TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales 1
Activité «avant de démarrer» p200 LIEN ENTRE TRANSLATION ET VECTEUR 2
I VECTEURS 1. Définition Un vecteur est défini par une direction, un sens et une longueur On note : AB et on lit «le vecteur AB» B Le vecteur AB a pour : direction : la droite (AB) sens : celui de la demi-droite [AB) longueur : la distance AB (celle du segment [AB] origine : le point A extrémité : le point B A 3
Exemple : Les deux vecteurs ci-contre ont la même direction, mais ni le même sens, ni la même longueur Propriétés Si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont la même direction, le même sens et la même longueur Si deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur, alors ils sont égaux 4
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Exemple : Soient A, B, D trois points non alignés. Tracer le point C tel que AB = DC en utilisant uniquement la règle non graduée et le compas On pose u = AB = DC On a bien : (AB) // (DC) [AB) et [DC) ont le même sens AB = DC On dit que AB et DC sont des représentants du vecteur u A u B D u C 6
Si deux vecteurs sont égaux à un même troisième, alors ils sont égaux entre eux Ce sont des représentants d un même vecteur 7
II TRANSLATION et VECTEURS 1. Définition Soient deux points A et A' et la translation qui transforme A en A. Cette transformation est aussi appelée translation de vecteur AA. L image du point M par la translation de vecteur AA est le point M tel que : MM = AA On dit aussi que M est le translaté de M par la translation de vecteur AA A' A M' M 8
Conséquence : Si le point C est l image du point D par la translation de vecteur AB, alors les vecteurs AB et CD sont égaux. 2. Propriétés La translation conserve les longueurs L image d une droite (ou d un segment) par une translation est une droite (ou un segment) parallèle La translation conserve la mesure des angles, les aires, L image d un cercle par une translation est un cercle de même rayon 9
Construire l image du cercle (C) par la translation de vecteur AB A B O O' 10
III EGALITES VECTORIELLES ET PARALLELOGRAMME 1 Propriétés a. Soient quatre points A, B, C et D 1. Si AB = CD, alors ABDC est un parallélogramme 2. Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme, alors AB = CD On a aussi : BA = DC ; BD = AC et DB = CA. Démonstration : 11
AB = CD On a donc un quadrilatère ABDC tel que: (AB) // (CD) [AB) et [CD) ont le même sens AB = CD or si un quadrilatère non croisé a deux cotés opposés parallèles et de même longueur alors c est un parallélogramme Donc ABDC est un parallélogramme 12
b. Soient quatre points A, B, C et D 1. Si AB = CD, alors [AD] et [BC] ont le même milieu 2. Réciproquement, si [AD] et [BC] ont le même milieu alors AB = CD Démonstration : 13
AB = CD Donc d après la propriété a., ABDC est un parallélogramme Or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu Donc [AD] et [BC] ont le même milieu 14
c. Si le point C est l image de D par la translation de vecteur AB alors les vecteurs AB et DC sont égaux (et réciproquement). C est la définition de la translation. 15
2. Propriété caractéristique (ou définition vectorielle) du milieu d un segment Soient trois points A, B, et C 1) Si AB = BC, alors B est le milieu de [AC] 2) Réciproquement, si B est le milieu de [AC], alors AB = BC Démonstration : 16
AB = BC On a donc, en particulier: (AB) // BC) [AB) et [BC) ont le même sens dans ce cas A, B et C sont alignés dans cet ordre AB = BC Par conséquent, par définition, B est le milieu de [AC] 17
III ADDITION VECTORIELLE 1. Composition de deux translations ; somme de deux vecteurs a.vocabulaire Composer deux translations, c'est appliquer deux translations, l'une après l'autre 18
b. Propriété Soient A, B et C trois points Si on applique la translation de vecteur AB, suivie de la translation de vecteur BC, alors on obtient la translation de vecteur AC On dit que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC et on note : AB + BC = AC C est la Relation de Chasles 19
Remarque : en général, AB + BC AC Ceci n est vrai que si B appartient à [AC]! 20
2. Remarques a. Vecteur nul Avec la relation de Chasles, on a : AA + AB = AB et AB + BB = AB On dit que : AA et BB sont deux représentants du vecteur nul, noté 0 21
b. opposés Avec la relation de Chasles, on a : AB + BA = AA soit AB + BA = 0 On note : BA = - AB On a alors AB + ( AB ) = 0. On dit que le vecteur BA est l'opposé du vecteur AB ( AB et BA ont même direction, même longueur mais des sens différents!) 22
c. Propriété Dans une addition vectorielle, on peut changer l ordre des termes, cela ne change pas le résultat Exemples : Simplifier les sommes vectorielles suivantes : AC + BA = BA + AC AC + BA = BC {On applique la propriété} d après la relation de Chasles 23
AC AB + CB = AC + BA + = BA + AC + CB = BC + CB = BB AC AB + CB = 0 CB D après la propriété précédente D après la relation de Chasles D après la relation de Chasles 24
3. Règle du parallélogramme Si A, B et C sont trois points non-alignés, la somme des vecteurs AB et AC est le vecteur AM tel que ABMC soit un parallélogramme Démonstration Soit A, B et C trois points non alignés On construit le point M tel que ABMC soit un parallélogramme 25
On doit «calculer» : AB + AC On a : ABMC parallélogramme donc par propriété BM = AC Par conséquent : AB + AC = AB + BM AB + AC = AM d après la relation de Chasles C est la règle du parallèlogramme. 26