Taux d'évolution. TAUX GLOBAL ET TAUX MOYEN.. Moenne géométrique Définition Soit n un entier naturel non nul. Pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel x strictement positif tel que xn = a. x est appelé racine n-ième de a, et noté a n («a puissance n»). Exemples a) La solution de l équation x7 = 5dans ]0 ; + [ est b) La solution de l équation x = 0,64 dans ]0 ; + [ est Définition 7 x = 5, 6. x = 0, 64 0, 97. La moenne géométrique de n nombres réels strictement positifs a ; a ;... ; a n est le nombre (a n a... a n ). Par exemple, la moenne géométrique des trois nombres ; 9 et est ( 9 ) = (6) = 6 (car 6 = 6 ).
.. Taux d'évolution moen Exemple Au cours de l année passée, le prix d un produit a successivement augmenté de %, puis de 6 % et enfin baissé de 9 %. e prix a donc été multiplié par + = + 0, puis par + 0,06 et enfin par 00 0, 09. Le prix a donc finalement été multiplié par : ( + 0,) ( + 0,06) ( 0,09). Le taux d évolution global correspondant à cette évolution est le nombre T tel que : + T = ( + 0,) ( + 0, 06) ( 0,09). Donc : T = ( + 0,) ( + 0,06) ( 0,09) = 0, 0805. Globalement, le prix a donc augmenté d'environ 8 %. Le taux d évolution moen correspondant à ces trois évolutions successives est le taux t qui, répété trois fois, donnerait le même taux global T. On a : ( + t) ( + t) ( + t) = + T soit ( + t) = + T =,0805. Donc + t = (,0805) soit t = (,0805) 0, 06. Le taux moen des trois évolutions successives est donc d environ,6 %. Définitions Soit 0 un nombre strictement positif. e nombre subit une évolution de taux t, puis une évolution de taux t,, et enfin une évolution de taux t n.. Le taux d évolution global correspondant à ces évolutions successives est le nombre T tel que : + T = ( + t ) ( + t )... ( + t n ). Donc T = ( + t ) ( + t )... ( + t n ).. Le coefficient multiplicateur moen correspondant à ces évolutions successives est le nombre + t tel que : ( + t) n = ( + t ) ( + t )... ( + t ). Donc [ ] n + t = ( + t ) ( + t )... ( + t ). n n Le coefficient multiplicateur moen est donc la moenne géométrique des coefficients multiplicateurs successifs.. Le taux d évolution moen correspondant à ces évolutions successives est : [ ] n t = ( + t ) ( + t )... ( + t ) ou encore : t = ( + T). n n 4
Exercice d'application. Les ventes d un magasin d'alimentation ont successivement augmenté de 6 % la première année, puis diminué de 8 % la deuxième année et de 4 % la troisième année. alculer le taux d évolution moen au cours de ces trois années.. Dans un village à la campagne, le nombre d'enfants scolarisés a diminué de % en 5 ans. alculer le taux d évolution annuel moen du nombre d'enfants scolarisés.. Le nombre de chômeurs d un pas a baissé de % en un an. alculer le taux d évolution mensuel moen du nombre de chômeurs. orrigé. Soit t le taux d évolution moen : ( + t) = (+0,6) ( 0,08) ( 0,04). Donc + t = [(+0,6) ( 0, 08) ( 0,04) ]. Et [ ] t = (+0,6) ( 0, 08) ( 0,04) = (, 045) 0,008. Le taux d évolution moen au cours de ces trois années est donc d'environ 0,008, ce qui signifie que les ventes ont augmenté en moenne de 0,8 % par an.. Soit t le taux d évolution annuel moen. t est le taux t qui, répété cinq fois, donne le taux global de 0,. On a donc : ( + t) 5 = 0, = 0,89. Donc + t = (0,89)5 et t = (0,89) 5 0,007. Le taux d évolution annuel moen du nombre d'enfants scolarisés est donc d'environ 0,007, ce qui signifie que le nombre d'enfants scolarisés a diminué en moenne de,0 % par an.. Soit t le taux d évolution mensuel moen. On a : ( + t) = 0,0 = 0,97. Donc t = (0, 97) 0,0054. Le taux d évolution mensuel moen du nombre de chômeurs est donc d'environ 0,0054, ce qui signifie qu'en moenne le nombre de chômeurs a baissé de 0,5 % par mois. 5
. INDIE SIMPLE EN BASE 00.. Définition Exemple Une personne place un capital = 00. Le capital au bout d un an est = 85. Sans chercher à trouver le taux d intérêt annuel, calculons le capital qu aurait acquis cette personne au bout d un an si elle avait placé 00 dans les mêmes conditions. Appelons t le taux d intérêt annuel. D'après les hpothèses : 00 ( + t) = 85, donc + t = 85. 00 Si la personne avait placé 00 dans les mêmes conditions, au bout d'un an, son capital serait de : 00 ( + t) = 00 85,96. 00 Le nombre 00 85 est appelé indice simple de 00 par rapport à. Définition On considère deux nombres strictement positifs et. L indice simple de par rapport à est le nombre I / = 00. Remarques On parlera souvent d indice au lieu d indice simple. Un indice plus grand que 00 traduit une hausse : >. Un indice plus petit que 00 traduit une baisse : <. Un indice égal à 00 traduit une stabilité : =. Exercice d'application. alculer l indice de = 5 par rapport à = 8, puis l indice de par rapport à. 6
.,, et 4 sont les chiffres d affaires annuels, exprimés en millions d euros, d une entreprise d'informatique après respectivement ; ; et 4 ans d activité. a) Sachant que = 7, et que l indice de par rapport à est 5, calculer. b) Sachant que 4 = 8,64 et que l indice de 4 par rapport à est 90,, calculer. orrigé. Par définition, l indice de par rapport à est : I 5 / = 00 = 00 8 I / = 6,5 et l indice de par rapport à est : I 8 / = 00 = 00 5 I / = 60. a) Par définition, l indice de par rapport à est : I / = 00. I/ 5 7, Donc : = = = 9, 7. 00 00 Le chiffre d affaires de l'entreprise après deux ans d activité est donc de 9,7 millions d'euros. b) De la même manière, l indice de 4 par rapport à est : I 4 4/ = 00. Donc : 4 8,64 = 00 = 00 9,57. I4/ 90, Le chiffre d affaires de l'entreprise après trois ans d activité est donc d'environ 9,57 millions d'euros... Lien entre indice et taux d'évolution Soit t le taux d évolution de à. On a : = ( + t), soit + t =. Or : I / = 00. 7
I / 00 Donc : I / = 00 ( + t) = 00 + 00t et t =. 00 Exercice d'application. L indice du nombre des acquisitions de DVD d'une médiathèque en janvier 007 par rapport à janvier 006 est 4,6. alculer le taux d évolution du nombre des acquisitions de DVD entre janvier 006 et janvier 007.. Parmi les acquisitions de DVD effectuées entre janvier 006 et janvier 007, on note une baisse de 4, % des DVD musicaux. alculer l indice du nombre des acquisitions de DVD musicaux en janvier 007 par rapport à janvier 006. orrigé. On utilise la relation entre taux d'évolution et indice. I007/ 006 00 4,6 00 Soit t le taux d'évolution cherché : t = = = 0, 46. 00 00 Le taux d évolution du nombre des acquisitions de livres entre janvier 006 et janvier 007 est donc de 0,46, ce qui signifie que les acquisitions ont augmenté de 4,6 %.. Soit I 007/ 006 l indice du nombre des acquisitions de DVD en janvier 007 par rapport à janvier 006. D'après l'hpothèse : I 007/ 006 = 00 ( + t) = 00 ( 0,04) = 95,9. Donc l indice du nombre des acquisitions de DVD musicaux en janvier 007 par rapport à janvier 006 vaut 95,9, ce qui signifie que si la médiathèque avait acquis 00 DVD musicaux en janvier 006, elle en aurait acquis seulement 95,9 en janvier 007.. APPROXIMATION D'UN TAUX D'EVOLUTION Propriété. Si le taux d évolution t est petit, pour deux évolutions successives de taux t, le taux global est voisin de t : ( + t) + t. 8
. Si le taux d évolution t est petit, le taux d évolution réciproque est voisin de t : t. + t Exercice d'application 4. Au cours de l année écoulée, le prix d un produit a subi deux évolutions successives de même taux t = 0,6 %. En justifiant, donner une valeur approchée du taux d évolution global du prix de ce produit au cours de l année.. Le taux d évolution d un produit du er au août est t = 0,8 %. En justifiant, donner une valeur approchée du taux d évolution réciproque. orrigé. t = 0,006. Le taux d évolution t est petit (proche de 0). On peut prendre comme valeur approchée du taux d évolution global t. Une valeur approchée du taux d évolution global est donc 0,0. Globalement, le prix a donc baissé de, %.. t = 0,008. Le taux d évolution t est petit (proche de 0). On peut prendre comme valeur approchée du taux d évolution réciproque t. Une valeur approchée du taux d évolution réciproque est donc 0,008 (ce qui correspond à une hausse de 0,8 %). 9