Classe de TS2 pour le 4 novembre 20 Exercice : A - Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur R par : Correction-Devoir maison n 8 f(x) = (x+)e x. On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O; ı ; j ) du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.. Cette question demande le développement d une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Étudier les variations de la fonction f. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible. La fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables. Soit x R, f (x) = e x +(x+) ( e x ) = xe x. On obtient le tableau ci-dessous : x 0 + e x + + x + 0 f (x) + 0 f(x) 2. Tracer la courbe (C). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment. 3 2 j -3-2 - O ı 2 3 - -2-3 page / 5
B - Étude d une famille de fonctions Pour tout entier relatif, on note f la fonction définie sur R par : f (x) = (x+)e x. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan. On remarque que le cas = a été traité dans la partie B, car on a f = f et C = C.. a) Quelle est la nature de la fonction f 0? La fonction f 0 est égale à la fonction x x+ donc c est une fonction affine. b) Déterminer les points d intersection des courbes C 0 et C. Pour déterminer les abscisses des points d intersection il suffit de résoudre l équation f 0 (x) = f (x). On a f 0 (x) = f (x) x+ = (x+)e x (x+)(e x ) = 0 x+ = 0 ou e x = x = ou x = 0 Comme f 0 ( ) = 0 et f 0 (0) = on en déduit que les points d intersection des courbes C 0 et C ont pour coordonnées ( ;0) et (0;). Vérifier que, pour tout entier, ces points appartiennent à la courbe C. Soit N, f ( ) = ( +)e = 0 et f (0) = (0+)e 0 = donc les deux points de coordonnées ( ;0) et (0;) appartiennent à chaque courbe C. 2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l expression : (x+)(ex ). On a le tableau ci-dessous : x 0 + x+ 0 + + e x 0 + (x+)(e x ) + 0 0 + En déduire, pour entier relatif donné, les positions relatives des courbes C et C +. La position relative des courbes C + et C est donnée par la différence f + (x) f (x). On a f + (x) f (x) = (x+)e (+)x (x+)e x = e x (x+)(e x ). Pour tout réel x, e x > 0, donc on en déduit que f + (x) f (x) a le même signe que (x+)(e x ) et donc on obtient le tableau de signes suivant en utilisant la question précédente : x 0 + f + (x) f (x) + 0 0 + Par conséquent, la courbe C + est au dessus de C sur ] ; ] et sur [0;+ [. Par contre, la courbe C + est en dessous de C sur [ ;0]. 3. Calculer f (x) pour tout réel x et pour tout entier non nul. Pour tout réel x, f (x) = ex +(x+) (e x ) = (x++)e x. En déduire le sens de variation de la fonction f suivant les valeurs de. (On distinguera les cas : > 0 et < 0.) La dérivée f (x) a le même signe que x++. Si > 0, page 2/ 5
x + + f (x) 0 + Dans ce cas, la fonction f est strictement décroissante sur ] ; + ] et strictement croissante sur [ + ;+ [. Si < 0, x + + f (x) + 0 Dans ce cas, la fonction f est strictement croissante sur ] ; + ] et strictement décroissante sur [ + ;+ [. 4. Le graphique suivant représente quatre courbes E, F, H, et K, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre, parmi les entiers, 3, et 2. Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse. Les courbes E et F correspondent à des valeurs de négatives car pour ces deux courbes, la fonction est croissante puis décroissante. Pour la courbe E le maximum est atteint en 0 donc cela correspond à =. Donc la courbe F correspond à = 3. La courbe H correspond à une fonction f dont le minimum est atteint pour x = 2 graphiquement; cela correspond à = (en résolvant l équation + = 2). Par élimination on en déduit que la courbe K correspond à = 2. page 3/ 5
K H K H F E E F Exercice 2 : Déterminerl uniquefonctionf dérivablesurrsolutionde l équationdifférentielle2y +4y = 0 et vérifiant 2f(0) 4f (0) =. 2y +4y = 0 est équivalent à y = 2y. Par conséquent, la fonction f est de la forme Ce 2x. De plus, 2f(0) 4f (0) = 2Ce 0 4 C( 2e 0 ) = 0C On en déduit C = et donc pour tout 0 réel x, f(x) = 0 e 2x. Exercice 3 :. Donner en langage naturel, un algorithme permettant d obtenir la forme algébrique du produit de deux nombres complexes. L utilisateur saisira la partie réelle et la partie imaginaire d un nombre complexe z; il effectuera la même opération pour un deuxième nombre complexe z et l algorithme retournera deux valeurs : la partie réelle de zz et la partie imaginaire de zz. Variables : re : nombre (partie réelle du nombre z) page 4/ 5
im : nombre (partie imaginaire de nombre z) re2 : nombre (partie réelle du nombre z ) im2 : nombre (partie imaginaire de nombre z ) re : nombre (partie réelle du nombre zz ) im : nombre (partie imaginaire de nombre zz ) Entrées : Saisir re Saisir im Saisir re2 Saisir im2 Traitement : Attribuer à re la valeur re re2 im im2 Attribuer à im la valeur re im2+re2 im Sorties : Afficher re Afficher im 2. Donner le programme Python correspondant à cet algorithme. re=input() im=input() re2=input() im2=input() re=re*re2-im*im2 im=re*im2+re2*im print re print im page 5/ 5