PHYSIQUE GENERALE I Exercices 3 ème série 14-11-003 Exercice I Franchir le Rubicon Sur le léman, un bateau se dirigeant ers la Suisse traerse à la (grande?) itesse de 10km/h par rapport à l eau. Un courant l entraîne ers l est à une itesse uniforme de 5km/h. Déterminer le ecteur itesse du bateau par rapport à un obserateur immobile au sol. Dans un second temps, le capitaine eut filer plein nord. Quel cap doit-il tenir? Correction : Soit u itesse de l eau par rapport au riage et Soit itesse du bateau par rapport au riage bt Soit itesse du bateau par rapport à l eau be a) u b) u N Sens du courant E θ 1 Orientation du bateau θ a) le bateau fait cap er le nord be = bt + te = bt - et donc = u = srt( + u ) = 11.km/h θ 1 = tan -1 (u/ ) = 6,6 b) le bateau eut filer plein nord be = bt + te = bt - et donc = u = srt( - u ) = 8.6km/h θ 1 = tan -1 (u/) = 30
Exercice II Schéma : E1 z (axe du tourniuet) E 1m y m x a)- itesse angulaire : Le tourniuet effectue un tour (Π radians) en 5 secondes. La itesse angulaire constante est égale à : ω = π 5 1 1 = 1.56 rad.s = 7 deg.s dθ ω = est ici dt Chaue enfant étant immobile sur le tourniuet, sa itesse angulaire est donc identiue à celle du tourniuet. b)- La distance parcourue par chaue enfant par rapport au sol en un tour est égale au périmètre du cercle dont le rayon est défini par la distance de chaue enfant par rapport à l axe du tourniuet. d = πr Application numériue : pour l enfant E1 d 1 = 6.8m, pour l enfant E d = 1.57m La itesse curilinéaire de chaue enfant est constante (itesse angulaire constante) et égale à la distance parcourue par rapport au sol diisée par le temps de parcours. πr = ou t est le temps pour effectuer un tour. t A.N. : pour E1 1 = 1.56 m.s -1, pour E =.514 m.s -1 c)- Le mouement étant circulaire et uniforme, l accélération est uniuement centripète (dirigée ers le centre du cercle décrit par le mouement) et de module a = r A.N. : pour E1 a 1 = 1.577 m.s -, pour E a = 3.16 m.s - c)- Le mouement de chaue enfant est bidimensionnel (dans le plan xy) et s écrit de manière générale. X(t) = R cos (wt) Y(t) = R sin (wt) Z(t) = 0 Remarue : Les signes de ces éuations ainsi ue les fonctions sinus et cosinus dépendent de l instant initial ue l on choisi.
Exercice III Un morceau de erre se coince sur le pneu d un élo. Le élo bouge à itesse constante V sur un chemin droit. Le rayon de la roue est connu : R a) Écriez les éuations du mouement du erre par rapport à la route. b) Dessinez ualitatiement sa trajectoire c) Quelle est la itesse du erre par rapport à la route uand il est dans la position plus haute et plus basse de sa trajectoire? d) Quelle est son accélération à ces mêmes deux endroits? Pas obligatoire: Essayez de trouer la réponse aux uestions c) et d) par dériation des éuations du mouement ainsi ue par la décomposition du mouement en circulaire et linaire. a) Considérons pour commencer un référentiel associé au élo, son origine se situant dans l axe de la roue. Depuis ce référentiel le mouement du erre est un simple mouement rotationel décrit par : ω est la itesse angulaire de la roue, donnée par : Pour passer maintenant au référentiel de la figure (associé a la route) il faut juste considérer le fait ue le centre de la roue se déplace à une itesse constante V dans la direction x, est il est à une hauteur R par rapport à la route b) La trajectoire est représentée sur la figure. Cette courbe s appelle une cycloïde.
c) Calculons d abord d une façon analytiue en trouant les premières dériées des éuations du mouement. Ces éuations nous donnent la itesse erticale et horizontale du erre pour n importe uel instant. Les instants ui nous concernent c est uand le erre est en haut (point A) et uand il est en bas (point B). C est à dire, les instants correspondant à une demie période de rotation de la roue (t A ), et à une période complète (t B ). d) Agissons comme on a fait tout à l heure pour les itesses. Les accélérations seront données par les deuxièmes dériées des éuations du mouement Après il faudra les éaluer aux mêmes instants : t A et t B
Une façon plus simple d agir pour les uestions c) et d) : c) Le mouement du erre par rapport à la route se compose d un mouement de rotation par rapport au centre de la roue plus un mouement de translation de la roue par rapport au sol. La itesse du erre par rapport au centre de la roue, uand il se troue à la position A est : V On additionne la itesse de la roue par rapport au sol et ça fait : (ce ui est la bonne réponse) Agissant pareillement pour le point B on troue aussi ue la itesse du erre est instantanément nulle : d) Pour les accélérations Reprenons les éuations du mouement composé ue on aait écrit tout au début, et dérions-les : Remaruons ue si on fait la deuxième dériée de ses éuations, on troue ue l accélération du erre est pareille dans les deux référentiels. Cela est une règle générale de la cinématiue : Un objet ui a une certaine accélération par rapport à un référentiel, aura la même accélération par rapport à n importe uel autre référentiel ui se déplace à itesse constante par rapport au premier. En sachant ça, on ne doit plus s inuiéter de exprimer les éuations du mouement par rapport sol. En ce ui concerne l accélération, c est la même chose si on considère juste le mouement par rapport au centre de la roue, car elle bouge à itesse constante. Le mouement à analyser déient donc, un simple mouement circulaire pour leuel l accélération est bien connue. C est juste l accélération centripète dont la formule est : et ui se dirige toujours ers le centre de la circonférence. Alors, dans le référentiel associé à la route, c est la même chose!!
EXERCICE IV a) Donées : H = 3m (hauteur initiale de l ampoule par rapport au uai) h = 50cm = 0.5m (hauteur du sol du train par rapport au sol du uai) = 180km / h = 50m / s (itesse du train par rapport au uai) S CA = m (Distance entre l ampoule et le châssis) Repère fixe au uai : Plaçons l origine O sur le sol du uai et erticalement en dessous de l ampoule. Axe x : dans la direction de mouement du train et positif dans le sens du mouement du train. Axe y : direction parallèle au sol de la gare et perpendiculaire au mouement du train. Sens positif de O ers le train. Axe z : direction erticale et positif ers le haut. Euations de mouement : x (t) = 0 ; y (t) = 0 ; b) z (t) = H 1 gt Repère fixe au train : Plaçons l origine O à la hauteur du sol du train, au milieu de celui-ci et sur son châssis. ous les axes sont parallèles à ceux de l autre repère et les sens positifs sont les mêmes. Pour aoir les éuations de mouement par rapport à ce repère il faut transformer celles par rapport à l autre. x (t) = x (t) + x (t) ; x (t) = t remplaçant : x (t) = t y (t) = y (t) + y (t) ; y (t) = S CA remplaçant : y (t) = S CA 1 z (t) = z (t) + z (t) ; z (t) = h remplaçant : z (t) = H gt h où x, y, z sont x, y et z du uai par rapport au train, les ariables sans sous-indices sont les coordonnées de l ampoule. c) Pour calculer les itesses il faut dérier les éuations de mouement. x (t) = ; (t) 0 y = ; (t) = gt pour le temps d arriée : z x (t) = 50m /s ; y (t) = 0 ; (t) = 7.6m / s z
d) Repère associé au uai Repère associé au train