Autres applications de l équation de Schrödinger Pour chaque système physique, le potentiel, V (~r), détermine la forme de l équation de Schrödinger Le puits infini est le cas le plus simple L oscillateur harmonique: - Un oscillateur harmonique classique; par exemple une masse attaché à un resort F (x) = kx = m d2 x = grad V (x) dt2 Solution générale: x(t) =A sin!t + B cos!t avec! = r k m 1
- L énergie potentielle: V (x) = 1 2 kx2 = 1 2 m!2 x 2 - L énergie cinétique: E cin = p2 2m = m 2 2 dx dt - L énergie totale: E tot = E cin + V (x) = const. Echange entre énergies potentielle et cinétique 2
- L oscillateur harmonique quantique: V (x) = 1 2 m!2 x 2 -> L éq. de Schrödinger: ~ 2 d 2 (x) 2m dx 2 + 1 2 m!2 x 2 (x) =E (x) La méthode pour le résoudre, sera vu à MQ-L3 - Les solutions avec les énergies les plus basses: 0(x) = 1(x) = 3(x) = m! 1/4 m! exp ~ 2~ x2 m! r 1/4 2m! m! ~ ~ x exp 2~ x2 m! 1/4 1 2m! m! p2 ~ ~ x2 1 exp 2~ x2 - Les énergies correspondantes: E 0 = 1 2 ~! ; E 1 = 3 2 ~! ; E 2 = 5 ~! ;... 2 E n = ~! n + 1 2 3
Note: L énergie du niveau fondamental: E 0 = 1 2 ~! > 0!!!!!! 4
Comparaison: oscillateur harmonique puits infinie - Oscillateur harmonique: * E n = ~! n + 1 2 * Les énergies sont équidistantes (prop. à n) * Parabole plus raide -> ω plus grand -> énergies plus séparées - Puits infini: * E n = n 2 2 ~ 2 2ma * Les énergies ne sont pas équidistantes (prop. à n 2 ) * puits plus large (a plus grande) -> énergies moins séparées et si a!1 -> la séparation tende vers zéro -> particule libre! 5
6 LectureNotes
Particule libre V(x) = 0 partout! - Dans la mécanique classique: simplement une particule de vitesse constante - Mécanique quantique: beaucoup plus compliqué L éq. de Schrödinger: ~ 2 2m d 2 (x) dx 2 = E (x) p 2mE où d2 (x) dx 2 = k 2 (x), avec k Similarités avec le cas du puits infini, mais sans conditions limites - Solution générale: (x) =Ae ikx + Be ikx - Il n y a pas de quantification -> toutes les valeurs de E sont permises - Si on ajoute la dépendance du temps: (e i Et ~ ) ~k ik(x (x, t) =Ae 2m t) + Be ~ ik(x ~k 2m t) - Cela représente deux ondes, une qui se propage vers la droite et une autre vers la gauche - Si nous acceptons k négatif: p 2mE k = ± ~ 7
k > 0, onde vers la droite k < 0, onde vers la gauche et on a: ~k2 i(kx (x, t) =Ae 2m t) Alors, les états stationnaires d une particule libre sont des ondes progressives - Quantité de mouvement: p = ~k Paquet d onde - Considérons la norme de (x, t) Z 1 1 dx = A 2 Z 1 1 dx = A 2 1!! - Une fonction d onde qui n est pas normalisable -> des particules libres avec énergies bien définies n existent pas! - Pour exprimer une vraie particule, nous devons prendre une superposition continue de plusieurs ondes, avec une distribution de valeurs de k (x, t) = 1 p 2 Z 1 1 ~k2 i(kx (k)e 2m t) dk Note: c est une intégrale sur k -> distribution d énergies (et de fréquences) 8
Dans l espace de k: Dans l espace réelle: 9
Etats liés et états non-liés - Puits infini et oscillateur harmonique * État stationnaire normalisable * Distribution discrète d énergies, avec index n * État lié - Particule libre: * État stationnaire non-normalisable * Distribution continue d énergies, avec variable k * État non-lié - Plus généralement: E<{V ( 1) et V (+1)} ) état lié E>{V ( 1) et V (+1)} ) état non-lié Par exemple, un puits fini: 10
Marche de potentiel V (x) = 0 si x<0 V 0 si x>0 1: On cherche des solutions locales, dans les deux régions 2: Après, on fait le lien avec les conditions aux bords Région I, x < 0 ~ 2 d 2 (x) 2m dx 2 = E (x) ) ) 00 (x)+ 2mE (x) =0 ~ 2 solution générale: I(x) =Ae ikx + Be ikx p 2mE où k = ~ superposition d ondes contra-propageantes 11
Région II, x > 0 ~ 2 d 2 (x) 2m dx 2 + V 0 (x) =E (x) ) ) 00 (x)+ 2m(E V 0) ~ 2 (x) =0 solution générale: II(x) =Ce Kx + De Kx où K = p 2m(V0 E) ~ La terme Ce Kx!1 et n est pas normalisable ) II (x) =De Kx décroît de manière exponentielle La solution dans région I peut être définie avec un coefficient arbitraire (ça change simplement l amplitude de l onde incidente) -> On peut poser A = 1 12
Conditions limites * (x) continue partout * d (x) dx = 0 (x) aussi continu partout (seul exception quand V (x) =1 ) x = 0 : V (x) = ) 1+B = D ou V (x) = I(0) = II (0) 0 I (0) = II 0 (0) (0 )= (0 + ) 0 (0 )= 0 (0 + ) et ik ikb = KD ) ik(1 B) = KDfff ) 1+B = i k (1 B) K ) B = 1+ik K 1 i k K 2ik ) D = K ik = K +ik K ik On note que B =1 ) B =e i' I(x) = e ikx +e i' e ikx 2ik II(x) = K ik e Kx - À gauche: une onde incidente et une onde réfléchie - À droite, décroissance exponentielle. Pas de propagation 13