LEÇON N 59 : Limite à l infini d une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d une fonction. Eemples. L eposé pourra être illustré par un ou des eemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. Pré-requis : Notions de limite finie ou infinie en un point de R, ainsi que R = R {, + } ; Inégalité triangulaire ; Croissances comparées. Dans toute cette leçon, f désigne une fonction à valeurs réelles continue, dont l ensemble de définition est D f. On considère aussi l intervalle ]a, + [, où a est un réel tel que cet intervalle soit inclus dans D f. 59.1 Limite à l infini 59.1.1 Limite finie et infinie Définition 1 : On dit que f admet un réel l comme limite en + si ε > 0, A R D f, > A l ε. On dit que f admet + (resp. ) pour limite en + si B R, A R D f, A B (resp. B).
2 Limite à l infini d une fonction, branches infinies Interprétations graphiques l + ε l ε A A B Limite finie Limite infinie 59.1.2 Unicité de la limite Proposition 1 : Soit g la fonction définie sur [0, 1 ] avec a > 0 (resp. a [ 1, 0] avec a < 0) par a ( ) 1 g() = f. Alors f admet pour limite l R en + (resp. ) si et seulement si g admet l pour limite en 0. démonstration : On ne montre le résultat qu en +, celui en se montrant de manière analogue. Soit ε > 0. Alors A R + D f, > A l < ε. En posant X = 1 et a = 1 A, ceci équivaut à ( ) a R + X D f, 0 < X < a 1 f l X < ε, ce qui équivaut encore à a R + X D g, 0 < X < a g(x) l < ε, donc lim X 0 g(x) = l. Le résultat se montre de la même manière si l = ±. Théorème 1 : Si f admet une limite en ±, alors elle est unique. démonstration : Si l, l R sont deu limites de f en +, alors le lemme précédent nous assure que lim g() = l et lim 0 g() = l avec 0 g() = f ( ) 1. L unicité est déduite de celle de la limite en un point de R.
Limite à l infini d une fonction, branches infinies 3 Grâce à l unicité de la limite, on peut introduire la notation suivante : Notation : l = lim = limf, où l R. Cette leçon traite entièrement des limites à l infini, d où la liberté prise pour la seconde notation. C est celle qui sera le plus utilisée dans la suite, et sauf mention contraire, elle symbolisera tout le temps une limite lorsque tend vers l infini. 59.1.3 Propriétés Le lemme précédent nous assure que les propriétés relatives au opérations algébriques, à la composition et à la comparaison de fonctions sont analogues à celles qui concernent les limites en un point réel. Nous avons donc (les limites sont en + ou en ) : Soient f,g deu fonction définies sur un ensemble contenant l intervalle D + =]a, + [ (resp. D = ],a[). La fonction sgn donne simplement le signe de son argument (par eemple, l > 0 sgn(l) = +). limg\ lim f l 0 + 0 l 0 ll sgn(l ) sgn(l ) 0 + sgn(l) + FI sgn(l) + FI 0 0 FI FI 0 Limites de la fonction fg limg\ limf l 0 + 0 l 0 l/l + 0 + 0 FI FI FI 0 FI FI FI 0 sgn(l) FI FI FI Limites de la fonction f/g limg\ limf l 0 + 0 l 0 l + l + l + + + FI + FI 0 l + 0 Limites de la fonction f + g Eemples : 1. La fonction f : ]0, + [ R 1 2 peut être vue comme le produit de la fonction g() = 1 par elle-même. Puisque limg = 0, limf = 0 d après le tableau des limites d une fonction «produit» ; 2. Soient = 4 3 + 3 et g() = 2 + 1. On a lim f = lim g = +, mais le tableau des limites d une fonction «quotient» donne une forme indéterminée pour f/g. Cependant, g() = 43 + 3 2 + 1 = 42 + 3 2 + 1 } + } 2, d où lim g() = + ;
4 Limite à l infini d une fonction, branches infinies 3. De la même manière, on détermine que g :]1, + [ R + 1 1 lim g = 1. Proposition 2 : Soient u, v, f trois fonctions définies sur des domaines contenant ]A, + [ (resp. ], A[) pour tout réel A. S il eite M R tel que > M (resp. < M) et u() v(), alors : * lim * lim * lim u() = lim u() = + lim v() = lim v() = l lim = l ; = + ; =. démonstration : On se rapporte, via la lemme, au résultats connus sur les limites en un point de R. 59.2 Branches infinies Soient P un plan euclidien, muni d un repère orthonormal (O, ı, j) (plus facile pour les calculs de distances), I un intervalle de R, f une fonction définie sur I et a I\I, C f la courbe représentative de la fonction f et M le point de C f ayant pour coordonnées (, ). Définition 2 : On dit que C f admet une branche infinie en a si lim OM = +. a Interprétation graphique, avec la fonction inverse j O ı M 1 M2 M5 M 14
Limite à l infini d une fonction, branches infinies 5 Remarques 2 : Cette définition ne dépend pas du point O. En effet, si O est un autre point de P, alors par inégalité triangulaire, OO + O M OM, c est-à-dire O M OM OO. On en déduit que lim OM = + lim O M = +. a a Si a {, + }, alors lim a OM = + (c est-à-dire que C f admet une branche infie en + ou infty. En effet, OM = ı + j OM = 2 + 2, et ± achève cette démonstration. Proposition 3 : Si a R, alors C f admet une branche infinie en a lim a = +. démonstration : On a lim a OM 2 = a 2 + lim a 2, donc lim OM = + lim 2 = + lim = +. a a a Définition 3 : S C f admet une branche infinie en a, on dit que la droite d équation = a est asymptote verticale à C f en a. Eemples (les captures d écran à la calculatrice se trouvent juste en-dessous) : 1. Soit f la fonction définie sur I 1 =]0, + [ par = e 1. Grâce au croissances comparées, on sait que lim 0 + = +, donc que = 0 est asymptote verticale à C f en 0 (à droite). Par contre, si cette même fonction était définie sur l intervalle I 2 =], 0[, alors on aurait que lim 0 = 0, et il n y a donc pas d asymptote verticale à C f en 0 à gauche! 2. Soit = 1 une fonction définie sur R\{ 1}. On détermine facilement que + 1 lim 1 donc = 1 est asymptote verticale à C f en 1. 1 = + et lim =, +
6 Limite à l infini d une fonction, branches infinies On se place maintenant dans un voisinage de + et tel que lim = ± (dans un cas plus simple, + si cette limite est finie et vaut l, on dira que la droite d équation y = l est asymptote horizontale à C f en + ). Définition 4 : La droite d équation y = a + b (a 0) est asymptote oblique à C f en + si ( ) (a + b) = 0. lim Proposition 4 : Si lim = a ( 0) et lim a = b, alors la droite d équation y = a + b est asymptote oblique à C f en +. Eercice : Soit f la fonction définie sur R par = 43 3 2 + 4 2. 2 + 1 Montrer que la droite d équation y = 4 3 est asymptote oblique à C f en +. Solution : On a : (4 3) = 43 3 2 + 4 2 2 + 1 (4 3)(2 + 1) 2 + 1 = 43 3 2 + 4 2 (4 3 + 4 3 2 3) 2 + 1 1 = 2 + 1. Cet eemple est bien choisi car il est difficile de bien le voir sur la calculatrice : Cette quantité tend clairement vers 0 lorsque tend vers l infini, donc la droite d équation y = 4 3 est bien asymptote oblique à C f en +. 59.3 Branches paraboliques Définition 5 : 1. Si lim = +, alors on dit que C f admet une branche parabolique de direction (0y) en + ; 2. Si lim = 0, alors on dit que C f admet une branche parabolique de direction (0) en + ; 3. Si lim ( a ) = ±, alors on dit que Cf admet une branche parabolique de direction la droite y = a en + ; Eemples (les calculs, non difficiles, sont laissés au lecteur) :
Limite à l infini d une fonction, branches infinies 7 1. e, 2,... 2. ln,,... 3. 3 + ln, 2 + 5 +,... 3 + 2 Eercice : Montrer que C : y = par rapport à cette droite. admet une asymptote en et +. Etudier la position de C 1 + e1/ Solution : On utilise la proposition 4. En effet, = 1 1 + e 1/ lim = 1 2. On a donc trouvé le nombre a non nul de cette proposition. Poursuivons : 2 = 1 + e 1/ 2 = 2 2 e1/ 1 + e 1/ = (1 1 2 1 2 e1/ ) 1 + e 1/ = ( 1 1 2 1 2 (1 + 1 + o( 1 ))) 1 + e 1/. On a pu utiliser le développement limité de l eponentielle au voisinage de 0 car 1/ tend justement vers 0 lorsque. Ceci nous donne alors lim 2 = lim ( 1 2 1 2 1 2 + o( 1 )) 1 2 1 + e 1/ = lim + o(1) 1 + e 1/ = 1 2 2 = 1 4. Nous avons ainsi trouvé le nombre b de la proposition 4, qui nous permet donc d affirmer que la droite D d équation y = 1 2 1 4 est asymptote oblique à C en +. Il se trouve que les calculs donnent le même résultats pour, et on peut donc dire que D est asymptote oblique à C en ±. Voici la représentation graphique à la calculatrice : la fenêtre est limitée au abscisses et ordonnées comprises entre 1 et 1, car en-dehors, on n aurait pas vu grand chose... Je laisse au lecteur le soin de faire le calcul permettant de conclure que C est toujours au-dessus de D.