Biomécanique Chapitre 2 Cinématique du point 1
Introduction La cinématique est l étude de la variation dans le temps des positions occupées par la matière dans l espace, ceci indépendamment des causes qui produisent le mouvement. Elle s appuie uniquement sur les notions d espace et de temps que tout observateur possède intuitivement. L association de ces deux notions fondamentales introduit la notion de mouvement. 2
On étudiera par la suite la cinématique du solide parfait ou solide indéformable qui se caractérise par un ensemble de points dont les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps. Il en résulte que les vitesses des différents points ne sont pas indépendantes. La cinématique du solide est alors l étude de la distributions des vitesses des points du solide, indépendamment des causes qui génèrent le mouvement. 3
Repère L étude du mouvement d un ensemble de points d un solide ne peut s effectuer que si ce solide est repéré dans l espace. Pour ce faire, on définit un repère de l espace par la donnée : D un point O : l origine du repère De trois axes orientés par des vecteurs unitaires : les axes du repère 4
La position d un point M de l espace ne peut être défini que relativement à un autre point. On doit donc choisir une origine O d observation du mouvement Alors, la position d un point M de l espace est définie à chaque instant par le vecteur position La vitesse et l accélération de M, dans son mouvement par rapport à cette origine, sont définies par les dérivées premières et seconde du vecteur La notion de repère intervient de manière significative dans le calcul de la vitesse 5
Exemple On peut définir deux repères : 1. R(O/x, y, z) fixe par rapport au sol qui permettra d étudier le mouvement du train par rapport au sol 2. R (O /x, y, z) lié au train qui permettra d étudier le mouvement de l homme dans la train. 6
S il on appelle S l homme et G son centre de gravité, on comprend intuitivement que la vitesse de G par rapport à R est différente de celle de G par rapport à R. En effet, l homme se déplace à environ 1 m/s dans le train (marche) mais le train se déplace par rapport au sol à 60 m/s. On définit donc la vitesse d un point d un solide par rapport à un repère et on note en général : ( ) 7
Notion de vitesse Vitesse moyenne Si un point matériel G se déplace entre 2 points A et B durant une durée T alors sa vitesse moyenne entre les points A et B est définie par : 8
Vitesse instantanée Si un point G parcours un trajet d un point A à un point B, sa vitesse durant le trajet peut varier à chaque instant. L estimation de cette vitesse à chaque instant du temps traduit la notion de vitesse instantanée. 9
Pour calculer la vitesse de G à l instant t par rapport à un repère R 0 (0 / x 0, y 0, z 0 ), il faut connaître l évolution du vecteur dans le temps et dans R 0. On peut estimer cette vitesse, si l on connaît le vecteur juste avant l instant t, soit à t- t ou juste après l instant t soit à t+ t. On a alors la vitesse de G à t : + ou avec t petit, tendant vers 0. 10
On introduit alors la notion de dérivée par : + En outre, la notion de vitesse dépend aussi du repère par rapport auquel on la calcule, on notera alors la vitesse du point G par rapport au repère R 0 par : ou 11
Calcul de la vitesse Vitesse instantanée de rotation Si un solide S tourne autour d un repère R 0, alors on peut définir sa vitesse instantanée de rotation par le vecteur noté Ω. Si cette rotation s effectue autour de l axe (O, x 0 ) le vecteur vitesse instantanée de rotation est porté par et vaut Ω Ω. De même il est porté par si la rotation 12 est autour de (O, y 0 ) et par si la rotation est autour de (O, z 0 ).
Formule de la base mobile Soient R 0 (O / x 0, y 0,z 0 ) un repère fixe ou absolu et R 1 (O 1 / x 1, y 1,z 1 ) un repère en mouvement par rapport à R 0. On peut alors calculer la dérivée d un vecteur par rapport à R 1 : + Ω 13
Distribution des vitesses Soient un solide S en mouvement par rapport à un repère R 0 (O / x 0, y 0,z 0 ) et deux points A et B de ce solide, on peut alors écrire la relation de distribution des vitesses dans la solide par : ( ) ( ) + Ω avec Ω la vitesse instantanée de rotation de S par rapport à R 0. 14
Composition des vitesses Soient R 0 (O / x 0, y 0,z 0 ) un repère fixe ou absolu et R 1 (O 1 / x 1, y 1,z 1 ) un repère en mouvement par rapport à R 0. On peut alors étudier le mouvement d un point M dans l espace et s intéresser à la relation liant la vitesse du point M par rapport à R 0 et à R 1. 15
On définit alors : la vitesse absolue du point M comme la vitesse de M par rapport au repère fixe R 0 ( ) ( ) la vitesse relative du point M comme la vitesse de M par rapport au repère mobile R 1 ( ) ( ) 16
Or + donc ( ) + Mais +Ω d où ( ) + +Ω On définit alors la vitesse d entraînement par : +Ω On a alors : ( ) ( ) + ( ) 17
Exemple Soit une barre articulée (S) de longueur l tournant autour de l axe (O, z 0 ), avec une vitesse instantanée de rotation Ω, on définit deux repères : Repère d étude fixe R 0 (0, x 0, y 0, z 0 ) Repère mobile attaché à (S) R 1 (A, x 1, y 1, z 0 ) On peut calculer la vitesse du point A par rapport à R 0 par deux méthodes : 1. Dérivation directe 2. Distribution des vitesses dans (S) 18
Dérivation directe La formule de la base mobile donne : Ω Ω Ω Finalement : Ω 19
Distribution des vitesses Mais Et Ω + Ω Ω Ω Finalement : Ω 20