Université de Rennes Année 206-207 UFR Mathématiques MIEE L, Module ANA Chapitre 3 : Étude des fonctions Domaine de définition Eercice 3.. Trouver le domaine de définition des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) tan(2), (b) ln( ), (c) ln( 2 ) (d) 2 3 4 (e). Composées de fonctions Eercice 3.2. Soit f et g deu fonctions numériques d une variable réelle données par f() = 3 et g() = 2 2 +. (a) Trouver le domaine de définition ainsi que l image de f et de g. (b) Déterminer les antécédents de 0 et 2 par f et de 0 et 2 par g. Soient f, f 2, f 3 et f 4 les fonctions numériques d une variable réelle donées par f () = f(f()), f 2 () = f(g()), f 3 () = g(f()) et f 4 () = g(g()). (c) Déterminer le domaine de définition de f i, i =,...,4. (d) Trouver une epression simplifiée de f i, i =,...,4. Inéquations, valeur absolue Eercice 3.3. Résoudre les équations et inéquations suivantes dans R : (a) 2 5 = 4, (b) 2 + 4 < 3, (c) 2 + 5 2. Fonction logarithme, eponentielle, puissance Eercice 3.4. Simplifier les epressions suivantes autant que possible : ( ) ( ) (a) 9 2, (b) log9 (c) ln( + cos()) + ln( cos()) 2 ln(sin()). 3 27 Eercice 3.5. (Etrait du contrôle 2 du 4/0/2009) Résoudre l inéquation ( ) ln > 0. +
Eercice 3.6. (Etrait du contrôle 2 du 4/0/2009) Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : ( e ) ( 2 ) α 2 (a) ln (b) ( )( + 2) 2, pour α ]0,[. + 4 + 3 Fonctions hyperboliques Eercice 3.7. (a) Eprimer sinh(3) à l aide de sinh(). (b) Montrer en utilisant la définition du cosh et sinh que cosh 2 () sinh 2 () =. (c) Simplifier l epression suivante autant que possible : cosh(ln()) sinh(ln()) cosh(ln()) + sinh(ln()). Symétrie Eercice 3.8. Parmi les fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes, lesquelles sont paires ou impaires? (a) 5 4 3 2, (b) 2 4 3 +, (c) sin( 3 ), (d) sin 2 ( 3 ), (e) e, (f) ln( ), (g) tan(sin()), (h) e sin() (i) sin(ln()). (j) cosh() + e 2 4. Eercice 3.9. (a) Montrer que le graphe de la fonction donnée par la formule f() = 2 + 2 + 3 est symétrique par rapport à la droite d équation =. (b) Montrer que le graphe de la fonction donnée par la formule g() = 3 3 2 + 3 6 est symétrique par rapport au point M(, 5). Eercice 3.0. Soient f et g deu fonctions numériques d une variable réelle. (a) si f et g sont impaires alors la composition f g est impaire. (b) si g est paire alors f g est paire. (c) si f est paire et g est impaire alors f g est paire. Limite Eercice 3.. Décrivez le comportement ite des fonctions numériques d une variable réelle, données par les formules suivantes, de chaque côté de la valeur de indiquée. (a) ep ( ) ( ), = 0 (b) ep, = 0 (c) 2 2 +, =. 2
Eercice 3.2. Prouvez par encadrement (théorème des gendarmes) que la valeur de chacune des ites suivantes ( est) zéro. ( ) (a) sin, (b) 0 + e cos(), (c) cos, (d) ep(sin() ). + Eercice 3.3. Utilisez un changement de variable pour évaluer les ites suivantes : sin(ln()) 2 (a), (b) ln() 0 + sin( 2). Eercice 3.4. Évaluez les ites suivantes 2 4 + 4 ep(2) (a) 2 2, (b) 4 0 ep(), (c) 0 2 2 + 2 2 2, (d) + 2 + 2 + 3, (e) 2 2 2 + 3 + 5 4 + 2, (f) + 2 ln (g) + e + 2 (h) ( ln( + 2) + (i) + + ) (( + ) 2 ) sin (j) (Etrait de l eamen du 9/2/2008). 0 cos Branche infinie Eercice 3.5. Etudier l eistence d une direction asymptotique et l eistence d une asymptote oblique en + des graphes des fonctions données par les formules (a) f () = 2 + 3 (b) f 2 () = e (c) f 3 () = ln(sinh 2 sinh + ) (d) f 4 () = 2 sin() (e) f 5 () = 2 + sin() (f) f 6 () = + sin() Définition de la dérivée Eercice 3.6. Utiliser directement la définition de la dérivée (en tant que ite) pour calculer la dérivée de la fonction f() =. Opérations algébriques de la dérivée Eercice 3.7. Pour chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) 8 3/4 (b) e (c) e sin() (d) 4 e ln() 2/3 (e) 2 + 2 3 (f) 3 sin() (i) donner un sous-ensemble du domaine de définition ou la fonction en question est dérivable et (ii) utiliser les règles concernant la dérivée d une somme, d un produit, et d un quotient pour trouver la dérivée. 3
Eercice 3.8. En utilisant toutes les règles à votre disposition, trouver la dérivée de chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) cos( ) (b) + e (c) cosh( ln()) (d) 2 (e) ln(ln(ln())) (f) ln( sin()) (g) 2 sin() Règle de l Hôpital Eercice 3.9. Utilisez la règle de l Hôpital pour trouver les valeurs des ites suivantes : ( (a) 0 sin() ) (, (b) tan() 0, (c) 0 sin() ), ( ) cos(a ) sin() + 3 6 (d) 0 2 2, (e) 0 5. Eercice 3.20. Soit f() = 2 4. (a) Déterminer les points critiques de f. Etrémum (b) Déterminer les minima, maima locau et globau de f(). Eercice 3.2. Déterminer (s ils eistent) les minima, maima locau et globau de (a) ( 2 ) 2 (b) 2 ep ( 2). Eercice 3.22. Pour chacune des fonctions numériques données par les formules et les domaines de définitions ci-dessous, trouver les maima et minima locau et globau. (a) 2 + 2 3, 2 2 (b) 2 + 2, 3 3 + 2 Accroissements finis Eercice 3.23. Pour n 0 un entier, on considère f() = n. Soient a,b deu réels avec a < b. (a) On suppose que n = 0. Déterminer l ensemble des c ]a,b[ tels que f (c) = f(b) f(a) b a. (b) Même question pour n =. (c) Même question pour n = 2. (d) (Plus difficile) Traiter le cas n quelconque. Eercice 3.24. Soit f() =, et a,b deu réels avec a < b. (a) Déterminez l ensemble E des points où f est dérivable. (b) Eiste-t-il c E tel que f (c) = f(b) f(a) b a et b sont de même signe ou non).? (On pourra distinguer plusieurs cas, selon que a 4
Eercice 3.25. Soit f() = arctan(), a = 0, b =. Déterminer si il eiste c ]a,b[ (et le cas échéant le déterminer) tel que f f(b) f(a) (c) =. b a Applications, Injections, surjections Eercice 3.26. Dans chacun des cas suivants indiquer s il s agit du graphe d une application, injection, surjection de [0,] dans [0,]. 0 (a) 0 0 (b) (c) 0 (d) 0 (e) 0 (f) 0 0 0 (g) (h) (i) Fonctions convees, fonctions concaves Eercice 3.27. Que dire d une fonction à la fois convee et concave sur un intervalle? Eercice 3.28. Après avoir déterminé son ensemble de définition, montrez que f() = ln(+e ) est convee, puis déterminez ses éventuelles asymptotes avant de tracer son graphe Eercice 3.29. (a) Montrez, à l aide d une propriété de conveité, que 0, e +. (b) Démontrez que la fonction f() = e 2 2 3 6 est convee, et tracez l allure de son graphe. 5
Inégalités Eercice 3.30. Démontrer l inégalité suivante : 0, ln( + ) 2 2 Fonction réciproque Eercice 3.3. Soit f la fonction donnée par la formule 2 2 + 3. (a) Déterminez le domaine de définition D f et l image de f. (b) Trouver un domaine D D f tel que f est une bijection entre D et son image. (c) En citant un théorème du cours, montrer que f admet une fonction réciproque. Quel est son domaine de définition, son image? Que peut-on dire sur la continuité de cette dernière? (d) Tracez la fonction et sa réciproque dans un même repère. (e) Trouvez l epression de la fonction réciproque. Eercice 3.32. Pour chacune des fonctions numériques donnés par les formules suivantes : f() = sinh() g() = cosh() h() = e 2 (a) montrer qu après une réstriction approprié du domaine de définition elle admet une fonction réciproque qui est continue. (b) étudier la dérivabilité de la fonction réciproque et déterminer cette dérivée. Fonctions trigonométriques réciproques Eercice 3.33. Simplifier les epressions suivantes : (a) sin(arcsin()), R ; (b) arcsin(sin()), [ π 2,π 2 ] ; (c) arcsin(sin()), [ π 2,3π 2 ] ; (d) arcsin(sin()), [3π 2,5π 2 ] ; (e) cos(arcsin()) Eercice 3.34. Utilisez un changement de variable pour évaluer les ites suivantes : (a) 0, (b) arcsin() arcsin(ep()). ep() Eercice 3.35. Etudier les branches infinies en + et du graphe de la fonction donnée par + arctan( 2 + ). Eercice 3.36. Donner le domaine ou les fonctions suivantes sont dérivables et déterminer la dérivée sur ce domaine : (a) ln + arcsin(2 ); (b) arctan( + ); (c) arccos(22 ). 6
Etude complète de fonction Eercice 3.37. Etudier et tracer le graphe des fonctions données par les formules : (a) f() = ( ) 2 (b) f() = ln(cosh ) (c) f() = arcsin ln + 2 (d) f() = arctan ( ) 2 (e) f() = sinh ( ) (Contrôle continue du 4//200). COMPLÉMENTS Domaine de définition Eercice 3.38. Trouver le domaine de définition des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) 5 3 2 + 2 7, (b) 2 5 + 6, (c) ln(), (d) sin(2), (e) cos(), (f) e. Composées de fonctions Eercice 3.39. Soit f et g deu fonctions numériques d une variable réelle. On suppose que f() = e et (f g)() = 3 4. Déterminer g(). Eercice 3.40. Soit f et g deu fonctions numériques d une variable réelle. On suppose que (f g)() = et g() = 2 +. Déterminer f. 2 Inéquations, valeur absolue Eercice 3.4. Résoudre les équations et inéquations suivantes dans R : (a) 2 2 5 =, (b) 3 = 7, (c) 2 2 5 4 3. Eercice 3.42. Tracer le graphe des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) 2 5 + 6, (b) sin(2). Eercice 3.43. Tracer le graphe de la fonction numérique d une variable réelle donnée par : f() = 2 + 7
Limite Eercice 3.44. Trouvez des eemples de fonctions paires f, g satisfaisant les conditions suivantes lorsque + :. f() +, g() + et f() g() 0 ; 2. f() +, g() + et f() g() + ; 3. f() +, g() + et f() g() ; 4. f() +, g() + et f() g() 3. Eercice 3.45. Décrivez le comportement ite des fonctions numériques d une variable réelle, données par les formules suivantes, de chaque côté de la valeur de indiquée. (a) Ent( ), = 9 (b) sin() sin() tan(), = π (c), = 0. Eercice 3.46. Prouvez par encadrement (théorème des gendarmes) que la valeur de chacune des ites suivantes est zéro. (a) ep() sin(2 + ), (b) ( tanh()) cos(). + Eercice 3.47. Évaluez les ites suivantes, en utilisant des manipulations algébriques. 2 + 6 7 3 ( + 4 (a) 2, (b) +, (c) 2 2 4 ), 2 2 (d), (e) (g) (i) + + 2 + 2 + 3 2, (h) 2 + + cos 2 () 2 2 sin 2, (j) (2) + 2 5 + 2, (f) + 3 + 2, 2 + 3 4 + 2 2 + 2 4 3 3 +, ep() sin() + 2 5. (k) 2 ep() + cos() 3 3 +, Eercice 3.48. Donner la ite en 0 + des fonctions données par les formules (a) 2 ln( + ) (b) ln() Eercice 3.49. Donner la ite en + de la fonction donnée par ( e ) + + ( + ) (a) (b) + 2 + Eercice 3.50. Soit f une fonction bornée, c est-à-dire qu il eiste des constantes A et B telles que A f() B pour tout dans le domaine de f. Montrer par encadrement (théorème des gendarmes) que 0 f() sin() = 0. 8
Branche infinie Eercice 3.5. Décrivez les comportements ites près des asymptotes verticales de ( + )( 2)2 ( )( + 2) 2 Définition de la dérivée Eercice 3.52. Utiliser directement la définition de la dérivée (en tant que ite) pour calculer la dérivée des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) 3 (b) Eercice 3.53. En admettant la dérivabilité en 0, établir la dérivabilitée sur R des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) cos() (b) tan() (c) e Opérations algébriques de la dérivée Eercice 3.54. Pour chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) 2 tan() (b) 3 2 (c) 2 + 2 cos() e 2 3 2 (d) (e) + 2 sin() tan() (i) donner un sous-ensemble du domaine de définition ou la fonction en question est dérivable et (i) utiliser les règles concernant la dérivée d une somme, d un produit, et d un quotient pour trouver la dérivée. Eercice 3.55. Utiliser la règle concernant la dérivée d une composée pour trouver la dérivée de chacune des fonctions données par les formules suivantes : ( ) (a) cosh(cos()) (b) tan (c) sin(2 cos(3)) (d) 3 3 Eercice 3.56. En utilisant toutes les règles à votre disposition, trouver la dérivée de chacune des fonctions données par les formules suivantes : ( ) (a) sin (b) 3 + cos() 2 (c) a sin(b) + b sin(a) Dérivée et parité Eercice 3.57. On rappelle que la dérivée d une fonction impaire est paire, et la dérivée d une fonction paire est impaire. (a) Epliquer ce résultat à l aide de graphes. (b) Démontrer les affirmations en comparant les dérivées de f() et f( ). (c) Démontrer les affirmations en utilisant directement la définition de la dérivée en tant que ite. (d) Pensez-vous que les affirmations réciproques sont vraies? C est-à-dire, toute fonction paire (resp. impaire) est-elle la dérivée d une fonction impaire (resp. paire)? Si oui, en donner une démonstration. Sinon, donner un contre-eemple. 9
Dérivées d ordre supérieur Eercice 3.58. Calculer les premiéres dérivées d ordre supérieur de la fonction donnée par f() = sin(2 5). En se basant sur les formules ainsi obtenues, deviner des formules générales pour f (2n) () et f (2n+) (). Démontrer ces formules par récurrence. Difficile : Trouver une formule générale qui englobe les deu formules trouvées précédemment. Eercice 3.59. Calculer plusieurs dérivées successives de la fonction donnée par f() = e sin(). Deviner les formules générales pour f (4n) (), f (4n+) (), f (4n+2) (), f (4n+3) (). Les démontrer par récurrence. Eercice 3.60. Utiliser la formule de Leibniz pour déterminer la dérivée n-ième de chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) ln() (b) ( 2 2 + 3) e 2 (c) 3 e Règle de l Hôpital Eercice 3.6. Utilisez la règle de l Hôpital pour trouver les valeurs des ites suivantes : (a) cos(a ) 0 cos(b ) (b) 0 sin 3 () tan() Etrémum Eercice 3.62. Déterminer (s ils eistent) les minima, maima locau de (a) 4 + 4 3 2 2 2 2 3 2 5 (b) 2 (c) ln( + + 2 ) + (d) 4/3 2 2/3 (e) 3 + 6 Eercice 3.63. Pour chacune des fonctions numériques données par les formules et les domaines de définitions ci-dessous, trouver les maima et minima locau et globau. (a) ( + ) 2, 2 2 (b) 3 2, 3 3 (c) 2 sin(), π π (d) (e) cos() 2 + sin(), π 2 π 2 ln() 2, 5 (f), 3 3 (g) cos(2) + 2 sin(), π π cosh( ) (h) 3, 0 Eercice 3.64. Démontrer les inégalités suivantes : Inégalités 0, 0 e e 0, 0 e 2 2 e 0
Fonction réciproque Eercice 3.65. Soit f la fonction donnée par la formule 2 3. Déterminez le domaine de définition et l image de f et décider si f est injective ou non. Lorsque f est bijective, trouvez l epression de la fonction réciproque et déterminez le domaine de définition et l image de cette dernière. Puis tracez la fonction et sa réciproque dans un même repère. Eercice 3.66. Trouver une formule pour l inverse de la fonction f donné par : f() = 5 2 2 2, si > 3. Esquisser le graphe de f et le graphe de son inverse sur un même graphique. Fonctions trigonométriques réciproques Eercice 3.67. Trouvez des eemples numériques pour montrer qu en général arctan() arcsin() arccos(). Eercice 3.68. Simplifier les epressions suivantes autant que possible. (a) coth(ln(), (b) sin(arctan()). Etude complète de fonction Eercice 3.69. Etudier et tracer le graphe des fonctions données par les formules : (a) g() = ln() 2, (b) h() = e e 2 (c) h() = (cosh ) (d) f() = ( + ). (e) f() = 2 2 2 Applications des fonctions Eercice 3.70. Dans la théorie des circuits électriques, il y a une fonction appelée la fonction de Heaviside, baptisé du nom du physicien Oliver Heaviside (850-925), définie comme suit : H(t) = {, si t 0, 0, si t < 0, elle représente l entrée d un circuit qui est aenté au temps t = 0. Il s agit d une fonction définie par deu morceau pour laquelle un symbole simple est employé. Que représente la fonction t H( t)? Que représente t H(t )? Quel est le graphique de t H(t) H(t )? Vous pouvez employer ceci comme un point de départ pour une autre recherche sur des fonctions définies ayant des formules simples. Ces fonctions sont en fait employées en liaison avec des transformées de Laplace pour résoudre des équations différentielles liées au circuits électriques.
Géométrie, Optimisation Eercice 3.7. La tangente au graphe de la fonction 3 en un point P intersecte la courbe encore une fois en un autre point Q. Déterminer les coordonnées de Q, en fonction des coordonnées de P. Eercice 3.72. On considère l hyperbole d équation 2 2y 2 =. Trouver les points sur cette hyperbole qui sont les plus proches du point (0,a) sur l ae des ordonnées. Eercice 3.73. On veut fabriquer une boîte en carton (quatre côtés et un fond, mais pas de couvercle) à partir d une feuille de carton rectangulaire de un métre sur deu métres. Pour ceci, on découpe quatre carrés de dimension l l au quatre coins de la feuille. Ensuite, on plie la feuille et recolle les côtés de la façon naturelle pour obtenir une boîte. Trouver la valeur de l pour laquelle la boîte est de volume maimal. Eercice 3.74. L aire d un cône circulaire droit doit être de 4m 2. Trouver les dimensions du cône pour lesquelles le volume est maimal. On rappelle que le volume et l aire d un cône circulaire droit de hauteur h et de base circulaire de rayon r valent respectivement V = 3 πr2 h et A = πr(r + r 2 + h 2 ). Eercice 3.75. On veut construire des silos en acier pour des graines, qui doivent avoir un volume de 2000m 3. Les silos reposent sur une base en béton, et ils sont formés d un cylindre en acier et d un couvercle hémisphérique, également en acier. La production d un hémisphère en acier coûte trois fois plus cher, par unité d aire, qu un cylindre. Trouver le rayon du cylindre pour lequel le coût de production est minimal. Eercice 3.76. Un TGV fait un long trajet. Pendant un certain segment de 000km il roule à une certaine vitesse constante vkm/h. Le coût de l électricité par heure à cette vitesse est de C(v) = 2048 + v 3/2. Déterminer la vitesse à laquelle le train doit rouler pendant ce segment du trajet pour minimiser le coût de l électricité. 2