Corrigé du devoir maison des vacances de Toussaint APpage 60 Etudier le signe d'une expression. Signe d'une fonction affine ou d'un polynôme du second degré Pour une fonction affine de la forme f ( x )=mx+ p on résout l'équation mx+ p=0 : mx+ p=0 x= p m on précise le signe de m puis on conclut en construisant le tableau de signes Pour une fonction polynôme du second degré de la forme f ( x )=ax 2 +bx+c On détermine ses éventuelles racines ( en calculant le discriminant si nécessaire) On précise le signe de a puis on conclut en construisant le tableau de signes, si nécessaire. Remarques : )Dans le cas où le trinôme est incomplet ( b=0 ou c=0 ), le calcul de Δ n'est pas nécessaire. 2)Dans le cas où Δ<0 ou Δ=0, le tableau de signes ne s'impose pas. 2. Signe d'une fonction polynôme ou rationnelle a) signe de ( x+) ( x 2 +6 x ) On étudie séparément les racines de chaque facteur : x+=0 x= x 2 +6 x=0 x (x+6)=0 x=0 ou x= 6 x 6 0 Comme >0 signe de x + 0 + + Comme >0 signe de x 2 +6x + 0 0 + signe du produit 0 + 0 0 + b) signe de x+4 x+3 : Cette expression n'est définie que pour x 3 x R 3 Comme >0 signe de x + 4 0 + + Comme -<0 signe de f ' ( x )=3 x 2 + + 0 signe du quotient 0 + 2x c) signe de x 2 +4x+ Le trinôme au dénominateur a un discriminant égal à 20, il admet donc deux racines réelles distinctes : x = 4 20 =2+ 5 et x 2 = 4+ 20 =2 5 2 2 Ce sont les deux valeurs interdites de l'expression initiale x 2 5 0 2+ 5 Comme 2>0 signe de 2 x 0 + + Comme -<0 signe de x 2 +4 x+ signe du quotient 0 + + 0 + 0 +
d) signe de ( x 2 +8)( x ) Pour tout x réel, x 2 +8>0, donc le produit est toujours du signe de x e) signe de ( x+2) ( x+6) 3 2 x x + signe du 0 + produit Le numérateur s'annule en x= 2 et x=6 et est strictement négatif en dehors de ses racines ( le coefficient devant x 2 de sa forme développée est négatif ) Le dénominateur est une fonction affine décroissante qui s'annule en x= 3 2 ( la valeur interdite ) x -2 3 2 6 signe du numérateur 0 + + 0 signe du dénominateur + + 0 signe du quotient 0 + 0 + 3. Position d'une courbe par rapport à une tangente f est une fonction polynôme donc elle est définie, continue et dérivable sur R Pour tout x réel, f ' ( x )=3 x 2 T la tangente à C f, au point A d'abscisse, a pour équation y= f ' () ( x )+ f () f ()= 3 =0, f ' ()=3 2 =2 et donc T a pour équation y=2( x ) Contrôle graphique T est bien la tangente de C f au point A car au voisinage du point A, C f et T sont confondues. Pour étudier la position de C f par rapport à sa tangente T, on étudie le signe de la différence des fonction associées f ( x ) 2 ( x ) = x 3 x 2 ( x ) = x ( x 2 ) 2( x ) = x (x ) (x+) 2 (x ) = ( x ) ( x ( x+) 2) = ( x ) ( x 2 + x 2) = ( x ) ( x ) ( x+2) ( x ) 2 >0 pour tout x donc la différence f ( x ) 2 ( x ) est du signe de x+2 sauf en x= où elle s'annule. x -2 signe de x+ 2 0 + + signe de ( x ) 2 + + 0 + signe de f ( x ) 2 ( x ) 0 + 0 + Interprétation graphique du résultat précédent f ( x )<2 ( x ) quand x ]- ;-2[ donc C f est en dessous de T, au sens strict, sur ] ; 2[ f ( x ) 2 ( x )=0 quand x= 2 et x=, donc C f et T ont deux points communs d'abscisses-2 et f ( x )>2 ( x ) quand x ] 2 ; [ ] ;+ [ donc C f est au dessus de T, au sens strict, sur ] 2;[ et sur ];+ [
AP2 page 60 Signe d'une expression avec racine carrée Signe de x x+ pour x x+=0 quand x= et sinon pour tout x>, x+>0, donc x+>0 Le produit x x+ est du signe de x, sauf en x= où x+=0 x - 0 signe de x 0 + signe de x+ 0 + + signe du produit 0 0 + Signe de x+3 x 6 pour x 6 Pour tout x 6, { x+3 9 x 6 0, donc { x+3 9>0 x 6 0 L'inégalité 3> 6 étant toujours vérifiée, on peut conclure que : d'où : x+3 x 6>0 x+3> x 6 x+3>x 6 3> 6 Pour tout x 6, x+3 x 6>0 Le tableau de signe n'est pas nécessaire Remarque : Une autre méthode était envisageable Pour x 6, x+3 x 6 = ( x+3 x 6) = x+3 ( x 6) = 9 Pour tout x 6, le dénominateur est>0 donc l'expression est du signe de 9, càd toujours >0. Signe de 4 x x+2 pour 2< x<4 0<4 x<6 Pour tout 2< x<4, { 0< x+2<6, donc { 0< 4 x< 6 0< x+2< 6 d'où 4 x x+2 >0 4 x > x+2 4 x< x+2 4 x< x+2 2<2x <x x 2 4 signe de l'expression 0 +
AP3 page 6 Travailler la rédaction Soit f fonction polynôme de degré 3 définie sur [ 4; 4] par f ( x )=2 x 3 3 x 2 2 x+2 f est continue et dérivable sur [ 4; 4],et pour tout x de [ 4; 4], f ' ( x )=6 x 2 6 x 2 Posons a=6,b= 6 et c= 2, Δ=b 2 4a c=324 f ' ( x ) admet deux racines réelles distinctes : x = 6 324 = et x 2 2 = 6 324 =2 2 Comme a>0, f ' ( x ) est strictement positif à l'extérieur de ses racines, d'où le tbl de var de f : x 4-2 4 signe de f '(x) + + Variations de 9 34 f -26-8 Sur chacun des intervalles suivants [ 4; ], [ ; 2] et [ 2; 4], f est continue, strictement monotone et change de signe donc 0 est une valeur prise par f exactement une fois sur ces trois intervalles. Conclusion : l'équation f ( x )=0 admet exactement trois solutions. AP4 page 6 Des problèmes de tangentes. Le point sur les connaissances a) f ' (a ) est le coefficient directeur de T la tangente à C f au point A d'abscisse a b) T a pour équation y= f ' (a) ( x a)+ f (a) c) Le vecteur u ( est un vecteur directeur de T f ' (a)) 2. Trois types de problèmes de tangentes Soit f fonction dérivable sur R définie par f ( x )=x 3 3x+ Existe-t-il des tangentes à C f passant par le point P de coordonnées (2;-5)? Soit A un point quelconque de C f d'abscisse a Comme f est dérivable sur R, C f admet une tangente non verticale en A d'équation y= f ' (a) ( x a)+ f (a) P T A y P = f ' (a ) (x P a )+ f (a ) 5=(3a 2 3)(2 a )+a 3 3a+ 5=6a 2 3 a 3 6+3a+a 3 3a+ On obtient une équation d'inconnue a qui se simplifie très bien P T A 6a 2 2a 3 =0 a 2 (6 2 a)=0 a=0 ou a=3 P est un point d'exactement deux tangentes à C f, au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse 3 Existe-t-il des tangentes à C f parallèles à la droite d'équation y=3 x? Soit A un point quelconque de C f d'abscisse a Comme f est dérivable sur R, C f admet une tangente non verticale en A d'équation y= f ' (a) ( x a)+ f (a) T A est parallèle à la droite d'équation y=3 x si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. f ' (a )=3 3a 2 3=3 3a 2 =6 a 2 =2 a=± 2
Il y a exactement deux tangentes à C f parallèles à la droite d'équation y=3x : la tangente à C f au point d'abscisse 2 et celle au point d'abscisse 2. Existe-t-il des tangentes à C f perpendiculaires à la droite d'équation y= 2x 2? Soit A un point quelconque de C f d'abscisse a Comme f est dérivable sur R, C f admet une tangente non verticale en A d'équation y= f ' (a) ( x a)+ f (a) T A est perpendiculaire à la droite d'équation y= 2x 2 si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux,càd de produit scalaire nul. T A a pour vecteur directeur u ( f ' (a )) et d' a pour vecteur directeur v ( 2) u. v=0 2 f ' (a)=0 6a 2 +6=0 6 a 2 =7 a=± 7 6 Il y a exactement deux tangentes à C f perpendiculaires à la droite d'équation y= 2x 2 : la tangente à C f au point d'abscisse 7 6 et celle au point d'abscisse 7 6. AP5 page 62 Fonctions continues à dérivées discontinues La fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est continue sur R mais n'est dérivable que sur R *. Elle n'est pas dérivable en 0 ( f ' (0) n'existe pas ) Si on note τ 0 (h) le taux d'accroissement de la fonction valeur absolue entre 0 et 0+h, avec h 0 Pour h>0, τ 0 (h)= et pour h<0, τ 0 (h)= Donc lim h 0 τ 0 (h) n'existe pas mais lim h 0 h>0 τ 0 (h)= et lim h 0 h <0 τ 0 (h)= La fonction valeur absolue est dite dérivable à gauche et à droite en 0 mais non dérivable en 0 C f admet deux demi-tangentes au point d'abscisse 0 f ( x )= x = { x si x 0 x si x<0 et f ' ( x )= { si x>0 si x<0 f ' n'est évidemment pas continue sur R, vu que elle n'est pas définie en 0. Exemple de fonction définie par morceaux,continue sur R mais de dérivée discontinue h ( x )= { 2 x 2 si x x 2 2 x+2 si x> h est continue sur ] ; ] et sur ] ;+ [, mais pour affirmer qu'elle est continue sur R, il faut que les deux morceaux de courbes se raccordent au point d'abscisse. On sait que h ()=2 2 = Pour tout x>,h(x )=x 2 2 x+2, donc lim h ( x )==h () x> En conclusion, h est continue en et donc sur R Par lecture graphique, on peut conjecturer que h est dérivable en tout réel différent de. Quel est le problème en?
On constate l'existence de deux demi-tangentes au point d'abscisse Soit A le point de C h d'abscisse. h()=, donc A a pour coordonnées (;) Soit M un point de C h distinct de A, donc M a une abscisse x, x, et une ordonnée égale à h(x). On s'intéresse à m (x ) l'expression, en fonction de x, du coefficient directeur de la droite (AM) er cas : x< h (x ) h() Pour tout x< h ( x )=2 x 2 donc m ( x)= x Pour tout x<,m ( x )= x, donc lim m ( x )= 2 x< 2eme cas : x> Pour tout x>, h ( x )= x 2 h (x ) h() 2x+2 donc m ( x)= x Pour tout x>,m ( x )= x, donc lim m (x )=0 x x> = 2 x 2 = x x2 ( x ) (+x ) = = (+ x ) x x = x 2 2 x+2 = x2 2 x+ = ( x )2 x x x =x m(x) représente graphiquement le coefficient directeur de la droite (AM) mais c'est aussi le taux d'accroissement de la fonction h entre et x, avec x Donc lim m ( x ) n'existe pas mais lim x x> m ( x )=0 et lim m ( x )= 2 x< La fonction h est dite dérivable à gauche et à droite en mais non dérivable en C h admet deux demi-tangentes au point d'abscisse Un problème de raccord { x si x 0 g ( x)= ax 2 +bx+c si 0<x<5 2x 7,5 si x 5 g est continue sur ] ; 0], sur ]0;5[ et sur [5 ;+ [, mais pour affirmer qu'elle est continue sur R, il faut que les trois morceaux de courbes se raccordent aux points d'abscisses 0 et 5. On sait que g (0)=0 Pour tout x ]0;5[, g ( x )=ax 2 +bx+c, donc lim g ( x )=c x>0 g est continue en 0 si et seulement si c=0 On sait que g (5)=2,5 Pour tout x ]0 ;5[, g ( x )=ax 2 +bx+c, donc lim g ( x )=a 5 2 +b 5+c=25 a+5b+c x 5 x<5 g est continue en 5 si et seulement si 25a+5b+c=2,5 En conclusion, g est continue sur R si et seulement si { c=0 25 a+5 b+c=2,5 g est dérivable sur ] ; 0[, sur ]0;5[ et sur ]5;+ [, mais pour affirmer qu'elle est dérivable sur R, il faut que g soit continue sur R et en plus dérivable en 0 et en 5, autrement dit :
lim x 5 lim g ( x ) g (5) g (x ) g (0) existe-t-elle? A-t-on lim x 5 x>5 existe-t-elle? A-t-on lim x>0 g ( x) g (5) g (x ) g (0) Pour la suite, on a besoin de nommer les trois fonctions auxiliaires : Posons u ( x)= x, v ( x)=ax 2 +bx+c et w ( x )=2x 7,5. Ces 3 fonctions sont dérivable sur R. Dérivabilité en 0 : Pour tout x 0, g ( x )=u ( x ), donc lim x<0 Pour tout x>0, g ( x )=v ( x ) donc lim x 0 x>0 g ( x) g (0) g ( x ) g (0) =u ' (0)= =v ' (0)=b = lim x 5 x<5 = lim x 0 x<0 g ( x ) g (5) g ( x ) g (0)?? La fonction g est dérivable en 0 si et seulement si b=. Dérivabilité en 5 : Pour tout x<5, g ( x)=v ( x ) donc lim x 5 x<5 Pour tout x 5, g ( x)=w (x ) g ( x) g (5) donc lim x 5 x>5 =v' (5)=0a+b g (x ) g (5) =2 La fonction g est dérivable en 5 si et seulement si 0a+b=2. {c=0 25 a+5b+c=2,5 En conclusion, g est continue et dérivable sur R si et seulement si b= 0 a+b=2 La deuxième équation du système n'est pas utile pour déterminer (a ;b; c) mais pour contrôler que que ce système admet bien un triplet solution On trouve c=0, b= et a=0, 3 puis on contrôle : 25 a+5 b+c=7, 5 5=2, 5 En conclusion, g est continue et dérivable sur R si pour tout x ]0;5[, g ( x)=0,3 x 2 x