La fonction logarithme

La fonction logarithme Table des matières La fonction logarithme népérien. Fonction réciproque d une fonction monotone............. Définition................................. 3.3 Représentation de la fonction logarithme............... 4.4 Variation de la fonction logarithme................... 4 Propriétés de la fonction logarithme 5. Le logarithme du produit........................ 5. Conséquences............................... 6 3 Étude de la fonction logarithme 7 3. Dérivée................................... 7 3. Limite en 0 et en l infini......................... 8 3.3 Tableau de variation et courbe...................... 8 3.4 Croissance comparée........................... 9 3.5 Une dernière ite............................ 0 3.6 Dérivée du logarithme d une fonction u................ 0 4 Applications 4. Étude d une suite............................. 4. Étude d une fonction........................... 5 Le logarithme décimal 4 5. Définition................................. 4 5. Application sur le logarithme décimal................. 5 5.3 Quelques utilisations de la fonction log................ 6

LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Avant propos La création de la fonction logarithme népérien est, à l origine, antérieure à la fonction eponentielle bien que dans notre progression elle suit l étude de la fonction eponentielle. La fonction logarithme a été crée par un drapier écossais du XVII e siècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifier les longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonction qui transforme le produit en somme. C est à dire que f(ab) = f(a)+ f(b). Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite «de logarithmes» qui permettait d effectuer les conversions nécessaires. C est cette fonction, qui fait écho à la fonction eponentielle, qui est l objet de ce chapitre. La fonction logarithme népérien. Fonction réciproque d une fonction monotone Théorème : Une fonction f monotone de I dans f(i) = J admet une fonction réciproque, notée f, monotone de J dans I telle que : y = f() = f (y) Démonstration : Ce théorème découle directement du théorème des valeurs intermédiaires. On peut alors schématiser les fonctions f et f par : I f f J = f(i) y Eemples : La fonction carrée est monotone de R + dans R +. Elle admet donc une fonction réciproque de R + dans R + qui est la fonction racine carrée. [ La fonction sinus est monotone de π, π ] dans [ ; ]. Elle admet donc une fonction réciproque de [ ; ] dans la fonction arcsin ou sin. Conséquence On peut alors écrire les deu égalités suivantes : [ π, π ] qui est I J f f() = f f () =

. DÉFINITION 3 La représentation graphique de la fonction f est symétrique, par rapport à la première bissectrice, à la représentation de la fonction f. Par eemple la fonction carrée ( f) et sa réciproque racine carrée f. 5 4 3 y f M y = M f 3 4 5 y Théorème : Hors programme. Si la fonction f est monotone et dérivable de I dans J = f(i) et si f = 0 alors sa fonction réciproque f est dérivable de J dans I et possède le même sens de variation que f. Démonstration : Cela découle directement de la dérivabilité des fonctions composées.. Définition Définition : On appelle la fonction logarithme népérien notée ln, la fonction réciproque définie de R + sur R de la fonction eponentielle. Démonstration : Cela découle directement du théorème. La fonction eponentielle est une fonction monotone de R sur R +, donc elle admet une fonction réciproque de R + sur R. Conséquence On a les relations suivantes : R R + ln e = e ln =

4 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Théorème 3 : Pour tout réel strictement positif, on a : y = ln = e y on en déduit : ln = 0 et ln e =.3 Représentation de la fonction logarithme Théorème 4 : Comme la fonction logarithme est la réciproque de la fonction eponentielle, sa représentation est la symétrique de la fonction eponentielle par rapport à la première bissectrice du repère. 5 4 y = e M 3 e M y = ln 3 0 e 3 4 5 6 3.4 Variation de la fonction logarithme Théorème 5 : La fonction ln est strictement croissante sur R + Conséquence Soit a et b deu réels strictement positifs ln a = ln b a = b ln a = 0 a = ln a < ln b a < b ln a < 0 0 < a < ln a > 0 a > Démonstration : Soit deu réels a et b strictement positifs et a < b alors on peut écrire : a < b e ln a < e ln b

5 comme la fonction eponentielle est strictement croissante, on a : ln a < ln b La fonction logarithme est donc strictement croissante. Eemples : Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéquations. On veillera à mettre l équation ou l inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l équation ou de l inéquation. Résoudre ln( ) =. On met l équation sous la forme : ln( ) = ln e l équation est valide si, et seulement si, > 0 c est à dire < On a alors : < et = e soit = e e e On vérifie que < car 0, 36. { } e On conclut alors : S = Résoudre ln(+) < On met l inéquation sous la forme : ln(+) < ln e L inéquation est valide si, et seulement si, + > 0 soit > On a alors : > et + < e soit < e e On a : = e 0.3 donc e < < e e ] On conclut par : S = ; e [ e Propriétés de la fonction logarithme. Le logarithme du produit Théorème 6 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : ln ab = ln a+ln b Démonstration : D après les propriétés de l eponentielle, on a : e a = e b a = b Or e ln ab = ab et e ln a+ln b = e ln a e ln b = ab On conclut donc que ln ab = ln a+ln b. Remarque : C est cette propriété qui est à l origine de la fonction logarithme. Eemple : ln +ln 3 = ln 6

6 PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME. Conséquences Théorème 7 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : ) ln a b = ln a ln b 3) ln a n = n ln a avec n N ) ln b = ln b 4) ln a = ln a Démonstration : Pour démontrer la propriété, on revient au propriétés de l eponentielle. On a e ln a b = a b et e ln a ln b = eln a e ln b = a b d où la propriété : ln a = ln a ln b b Pour la deuième propriété, on fait a = La troisième propriété se démontre par récurrence à l aide du produit. Pour la dernière propriété : on a a = a a donc d après la propriété du produit, on a : ln a = ln a+ln a = ln a d où ln a = a b Eemples : Voici 4 eemples d utilisation de ces propriétés. Eprimer ln 50 avec ln et ln 5 et ln avec ln et ln 3 On a 50 = 5 donc ln 50 = ln + ln 5 On a = 3 donc ln = ( ln +ln 3) = ln + ln 3 Déterminer l entier n tel que n > 0 000 On a donc : ln n > ln 0 4 soit n ln > 4 ln 0 4 ln 0 4 ln 0 On obtient alors : n > or 3.9 donc n 4 ln ln Résoudre l équation : ln 3 = ln(6 ) ln 3 > 0 > 3 l équation eiste si 6 > 0 < 6 > 0 > 0 ] 3 [ On en déduit l ensemble de définition : D f = ; 6 On a alors [ln( 3)+ln ] = ln(6 )

7 soit ln ( 3) = ln(6 ) L équation revient à : D f et ( 3) = (6 ) 3 = +36 + 9 36 = 0 On calcule : = 8+44 = 5 = 5 on trouve alors deu solutions = 9+5 on conclut par : S = {3} = 3, 3 D f et = 9 5 =, / D f Résoudre ln(5 ) ln 3+ln( ) 0 { 5 > 0 l inéquation a un sens si, > 0 On en déduit l ensemble de définition : D f =]; 5[ L inéquation revient à : { < 5 > D f et ln(5 )+ln( ) ln 3 ln(5 )( ) ln 3 (5 )( ) 3 5 5 + 3 + 6 8 0 On calcule : = 36 3 = 4 = on trouve alors les racines suivantes : = 6+ =, D f et = 6 = 4, 4 D f Comme le coefficient de est négatif et que l on veut que la quantité soit positive, on prend à l intérieur des racines, intervalle qui est inclus dans l ensemble de définition. On conclut par : S = [; 4] 3 Étude de la fonction logarithme 3. Dérivée Théorème 8 : La fonction logarithme est dérivable sur son ensemble de définition et : (ln ) =

8 3 ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME Démonstration : On revient à la définition de la dérivée, c est à dire on cherche les a R + pour lesquels la ite suivante est finie : ln ln a a a Pour déterminer cette ite, on fait un changement de variable. On pose alors X = ln et A = ln a. On a alors = e X et a = e A et si a alors X ln a. La ite devient alors : X ln a X A e X e A Or la fonction eponentielle est dérivable sur R et la dérivée en ln a est e ln a : X ln a e X e A X A = eln a = a Cette ite est strictement positive pour a R +. On en déduit que la ite suivante eiste pour tout a R + et : X ln a X A e X e A = a Conclusion : la fonction logarithme est dérivable sur R + et (ln ) =. 3. Limite en 0 et en l infini Théorème 9 : On a les ites suivantes : ln = et ln = + 0 + + Démonstration : Pour montrer la ite en +, on revient à la définition : Soit un réel A > 0, il eiste alors un réel M tel que A = e M. On a > A alors ln > M. Pour tout réel positif M, il eiste A = e M tel que si > A alors ln > M. Conclusion : ln = +. + Pour la deuième ite, on fait un changement de variable. On pose X =. Donc si 0 + alors X +. On a alors : ln = ln 0 + X + = ln = X + 3.3 Tableau de variation et courbe On peut résumer les variations et les ites de la fonction ln, dans un tableau de variation :

3.4 CROISSANCE COMPARÉE 9 ln 0 e + 0 + + On a alors la courbe représentative suivante : y = ln 0 e 3 4 5 6 7 3 3.4 Croissance comparée Théorème 0 : On a les ites suivantes : ln + = 0 et 0 + ln = 0 Démonstration : Pour la premère ite, on fait un changement de variable. On pose : X = ln, on a alors = e X. On a alors : Notre ite devient alors : ln + + alors X + = X e = 0 car X + ex + = + Pour la deuième ite, on fait le changement de variable suivant : X =. On a alors : 0 + alors X +

0 3 ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME La deuième ite devient alors : ln = 0 + X + X ln X = ln X X + X = 0 d après notre première ite Remarque : Suite à ces ites, on peut dire que : «l emporte sur ln en +». On peut généraliser ces ites, pour n N, par : + ln = 0 et n 0 n ln = 0 + Eemple : Déterminer la ite suivante : ln + C est une ite indéterminée, car de la forme «+». On met alors en facteur. ( ln = ln ) On a alors : = + + + ln = 0 ln + = 3.5 Une dernière ite Par produit, on a : ln = + + Théorème : On a la ite suivante : ln = ou 0 ln(+ ) = Démonstration : Cela découle de la dérivée de ln en =, en effet, on a : (ln) () = = ln (ln) ln ln ln = () = = (ln) () = h 0 ln(+h) ln h ln(+h) = h 0 h 3.6 Dérivée du logarithme d une fonction u h 0 ln(+h) h = Théorème : Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur D. La fonction ln u est alors dérivable sur D et : (ln u) = u u

Démonstration : La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Eemple : Déterminer la dérivée de la fonction définie sur R par : f() = ln(+ ) On pose la fonction u() = +. u est manifestement strictement positive sur R, donc la fonction f est dérivable sur R et : 4 Applications 4. Étude d une suite On pose, pour n, u n = (u n ). On pourra poser v n = ln u n. f () = + ( + n) n. Étudier la ite éventuelle de la suite Calculons v n : ( v n = ln + n) n ( = n ln + ) n ( La fonction associée à la suite (v n ) est : f() = ln + ) Sous cette forme, la ite de f en+ est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l indétermination : X =, on a ainsi : On peut ainsi calculer la ite : On en déduit alors que : si + alors X 0 + ln(+ X) f() = + X 0 + X v n = n + On revient alors à la suite (u n ) : v n = ln u n donc u n = e v n, on en déduit que (u n ) est convergente et : + u n = e 4. Étude d une fonction f est la fonction définie sur I =]0;+ [ par : f() = + + ln = C f est sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

4 APPLICATIONS ) a) Pourquoi la droite d d équation y = est-elle asymptote oblique à C f? b) On note h la fonction définie sur I par h() = +ln. Démontrer que l équation h() = 0 a sur I une solution unique α telle que : 0, 5 < α < 0, 6. c) En déduire la position relative de C f et d. ) a) Démontrer que pour tout réel de I, f () = g() définie sur I que l on précisera. b) Démontrer que pour tout de I, on a g(). c) En déduire les variations de f et tracer C f. 3 où g est une fonction ) a) On calcule la quantité f() = + ln. On passe ensuite à la ite en +. ln + + = 0 = 0 On a donc : [ f() ] = 0, + donc la droite d est asymptote à C f en + Par addition, on a f() = 0 + b) h est la somme de deu fonctions continues et strictement croissantes, et ln, sur I. h est donc continue et strictement croissante sur I. De plus h(0, 5) 0, 9 et h(0, 6) 0, 09 donc h(0, 5)h(0, 6) < 0 D après le théorème de la bijection, la fonction h s annule une fois, et une seule, en α sur I et : 0, 5 < α < 0, 6 c) Pour déterminer la position relative de C f et d, il faut connaître le signe de f(). On a : f() = + ln = +ln = h() Comme la fonction h est strictement croissante sur I et s annule en α, on en déduit que : < α, f() < 0 > α, f() > 0 La courbe C f est au dessus de d en +

4. ÉTUDE D UNE FONCTION 3 ) a) On calcule la dérivée de f sur I : f () = + ln 4 = ( ln ) + 4 = 3 + ln 3 = g() 3 On pose alors : g() = 3 + ln b) pour connaître le signe de g, on détermine ses variation par la fonction dérivée g g () = 3 = 33 + On pose k() = 3 3 +. On a = racine évidente de k(). À l aide d une division euclidienne, on montre que : k() = ( )(3 + 3+) Le polynôme 3 + 3+ n a pas de racine car = 9 4 = 5. Donc : I, 3 + 3+ > 0 On en déduit que k() est du signe de. On en déduit alors les variations de g : g () 0 + 0 + g() On en déduit que : I, g() 0. c) Comme > 0 et g() sup sur I, on a : I, f () > 0 La fonction f est donc strictement croissante sur I. On a : f() = + car la droite d est asymptote à C f en +. + De plus : f() = + +ln

4 5 LE LOGARITHME DÉCIMAL = 0 0 + et 0 +ln = + 0 = 0 + + Par quotient +ln 0 + = Par somme, on a : f() =. 0 + L ae des ordonnées est donc asymptote verticale à C f en 0. On trace alors la droite d et C f en remarquant que d coupe C f en α et en plaçant le point (, ) 6 5 4 3 f(α) 0 α 3 4 5 6 3 4 5 5 Le logarithme décimal 5. Définition Définition : Soit un réel a strictement positif différent de, on appelle logarithme de base a, la fonction, notée log a, définie sur R + par : log a = ln ln a Remarque :

5. APPLICATION SUR LE LOGARITHME DÉCIMAL 5 ) Ces fonctions sont appelées logarithme à juste titre car elles obéissent à la propriété : f(y) = f()+ f(y) En effet : log a y = ln y ln a = ln ln a + ln y ln a = log a +log a y ) Le logarithme de base e est le logarithme népérien. 3) Le logarithme de base 0, appelé logarithme décimal, est noté : log au lieu de log 0. 4) Ces fonctions sont dérivable sur R +, et : log a = ln a 5. Application sur le logarithme décimal Le logarithme décimal est défini sur R + par : ) Calculer log 0 n pour n entier relatif. log = ln ln 0 ) Étudier les variation de la fonction log et la représenter graphiquement. 3) Soit N un entier (N ). Montrer que le nombre de chiffres dans l écriture décimale de N est + E(log N) où E() représente la partie entière du réel. 4) Application : avec combien de chiffres s écrit 009 00. ) On calcule log 0 n : log 0 n = ln 0n ln 0 = n ln 0 ln 0 = n On peut remarquer notamment que : log 0 0 = log = 0 et log 0 =. ) Étude de la fonction log. D après la définition log = ln ln 0 = k ln avec k = ln 0 donc k > 0 Compte tenu de cette remarque la fonction log a les mêmes variations et les mêmes ites que la fonction ln. On a alors la représentation ci-dessous : log = ln 0

6 5 LE LOGARITHME DÉCIMAL log 3 4 5 6 7 8 9 0 3) Nombre de chiffres dans l écriture décimale. Un nombre N, N est nécessairement compris entre deu puissances de 0. Soit alors : 0 p N < 0 p+ Dans ce cas, N possède p + chiffres. Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log 0 p log N < log 0 p+ p log N < p+ On a donc : E(log N) = p Conclusion : le nombre de chiffres de N est donc : E(log N)+. 4) Application : log 009 00 = 00 log 009 6 638,989 7 On en déduit alors que 009 00 possède 6 639 chiffres. 5.3 Quelques utilisations de la fonction log ) En chimie : L acidité d une solution est mesuré par son ph : ph = log[h + ] Lorsque la concentration en [H + ] est multiplié par 0, le ph diminue de. En effet : log 0[H + ] = (log 0+log[H + ]) = log[h + ] Si une étiquette d une eau minérale d au gazeuse indique ph = 6, 3, on a : ph = log[h + ] donc [H + ] = 0 ph [H + ] = 0 6,3 5 0 7 mol/l ) En acoustique : l intensité I (en décibels) d un son de puissance P est donnée par : I = 0 log P P 0 où P 0 = 0 W correspond au seuil d audibilité au dessous duquel aucun son n est perçu.

5.3 QUELQUES UTILISATIONS DE LA FONCTION LOG 7 Source sonore db Puissance Seuil Fusée puissante 80 0 8 P 0 70 0 7 P 0 60 0 6 P 0 Intolérable (douloureu) 50 0 5 P 0 Avion à réaction 40 0 4 P 0 Avion au décollage (à 30 m) 30 0 3 P 0 Hurlement à 0 cm de l oreille 0 0 P 0 nuisible immédiatement Marteau piqueur 0 0 P 0 nuisible au bout de h Cri (à,5 m) 00 0 0 P 0 Klaon d une voiture 90 0 9 P 0 Très fort (nuisible au bout de 8 h) Sèche cheveu 80 0 8 P 0 Bruyant Intérieur d une voiture 70 0 7 P 0 Modéré Conversation normale (à m) 60 0 6 P 0 Bureau 50 0 5 P 0 Calme Salle de séjour (en ville) 40 0 4 P 0 Chambre à coucher 30 0 3 P 0 Très calme Studio d enregistrement 0 0 P 0 Frôlements des feuilles d un arbre 0 0P 0 à peine audible Seuil d audibilité 0 P 0 P 0 = 0 W Par eemple une conversation normale qui correspond à : P = 0 5 P 0 est de : I = 0 log 0 5 = 0 5 = 50 décibels 3) Papier semi-logarithmique et logarithmique Le papier semi-logarithmique utilise une échelle linéaire sur l ae des abscisses et une échelle logaritmique sur l ae des ordonnées. Sur l ae des ordonnées 0 correspond à unité, 00 à unités, 000 à 3 unités,...

8 5 LE LOGARITHME DÉCIMAL Sur le papier semi-logarithmique ci-dessous, on a tracé la fonction eponentielle. 0 000 e 000 000 00 00 0 0 0 3 4 5 6 7 8 Le papier logarithmique utilise une échelle logarithmique sur l ae des abscisses et l ae des ordonnée. Sur le papier logarithmique ci-dessous, on a tracé quelques fonctions du type n ou n. 0 000 4 000 000 00 00 3 0 0 0 0 00 00 000 000 0 000