Vincent Robin, Printemps 2017.

MT34 - R : définition axiomatique & structures. Vincent Robin, Printemps 2017. (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Table des matières 1 Définition axiomatique de R 2 2 Structures algébriques et morphismes 2 2.1 Vocabulaire et point de vue général.......................... 2 2.2 Monoïde......................................... 3 2.3 Groupe......................................... 4 2.4 Anneau......................................... 5 2.5 Corps.......................................... 6 2.6 Espace vectoriel..................................... 6 3 Structure d ordre 7 3.1 Ordre et ordre strict.................................. 7 3.2 Intervalles........................................ 9 3.3 Minorant, majorant.................................. 9 3.4 Plus petit élément, plus grand élément........................ 10 3.5 Borne inférieure, borne supérieure.......................... 10 4 Corps commutatif ordonné 11 4.1 Anneau commutatif ordonné.............................. 11 4.2 Notion de cône positif d un anneau ordonné..................... 11 4.3 Morphisme d anneaux ordonnés............................ 12 4.4 Corps ordonnés et leurs morphismes......................... 13 5 R contient un sous-corps ordonné isomorphe à Q 13 6 R est archimédien 14 7 Unicité de R à isomorphisme près 15 8 Complément : constructions de C à partir de R 16 8.1 C comme le R-espace vectoriel R 2 muni d une multiplication........... 16 8.2 C comme le quotient R[X]/(X 2 + 1)......................... 17 Références bibliographiques 18 1

1 Définition axiomatique de R (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Cette définition 1 est justifiée par les faits suivants : (1) Un corps commutatif totalement ordonné contient un sous-corps isomorphe à Q. (2) On dispose de deux méthodes classiques pour construire à partir Q, dans le cadre de la théorie des ensembles 2, un corps commutatif totalement ordonné et vérifiant l axiome de la borne supérieure (AxBS) : la méthode des suites de Cauchy, et la méthode des coupures de Dedekind. (3) Deux corps commutatifs totalement ordonnés et vérifiant (AxBS) sont isomorphes. Le point (1) est motivé, par exemple, par le fait remarqué depuis Pythagore que 2 n est pas rationnel : on cherche donc un ensemble contenant Q dans lequel on pourra résoudre l équation x 2 = 2. La preuve de (1) sera donnée en section 5. Le point (2) pose a priori un problème de taille : on obtient (au moins) deux corps qui répondent au problème de Pythagore ; lequel appeler R? Nous n exposerons pas ici ces deux méthodes classiques de construction d un corps tel que (1) et vérifiant (AxBS), il nous suffira de savoir que de telles constructions ont été réalisées et qu elles fournissent en fait un morphisme de corps ordonnés Q j R. En effet, le point (3) vient à point pour réconcilier les deux constructions de R évoquées : elles sont isomorphes, et comme seule la structure de R nous importe, elles méritent également le nom de R. La preuve de (3) sera donnée en section 7. Auparavent, il va s agir de préciser de quoi on parle... 2 Structures algébriques et morphismes 2.1 Vocabulaire et point de vue général Une structure sur un ensemble est une certaine construction ensembliste 3 liée à cet ensemble. Un ensemble ainsi muni d une structure est appelé un ensemble structuré. La structure d un ensemble structuré dit comment on veut manipuler les éléments de l ensemble. Une application d un ensemble structuré vers un ensemble structuré de même type qui respecte leur structure commune s appelle un morphisme (du grec morphê, forme). Un endomorphisme (du grec endon, dedans) est un morphisme d un ensemble structuré dans lui-même. Un isomorphisme (du grec isos, égal) est un morphisme bijectif dont l application réciproque est aussi un morphisme. Un automorphisme (du grec autos, soi-même) est un isomorphisme d un ensemble structuré dans lui-même. 1. dont on pourra admirer la concision! 2. C est sans doute l occasion de se remémorer MT33... 3. Puisqu on a choisi de tout faire dans le cadre de la théorie des ensembles! 2

On utilise couramment ces cinq 4 grandes structures algébriques 5 : (i) monoïde (vu en MT33) ; (ii) groupe (vu en MT33) ; (iii) anneau ; (iv) corps ; (v) espace vectoriel (le cadre de l algèbre linéaire). Sur un ensemble E, on distingue aussi les structures d ordre 6, de topologie 7, de mesure 8, et leurs relations avec les structures algébriques éventuelles déjà mises sur E. C est ainsi que pour R, on parlera de corps ordonné, manière de décrire comment relation d ordre et opérations algébriques sont liées. 2.2 Monoïde Définition 1 (monoïde) Un monoïde est un triplet (M,, e), où M est un ensemble, une application et e M, tel que : (i) e est un élément neutre : (ii) est associative : : M M M (x, x ) x x Exemple fondamental : (N, +, 0) est un monoïde. ( x M) x e = x et e x = x ( x, x, x M) (x x ) x = x (x x ) Une famille d exemples de monoïde très importante : Soit E un ensemble. On désigne par End(E) l ensemble des applications de E dans lui-même, i.e. l ensemble des endomorphismes de l ensemble E. Alors (End(E),, Id E ) est un monoïde. Exercice 1: Expliciter (End(E),, Id E ) pour E = {a; b}. 4. Il y en a quelques autres, par exemple : module et algèbre..., mais une bonne connaissance de ces cinq-là permet de s orienter facilement dans les autres. 5. Elles sont décrites en terme d applications soumises à certaines propriétés. 6. Décrites par une relation d ordre, voir plus loin. 7. Décrites par une famille de parties de E qu on appelle des ouverts. 8. Décrites aussi par une famille de parties de E qu on appelle des (sous)-ensembles mesurables. Sert en théorie de l intégration et en probabilités. 3

Définition 2 (morphisme de monoïdes) Soient (M,, e) et (M,, e ) deux monoïdes. On dit qu une application f : M M est un morphisme de monoïdes si : (i) f(e) = e ; (ii) ( x, y M) f(x y) = f(x) f(y). Exercice 2: (une composée de morphismes de monoïdes est un morphisme de monoïdes) f Soient (M,, e) (M,, e ) et (M,, e ) (M,, e ) deux morphismes de monoïdes. Montrer que g f est aussi un morphisme de monoïdes. Exercice 3: (un morphisme de monoïdes bijectif est un isomorphisme de monoïdes) f Soit (M,, e) (M,, e ) un morphisme de monoïdes bijectif. Montrer que f 1 est aussi un morphisme de monoïdes (f est donc un isomorphisme). g 2.3 Groupe Définition 3 (groupe) Un groupe est un monoïde (G,, e) où tout élément de G admet un symétrique : ( x G)( y G) x y = e et y x = e Ce symétrique est unique (exercice) et on le note x 1. Si de plus, est commutative : on dit que (G,, e) est un groupe abélien. ( x, y G) x y = y x, Exemple fondamental : (Z, +, 0) est un groupe abélien. Autres exemples : (R, +, 0) et (R,, 1) sont des groupes commutatifs. Une famille d exemples de groupe très importante : Soit E un ensemble. On désigne par Bij(E) l ensemble des bijections de E dans lui-même, i.e. l ensemble des isomorphismes de l ensemble E. Alors (Bij(E),, Id E ) est un groupe. Exercice 4: Expliciter (Bij(E),, Id E ) pour E = {1; 2}, puis pour E = {1; 2; 3}. Exercice 5: (unicité du symétrique) Montrer que dans un groupe (G,, e), tout élément admet au plus un symétrique. Définition 4 (morphisme de groupes) Soient (G,, e) et (G,, e ) deux groupes. On dit qu une application f : G G est un morphisme de groupes si : ( x, y G) f(x y) = f(x) f(y). 4

Un morphisme de groupe est un morphisme des monoïdes sous-jacents (car il vérifie automatiquement f(e) = e ). Exercice 6: Soit (G,, e) 1. f(e) = e ; 2. f(x 1 ) = f(x) 1. f (G,, e ) un morphisme de groupes. Montrer que exp (R,, 1) est un morphisme de groupes. Est-ce un iso- Exercice 7: Vérifier que (R, +, 0) morphisme? Exercice 8: (une composée de morphismes de groupes est un morphisme de groupes) f Soient (G,, e) (G,, e ) et (G,, e ) (G,, e ) deux morphismes de groupes. Montrer que g f est aussi un morphisme de groupes. Exercice 9: (un morphisme de groupes bijectif est un isomorphisme de groupes) f Soit (G,, e) (G,, e ) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que f 1 est aussi un morphisme de groupes (f est donc un isomorphisme). g 2.4 Anneau Définition 5 (anneau) Un anneau est un quintuplet (A, +, 0,, 1), où A est un ensemble, + et deux applications A A A, tel que : (i) (A, +, 0) est un groupe abélien ; (ii) (A \ {0},, 1) est un monoïde ; (iii) est distributive par rapport à + : ( x, x, x A) { (x + x ) x = x x + x x x (x + x ) = x x + x x Si de plus, est commutative, on dit que (A, +, 0,, 1) est un anneau commutatif. Exemple fondamental : (Z, +, 0,, 1) est un anneau commutatif. Autre exemple : (Z[X], +, 0,, 1), où Z[X] est l ensemble des polynômes en X à cœfficients dans Z est un anneau commutatif. Définition 6 (morphisme d anneaux) Soient (A, +, 0,, 1) et (A, +, 0,, 1 ) deux anneaux. On dit qu une application f : A A est un morphisme d anneaux si : (i) f(1) = 1 ; (ii) ( x, y A) f(x + y) = f(x) + f(y) ; (iii) ( x, y A) f(x y) = f(x) f(y). Un morphisme d anneaux est un morphisme pour les groupes additifs sous-jacents, et aussi pour les monoïdes multiplicatifs sous-jacents. 5

2.5 Corps Définition 7 (corps) Un corps est un anneau (K, +, 0,, 1) tel que (K\{0},, 1) est un groupe. Si de plus, est commutative, on dit que (K, +, 0,, 1) est un corps commutatif. Exemple fondamental : (Q, +, 0,, 1) est un corps commutatif. Autre exemple : (R, +, 0,, 1) est un corps commutatif. Définition 8 (morphisme de corps) Soient (K, +, 0,, 1) et (K, +, 0,, 1 ) deux corps. On dit qu une application f : K K est un morphisme de corps si : (i) ( x, y K) f(x + y) = f(x) + f(y) ; (ii) ( x, y K) f(x y) = f(x) f(y). Un morphisme de corps est un morphisme pour les anneaux sous-jacents. Exercice 10: Soit (K, +, 0,, 1) f(1) = 1 et que ( x K, x 0) f(x 1 ) = f(x) 1. f (K, +, 0,, 1 ) un morphisme de corps. Montrer que Exercice 11: Montrer qu un morphisme de corps (K, +, 0,, 1) (K, +, 0,, 1 ) est injectif. [Indication : si Ker(f) contient un élément non nul, alors Ker(f) = K, en contradiction avec f(1) = 1.] 2.6 Espace vectoriel f Définition 9 (espace vectoriel) Soit (K, +, 0,, 1) un corps commutatif. Un K-espace vectoriel est un quintuplet (E, + E, 0 E, K, ) où (i) (E, + E, 0 E ) est un groupe abélien ; (ii) est une application : K E E (λ, x) λ x telle que : (1) ( λ, µ K)( x E) (λ µ) x = λ (µ x) ; (2) ( λ, µ K)( x E) (λ + µ) x = (λ x) + E (µ x) ; (3) ( λ K)( x, y E) λ (x + E y) = (λ x) + E (λ y) ; (4) ( x E) 1 x = x. Les éléments de E s appellent des vecteurs ; ceux de K s appellent des scalaires. L application s appelle la multiplication des vecteurs par les scalaires. Exemples fondamentaux : En géométrie élémentaire (collège?), l ensemble des vecteurs du plan, muni de l addition vectorielle ( règle du parallélogramme ) et de la multiplication par les réels, est un R-espace vectoriel de dimension 2 (étonnant?). 6

R, R 2, R 3,..., C sont aussi des R-espaces vectoriels, respectivement de dimension 1, 2, 3,..., 2. Définition 10 (morphisme d espaces vectoriels = application linéaire) Soient (E, + E, 0 E, K, ) et (F, + F, 0 F, K, ) sont deux K-espaces vectoriels. On dit qu une application f : E F est un morphisme d espaces vectoriels si : (i) ( x, y E) f(x + E y) = f(x) + F f(y) ; (ii) ( x E)( λ K) f(λ x) = λ f(x). Les morphismes de K-espace vectoriel s appellent des applications K-linéaires. Une application linéaire est a fortiori un morphisme pour les groupes sous-jacents. Sur les espaces vectoriels et l intégration. Les espaces vectoriels sont le domaine privilégié 9 de l algèbre linéaire (MT23). On les évoque ici à cause de leur importance cruciale dans les théories de l intégration. Expliquons brièvement pourquoi. Soit E un ensemble (quelconque). L ensemble F(E; R) des applications de E dans R est naturellement muni d une structure de R-espace vectoriel (exercice). L intégration des fonctions est alors une application R-linéaire (d un sous-espace vectoriel) de F(E; R) dans R. I : F(E; R) R f I(f) = E fdµ (1) L intégration permet ensuite de définir d autres sous-espaces vectoriels de F(E; R), de les munir de produit scalaire ou de norme, d étudier leurs éventuelles inclusions, etc. C est le domaine de l analyse fonctionnelle qui s est considérablement développée au XX e siècle, en lien notamment avec la résolution des équations aux dérivées partielles (EDP). 3 Structure d ordre On décrit d abord la structure d ordre puis on examine sa compatibilité avec les structures algébriques éventuelles. 3.1 Ordre et ordre strict Définition 11 (relation d ordre, relation d ordre strict) Soit E un ensemble. Une relation R E E est dite réflexive si : ( x E)((x, x) R) ; irréflexive si : ( x E)((x, x) R) ; antisymétrique si : ( x, y E)((((x, y) R) ((y, x) R)) = (x = y)) ; transitive si : ( x, y, z E)((((x, y) R) ((y, z) R)) = ((x, z) R)). Une relation d ordre sur E est une relation réflexive, antisymétrique et transitive. Une relation d ordre strict sur E est une relation irréflexive, antisymétrique et transitive. 9. Mais pas que : on les retrouve aussi en théorie des groupes (représentations linéaires), des corps (un corps est naturellement un espace vectoriel sur son sous-corps premier), en géométrie, en physique,... 7

On vérifie facilement 10 que si R est une relation d ordre sur E, alors la relation {(x, y) R : x y} est une relation d ordre strict sur E ; réciproquement, si R est une relation d ordre strict sur E, alors la relation R {(x, x) : x E} est une relation d ordre sur E. Une fois choisie une relation d ordre R sur E, on notera 11 ( x, y E) x y notation (x, y) R (2) La relation d ordre stricte associée sera notée <, de sorte que ( x, y E) { (x y) ((x < y) (x = y)) (x < y) ((x y) (x y)) (3) On pourra dire indifféremment que (E, <), ou que (E, ), est un ensemble ordonné. Définition 12 (ordre total) Soit (E, ) un ensemble ordonné. On dit que l ordre est total, ou que (E, ) est totalement ordonné, si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : ( x, y E) (x y) (y x). (4) Définition 13 (morphisme d ensembles ordonnés) Soient (E, ) et (E, ) deux ensembles ordonnés. On dit qu une application f : E E est un morphisme d ensembles ordonnés si : ( x, y E) x y = f(x) f(y). Un morphisme d ensembles ordonnés s appelle aussi une application croissante. Un isomorphisme d ensembles ordonnés est un morphisme f tel que son application réciproque f 1 soit aussi un morphisme. En général, l application réciproque d un morphisme d ensembles ordonnés bijectif N EST PAS 12 un morphisme d ensembles ordonnés. Exemple : La relation d ordre usuelle sur N est définie par ( x, y N) x y déf. (( n N) x + n = y). (5) (N, ) est totalement ordonné. On peut vérifier (exercice) que la relation de divisibilité dans N \ {0} est une relation d ordre : ( x, y N \ {0}) x y déf. (( n N) x n = y). (6) 10. Pour en être sûr : exercice! 11. Comme c est l usage ; l étudiant(e) est invité(e) à traduire les énoncés de la définition 11 dans ces notations usuelles. 12. Ceci contraste avec ce qui se passe pour les morphismes de groupes par exemple, où l application réciproque d un morphisme de groupes bijectif est automatiquement un morphisme de groupes. C est la raison pour laquelle certains auteurs utilisent une notion de morphisme d ensembles ordonnés plus restrictive que les applications croissantes : ils remplacent la condition (ii) par ( x, y E) x y f(x) f(y). Voir [?, p.10]. 8

(N \ {0}, ) est un ensemble ordonné qui n est pas totalement ordonné. L application identité de (N \ {0}, ) dans (N \ {0}, ) est une application croissante puisque ( x, y N \ {0}) x y = x y, (7) elle est évidemment bijective, mais son application réciproque, qui est l application identité de (N \ {0}, ) dans (N \ {0}, ), n est pas croissante puisque, par exemple, 2 3 et 2 ne divise pas 3. C est un exemple (tiré de [4, p.37-38]) de morphisme bijectif qui n est pas un isomorphisme. 3.2 Intervalles Dans un ensemble ordonné (E, ), on distingue certaines parties qu on appelle intervalles. Soient a, b E tels que a b. On appelle, intervalle fermé d origine a et d extrémité b [a, b] b)} ; intervalle ouvert d origine a et d extrémité b b)} ; intervalle semi-ouvert à droite intervalle semi-ouvert à gauche ]a, b] déf. = {x E : (a x) (x ]a, b[ déf. = {x E : (a < x) (x < [a, b[ déf. = {x E : (a x) (x < b)} ; déf. = {x E : (a < x) (x b)}. Exemple : Dans l ensemble ordonné (N \ {0}, ), on a [2, 10] = {2; 10} tandis que ]2, 10[=. On a aussi [2, 8] = {2; 4; 8}. On N a donc PAS [2, 8] [2, 10]! Cette situation troublante ne peut se produire pour un ordre total, et les ordres usuels sur N, Z, Q et R sont totaux, ouf! 3.3 Minorant, majorant Définition 14 (minorant, majorant d une partie d un ensemble ordonné) Soit (E, ) un ensemble ordonné. Soit A E une partie de E. On dit que m E est un minorant de A si ( x A) m x ; M E est un majorant de A si ( x A) x M. Si A admet un minorant (resp. majorant), on dit que A est minorée (resp. majorée). Si A est à la fois minorée et majorée, on dit que A est bornée. Exemple : dans (N, ) où est l ordre usuel, toute partie de N est minorée (au moins par 0). N n est pas majorée. Toute partie majorée de N admet une infinité de majorants. L ensemble {2; 5; 7} admet pour seuls minorants : 0, 1 et 2. Ses majorants sont 7, 8, 9... 9

3.4 Plus petit élément, plus grand élément Définition 15 (plus petit, plus grand élément d une partie d un ensemble ordonné) Soit (E, ) un ensemble ordonné. Soit A E une partie de E. On dit que m A est un plus petit élément de A si ( x A) m x ; M A est un plus grand élément de A si ( x A) x M. Un plus petit (resp. grand) élément de A est donc un minorant (resp. majorant) de A qui est élément de A. Il existe au plus un plus petit élément. En effet, si m, m A sont des minorants de A, on a m m et m m, donc m = m par antisymétrie. On montre l unicité de l éventuel plus grand élément de la même façon. S ils existent, le plus petit élément de A se note min A et le plus grand élément de A se note max A. Exemple : dans (N, ) on a min{2; 5; 7} = 2 et max{2; 5; 7} = 7. Plus généralement, toute partie non vide de N admet un plus petit élément : on dit que (N, ) est bien ordonné. 3.5 Borne inférieure, borne supérieure Définition 16 (borne inférieure, supérieure d une partie d un ensemble ordonné) Soit (E, <) un ensemble ordonné. Soit A E une partie de E. (i) Si l ensemble Min(A) des minorants de A admet un plus grand élément, cet élément se nomme borne inférieure de A et se note InfA. (ii) Si l ensemble Maj(A) des majorants de A admet un plus petit élément, cet élément se nomme borne supérieure de A et se note SupA. Sous réserve d existence, on a donc InfA = max Min(A) et SupA = min Maj(A), (8) ce qui montre que borne inférieure et borne supérieure sont uniques (comme max et min). Evidemment, une partie non minorée ne peut pas avoir de borne inférieure, tandis qu une partie non majorée n admet pas de borne supérieure. Si une partie A admet un plus petit élément min A, alors on a InfA = min A. En effet, min A est un minorant de A, et c est le plus grand car si m est un autre minorant de A, on a m min A puisque min A A. De même, si A admet un plus grand élément max A, alors on a SupA = max A. Exemple : dans (N \ {0}, ), considérons A = {a 1 ;... ; a n } une partie de N à n éléments. Un minorant de A est un entier qui divise chacun des a i ; leur ensemble, Min(A), n est pas vide : il contient 1. Par ailleurs, Min(A) est majoré (par a 1, par exemple), et admet un plus grand élément (pour la divisibilité!) qui est le plus grand diviseur commun à tous les a i. On a donc InfA = pgcd(a 1,..., a n ). De la même manière, SupA = ppcm(a 1,..., a n ). 10

4 Corps commutatif ordonné Lorsque l ensemble considéré est muni d une structure algébrique et d une structure d ordre, on souhaite souvent que ces structures soient compatibles, et ce n est pas toujours possible 13. Qu est-ce qu on entend par compatible? Par exemple, si (M,, e) est un monoïde et si (M, ) est un ensemble ordonné, on dit que les structures de monoïde et d ordre sur M sont compatibles si ( x, x, y, y ( M) (x x ) (y y ) ) = x y x y, (9) et pour cela, il suffit d imposer ( x, x, z M) (x x ) = { x z x z z x z x (10) En effet, supposons (10) et soient x, x, y, y M tels que x x et y y. Alors on a x y x y et x y x y ; d où x y x y par transitivité. Evidemment, si est commutative, une seule des deux assertions (10) suffit. Comme c est le seul cas qui va nous intéresser par la suite, on donnera les définitions uniquement dans le cas commutatif. 4.1 Anneau commutatif ordonné Définition 17 (anneau commutatif ordonné) Un anneau commutatif ordonné est un sextuplet (A, +, 0,, 1, ), où (A, +, 0,, 1) est un anneau commutatif et (A, ) un ensemble ordonné tels que les structures d anneau et d ordre sont compatibles : (i) ( x, y, z A) (x y) = x + z y + z (ii) ( x, y A) (0 x) (0 y) = 0 x y Si de plus, l ordre est total, on dit que (A, +, 0,, 1, ) est un anneau commutatif totalement ordonné. La condition (i) est l analogue de (10) pour l addition, mais la condition (ii) est plus restrictive que l analogue de (10) pour la multiplication. Dans un anneau, on ne peut demander mieux. En effet, supposons un instant qu on ait l analogue de (10) pour la multiplication. De 0 1, on déduirait 0 1 en multipliant par 1 ; donc aussi 1 0 en ajoutant 1, puis par antisymétrie, 0 = 1 ; contradiction. 4.2 Notion de cône positif d un anneau ordonné Définition 18 (cône positif d un anneau ordonné) Soit (A, +, 0,, 1, ) un anneau commutatif ordonné. Son cône positif est l ensemble P de ses éléments x positifs, i.e. tels que 0 x. P = {x A : 0 x} (11) L intérêt de cette définition réside dans le théorème suivant, qui donne aussi la clef pour construire des anneaux ordonnés. 13. Par exemple la structure de corps de C n est compatible avec aucune de ses relations d ordre, comme on le verra en exercice. 11

Théorème 19 (anneau ordonné et cône positif) (i) Le cône positif P d un anneau commutatif ordonné (A, +, 0,, 1, ) vérifie les propriétés suivantes : P + P P P ( P ) = {0} (12) P P P où : P + P déf = {x + y : x, y P }, P déf = { x : x P } et P P déf = {x y : x, y P }. De plus, l ordre est total si et seulement si P ( P ) = A. (ii) Réciproquement, si un anneau commutatif (A, +, 0,, 1) contient une partie P A vérifiant les conditions (12), alors il existe sur A une relation d ordre telle que (A, +, 0,, 1, ) soit un anneau ordonné de cône positif P. Démonstration. (i) Soit (A, +, 0,, 1, ) un anneau commutatif ordonné et soit P son cône positif. Soient x, y A tel que 0 x et 0 y. Par définition d un anneau ordonné, on a immédiatement 0 x + y et 0 x y ; ce qui montre que P + P P et P P P. Comme 0 = 0, il est clair que {0} P ( P ). Pour l inclusion inverse, soit x P ( P ). On a donc 0 x et x = t avec 0 t, d où aussi x 0, et finalement x = 0 par antisymétrie. On a donc montré (12). Si l ordre est total, on a 0 x ou x 0, auquel cas 0 x ; donc P ( P ) = A. Réciproquement, supposons P ( P ) = A. Soient x, y A. On a 0 x y ou x y 0, soit y x ou x y ; l ordre est donc total. (ii) Soit un anneau commutatif (A, +, 0,, 1) qui contient une partie P A vérifiant les conditions (12). Définissons alors sur A une relation par ( x, y A) x y déf y x P (13) est réflexive car 0 P ; antisymétrique car P ( P ) = {0} ; transitive car P + P P. Il s agit donc bien d une relation d ordre, et grâce à P P P on voit que (A, +, 0,, 1, ) est un anneau commutatif ordonné. Son cône positif est l ensemble des x A tels que 0 x, soit x P. 4.3 Morphisme d anneaux ordonnés Définition 20 (morphisme d anneaux ordonnés) Soient (A, +, 0,, 1, ) et (A, +, 0,, 1, ) deux anneaux ordonnés. On dit qu une application f : A A est un morphisme d anneaux ordonnés si : (i) f est un morphisme d anneaux ; (ii) f est un morphisme d ensembles ordonnés, i.e. ( x, y A) x y = f(x) f(y) (14) Sous la condition (i), si P et P désignent les cônes positifs respectifs de A et A, alors la condition (ii) équivaut à f(p ) P. 12

4.4 Corps ordonnés et leurs morphismes Définition 21 (corps commutatif ordonné, morphisme) Un corps commutatif ordonné est un corps (K, +, 0,, 1) muni d une relation d ordre tel que (K, +, 0,, 1, ) soit un anneau commutatif totalement ordonné. Un morphisme de corps ordonnés est un morphisme pour les anneaux ordonnés sous-jacents. Remarquer qu on impose l ordre total directement dans la définition de corps ordonné, comme c est l usage (voir par exemple [2, Définition p.126] et [3, Définition 2.1 p.115]). Exemples : (Q, +, 0,, 1, ) et (R, +, 0,, 1, ) sont des corps commutatifs ordonnés. 5 R contient un sous-corps ordonné isomorphe à Q Théorème 22 (i) Tout anneau commutatif totalement ordonné (A, + A, 0 A, A, 1 A, A ) contient un sous-anneau ordonné isomorphe à (Z, +, 0,, 1, ). (ii) Tout corps commutatif totalement ordonné (K, + K, 0 K, K, 1 K, K ) contient un sous-corps ordonné isomorphe à (Q, +, 0,, 1, ). Démonstration. (i) Considérons l unique morphisme d anneau ϕ : Z A n ϕ(n) = n 1 A (15) déf déf où n 1 A = 1 A + A + A 1 }{{ A si 0 n et n 1 } A = (1 A + A + A 1 A ) si n 0. }{{} n fois n fois Comme A est totalement ordonné, on a 0 A < A 1 A. On en déduit que ϕ est injective et croissante. En particulier, Im(ϕ) est un sous-anneau de A isomorphe à Z. (ii) On considère l unique morphisme de corps j : Q K ( ) p p j q q = (p 1 K ) K (q 1 K ) 1 (16) Il est injectif par l exercice 11 page 6, il est croissant (avec 0 K < K 1 K ). Par suite Im(j) est un sous-corps de K isomorphe à Q. Exercice 12: Dans la démonstration ci-dessus, vérifier que ϕ (resp. j) est un morphisme d anneaux (resp. de corps). Corollaire 23 (R, +, 0,, 1, ) contient un sous-corps ordonné isomorphe à (Q, +, 0,, 1, ), qui lui-même contient un sous-anneau ordonné isomorphe à (Z, +, 0,, 1, ), ce qu on résume en : Z Q R (17) 13

Les inclusions ci-dessus sont des inclusions par identification. Par exemple, on a un morphisme d anneaux ordonnés injectif Z ϕ Q (donné par une construction de Q à partir de Z par exemple, ou par le théorème 22) et on identifie z avec ϕ(z), pour tout z Z, pour écrire z Q plutôt que ϕ(z) Q. Il faut voir cela comme une notation commode : au lieu de travailler avec ϕ(z), on note simplement z. Evidemment, si ϕ n était pas injectif, un tel abus de notation conduirait à une contradiction. 6 R est archimédien On désignera par R + le cône strictement positif de (R, +, 0,, 1, ). R + déf = {x R : 0 < x} (18) Théorème 24 (R est archimédien) (i) ( a, b R + )( n N) b < na (ii) ( a, b R + )(1 < a = (( n N) b < a n ) Démonstration. Soient a, b R +. (i) Par l absurde : supposons que ( n N) na b. Alors A déf = {na : n N} est une partie de R qui est non vide (elle contient 0) et majorée par b. Elle admet donc une borne supérieure s = Sup(A). Pour tout n N, on a (n + 1)a s ; par suite ( n N) na s a < s, (19) ce qui contredit le fait que s est le plus petit majorant de A. (ii) Supposons 1 < a. On a alors a = 1 + α où 0 < α = a 1. Par (i), il existe n N tel que b < nα. On en déduit : b < 1 + nα a n (20) (où la seconde inégalité provient du binôme de Newton : (1 + α) n = 1 + nα + ). On en déduit ces propriétés d approximation d un réel par un entier (resp. par un rationnel). Corollaire 25 (approximation des réels) (i) ( x R)(!m Z) m x < m + 1. Cet unique entier m s appelle la partie entière de x ; on le notera [x]. (ii) Approximation d un réel par une suite de rationnels, i.e. (iii) Q est dense dans R, i.e. ( a R)( n N \ {0})( u n Z) 0 a u n n < 1 n (21) ( a, b R) a < b = ( q Q) a < q < b (22) Démonstration. (i) Soit x R. Montrons d abord l unicité de l encadrement. Pour cela supposons m, m Z tels que m x < m + 1 et m x < m + 1. Sans perte de généralité, 14

supposons aussi m m (sinon on échange le rôle de m et m ). Il vient alors 0 m m x m < 1, (23) ce qui impose m = m. Montrons maintenant l existence d un tel m. Si x = 0, on peut prendre m = 0. Supposons maintenant x > 0. Par la propriété d Archimède, il existe n N tel que x < n. Par suite {n N : x < n} est une partie non vide de N. Elle admet donc un plus petit élément a N. Si on pose m = a 1, on voit que m x < m + 1. Supposons enfin x < 0. Alors 0 < x et par le cas précédent il existe a Z tel que a x < a+1. On en déduit a 1 < x a (24) Si x = a, on pose m = a ; sinon x < a et on pose m = a 1. (ii) Soient a R et n N \ {0}. Par le (i), u n = [na] vérifie u n na < u n + 1, d où le résultat. (iii) Soient a, b R tels que a < b. On a donc 0 < b a et par la propriété d Archimède, il existe n N tel que 1 < n(b a). Evidemment n 0. Par le (ii), il existe u n Z tel que : On en déduit : et q = un+1 n 0 a u n n < 1 n < b a (25) a < u n + 1 n est un rationnel qui répond à la question. 7 Unicité de R à isomorphisme près a + 1 < b, (26) n Montrons d abord que (R, j), où Q j R est le morphisme de corps ordonnés donné par le corollaire 23 page 13, vérifie cette propriété universelle. Théorème 26 (propriété universelle de (R, j)) Pour tout couple (R, j ), où (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné vérifiant l axiome de la borne supérieure (AxBS) et Q j R est un morphisme de corps ordonnés, il existe un unique morphisme de corps ordonnés R ϕ R tel que j = ϕ j, i.e. tel que le diagramme ci-dessous soit commutatif. Q j R (27) j R ϕ ϕ est donc l unique prolongement de Q j R en un morphisme de corps ordonnés R ϕ R. Démonstration. On doit avoir ϕ((j(q)) = j (q) pour tout q Q (pour assurer j = ϕ j) et aussi j (q 1 ) ϕ(x) j (q 2 ), 15

pour tous q 1, q 2 Q tels que j(q 1 ) x j(q 2 ) (pour assurer ϕ croissante). On doit donc définir, pour tout x R, { } ϕ(x) déf = SupA(x) où A(x) = j (q) : (q Q) (j(q) x) R, (28) définition licite puisque R vérifie l axiome de la borne supérieure (AxBS). Ceci assure l unicité. Pour l existence, il suffit de vérifier que l application ϕ ainsi définie est un morphisme de corps ordonné et pour cela, il reste à montrer que (i) ( x, y R) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ; (ii) ( x, y R) ϕ(xy) = ϕ(x) ϕ(y). Exercice 13: Combler les trous de la démonstration ci-dessus. Une propriété universelle donne automatiquement l unicité à unique isomorphisme près de l objet considéré, ici (R, j). Corollaire 27 (sur l unicité de R) Soient (K, +, 0,, 1, ) et (K, +, 0,, 1, ) deux corps commutatifs ordonnés vérifiant l axiome de la borne supérieure (AxBS). D après le théorème 22, il existe des morphismes de corps ordonnés Q j K et Q j K. Alors il existe un unique isomorphisme de corps ordonnés ϕ : K K tel que le diagramme ci-dessous commute. Q j K (29) j K ϕ Démonstration. Comme (K, j) et (K, j ) vérifient la propriété universelle du théorème 26, on obtient ces quatre diagrammes commutatifs de morphismes de corps ordonnés. Q j K Q j K Q j K Q j K j K ϕ j K ψ j K ψ ϕ=id K j ϕ ψ=id K K Exercice 14: Passer un peu de temps sur la démonstration ci-dessus, apprécier son caractère schématique et systématique, méditer sur ce concept d unicité... 8 Complément : constructions de C à partir de R 8.1 C comme le R-espace vectoriel R 2 muni d une multiplication On voit facilement que R 2, l ensemble des couples de réels, peut être muni d une addition, + : R 2 R 2 R 2 ( (x, y), (x, y ) ) (x, y) + (x, y ) déf = (x + x, y + y ), (30) 16

et d une multiplication par les réels, : R R 2 R 2 ( λ, (x, y) ) λ (x, y) déf = (λx, λy), (31) de sorte que (R 2, +, (0, 0), R, ) est un R-espace vectoriel. Exercice 15: Vérifier l affirmation précédente, autrement dit vérifier les propriétés (1) à (4) de la définition 9 page 6. De plus, comme le remarqua Hamilton dès 1830, il est possible de munir R 2 d une multiplication, : R 2 R 2 R 2 ( (x, y), (x, y ) ) (x, y)(x, y ) déf = (xx yy, xy + x y), (32) de sorte que C déf = (R 2, +, (0, 0),, (1, 0)) soit un corps commutatif. On pose i déf = (0, 1) et on note (x, y) not. = x + iy, 0 not. = (0, 0) et 1 not. = (1, 0). Exercice 16: Vérifier que ϕ : R C x (x, 0) (33) est un morphisme de corps (et donc injectif, comme on le voit directement ici). Les notations précédentes réalisent l identification ϕ(x) = x, ce qui autorise aussi l abus de langage R C. Exercice 17: Vérifier que i 2 = 1 (i.e. (0, 1) 2 = ( 1, 0)) et en déduire que C n admet pas de relation d ordre qui en fasse un corps ordonné. 8.2 C comme le quotient R[X]/(X 2 + 1) Exercice 18: Montrer que le polynôme X 2 + 1 n admet pas de racine réelle. L objectif est de construire un corps plus grand que R dans lequel X 2 + 1 admette une racine. Pour cela, on part de l anneau R[X] des polynômes à cœfficients réels. On considère (X 2 + 1), l idéal engendré par X 2 + 1, c est-à-dire l ensemble des multiples de X 2 + 1, et sa relation d équivalence associée sur R[X] : P Q P Q (X 2 + 1). (34) 17

Par passage au quotient, on obtient encore un anneau 14. R[X] (35) π R[X]/(X 2 + 1) Appelons i la classe de X pour la relation, autrement dit i = π(x). Comme on a π(x 2 +1) = 0 (par définition de ) et que π est un morphisme d anneau, il vient i 2 + 1 = 0 et donc i est une racine de X 2 + 1. Par division euclidienne, tout polynôme P R[X] s écrit P (X) = Q(X)(X 2 + 1) + x + yx, (36) où Q R[X], et x, y R. On a donc π(p ) = π(x + yx) not. = x + iy et tout élément de R[X]/(X 2 + 1) admet une unique écriture de cette sorte. Déterminons maintenant l addition et la multiplication de R[X]/(X 2 + 1). On a, en utilisant le fait que π est un morphisme d anneaux, (x + iy) + (x + iy ) = π(x + yx) + π(x + y X) = π ( (x + yx) + (x + y X) ) = π ( (x + x ) + (y + y )X ) = (x + x ) + i(y + y ) (37) (x + iy)(x + iy ) = π(x + yx)π(x + y X) = π ( (x + yx)(x + y X) ) = π ( xx + (xy + yx )X + yy X 2) = π ( xx yy + (xy + yx )X + yy (X 2 + 1) ) = (xx yy ) + i(xy + yx ) (38) On reconnaît l addition et la multiplication de la sous-section précédente, il s ensuit que R[X]/(X 2 + 1) est isomorphe à C. Références [1] M. Condamine et P. Vissio. Mathématique, Terminales C et T, Tome1, Algèbre. Delagrave, 1967. [2] A. Doneddu. Nouveau cours de mathématiques. Tome 1 : Structures fondamentales. Vuibert, Paris, 1979. [3] M.-P. Malliavin. Algèbre commutative. Applications en géométrie et théorie des nombres. Masson, 1984. [4] Jean-Pierre Ramis et André Warusfel (Sous la direction de). Mathématiques. Touten-un pour la licence, niveau L1, cours complet avec 270 exercices corrigés. Dunod, Paris, 2006. 14. qui en fait un corps car X 2 + 1 est irréductible sur R[X] qui est principal, puisque euclidien, mais on n est pas obligé d utiliser tout cela ici car on peut vérifier directement que R[X]/(X 2 + 1) est un corps. 18