Spé ψ 009-00 Devoir n 8 OPTIQUE Banque PT 008 Partie I I- Un rayon incident parallèle à l axe optique sort de L en passant par le foyer image F de cette lentille Ce point est confondu avec le foyer objet F de la lentille L Par définition de ce foyer, tout rayon passant par ce point ressort de L en étant parallèle à l axe optique Le système est afocal On a donc le schéma ci-contre : I- Un rayon parallèle au rayon incident donné mais passant par le centre O de la lentille L n est pas dévié Les deux incidents sont parallèles entre eux donc ils convergent au point B du plan focal image de L On trace le rayon parallèle passant par O, il n est pas dévié par L Les deux rayons convergent alors au point B du plan focal image emarque : Comme B est dans le plan focal objet de L, tous les rayons passant par B sortent parallèlement entre eux On trace le rayon B O qui n est pas dévié Le rayon émergent cherché est parallèle à ce rayon après la lentille L tan I-3 Dans le triangle O F B, on a ( F ' B ( α ' = OF' F ' B tan F ' B α = Dans le triangle O F B, on a OF' = Dans les conditions de Gauss, les angles sont voisins de zéro donc OF tan( α α et tan( α α On en déduit G = α /α = O F / O F Comme α et α sont de sens contraires, on obtient algébriquement G = f'/ f' AN G = 50/ = 5 I-4-a On reprend le schéma précédent en traçant les rayons passant par les bords de L P F O On constate que certains rayons ne traversent O pas L car < Ce sont en premiers les rayons B voisins du point P P Cela entraîne que l éclairement en bordure de L sera moins grand qu au centre : c est le phénomène de vignettage représenté ci-contre : b D après le schéma ci-dessous, l angle α limite tel que le rayon passant par P traverse L vérifie α tan( α = F B / O F On note A le point d intersection de ce rayon P F' B F avec l axe optique Comme =, il vient α AF ' OA A F ' B = OA F O ( ' OA α O F F F O F F O F F O α B F α F F α F F O F O P B B F Spé ψ 009-00 page /6 Devoirn 8
Or on peut écrire OO = OA + AO avec OA = OA et OO = f' + f' puisque le système est afocal Il vient donc f' + f' = AO + puis en reportant f' ( + / f' f' / f ' f' F' B = = Il vient alors α = f' + f' f' + f' f' ( f' + f' On remarque que cela n est possible que si > f /f Il est facile de voir que si = f /f, le rayon parallèle à l axe optique passant par P passe par le bord de L avant de sortir parallèle à l axe optique On a bien α = 0 dans ce cas Partie II II--a Les étoiles sont des systèmes physiquement séparés Elles constituent donc des source de lumières incohérentes Les étoiles sont à l infini donc leur image géométrique est dans le plan focal image de L Comme les source sont incohérentes, l éclairement est la somme des éclairements dus à chaque source séparée b La différence de marche en M des rayons issus de S passant par A et A est M SAM SAM = SA + AM SA AM ( = ( ( ( ( ( ( ( M ( SA ( SA = est la différence de marche avant les fentes On a une onde incidente plane donc (M = HA (en prenant n = pour l indice de l air Il vient HA = e sin(ε/ Comme les étoiles sont très voisines, l angle ε est petit donc M = e ε / sin(ε/ ε/ au deuxième près et il reste ( ( M ( AM ( AM = est la différence de marche après les fentes Sur le schéma, on a écarté la lentille pour voir mieux Puisque on observe dans le plan focal image de la lentille, les rayons concernés sont parallèles avant celle-ci La lentille n introduit pas de différence de marche On a donc (M = e sin(θ avec tan(θ = x/f Comme la lentille fonctionne dans les conditions de Gauss, l angle θ est très petit et l on peut faire les développements limités M = e x/ f ' sin(θ θ et tan(θ θ donc il reste ( La différence de marche totale est alors ( M e( x/ f ' = ε/+ On remarque qu elle ne dépend pas de y Les franges d interférences sont donc rectilignes dans la direction y et l on peut utiliser des fentes (parallèles à Oy au lieu de trous ponctuels sur l écran c Les deux fentes A et A constituent des sources secondaires cohérentes Avec une seule étoile comme source, on a donc un phénomène d interférences à deux ondes tel que ( M E ( M = I + cos π car les deux fentes sont identiques donc elles émettent le même πe éclairement On a donc E ( M = I+ cos ( ε/+ x/ f' d L éclairement varie sinusoïdalement avec x avec une période spatiale, appelée aussi interfrange i f '/ e 6 3 i = 0,6 0 50 0 / 6 0 = 5 0 5 m soit i = 50 µm = AN ( ( ( Spé ψ 009-00 page /6 Devoirn 8 A ε/ O A H f L θ ε/ H A A M(x F PLAN FOCAL IMAGE DE L e
e Pour l étoile S, l analyse est identique en remplaçant ε par ε et I par I On obtient donc ( M = e( ε/+ x/ f ' puis E πe ( M = I+ cos ( ε/+ x/ f' La période spatiale de la variation par rapport à x est toujours i = f '/ e II--a Les deux étoiles sont incohérentes donc l éclairement qu elles produisent ensemble et la somme des éclairements qu elles produisent lorsqu elles sont seules On obtient donc E πe πe ( M = I + cos ( ε/+ x/ f ' + I + cos ( ε/+ x/ f ' b L éclairement dépend de x donc il n est pas uniforme : on observe a priori des franges d interférences L éclairement ne dépend pas de y donc les franges observées sont rectilignes La période spatiale des deux termes de la somme E(x = E (x + E (x est la même donc l interfrange est encore i = f '/ e II-3-a Les deux étoiles émettent un rayonnement de même intensité I 0 = I = I Il vient πe πe E M = I0+ cos ε/+ x/ f' + cos ε/+ x/ f' alors ( ( ( πex πε e = I0 + cos cos f ' πex πε e E M = 4I + cos cos f ' soit ( 0 La valeur maximale de E correspond à cos(πex/f = et vaut e E MAX = 4I 0+ cos πε La valeur maximale de E correspond à cos(πex/f = et vaut e E MIN = 4I 0 cos πε EMAX EMIN b Par définition, le contraste des franges est C = E + E πε e πε e 4I0 + cos + cos C = d où πε e πε e 4I0 + cos cos πε e C = cos πε e Ce contraste s annule pour les valeurs de e telles que = ( n + soit ( La plus petite valeur de e correspond à n = 0 d où AN 3 ( 7 0 ε= e 6 0,6 0 ε= = 4, 0 6 rad = 0,87 seconde d arc III- Contribution de Huygens : Étant donnée une source ponctuelle monochromatique S et une surface d onde Σ à un instant t, on peut obtenir l état vibratoire en un point M quelconque extérieur à Σ en remplaçant S par un découpage de Σ en éléments de surface dσ(p centrés sur un point courant P tels Spé ψ 009-00 page 3/6 Devoirn 8 S π MAX MIN soit ici e n = + ε P M
que chaque élément de surface se comporte comme une source ponctuelle fictive cohérentes avec les autres Contribution de Fresnel : L amplitude de l onde émise par un élément de surface centré en P est : proportionnelle à l amplitude instantanée de l onde reçue en P depuis S ; proportionnelle à l aire dσ(p Dans le cas où S et M sont à distance finie de Σ, les ondes sont sphériques En admettant que tous les points considérés sont dans l air d indice, la représentation complexe de l amplitude instantanée reçue en P reçue en M de la part de la source élémentaire centrée en P s écrit donc : exp( jk0 SP exp( jk PM d ap( M, t = Ka0exp( jωt d σ( P SP PM III--a On est dans les conditions de Fraunhoffer En prenant un point O comme origine sur l ouverture diffractante, on peut écrire d ap( M = KaO ( M exp( j( k0 k OP d σ( P L onde incidente est perpendiculaire au plan de l ouverture donc k0 OP = 0 π Par ailleurs k PM = k PO+ k OM avec k = u Comme u PO = αx βy, il reste π d am ( S0 exp j x y ds pour l amplitude complexe de l onde = ( α +β b Si l onde incidente a une direction de propagation de direction u 0, π π k0 OP = u0 OP = ( α 0x+β0y et l amplitude élémentaire devient π d am ( = S0 exp j (( α0 α x+ ( β0 β y ds III-3-a L objectif est invariant par rotation autour de son axe optique Il en est de même de la figure de diffraction qu il crée qui est donc invariante par rotation autour du point où convergent les rayons non diffractés, c est à dire l image géométrique de la source La figure de diffraction sera donc un ensemble d anneaux circulaires concentriques, centrés sur l image géométrique de la source π b Si β = 0, il reste d'( am = S0 exp j αxdd xypuisque α 0 = 0 et β 0 = 0 π L amplitude totale diffractée est alors am '( = S0 exp j αxdd xy OUVETUE y Pour une valeur fixée de x [, ], y varie de x à x donc x am '( S x 0 d y exp j π x = α d x x soit π x am '( = S 0 x exp j αx dx x c L image géométrique de la source, c est-à-dire le foyer image F puisque l onde incidente sur la lentille L est parallèle à l axe optique, correspond à l amplitude maximale de a Cela se produit pour m = 0, c est-à-dire α m=0 = 0 Le premier minima (a = 0 se produit pour m = 3,83 L écart angulaire α correspondant à ces deux valeurs est tel que m = π α/ soit α = m/π L angle de la direction du premier minimum est donc α min = m/π puisque α m=0 = 0 Or α min tan(α min = x min /f puisque la lentille travaille dans les conditions de Gauss Les deux minimaux sont symétriques par rapport à x = 0 donc x = x min ( x min et il reste Spé ψ 009-00 page 4/6 Devoirn 8
III-4-a Les étoiles sont à l infini donc les rayons que chacune émet convergent dans le plan focal image pour y créer l image En traçant le rayon issu d une étoile passant par le centre de la lentille, on constate que tan(ε/ = /f d où = f tan(ε/ x' =f ' m/ π Comme les étoiles sont très proches, on a ε 0 et l on peut écrire b La tache centrale d une image correspond au premier minimum de l autre si = x / (c est le critère de ayleigh Il faut donc ε f ' =f ' m/π d où ε m =m/π m On note que ce résultat ne dépend pas de la distance focale de la lentille mais de son rayon 6 AN m ( 0,6 0 ( 3,83 / ( 0 0 ε m = 0,75 seconde d arc ε = π = 3,7 0 6 rad soit Spé ψ 009-00 page 5/6 Devoirn 8 =ε f ' La valeur de correspondante est m = (50 0 (3,7 0 6 =,8 0 6 m soit m =,8 µm Partie IV IV--a Les télescopes sont liés à la Terre donc ils tournent avec elle par rapport au référentiel de Copernic dans lequel les étoiles sont considérées comme fixes Donc la direction d angle α change au cours du temps b Au foyer image du télescope converge la lumière qui provient d un objet à l infini sur l axe optique du télescope Si la direction de cet axe optique est fixe par rapport à la Terre, l image géométrique d une étoile dont la direction d observation change ne sera que rarement au foyer du télescope Le détecteur placé au foyer ne récupère donc que la lumière diffractée par la monture du télescope dont l intensité est plus faible En orientant les télescopes, on maintient le foyer pratiquement au centre de la tache de diffraction et l intensité lumineuse est toujours très proche du maximum possible IV--a Les rayons issus de S arrive sur la ligne de base T T en faisant l angle α +ε/ avec une différence de marche = T H = a sin(α + ε/ ( ( a ( ( = asin α cos ε / + cos α sin ε / L angle ε étant très petit, on peut écrire sin(ε/ ε/ et cos(ε/ au deuxième ordre près On obtient donc a ( a ( = sin α + cos α ε / En tenant compte de la différence de marche supplémentaire L S, la différence de marche totale entre les rayons issus de S au niveau du point d interférence est π = asin( α + acos ( α ε /+ LS et la différence de phase φ ( ε = soit π φ ε = α + α ε + ( ( asin( acos ( / LS Pour les rayons issus de S, il suffit de changer ε en ε On obtient : π φ ε = α α ε + ( ( asin( acos ( / L S b L éclairement dû à S s écrit I = I S [ + cos(φ ] et celui dû à S, I = I S [ + cos(φ ] ε/ f z F x α H ε/ T a T x
Comme les deux étoiles forment des sources incohérentes, leurs éclairements s ajoutent et φ+φ φ φ I = IS+ cos φ + cos φ = IS+ cos cos l éclairement total est ( ( Avec les expressions de φ et φ obtenues ci-dessus, il vient I I S cos π ( asin( LS cos π = + α + acos ( α ε/ qui est bien de la forme proposée en posant l = a sin ( α et b acos( = α Les paramètres a et L S sont fixés par construction de l appareil, ε et par le système observé La seule variable est donc α qui varie au cours du temps L intensité change donc au cours du temps et c est la courbe temporelle obtenue à l aide d un détecteur opto-électrique qui sera la figure d interférences IV-3-a Si α est très faible, on peut faire les développements cos(α + et sin(α = α + au deuxième ordre près en α En reportant, on obtient π π I I a a L ( α = + cos ε cos ( α+ S S On reconnaît l expression de l éclairement d une figure d interférences de variable α C est une fonction périodique de période angulaire i =/ a (que l on peut appeler interfrange angulaire Le facteur de contraste est C( a cos α π = aε Si l on fait varier a, l interfrange angulaire i α varie ainsi que le contraste C(α, c est-à-dire les valeurs maximales et minimales de I(α Si l on observe une étoile simple, on a ε = 0 donc C(a = : le contraste ne varie pas lorsque l on fait varier a et il est maximum donc les minima d intensité sont nuls Il est donc facile de distinguer une étoile simple d une étoile double On a alors ε =/ a min b La détermination de ε s effectue en cherchant les valeurs de a qui annulent C(a π π a ε min = pour la valeur minimale de ε pour une valeur de a fixée On a donc La valeur minimale de ε diminue si a augmente La plus petite valeur de ε mesurable correspond à la valeur maximale de a soit ε min =/ amax AN ε min = (0,6 0 6 /(6,0 = 9,8 0 8 rad = 0, milliseconde d arc L intérêt de ce système est de pouvoir obtenir des écartements des télescopes beaucoup plus grand que l écartement des fentes que l on peut réaliser dans le système de la partie II On diminue donc beaucoup la valeur minimale de ε observable c Si S L = l, l expression de l intensité devient I I cos acos( pour α non petit L intensité dépend de α mais elle est extrémale pour ( ( c est-à-dire en particulier pour les valeurs a telle que ( min = π S + α ε π π acos α ε= n+ acos α =/ e L intensité étant extrémale varie peu avec α et l on peut repérer, comme dans la question précédente, les valeurs particulières de a On peut donc adapter la technique de la question précédente aux cas des étoiles dont la direction moyenne n est pas proche de Oz Spé ψ 009-00 page 6/6 Devoirn 8