Corrigé DS Terminale S étude de fonctions suites Exercice Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés appelés pixels donc la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est définie par un réel x de la façon suivante : x 0 pour le blanc et x pour le noir ; x 0,0 ; x 0,02 et ainsi de suite jusqu à x 0,99 par pas de 0,0 pour les nuances dégradées de gris. On donne aussi les définitions suivantes : une fonction f est dite fotopol si f ( 0) 0, f ( ) et f est continue et croissante sur 0 ; ; une nuance de gris est dite assombrie par f si f ( x) > x, et éclaircie par f si f ( x) < x. Prenons par exemple l image A ci-dessous : si f x si f x ( ) x 2, un pixel de nuance 0,2 prendra la nuance 0,2 2 0,04 et l image de A se changera en B ; ( ) x, la nuance 0,2 prendra la nuance 0,2! 0,45 et l image de A se changera en C. Soit la fonction g définie sur l intervalle 0 ; par : g( x) 4x 3 6x 2 + 3x. ) Prouvons que g est une fonction fotopol : g 0 g ( ) 4 0 3 6 0 2 + 3 0 0 ( ) 4 3 6 2 + 3 4 6 + 3 g est continue sur 0 ; comme fonction polynôme. Variations de g sur 0 ; : la fonction g est dérivable sur 0 ; comme fonction polynôme et pour tout x de 0 ;, g ( ) 3( 2x ) 2 g ( x) 0. ( x) 2x 2 2x + 3 3 4x 2 4x + Ainsi pour tout x 0 ;, La fonction g est donc croissante sur 0 ;. Ainsi, la fonction g est une fonction fotopol. 2) Résolution graphique de l inéquation ( ) < x à l aide du graphique donné g x ci-contre. Les solutions de l inéquation g( x) < x sont les abscisses des points de la courbe Cg situés en-dessous de la droite
( d) d équation y x. On obtient S 0,5;. Pour tout x 0,5;, la fonction g éclaircit la nuance initiale. Pour tout x 0 ; 0,5, la fonction g assombrit la nuance initiale. Pour x 0, x 0,5, x, la fonction g ne modifie pas la nuance initiale. 3) Une modification de nuance n est visible à l œil nu que si la valeur absolue de l écart entre la nuance initiale et la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05. Dans l algorithme ci-dessous, f est une fonction fotopol. Variables : Traitement : sont des réels sont des entiers Pour allant de à faire : Si Fin Si Fin Pour faire Sortie : Afficher a / Cet algorithme compte le nombre de modifications de nuances visibles à l œil nu. b / L algorithme affiche la valeur c 84 si on l applique à la fonction g. Exercice 2 On a tracé ci-contre la courbe Cf représentant la fonction f définie sur 0 ; par f x ( ) et R( ; 0). P 0 ; ( ) ( x ) 4 et les points L objectif de cet exercice est de chercher une tangente à Cf parallèle à PR ( ), si elle existe. ) Étude d une fonction g Soit g( x) ( x ) 3 pour 0 x. a / Étude des variations de la fonction g : La fonction g s écrit sous la forme v!u avec la fonction u définie sur 0 ; par u x fonction v définie sur 0 ; par v x x 0 ;, ( ) x et la ( ) x 3. Ces deux fonctions sont dérivables sur! donc aussi sur 0 ;.
( ) ( v!u) ( x) v g x On en déduit que g ( ) u x u x Montrons que l équation g( x) 4 ( ) 3( x ) 2 3( x ) 2 ( x) 0 sur 0 ;. La fonction g est croissante sur cet intervalle. a une unique solution α : g est continue (car dérivable) et strictement croissante sur 0 ; g 0 g ( ) ( ) 0 g réalise une bijection de 0 ; vers ; 0. Or < 4 < 0 Alors d après le th. des valeurs intermédiaires, l équation g( x) 4 b / Encadrement de α d amplitude 0, admet une unique solution α 0 ;. g( 0,3) < 4 et g( 0,4) > 4 alors 0,3 < α < 0,4 2) Retour au problème posé. a / x 0 ;, f x b / f ( a) 4g a ( ) 4( x ) 3 4g( x). Pour 0 a, f ( a) 4( a ) 3 4g( a). ( ) g( a) 4. D après la question précédente, cette équation a pour unique solution α. c / Déterminons le coefficient directeur de la droite ( PR) : m y y P R 0 x P x R 0. ( T ) et ( PR) parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur. Ainsi : ( T ) / /( PR) f ( a) 4g a ( ) g( a) 4 cad a α. conclusion : il existe une unique tangente à Cf parallèle à PR 3) a / f ( α ) ( α ) 4 ( α ) ( α ) 3!" # $# 4 α g( α ) 4 ( ). CQFD b / Construction de α puis de ( T ) sur le graphique en expliquant la démarche. D après le a/ le point d intersection de la droite d équation y ( 4 x ) et Cf a pour coordonnées ( α ; f ( α )). Le tracé de cette droite permet de déterminer graphiquement le point d abscisse α. Par ce point, on trace la parallèle à la droite PR On obtient la tangente T ( ) cherchée. ( ). ( ), c est la tangente à Cf au point d abscisse α. Exercice 3
On considère la suite numérique ( ) définie par v 0 et pour tout entier naturel n, + 9. ) a / Montrons à l aide d un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < < 3 : Initialisation : v 0 d où 0 < v 0 < 3. La pté est initialisée. Hérédité : on suppose la pté vraie à un rang n quelconque fixé. Montrons qu elle est vraie au rang n + : 0 < < 3 3 < < 0 La pté est héréditaire. Conclusion : n!, 0 < < 3. 3 < < 6 6 < < 3 0 < 3 2 < 9 < 3 ( b / Prouvons que, pour tout entier naturel n, + 3 ) 2 : ( ) ( ) 2 9 n!, + v 9 v n v 2 6v n n + 9 v 3 n. CQFD n c / Prouvons que la suite ( ) est convergente : n!, ( 3) 2 0 + 0. 0 < < 3 3 < < 0 3 < < 6 d 'où > 0 La suite ( ) est croissante. De plus elle est majorée par 3. D où ( ) convergente. 2) On considère la suite ( ) définie, pour tout entier naturel n, par : a / Prouvons que ( ) est une suite arithmétique de raison 3 : + + 3 3 9 v 3 n 3 9 8 + 3 3 9 3 3 3 3 3. ( ) 3 3( 3) v + 3 n 3( 3) ( v 3 n ) 3( 3) 3 Ainsi, pour tout entier naturel n, +. On reconnaît la formule de récurrence d une suite arithmétique 3 de raison 3 et de premier terme w 0 v 0 3 3 2. b / On a alors : n!, w 0 + nr 2 n 3. De plus, On obtient alors : 3 w ( 3 n ) 3 + 3 + 3 3+ 3+ 3+ 2 n 3+ 3+ 2n 3 6 6 3 3+ 2n 3( 3+ 2n) 6 9 + 6n 6 3+ 6n 3+ 2n 3+ 2n 3+ 2n 3 2n + ( ) 2n + 3
c / Déterminons la limite de la suite ( ) : Quand n + ( ) + 3 2n + 2n + 3 + Quand n + FI. Levons l indétermination : 3( 2n +) 2n + 3 3n 2 + n n 2 + 3 3 + 3 2 + 3 n 3( 2n +) 2n + 3 3n 2 + n 2 + n 2 + 3 n 2 + 3 n n 0 par somme, 2 + 2 2 n 2 par produit 3 3 3 n 0 par somme, 2 + 3 2 2 n 2 D où lim + 3 2 + 6 par quotient, 3 2 + 2 + 3 3 n BONUS Aujourd hui Nat a décidé d aller donner son sang. Ben hésite alors : «je vais peut-être en profiter pour aller faire du vélo». On considère que la probabilité qu il aille faire du vélo est 0,85. Nat ayant un petit volume sanguin, il est possible qu on ne l autorise pas à donner son sang (elle est «refusée» une fois sur cinq), auquel cas, si Ben est parti faire du vélo, il ne sera pas là lorsqu elle rentrera. Dans les autres cas, il sera là quand elle rentrera. u On admet que les événements «Nat n est pas autorisée à donner son sang» et «Ben choisit d aller faire du vélo» sont indépendants. Déterminons la probabilité que Ben soit là quand Nat rentrera : Notons : R l événement : «on refuse à Nat la possibilité de donner son sang» ; on a alors p R p R V V l événement : «Ben est parti faire du vélo», on a p V ( ) p R V ( ) p( R) p( V ) 0,2 0,85 0,83 Dans 83% des cas, Ben sera là quand Nat rentrera. ( ) 0,85 ( ) 0,2