Existence and boundary behavior of solutions for a nonlinear Di. annulus

Existence and boundary behavior of solutions for a nonlinear Dirichlet problem in the annulus Workshop in Nonlinear PDEs (Belgique, septembre 2015)

1 Introduction Objectif Historique Motivation 2 de Dirichlet

Objectif Historique Objectif Soit Ω un ouvert borné de R n défini par Ω := {x R n, (n 2) : 0 < a < x < b < }. Problème { u = q(x)f (u), x Ω, (P) u > 0 in Ω, u Ω = 0, où q et f sont deux fonctions mesurables positives, telles que q C γ loc (Ω), 0 < γ < 1 et f C 1 (0, ).

Objectif Historique Historique A. C. Lazer, P. J. McKenna, On a singular elliptic boundary value problem, Proc. Amer. Math. Soc. 111 (1991) 721-730. Soit Ω un C 1,1 domaine borné de R n (n 2). (Q) q C γ ( Ω ), 0 < γ < 1 satisfaisant u = q(x)u σ, x Ω, σ < 1, u > 0 sur Ω, u Ω = 0, q(x) δ(x) λ, pour x Ω, avec 0 < λ < 2 et δ(x) = dist(x, Ω). Il existe une unique solution u C (Ω) C 2+γ (Ω), c 1 δ(x) 2 1 σ u(x) c2 δ(x) 2 λ 1 σ, pour x Ω.

Objectif Historique Historique H. Mâagli, Asymptotic behavior of positive solution of a semilinear Dirichlet problem, Nonlinear Anal. 74 (2011) 2941-2947. (Q) u = q(x)u σ, x Ω, σ < 1 u > 0 sur Ω, u Ω = 0. Où Ω est un C 1,1 domaine borné de R n (n 2). (H 1 ) q C γ loc (Ω), 0 < γ < 1 vérifiant pour tout x Ω q(x) δ(x) λ L(δ(x)), avec λ 2 et L K telque η 0 t 1 λ L (t) dt <.

Objectif Historique Théorème (Mâagli) Sous l hypothèse (H 1 ). Le problème (Q) admet une unique solution u C (Ω) C 2+γ (Ω), vérifiant 2 λ min(1, u(x) δ(x) 1 σ ) Ψ L,λ,σ (δ(x)), où Ψ L,λ,σ est la fonction definie sur (0, η] par 1, si λ < 1 + σ, ( η ) 1 L(s) 1 σ ds, si λ = 1 + σ, t s Ψ L,λ,σ (t) := (L(t)) 1 1 σ, si 1 + σ < λ < 2, ( t ) 1 L(s) 1 σ ds, si λ = 2. s 0

Objectif Historique Motivation S.Ben Othman, B. Khamessi ont considéré le problème (P) avec Ω un C 1,1 domaine borné de R n (n 2). Les fonctions q et f vérifient les conditions suivantes (H 2 ) q C γ loc (Ω), (0 < γ < 1) vérifiant pour tout x Ω δ(x) λ 1 L 1 (δ(x)) q(x) δ(x) λ 2 L 2 (δ(x)), avec λ 1 λ 2 2 et pour i {1, 2}, L i K tel que η 0 t 1 λ i L i (t)dt <. (H 3 ) f est une fonction positive appartenant à C 1 ((0, )) vérifiant c 1 u σ 1 f (u) si 0 < u 1 et f (u) c 2 u σ 2 si u > 0, σ 2 σ 1 < 1 et 0 < c 1 < c 2.

Objectif Historique Motivation Théorème (Ben Othman et al) Sous les hypothèses (H 2 ) et (H 3 ), le problème (P) admet une solution u C (Ω) C 2+γ (Ω) telle que pour tout x Ω, et où c > 0. ( 1 c δ(x)min 1, 2 λ 1 1 σ 1 )ψ L1,λ 1,σ 1 (δ(x)) u(x) u(x) cδ(x) min ( 1, 2 λ 2 1 σ 2 )ψ L2,λ 2,σ 2 (δ(x)),

Objectif Historique Motivation S.Dridi, B. Khamessi considérent le problème (Q) dans le cas où Ω := {x R n, (n 3) : 0 < a < x < b < }, avec σ < 1 et q est une fonction mesurable positive vérifiant (H 4 ) q C γ loc (Ω), 0 < γ < 1 tel que pour tout x Ω q(x) ( x a) λ 1 (b x ) λ 2 L 1 ( x a)l 2 (b x ), avec λ 1, λ 2 2 et pour i {1, 2}, L i K vérifiant η 0 t 1 λ i L i (t)dt <.

Objectif Historique Motivation Théorème (Dridi et al) Soit σ < 1 et supposons que q satisfait (H 4 ). Alors le problème (Q) possède une solution unique u satisfaisant pour tout x Ω, u(x) θ σ (x), où θ σ est une fonction définie sur Ω par θ σ (x) := ( x a) min(1, 2 λ 1 1 σ ) ψ L1,λ 1,σ( x a) (b x ) min(1, 2 λ 2 1 σ ) ψ L2,λ 2,σ(b x ).

Hypothèses Introduction Considérons le problème { u = q(x)f (u), x Ω, (P) u > 0 in Ω, u Ω = 0, où Ω := {x R n, (n 2) : 0 < a < x < b < } et les fonctions f et q vérifient respectivement (H 3 ) et (H 4 ).

Résultat principal Théorème Sous les hypothèses (H 3 ) et (H 4 ). Alors le problème (P) admet une solution u C (Ω) C 2+γ (Ω) vérifiant où c 1, c 2 > 0. c 1 θ σ1 (x) u(x) c 2 θ σ2 (x),

Definition On note K l ensemble des fonctions L définies sur (0, η], par η L (t) := exp( t z(s) ds), s où η > d := diam (Ω) et z C ([0, η]) vérifiant z(0) = 0. On remarque que L K si et seulement si L est une fonction positive de C 1 ((0, η]) telle que tl (t) lim t 0 + L(t) = 0.

Lemme (1) Soient L 1, L 2 K, p R et ε > 0. Alors, on a L 1 L 2 K, L p 1 K, lim t ε L 1 (t) = 0. t 0 Soit L K definie sur (0, η]. Alors, on a Et, si η 0 t η t L(x) dx K. x L(t) t dt converge, alors on a t t L(x) 0 x dx K.

Lemme (2) [Théorème de Karamata] Soit L K définie sur (0, η] and σ R. Alors, on a Si σ > 1, alors η 0 t σ L(t)dt converge et t 0 s σ L(s)ds t 1+σ L(t) σ + 1 Si σ < 1, alors η 0 t σ L(t)dt diverge et si t 0 +. η t s σ L(s)ds t 1+σ L(t) σ + 1 si t 0 +. Remarque L K = η 0 t 1 λ L(t)dt <, λ < 2.

Proposition (1) Soit q une fonction satisfaisant (H 4 ). Alors pour tout x Ω, Vq(x) θ 0 (x). Idée de la Preuve : On suppose n = 2 et on pose p(x) := ( x a) λ 1 (b x ) λ 2 L 1 ( x a)l 2 (b x ), x Ω. vérifiant b a q(x) p(x), x Ω, (b r) (r a) p(r)dr < et donc b ( ) ( min( x, r) Vp(x) = r ln ln a a b max( x, r) (r a) λ 1 (b r) λ 2 L 1 (r a)l 2 (b r)dr )

Proposition (2) Soit q une fonction vérifiant (H 4 ). Alors pour tout x Ω, on a V (qθσ)(x) σ θ σ (x). Idée de la Preuve :On a, pour tout x Ω q(x)θσ(x) σ p(x)θσ(x) σ ( x a) µ 1 (b x ) µ 2 L 1 ( x a) L 2 (b x ), Où µ 1 = λ 1 σ min(1, 2 λ 1 1 σ ), µ 2 = λ 2 σ min(1, 2 λ 2 L 1 = L 1 ψl σ 1,λ 1,σ et L 2 = L 2 ψl σ 2,λ 2,σ. 1 σ ),

On considère le problème plus général { u = f (x, u), x Ω, (S) u > 0 dans Ω, u Ω = 0, Definition Une fonction positive u C 2 (Ω) C ( Ω) est dite une sous-solution du problème (S) si { u f (x, u), x Ω, u > 0 dans Ω, u Ω = 0. Si l inégalité précédente est inversée, u est dite une sur-solution du problème (S).

Lemme (5,Zhang) Soit f une fonction continue locallement hölderiènne dans Ω (0, ) et continuement différentiable par rapport à la seconde variable. Supposons que le problème (S) possède une sur-solution ū et une sous-solution u telles que u ū dans Ω. Alors, le problème (S) admet une solution classique u telle que u u ū dans Ω. Lemme (6) Si f est décroissane par rapport à la seconde variable dans (0, ), alors le problème (S) a au plus une solution u C (Ω) C 2+γ (Ω).

Théorème (1) Assumons (H 4 ). Pour σ < 1, le problème (Q) admet une unique solution vérifiant pour tout x Ω u(x) θ σ (x).

Théorème (2) Sous les hypothèses (H 3 ) et (H 4 ). Alors le problème (P) admet une solution u C (Ω) C 2+γ (Ω) vérifiant où c 1, c 2 > 0. c 1 θ σ1 (x) u(x) c 2 θ σ2 (x),

Idée de la preuve Introduction Soit les constantes 0 < c 1 < c 2, telles que c 1 u σ 1 f (u), si 0 < u 1 et f (u) c 2 u σ 2, si u > 0. Il existe c > 0 tel que 1 p(x) q(x) cp(x), c Considérons les problèmes non linéaires suivants { u = c 1 c p(x)u σ 1, x Ω, u > 0 dans Ω, u Ω = 0, (1) et { u = c2 cp(x)u σ 2, x Ω, u > 0 dans Ω, u Ω = 0. (2)

Idée de la preuve Introduction Théorème 1 = u 1 et u 2 solutions respectivement de (1) et (2) verifiant 1 k 1 θ σ1 (x) u 1 (x) k 1 θ σ1 (x) avec k 1, k 2 > 0. 1 k 2 θ σ2 (x) u 2 (x) k 2 θ σ2 (x),

Idée de la preuve Introduction Lemme (7) Il existe k > 0 tel que pour tout x Ω, on a : On pose m = max(1, kk 1 k 2 ), u := min(1, θ σ1 (x) kθ σ2 (x). 1 u 1 )u 1 et ū := mu 2.

Idée de la preuve Introduction Alors u et u sont respectivement sous et sursolution du problème (P) vérifiant u ū. (P) possède une solution classique u vérifiant u u ū.

Merci pour votre attention.

Introduction Soit la fonction f (t) := 2π 3t + 3πt, si t (0, 1 3 ], 3π + sin 3πt, si t ( 1 3, 1], 3π t, si t (1, ). On a f C 1 (0, ) vérifiant t 1 2 f (t) si 0 < t 1 et f (t) (3π + 1) 1 t si t > 0.

Introduction On considère la fonction ( ) q(x) = ( x a) 2 (b x ) λ 3(b a) 2 ( log( x a ) avec λ 2 et µ vérifiant l une de ces deux conditions λ < 2 et µ R. λ = 2 et µ > 1. log( ) 3(b a) µ b x ),

Introduction Soit le problème suivant (β < 1). { u + β (R) u u 2 = q(x)f (u), x Ω, u > 0 in Ω, u Ω = 0, Le problème (R) admet une solution classique u vérifiant pour x Ω 1 c (θ σ 1 (x)) 1 1 β u(x) c(θ σ2 (x)) 1 1 β, où c est une constante positive. avec θ σi (x) := ( ) 1 3(b a) log( x a ) 1 σ i ϕ σi (x),

Introduction ( ) log( 3(b a) 1 µ b x ) 1 σ i, if λ = 2 and µ > 1, ) (b x ) 2 λ 1 σ i (log( 3(b a) µ b x ) 1 σ i, if 1 + σi < λ < 2, ϕ σi := b x, if λ = 1 + σ i and µ > 1, ( ) (b x ) log(log 3(b a) 1 b x ) 1 σ i, if λ = 1 + σi and µ = 1, ( ) (b x ) log( 3(b a) 1 µ b x ) 1 σ i, if λ = 1 + σi and µ < 1, Sonia. b Ben x, Makhlouf, Malek. Zribi Existence and boundary if λ behavior < 1 of + solutions σ i. for a nonlinear Di