Les circuits linéaires

Les circuits linéaires! Révisé et compris! Chapitre à retravaillé! Chapitre incompris Soit une tension sinusoïdale u(t)= U 2 sin (wt + ϕ) u(t) : tension instantanée à l instant t, exprimé en Volts U : valeur efficace, exprimé en volts W :pulsation, vitesse angulaire, en rad.s-1 W= 2πf= 2π / f ϕ= phase à l origine (wt + ϕ)= phase à l instant t Û= U 2 Soit Û= U 2 x sin (2πft + ϕ) À u(t), on associe le vecteur de Fresnel u, en utilisant le sens de rotation inverse des aiguilles d une montre. La méthode du vecteur de Fresnel à cependant un frein : c est une méthode graphique, donc assez imprécise, ce qui rend son emploi très limité. La forme polaire et cartésienne : Forme polaire :multiplication et division Forme cartésienne : addition et soustraction 1

Exemple pour comprendre : Exemple 1 : Exemple 2 : Impédance et admittance : Si le dipôle est linéaire, la tension u(t), et l intensité i(t), sont sinusoïdaux, d où l obligation d employer les nombres complexes. 2

Dipôles passifs élémentaires : Resistor Inductance Capacité Courant et tension En phase (ϕ = 0) Tension en quadrature avance sur l intensité. Tension en quadrature retard sur l intensité. Impédance Z Admittances Y Loi d ohm instantannée Loi d ohm en complexe Note Purement résistif Purement inductif (partie imaginaire positive) Purement capacitif (partie imaginaire négative) Petits rappels mathématiques : Dans l écriture polaire, le module est toujours positif. Pour s en rappeler penser au fait que l on utilise l écriture polaire pour les multiplications et divisions, et qu on ne peut pas diviser par zéro. Pour comparer deux grandeurs, il faut que la forme trigonométrique soit identique : on compare des sinus avec des sinus, et des cosinus avec des cosinus. Pour faire la transition de l un vers l autre, sachez que : Avec la forme cartésienne, on peut procéder à quelques petits arrangements qui feront le bonheur de tous les mathématiciens : Voici comment procéder pour faire une division avec la forme polaire : Pour faire une division en polaire, on fait le quotient des modules, et la différence des arguments. 3

Association de dipôle linéaire : Association série Association parallèle En série, les impédances complexes s ajoutent En parallèle, les admittances complexes s ajoutent. Note sur le comportement des dipôles élémentaires : T e n s i o n Résistance Bobine Condensateur I n t e n s i t é Association de dipôles : On fait une association série d une résistance, d une bobine, et d un condensateur. Pour connaître l impédance équivalente, on se contente d additionner les impédances respectives aux trois dipôles : 4

Peu importe le nombre de dipôle associé en série, le principe réside dans l idée d associer les impédances respectives des dipôles, pour obtenir l impédance équivalente. On converti ensuite, de façon à passer de la forme cartésienne à la forme polaire. Notion de puissance : 1. Puissance instantanée en sinusoïdale : Le raisonnement, certes instructif, n est pas à retenir, le résultat se suffit à lui-même. 2. Puissance active : Puissance active : Cela correspond à la valeur moyenne de la puissance instantanée. 5

Or on sait qu en sinusoïdale, la valeur moyenne est nulle : On applique la définition ci-dessus : L unité de la puissance active, est le Watt. 3. La puissance réactive S exprime en Voltampères Réactives (VAR) Puissance active et réactive des trois dipôles : Resistor Inductance Capacité P A Formules P A Pa P R P R Formules Pr 4. La puissance apparente Elle permet de dimensionner les appareils, et s exprime en Voltampères (VA). Un transformateur 20VA, signifie, que le produit de la tension (U) par l intensité (I) ne devra pas excéder 20VA, soit pour une tension de 20V, il délivrera 1A, ou pour 10V, il délivrera 2A. 5. Le théorème de Boucherot Théorème de Boucherot : Les puissances actives et réactives consommés par une association de dipôle, sont égale à la somme des puissances actives et réactives consommés par chaque dipôle. Exemple : Soit une association RLC série : 6

I= 2A ; f= 50Hz ; R= 440 Ohms ; L= 1H ; C= 5µF. Calculer Pr, Pa, U, et ϕ. Modèles séries et parallèle d un dipôle passif linéaire 1. Les modèles Tout DPL, peut être modéliser par un modèle série ou parallèle. Série Parallèle Le signe de la réactance, dépend de la nature du dipôle : Le signe de la suceptance dépend de la nature du dipôle : Z : impédance en ohms R : résistance en ohms X : réactance en ohms Y : admittance en Siemens G : conductance en Siemens B : suceptance en Siemens 2. Le facteur «Q», d un DPL Attention à la notation du facteur Q, qui est un quotient sans unité, et toujours positif. Il caractérise l aspect réactif du dipôle. On peut exprimer le facteur de qualité par le modèle série ou parallèle. 7

Série Parallèle Si le dipôle est très réactif, cela signifie que q est très grand devant 1, donc Q² est très grand devant 10. On peut donc utiliser l expression simplifiée : Remarque : L équivalence n est valable que pour une fréquence donnée. 3. Modèle équivalent d une bobine réelle : Facteur de qualité Q de la bobine : Plus Q est grand, plus la bobine est de bonne qualité (la résistance est faible). Expression de Xp et Rp du modèle équivalent : 4. transformation série- parallèle : Soit un DPL, on peut lui associer indifféremment un modèle série ou un modèle parallèle. Ces structures sont équivalentes, et on peut passer de l une à l autre. On cherche à exprimer Rp et Xp, en fonction de Rs et Xs. La démonstration étant assez fastidieuse, seul le résultat final sera présentée ici : 8

Exercice d application : Soit une bobine d inductance L= 0.5H, avec une résistance Rs= 10ohms, les deux dipôles sont soumis à une tension de fréquence 50Hz. Déterminer par le calculs Rp, et Lp. a) Commençons par calculer le facteur de qualité : b) Poursuivons, en utilisant les formules simplifier, car 15,7 est très grand devant 1 : c) Continuons encore, en sachant que Lp = Ls, dans notre cas : d) Concluons : Dans la majorité des exercices proposés, on est en mesure d utiliser les formules simplifier, car on a fréquemment un facteur Q, qui est très grand devant la valeur 1. 4. Modèle équivalent du condensateur réel : On admettra que les condensateurs peuvent être considérés comme parfait. Cependant le modèle naturel du condensateur est un modèle parallèle. Travaillant en parallèle, nous utilisons les admittances pour exprimer l impédance équivalente. Soit : De la même façon, on exprime le facteur de qualité Q, tel que : REM Le facteur de qualité dépend de la fréquence. Plus ce facteur de qualité est grand, et plus le condensateur est de bonne qualité. En d autres termes, plus ce facteur est grand, et plus la résistance interne est faible, donc on se rapproche d une certaine perfection. 9

La transformation série parallèle, ne présente que très peu d intérêt, car technologiquement parlant, les condensateurs sont considérés comme quasiment parfaits. Exemple : On possède le modèle parallèle d un condensateur, et on recherche Rs et Cs, correspondant au modèle série. 1. On applique les formules de base : 2. On fait l application numérique : En sachant que Rp= 33 Kohms ; Cp= 10nF, et f=20 Khz On constate que le facteur Q est très grand, on applique donc les formules simplifiées : 3. On conclut en représentant le modèle équivalent : On peut conclure, en remarquant qu en parallèle la valeur de la résistance est très grande, et en série elle est très faible. Les modèles des dipôles actifs linéaires : Les DAL sont constitués de dipôles passifs linéaires, de sources de courants et de tensions. Tous peuvent être modélisés par un Modèle Equivalent de Norton (MEN), ou un Modèle Equivalent de Thevnin (MET). 10

1. Le modèle équivalent de Thévnin : Tout DAL peut être modélisé par un MET, constitué d une source de tension Eo (tension à vide), en série avec une impédance de Zo. Exercice d application : En appliquant le MEN, calculer U, et I : 11

1. On fait un schéma équivalent, en déconnectant la charge : Comme illustré sur ce schéma, on voit bien que la charge est déconnectée. Bien que cette étape puisse paraître superflus, l ignorer pourrait être «risqué» pour la suite de l exercice. 2. On s intéresse au calcul de Zo : 1. On déconnecte la charge (voir schéma précédent) 2. On redessine le schéma en passivant les générateurs Sur le schéma ci-contre, les générateurs de tensions ont étés remplacés par des interrupteurs fermés. Si des générateurs de courant auraient étés présent, nous aurions remplacés ces derniers par des interrupteurs ouverts. 3. On calcul l impédance Zo, vu des points A et B : On a deux résistances en parallèles, on applique donc la formule simplifiée de l association de deux résistors en parallèles. Ne surtout pas hésiter à refaire un schéma intermédiaire pour faire apparaître l association (ne pas confondre «série» et «parallèle»). 4. On recherche Eo, la tension à vide : 1. On redessine le schéma, et on précise que i=0, et on flèche Eo : L intensité en sortie est de 0A. On peut donc affirmer que le courant passant dans Z1 et Z2 est le même, et que sa valeur est 0A. Ce schéma parait peut-être aux yeux de certaines totalement incompréhensible ( ), pour éclaircir leur lanterne, redessinons un 12

autre schéma très simplifié : On sait que I=0, ce qui signifie qu aucune charge n est connecté en sortie. Le courant est donc «prisonnier» du circuit. Il va sortir du premier générateur en s appelant i1, va passer dans la résistance, et va aller dans la seconde, puis dans l autre générateur (en s appelant toujours i1), et ainsi de suite. On voit que le courant «tourne» dans la branche, en gardant toujours le même nom, car il a toujours la même valeur. Par suite, on peut en déduire Eo, tel que Eo= E2 + (Z2 x I1) Il nous manque I1, on va donc le calculer : Ce calcul résulte purement est simplement de la loi d Ohm. Calculons, Eo : 5. On conclut Eo = 8V Zo = 12j L énoncé du problème demandait de calculer U et I, le modèle équivalent de Norton nous permet de nous ramener à un circuit à une seule branche, nous facilitant grandement les calculs. L usage veut qu on refasse un schéma : Pour calculer U, on applique le diviseur de tension. Pour ceux qui ne connaîtraient toujours pas ces formules, en voici un rappel : Diviseur de tension = Tension d entrée x ( Résistance(s) concernée(s) / Total des résistances ) 13

On applique ici, la méthode diviseur de tension, car on ne connaît pas le courant i, mais nous sommes en mesure de le calculer. Calculons, le courant i : Ce calcul résulte simplement de la loi d ohm, à la simple différence prés que nous avons deux résistances (elles s additionnent, car disposés en série). Maintenant que nous avons obtenu la valeur du courant, nous pouvons calculer la tension, sans passer par le diviseur de tension, mais simplement par la loi d Ohm. Voyons ce que cela donne : Le résultat est le même! 2. Le modèle équivalent de Norton Tout DAL peut être modélisé par un MEN, constitué d une source de courant Io (courant de court-circuit), en parallèle avec une admittance. 14

Note sur Norton : En recherchant Io, on court-circuite les sorties, ce qui se matérialise par un fil. Sachez qu un fil court-circuit tous les éléments parallèles à celui-ci : 3. Le théorème de superposition : Il permet de calculer la tension, ou le courant, dans un circuit comportant une ou plusieurs sources. Il ne s applique que pour les circuits linéaires, et les sources commandées ne doivent pas être passivés. La tension, ou le courant aux bornes d un dipôle AB comportant (n) sources autonomes, est la somme des tensions aux bornes du dipôle, en considérant chaque source, les autres étant éteintes. Prenons le cas de l amplificateur linéaire : On cherche à exprimer Us, en fonction de U1, U2, R1, R2, R3 et R4. 15

Dés que les schémas deviennent complexes, il est recommandé de faire un modèle équivalent de Norton, ou de Thévnin, pour chaque source, et ensuite d additionner les deux. 16

4. Les sources commandés ou liées : Une source commandée (ou liée), est une source qui dépend d un courant ou d une tension d un circuit. Qu en advient-il pour les théorèmes de Thévenin et Norton : - Pour calculer Eo (avec Thévenin), et Io (avec Norton), rien ne change - Pour calculer Zo (Thévenin) et Yo (Norton), on éteint les sources autonomes (comme on en a l habitude), mais on ne passive pas les sources autonomes, et on applique la méthode de résolution cidessous : Afin de déterminer Zo, ou Yo, on branche aux bornes du dipôle A et B, une source de tension U, délivrant un courant I. On cherche ensuite à exprimer I, en fonction de U. Exemple : Le générateur ( i1), est une source commandée. Nous cherchons à réaliser le Modèle équivalent de Norton, afin de simplifier l étude : Pour cela, commençons par calculer Yo : On a I = U x Yo On va chercher à exprimer I : I = i1 + i1 + ig I = (U / Rg ) + (U / Rg ) + (U / Zg) I= U [ ( 1/ Zg) + (1+ / Rg) ] 17