bissectrice cercles inscrits et circonscrits (niv. 1s, 2, 3) médiane, centre de gravité (niv. 2, 3) X X X X Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l'échelle (y compris échelle 1 : 1) (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des figures étudiées. 4 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Solides Reconnaissance, dénomination, description (attentes fondamentale niv. 3) des solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non) (9, 10) cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide cube, parallélépipède rectangle prisme droit, cylindre, pyramide Réalisation de développements et constructions de solides cube, parallélépipède rectangle, prisme droit cube, parallélépipède rectangle prisme droit cylindre, pyramide Représentation de solides en perspective (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des solides étudiés. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Transformations géométriques Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale (9, 10) Description, identification des caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou symétrie, conservation des grandeurs, ) (niv. 1 (9, 10, 11), niv. 2, 3 (9, 10)) Anticipation de la position d'une figure plane après une ou plusieurs isométries (9, 10, 11) Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries (9, 10) A l'aide des instruments ou de logiciels appropriés, construction de l'image d'une figure plane par une isométrie : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale (9, 10) symétrie axiale et centrale rotation, translation Repérage dans le plan et dans l'espace Utilisation de systèmes de repérages pour communiquer des positions et des itinéraires, pour placer des points (plan et espace) (9, 10, 11) 2D 3D DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 5

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES NOMBRES ET OPÉRATIONS Exploration de situations aléatoires (10, 11) X Nombres Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et un ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : fractionnaire (y compris simplification et amplification), de pourcentage dans lq (niv. 3) (9, 10) lq + lq de puissance a b (a lq, b IN) (niv. 3) (9, 10) X de la notation scientifique a 10 n, n IN (niv. 1s) n Z (niv. 2, 3) (10, 11) écriture propriétés de racine carrée et cubique dans IR + (10, 11) X Discernement des ensembles de nombre, découverte de quelques nombres irrationnels (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des nombres étudiés. Exploration de quelques systèmes de numération (Rome, Egypte, Babylone, binaire, ) (9, 10, 11) La répartition de cette progression se fait en fonction de la pertinence des liens avec les chapitres abordés. 6 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Calculs Connaissance et utilisation des priorités des opérations (y compris parenthèses) (9, 10) La répartition de cette progression suit celle des opérations étudiées. Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division (9, 10, 11) X Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des : nombres rationnels positifs sous forme de décimale (+,,, :) (9, 10, 11) X nombres rationnels sous forme décimale (+,,, :) (niv. 2, 3) (10, 11) Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement X nombres entiers relatifs de 100 à +100 (+,,, :) (niv. 2, 3) (9, 10) +,, : des carrés parfaits pour en extraire la racine (10, 11) X DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 7

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES FONCTIONS ET ALGÈBRE Résolution des problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de la proportionnalité) : quantité - quantité (prix, poids, devises, ), agrandissement et réduction de figures (9, 10) échelle, pourcentage, pente (10, 11) X X Fonctions Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions (9, 10, 11) Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques (9, 10, 11) Représentation d'une relation où interviennent deux grandeurs variables par : (9, 10, 11) un tableau des valeurs une représentation graphique (à la main, à l'aide d'un tableur, d'un grapheur, ) à partir d'un tableau des valeurs un ou plusieurs opérateurs (sous forme de "machine" ou d'expression verbale) Passage d'une représentation à une autre : (9, 10, 11) de l'opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement niv. 1 X niv. 2, 3 droites autres Diagrammes Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation des diagrammes (9, 10, 11) cartésien, colonne, circulaire, barre Réalisation de diagrammes circulaire, en barre (niv. 1s, 2, 3) (10, 11) X Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des diagrammes étudiés. 8 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Algèbre - calcul littéral Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale ( a 2 + b 2, 3x 2 7, (B+b)h 2, 1 a + 1 b, πr2 h, ) en substituant des nombres aux lettres (niv. 2, 3) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des expressions étudiées. Elaboration d'expressions littérales à partir d'énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d'expressions verbales (niv. 2, 3) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des expressions étudiées. Interprétation d'expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes (niv. 2, 3) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des expressions étudiées. Addition, soustraction et multiplication de polynômes (niv. 2, 3) (10, 11) Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement addition, soustraction produit Algèbre - équations Résolution de problèmes nécessitant le recours à l'algèbre (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des techniques algébriques étudiées. Traduction d'une situation par une équation du premier degré à une inconnue (niv. 2) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des équations étudiées. Résolution d'équations du premier degré à une inconnue à l'aide des règles d'équivalences (niv. 2) (10, 11) X DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 9

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES GRANDEURS ET MESURES Mesure de grandeurs et conversions d'unités Comparaison, classement et mesure de grandeurs (longueur, aire, volume, angle, masse) par manipulation de lignes, angles, surfaces, ou solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles (9, 10, 11) Estimation de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expressions d'une grandeur dans diverse unités : masse, aire (9, 10) volume, capacité (10, 11) temps (10, 11) masse, aire volume, capacité, temps Sensibilisation aux aspects culturels (degré Farenheit, mile, pouce, mille marin, nœud, ) et historiques (coudée, pied, arpent, ) de la mesure (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des grandeurs étudiées. 10 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Calcul de grandeurs Mesure des dimensions adéquates et calcul : de la longueur d'un arc de cercle et de l'aire d'un secteur circulaire (niv. 2, 3) (10, 11) X de l'aire d'un polygone par décomposition en figures simples (9, 10) X du périmètre et de l'aire d'une surface par décomposition en figures simples (10, 11) X du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits (niv. 1) (10, 11) X (niv. 2, 3) (9, 10) X du volume d'un solide (en le décomposant au besoin en solides simples) (10, 11) Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement X Calcul d'une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d'un triangle à partir de sa base et de son aire, ) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des formules étudiées. Utilisation du théorème de Pythagore (niv. 2, 3) (10, 11) Pythagore direct réciproque et contraposée DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 11

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Troisième partie : Proposition intercantonale de cheminement sur la base du Plan d études romand Mathématiques 3 e cycle Visées prioritaires et objectifs d apprentissage - Rappels «Se représenter, problématiser et modéliser des situations et résoudre des problèmes en construisant et en mobilisant des notions, des concepts, des démarches et des raisonnements propres aux Mathématiques et aux Sciences de la nature dans les champs des phénomènes naturels et techniques, du vivant et de l environnement, ainsi que des nombres et de l espace». NOMBRES ET OPÉRATIONS MSN 32 Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres réels Résolution de problèmes numériques en lien avec les ensembles de nombres travaillés, l écriture de ces nombres et les opérations étudiées. ESPACE MSN 31 Poser et résoudre des problèmes pour modéliser le plan et l espace MODÉLISATION Résolution de problèmes géométriques en lien avec les figures et les transformations étudiées. MSN 35 Modéliser des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques FONCTIONS ET ALGÈBRE MSN 33 Résoudre des problèmes numériques et algébriques Résolution de problèmes en lien avec les notions étudiées (fonctions, diagrammes, expressions algébriques et équations). Résolution de problèmes de proportionnalité. GRANDEURS ET MESURES MSN 34 Mobiliser la mesure pour comparer des grandeurs Résolution de problèmes de mesurage en lien avec les grandeurs et les théorèmes étudiés. 12 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

, la proposition de répartition donnée ci- après est issue du groupe inter cantonal des rédac- teurs des manuels 9-10- 11. La répartition de quelques progressions d'apprentissage ne correspond pas à la répartition genevoise présentée précédemment. Proposition de répartition des thèmes sur 32 semaines par année La progression des des apprentissages de du Niveau Niveau 1 permet 1 permet d atteindre, d atteindre, en fin en de fin cycle, de cycle, les attentes les attentes fondamentales fonda- ; mentales celles des Niveaux ; celles des 2 et Niveaux 3 permettent 2 et 3 d atteindre permettent des d atteindre attentes complémentaires. des attentes complémentaires. NIVEAU 1 NIVEAU 2 NIVEAU 3 une semaine 9 e 10 e 11 e 9 e 10 e 11 e 9 e 10 e 11 e Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement NOMBRES NATURELS ET DECIMAUX NOMBRES RELATIFS NOMBRES RATIONNELS ET REELS RECHERCHE ET STRATEGIES FIGURES GEOMETRIQUES PLANES!!! REPRESENTATIONS DE SOLIDES!!!!!! TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES LIGNES ET SURFACES!!! SOLIDES!!!!!! DIVERSES MESURES FONCTIONS ET DIAGRAMMES CALCUL LITTERAL EQUATIONS TOTAL!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$ # # # # # # # # #!"# $%&'()%$. DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 13

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Mathématiques 9 e : proposition de répartition sur 32 semaines Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 NO9.1 NOMBRES NATURELS APPRENTISSAGES VISES 5 sem. 4 semaines - Reconnaissance et utilisation de propriétés des nombres naturels : 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 critères de divisibilité, multiples et diviseurs communs ppmc, pgdc, nombres premiers, produit de facteurs Niv. 2 ı 3 - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre (y compris sous forme de puissances) - Connaissance et utilisation des priorités des opérations (y compris parenthèses) - Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division - Exploration de quelques systèmes de numération - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations ES9.1 FIGURES GEOMETRIQUES PLANES 6 7 8 9 10 5 semaines 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 - Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s, interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) ; construction d angles, triangles, quadrilatères, cercles - Reconnaissance et dénomination des angles (aigu, obtus, droit, plat) - Estimation, comparaison, classement et mesure d angles en degrés - Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de : droites parallèles, droites perpendiculaires hauteur, médiatrice, bissectrice ; médiane Niv. 2 ı 3 cercles inscrit et circonscrit Niv. 1s ı 2 ı 3 - Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l échelle (y compris 1:1) GM9.1 LIGNES ET SURFACES 11 12 13 3 semaines 10 11 12 10 11 12 - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles - Mesure des dimensions adéquates et calcul : du périmètre d'un polygone de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle, d'un parallélogramme, d'un losange, d'un trapèze (par décomposition et à l'aide d'une formule) de l'aire d'un polygone par décomposition en figures simples - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans des unités de longueur et aire NO9.2 NOMBRES RELATIFS ET DECIMAUX 2 sem. 4 sem. 3 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre relatif 14 15 13 14 15 16 13 14 15 - Comparaison, approximation, encadrement et représentation sur une droite de nombres relatifs - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres relatifs de -100 à +100 (+,,, :) Niv. 2 ı 3 ES9.2 REPRESENTATIONS DE SOLIDES 16 17 1.5 semaine - Reconnaissance, dénomination, description de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, 17 16 polyèdre ou non) : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide 18 17 - Réalisation de développements et construction de solides : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit - Représentation de solides en perspective GM9.2 SOLIDES ET DIVERSES MESURES 3.5 sem. 2.5 semaines - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des 17 18 17 unités conventionnelles et non conventionnelles. 18 19 19 20 18 19 - Mesure des dimensions adéquates et calcul du volume et de l'aire du cube et du parallélépipède rectangle du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits Niv. 2 ı 3 20 - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités : longueur, aire ; volume, capacité Niv. s ; masse ; temps Niv. s - Sensibilisation aux aspects culturels et historiques de la mesure 14 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 NO9.3 NOMBRES RATIONNELS APPRENTISSAGES VISES 4 semaines 5 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre 21 21 20 22 22 21 23 23 22 24 24 23 24 FA9.1 FONCTIONS ET DIAGRAMMES - Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : décimale dans fractionnaire (y compris simplification et amplification) dans + Niv. 1 ı 2, dans Niv. 3 de pourcentage de puissance a b (a sous forme décimale dans + Niv. 1 ı 2, dans Niv. 3 et b dans IN) - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres rationnels positifs : sous forme décimale (+,,, :) sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 3 - Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des nombres rationnels positifs : sous forme décimale, inférieurs à 10 000, ayant au plus deux décimales (+,,, :) sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 3 - Discernement des ensembles de nombres 5 sem. 4 sem. 4 sem. - Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions 25 26 27 28 29 25 26 27 28 25 26 27 28 - Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques - Représentation d une relation où interviennent deux grandeurs variables par : un tableau de valeurs une représentation graphique (à la main, à l aide d un tableur, d un grapheur, ) un ou plusieurs opérateurs (sous forme de «machine» ou d expression verbale) - Passage d'une représentation à une autre : de l'opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement - Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de la proportionnalité) : quantité/ quantité (prix, poids, devises, ) agrandissement et réduction de figures - Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation de diagrammes - Réalisation de diagramme cartésien, en colonnes - Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) FA9.2 CALCUL LITTERAL NIV. 2 ı 3 2 semaines - Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique 29 30 29 30 - Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale (4x + 5, abc, x 3,...) en substituant des nombres aux lettres - Élaboration d'expressions littérales à partir de figures géométriques ou d'expressions verbales ES9.3 TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES 3 sem. 2 semaines - Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale 30 31 32 31 32 31 32 - Description et identification des caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou de symétrie, conservation des grandeurs, ) - Anticipation de la position d une figure plane après une isométrie - Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries - Construction de l'image d'une figure plane par une isométrie (à l'aide des instruments ou de logiciels appropriés) : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale - Agrandissement et réduction de figures planes en utilisant la proportionnalité - Utilisation de systèmes de repérage pour communiquer des positions et des itinéraires, pour placer des points Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 15

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Semaines Niv. 1 Niv. 2 ı 3 NO10.1 NOMBRES DECIMAUX ET RELATIFS APPRENTISSAGES VISES 4 sem. 3 sem. - Reconnaissance et utilisation de propriétés des nombres naturels : ppmc, pgdc, nombres premiers, produit 1 2 3 4 1 2 3 de facteurs Niv. 1 - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre - Connaissance et utilisation des priorités des opérations (y compris parenthèses) - Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division puissances (a, b, m et n dans IN) : a m a n = a m+n, a m : a n = a m-n, (a m ) n = a mn, a m b m = (a b) m Niv. 2 ı 3 extraction de racine de carrés parfaits - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre relatif - Comparaison, approximation, encadrement et représentation sur une droite de nombres relatifs - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres relatifs : de 100 à +100 (+) Niv. 1 de 100 à +100 (+,,, :) Niv. 2 ı 3 ES10.1 FIGURES GEOMETRIQUES PLANES 7 Mathématiques 10 e : proposition de répartition sur 32 semaines 2.5 semaines - Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s, interne-s, 5 6 4 5 côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de : triangles, quadrilatères, cercles polygones réguliers Niv. 1s ı 2 ı 3 6 - Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de : droites parallèles, droites perpendiculaires hauteur, médiatrice, bissectrice, cercles inscrit et circonscrit médiane, centre de gravité Niv. 2 ı 3 - Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l échelle (y compris l échelle 1:1) GM 10.1 LIGNES ET SURFACES 3.5 semaines 7 6 - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles. 8 9 10 7 8 9 - Estimation, comparaison, classement et mesure des dimensions adéquates et calcul : du périmètre et de l aire d un disque de la longueur d un arc de cercle et de l aire d un secteur circulaire Niv. 2 ı 3 du périmètre et de l'aire d'un polygone et d une surface par décomposition en figures simples - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d un triangle à partir de sa base et de son aire,...) - Utilisation du théorème de Pythagore Niv. 2 ı 3 - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités de longueur et aire 16 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Semaines Niv. 1 Niv. 2 ı 3 FA10.1 CALCUL LITTERAL APPRENTISSAGES VISES 4 semaines - Connaissance et utilisation des règles et conventions d'écriture algébrique Niv. 1s ı 2 ı 3 11 10 - Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale : en substituant des nombres aux lettres ( bh, 4x + 5, abc, x 3...) Niv. 1 12 11 2 en substituant des nombres aux lettres ( a 2 + b 2, 3x 2 (B +b) h 13 12 7,, 1 2 a + 1 b, πr2 h...) Niv. 2 ı 3 14 13 - Élaboration d'expressions littérales à partir d énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d expressions verbales Niv. 2 ı 3 - Interprétation d expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes Niv. 2 ı 3 - Connaissance de la terminologie, écriture réduite et ordonnée de monômes à coefficients entiers, au plus trois indéterminées : degré 3 Niv. 2 degré 6 Niv. 3 - Opérations : addition, soustraction et multiplication de monômes et polynômes Niv. 2 ı 3 NO10.2 NOMBRES REELS 5 sem. 4 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre 15 14 16 15 17 16 18 17 19 - Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : fractionnaire (y compris simplification et amplification) dans de pourcentage de puissance a b, (a sous forme décimale dans + Niv. 1, dans Niv. 2 ı 3 ; b dans IN) de la notation scientifique a 10 n (n dans IN Niv. 1s, n dans Niv. 2 ı 3) de racine carrée et cubique dans IR + - Discernement des ensembles de nombres, découverte de quelques nombres irrationnels - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental, pour obtenir un résultat exact ou une estimation, avec nombres rationnels (positifs Niv. 1) sous forme décimale (+,,, :) et sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 1 ı 2; (+,,, :) Niv. 3 - Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des nombres rationnels : positifs sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 1 ı 2 sous forme fractionnaire (+,,, :) Niv. 3 - Exploration de situations aléatoires - Exploration de quelques systèmes de numération - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations ES10.2 REPRESENTATIONS DE SOLIDES 1.5 semaine - Reconnaissance, dénomination, description de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, 20 21 19 18 polyèdre ou non) : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide - Réalisation de développements et construction de solides : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre - Représentation de solides en perspective GM10.2 SOLIDES ET DIVERSES MESURES 3.5 semaines 21 19 - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles. 22 23 24 20 21 22 - Mesure des dimensions adéquates et calcul : du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits du volume et de l'aire du cylindre Niv. 2 ı 3 du volume d un solide (en le décomposant au besoin en solides simples) - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités : longueur, aire, volume, capacité masse, temps vitesse Niv. s - Sensibilisation aux aspects culturels et historiques de la mesure DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 17

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Semaines Niv. 1 Niv. 2 ı 3 FA10.2 EQUATIONS NIV. 2 ı 3 4 sem. 23 24 25 26 APPRENTISSAGES VISES - Résolution de problèmes nécessitant le recours à l algèbre - Traduction d une situation par une équation du premier degré à une inconnue - Résolution d équations du premier degré à une inconnue à l aide des règles d équivalence FA10.3 FONCTIONS ET DIAGRAMMES 6 sem. 25 26 27 28 29 30 4 sem. 27 28 29 30 - Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions - Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques - Représentation d une relation où interviennent deux grandeurs variables par : un tableau de valeurs une représentation graphique (à la main, à l aide d un tableur, d un grapheur, ) un ou plusieurs opérateurs (sous forme de «machine» ou d expression verbale) - Passage d'une représentation à une autre : de l'opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement de l expression fonctionnelle au tableau de valeurs et à la représentation graphique : x ab, x aax, x aax + b x aax 2 (a et b dans ) Niv. 2 ı 3 - Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de proportionnalité) : quantité / quantité (prix, poids, devises, ) agrandissement et réduction de figures échelle, pourcentage, pente - Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation de diagrammes - Réalisation de diagramme (cartésien, en colonnes, circulaire, en barre) - Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) ES10.3 TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES 2 semaines - Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale 31 32 31 32 - Description et identification des caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou de symétrie, conservation des grandeurs, ) - Anticipation de la position d une figure plane après une ou plusieurs isométries - Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries - Construction de l'image d'une figure plane par une isométrie (à l'aide des instruments ou de logiciels appropriés) : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale - Utilisation de systèmes de repérage pour communiquer des positions et des itinéraires, pour placer des points - Agrandissement et réduction de figures planes en utilisant la proportionnalité 18 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Mathématiques 11 e : proposition de répartition sur 32 semaines Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 NO11.1 NOMBRES REELS APPRENTISSAGES VISES 5 sem. 4 sem. 3 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 - Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : de la notation scientifique a 10 n (n dans IN, Niv. 1, n dans Niv. 2 ı 3) de racine carrée et cubique dans IIR + - Discernement des ensembles de nombres, découverte de quelques nombres irrationnels - Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division racines carrées (cubiques), y compris extraction d entiers (a et b dans IN) Niv. 3 : a b = a b, a b = a b, a2 b = a b - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres entiers relatifs de 100 à +100 (+,,, :) Niv. 1 nombres rationnels positifs sous forme décimale (+,,, :) Niv. 1 nombres rationnels sous forme décimale (+,,, :) Niv. 2 ı 3 nombres rationnels positifs sous forme fractionnaire (+,,, :) Niv. 2 - Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des nombres rationnels positifs sous forme fractionnaire (+,,, :) Niv. 1 ı 2 - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations ES11.1 FIGURES GEOMETRIQUES PLANES 1 sem. 2 semaines - Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s 6 5 6 4 5 interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de polygones réguliers - Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de : tangente, angle au centre d un cercle, angle inscrit dans un cercle, angles isométriques (opposés par le sommet, alternes-internes,...) Niv. 2s ı 3 cercle de Thalès Niv. 3 - Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l échelle (y compris l échelle 1:1) GM11.1 LIGNES ET SURFACES 7 8 9 3 semaines 7 8 9 6 7 8 - Comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles. - Mesure des dimensions adéquates et calcul : de la longueur d un arc de cercle et de l aire d un secteur circulaire Niv. 2 ı 3 du périmètre et de l aire d une surface par décomposition en figures simples - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d un triangle à partir de sa base et de son aire,...) - Utilisation du théorème de Pythagore - Utilisation de la proportionnalité des figures semblables et du théorème de Thalès Niv. 2 ı 3 NO11.2 NOMBRES REELS 10 11 2 semaines 10 11 9 10 - Exploration et traitement de situations aléatoires à l aide de notions de probabilités Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 19

Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 FA11.1 CALCUL LITTERAL 12 13 14 15 APPRENTISSAGES VISES 4 semaines - Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique 12 11 - Connaissance de la terminologie, écriture réduite et ordonnée de polynômes de degré 3 au plus trois indéterminées à coefficients entiers Niv. 2, rationnels Niv. 3 13 12 - Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale en substituant des nombres aux 14 13 lettres : 15 14 a 2 +b 2, 4(x + y + z), πr 2 h... Niv.1, 3x 2 (B +b) h 7,, 1 2 a + 1... Niv. 2 ı 3 b - Élaboration d'expressions littérales à partir d énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d expressions verbales - Interprétation d expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes Niv. 2 ı 3 - Opérations sur les polynômes : addition, réduction de monômes et polynômes du premier degré à une indéterminée et à coefficients entiers Niv. 1 addition, soustraction et multiplication de polynômes Niv. 2 ı 3 connaissance et utilisation d identités remarquables de degré 2 Niv. 2 ı 3 décomposition de polynômes en produit de facteurs Niv. 2 ı 3 - Utilisation du calcul littéral comme outil de preuve dans des cas simples Niv. 3 ES11.2 REPRESENTATIONS DE SOLIDES 16 17 2 semaines 16 17 15 16 - Reconnaissance, dénomination, description de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non) : cône, sphère - Réalisation de développements et construction de solides : cylindre Niv. 1 pyramide régulière Niv. 2 ı 3 - Représentation de solides en perspective GM11.2 SOLIDES ET DIVERSES MESURES 18 19 20 21 4 semaines 18 19 20 21 17 18 19 20 - Comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles. - Mesure des dimensions adéquates et calcul : du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits Niv. 1 du volume et de l'aire du cylindre Niv. 1 ; d une pyramide Niv. 2 ı 3 ; d une sphère Niv. 3 du volume d un cône Niv. 2 ı 3 du volume d un solide (en le décomposant au besoin en solides simples) - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues - Estimation de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités : volume, capacité, temps vitesse autres grandeurs (débit, masse volumique, ) Niv. 1s ı 2 ı 3 - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues - Sensibilisation aux aspects culturels et historiques de la mesure 20 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 FA11.2 EQUATIONS APPRENTISSAGES VISES 4 sem. 5 sem. 6 sem. - Résolution de problèmes nécessitant le recours à l algèbre 22 22 21 23 23 22 24 24 23 25 25 24 26 25 26 - Traduction d une situation par : une équation du premier degré à une inconnue un système d équations du premier degré à deux inconnues Niv. 3 une équation du deuxième degré à une inconnue Niv. 3 - Résolution : d une équation du premier degré à une inconnue à l aide des règles d équivalence d un système d équations du premier degré à deux inconnues à l aide des méthodes de combinaison linéaire et de substitution Niv. 3 d une équation du deuxième degré à une inconnue par factorisation ou à l aide de la formule de Viète Niv. 3 - Expression de chacune des variables d une formule connue en fonction des autres : d = vt ; A = bh 2 ; A = πr2, Niv. 2 ı 3 p = 2(a + b) ; A = (B +b) h 2 FA11.3 FONCTIONS ET DIAGRAMMES ; V = πr2 h 3 Niv. 3 5 sem. 4 semaines - Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions 26 27 28 29 30 27 28 29 30 27 28 29 30 - Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques - Représentation d une relation où interviennent deux grandeurs variables par : un tableau de valeurs une représentation graphique (à la main, à l aide d un tableur, d un grapheur, ) un ou plusieurs opérateurs (sous forme de «machine» ou d expression verbale) - Passage d'une représentation à une autre : de l opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement de l expression fonctionnelle au tableau de valeurs et à la représentation graphique : x ab, x aax, x aax + b, x aax 2 (a et b dans ) Niv. 1 x ab, x aax, x aax + b, x aax 2, x aa/x, x ax 3 (a et b dans ) Niv. 2 ı 3 x aax 2 + bx + c, x a x (a, b et c dans ) Niv. 3s de la représentation graphique à l expression fonctionnelle x ab, x aax, x aax + b (a et b dans ) Niv. 2 ı 3 - Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de proportionnalité) : échelle, pourcentage, pente, vitesse moyenne masse volumique Niv. 1s ı 2 ı 3 débit Niv. 2 ı 3 Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement - Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation de diagrammes - Réalisation de diagramme (cartésien, en colonnes, circulaire, en barre) - Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) ES11.3 TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES 31 32 2 semaines 31 32 31 32 - Description et identification des caractéristiques d'une : isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou de symétrie, conservation des grandeurs, ) homothétie (centre, rapport,...) Niv. 2 ı 3 similitude Niv. 3 - Anticipation de la position d une figure plane après une ou plusieurs isométries - Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries - Construction de l image d une figure plane : par une homothétie Niv. 2 ı 3 par une similitude Niv. 3 - Utilisation de systèmes de repérage pour communiquer positions et itinéraires, pour placer des points DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON 21

MATHÉMATIQUES 22 DIP GENÈVE 2011-2013 DOCUMENT DE LIAISON

Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Programme et activités Année scolaire 2013-2014 REPUBLIQUE ET CANTON DE GENEVE Enseignement Département de secondaire l'instruction I publique, Cycle d orientation de la culture et du sport Direction Enseignement générale secondaire Service I - de Cycle l enseignement d'orientation 23

Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES Profil Scientifique 10 e LS Développements en mathématiques : programme Modalités La période hebdomadaire de 10 e pour les élèves de section LS, profil S, intitulée «développements en mathématiques», ne doit pas reprendre des contenus des progressions qui concernent l ensemble des élèves de 10 e, section LS - ni anticiper sur ceux de 11 e. Ainsi, il serait opportun d aborder dans cette période des activités provenant d un domaine différent de celui étudié en même temps dans le cours de base. Elle est destinée à un enseignement qui contribue au renforcement et au développement des capacités et des compétences des élèves dans les stratégies de résolution de problèmes et les activités de situations mathématiques. Elle est donnée en effectif complet. Evaluation La période «développements en mathématiques» est évaluée au trimestre et sa note est combinée 50/50 avec celle du cours de «physique» profil pour constituer la note de profil S. La note trimestrielle doit résulter d au moins deux travaux notés. L évaluation annuelle portera au moins pour 2/3 sur la recherche et sa restitution - et donc pour au plus 1/3 sur les contenus. Programme Les activités proposées proviennent des trois domaines PER : - Nombres et opérations (NO) - Espace, et Grandeurs et mesures (ES & GM) - Fonctions et algèbre (FA) Les stratégies de résolution relèvent, dans chaque domaine, de : - L analogie (A) [cf. Aide-mémoire, p. 138] - Le tâtonnement essais, exemples, contre-exemples (T) [cf. Aide-mémoire, p. 138] - Le chaînage avant, respectivement arrière (CAv, CAr) [cf. Aide-mémoire, p. 139] - L étude systématique des cas et l exhaustivité des solutions (ES) [cf. Aide-mémoire, p. 140] - L initiation à la démonstration (ID) Les stratégies de résolution contribuent à la mise en place de : - La démarche scientifique - Les règles du débat scientifique La réserve d activités en annexe est disponible en ligne sur le portail des maths, un certain nombre d entre elles étant accompagnées d une proposition de grille d évaluation. D autres activités sont également disponibles en ligne : celles élaborées au cours des demi-journées d étude du groupe de mathématiques et celles proposées par des enseignants-e-s dans l espace d échange qui leur est réservé sur le site. 24

Proposition de cheminement 2 e trimestre 1 er trimestre Problèmes simples - Mise en place de la narration de recherche Commentaire L évaluation porte plus sur la forme que sur le fond Initiation à la démarche et aux règles du débat scientifique Domaines Surtout NO - ES & GM Stratégies Surtout A - T - ES Problèmes plus complexes Commentaire L évaluation porte sur la forme et sur le fond La démarche scientifique et le respect des règles du débat scientifique sont également pris en compte Domaines NO et ES & GM / FA dès que le domaine a été repris dans le cours Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Stratégies A - T - ES / Progressivement CAv, CAr & ID 3 e trimestre Commentaire Domaines Problèmes complexes L évaluation porte sur tous les aspects de la recherche. NO - ES & GM - FA Stratégies A - T - ES - CAv, CAr - ID / Accent sur CAv, CAr - ID Répartition des activités proposées (voir annexe 1 : Activités) NO ES & GM FA Initiation à la démonstration NO1 - NO2 - NO2bis NO5 - NO6 - NO7 N9 - NO10 - NO11 NO12 - NO14- NO16 NO18 - NO22 - NO23 ES2 - ES4 - ES5 ES6 - ES12 - ES13 ES16 FA1 - FA2 FA4 FA5 - FA7 - FA8 FA9 - FA10 Chaînage avant / arrière ES1 - ES3 - ES7 ES8 - ES9 - ES10 ES11 - ES14 - ES15 ES17 - ES18 FA3 - FA12 Exemples / contreexemples NO1 - NO2 - NO2bis NO3 FA1 - FA2 - FA8 FA10 Exhaustivité NO4 - NO4bis - NO8 NO13 - NO15 - NO17 NO19 - NO20 - NO21 FA6 - FA11 25

Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES «Une réponse à un problème est un peu comme le but convenu d une promenade : il en faut bien un, mais le véritable intérêt réside dans la promenade elle-même.» Profil Scientifique 10 e LS Développements en mathématiques : introduction Jean-Yves Girard Les «visées prioritaires» du domaine Mathématiques et Sciences de la nature mettent la démarche d investigation et la résolution de problèmes au cœur de l activité mathématique. Mais : «Faire des mathématiques, c est se poser et résoudre des problèmes. La résolution de problèmes nécessite - condition nécessaire mais pas suffisante - l acquisition d automatismes. Ainsi, apprendre des mathématiques, ce n est pas seulement résoudre des problèmes, mais c est également passer par des exercices réguliers d entraînement et de consolidation afin d automatiser certains savoirs et savoir-faire.» Michel Mante Compte tenu d un plan d études chargé, la partie «appropriation, entraînement et consolidation des concepts, des savoirs et savoir-faire», occupe l essentiel des heures régulièrement attribuées aux mathématiques. Malgré la bonne volonté des enseignant-e-s, la partie «résolution de problèmes», notamment l activité de recherche reste bien souvent le parent pauvre de l enseignement des mathématiques. L attribution d une période supplémentaire dans le cursus des élèves de 10 e, section Littéraire et Scientifique (LS), profil Scientifique (S), a pour vocation de permettre à ces élèves d apprendre et de se familiariser avec cette partie importante de l activité mathématique. L objectif n est pas simplement de résoudre des problèmes «un par un», mais aussi de découvrir et systématiser des méthodes de recherche de problème. En particulier, le but est de placer l élève dans une situation d apprentissage où il ou elle devra mettre en œuvre une «démarche scientifique», c est-à-dire qui l amène à : essayer - conjecturer - tester - prouver Ce pan de l activité mathématique consiste donc en la pratique du problème ouvert*. Il s agit d une situation d enseignement qui place l élève dans la situation la plus typique de l activité mathématique, celle d affronter un problème dont l énoncé le ou la place, toutes proportions gardées, dans la position d un-e mathématicien-ne confronté-e à un problème dont il ou elle ne connaît pas la solution. L accent peut alors être porté : soit sur l activité de résolution elle-même, ce qui conduit au problème ouvert, soit sur la construction de connaissances - ou de stratégies - nécessaires à la résolution d une catégorie de problèmes, ce qui conduit à la situation-problème. Philippe Dubath et Rami Mouhssine, juin 2012 * NB : nous entendons «problème ouvert» dans son sens didactique et pas forcément au sens mathématique de «problème qui n a pas de solution connue dans la communauté scientifique». 26

Le problème ouvert Tout-e enseignant-e propose des activités à ses élèves : des exercices d application pour les entraîner à faire fonctionner une notion mathématique, des activités pour leur faire découvrir des notions mathématiques nouvelles, des tests pour les évaluer,... A priori, la plupart de ces activités ne sont pas des problèmes au sens de ce qui est entendu ici. L objectif des exercices d application est d entraîner les élèves à appliquer une procédure et non à l élaborer ou à la choisir. La plupart des activités destinées à permettre aux élèves de découvrir une notion nouvelle sont souvent constituées d une suite de questions qui guident l élève vers la notion - sauf dans le cas des situations-problèmes. Et les tests sont essentiellement constitués d exercices, non de problèmes. Selon une définition proposée par un groupe de l IREM de Lyon, un «problème ouvert» possède les caractéristiques suivantes : l énoncé est court. l énoncé n induit ni la méthode, ni la solution ; la solution ne doit pas se réduire à l utilisation ou l application immédiate des derniers résultats présentés en cours... le problème doit se trouver dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité ; ils et elles peuvent ainsi prendre facilement «possession» de la situation et s engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement La résolution d un problème procède d une série d étapes explicitées dans l Aide-mémoire des élèves (partie RS) : 1. Appropriation de l énoncé : «comprendre le problème pour en identifier le but» Lors de cette étape, l enseignant-e doit s assurer que tou-te-s les élèves sont entré-e-s dans la problématique, c est-à-dire qu ils et elles sont capables de se construire une représentation correcte des données, des contraintes et du but à atteindre. Le cas échéant, il ou elle répond aux questions, reformule - ou fait reformuler - l énoncé. 2. Traitement des données : «concevoir un plan», puis «mettre le plan à exécution» et «revenir sur la solution» Cette étape correspond au travail de recherche et de résolution proprement dit. Elle peut être partagée en un temps - relativement court - de recherche individuelle, suivi d un deuxième temps de travail en groupe. Pendant la phase de recherche individuelle, l enseignant-e peut vérifier que chaque élève a réellement lu l énoncé, l a au moins en partie assimilé, et que, pendant le travail de groupe, il ou elle ne se contentera pas de suivre les seules idées de celui ou celle qui parle en premier. Le travail en groupe permet d éviter le découragement de certain-e-s élèves, de stimuler la confrontation d idées entre élèves, et d apprendre aux élèves à collaborer, à s écouter, à défendre leur point de vue, à respecter l avis de l autre. 3. Communication des recherches et du résultat : «mettre en forme les résultats pour que quiconque puisse comprendre le travail effectué» Lors de cette étape, l élève doit rendre compte de toute la résolution du problème, aussi bien de la phase individuelle que du travail de groupe. Si l enseignant-e demande à chaque élève un tel compte-rendu, il ou elle peut l évaluer et disposer ainsi d un premier élément d évaluation du travail de recherche de l élève. 27