II - 14 Instabilités

II - 14 Instabilités Philippe.Bouillard@ulb.ac.be version 9 septembre 6 Motivation Instabilité par flambement (élastique) par divergence, par bifurcation calcul de la charge critique eulérienne Tpes d instabilités autres instabilités Imperfections industrielles causes de l origine de la flexion initiale [re, T. II, Chap. -1] Instabilités Instabilités II - 14 -

Instabilités la conception de structures exige aujourd hui économie légèreté matériaux à haute résistance réduction progressive des sections résistantes contraintes en service importantes Instabilités II - 14-3 Instabilités par flambement structures en acier [re,, Vol. ] structures en béton [Germain, 6] Instabilités II - 14-4

lambement : effet recherché étui à lunettes saut à la perche Instabilités II - 14-5 lambement : effet recherché vanne industrielle http://www.rupturepin.com/rpanimation.html Instabilités II - 14-6

lambement : ES revêtement de sol Casa Grande Ruins, Hohokam village, Arizona, USA, 1ème siècle [credits: PhB, 1] Instabilités II - 14-7 lambement des poutres flambement par divergence la poutre se dérobe à l effort normal de compression en fléchissant transversalement le phénomène est non linéaire il doit exister une flexion initiale exemples : courbure initiale, excentricité de l effort normal... Instabilités II - 14-8

lambement ssi compression Considérons une poutre initialement légèrement courbe T TRACTION courbure M [re,, Vol. ] COMPRESSION courbure M Instabilités II - 14-9 Stabilité de la divergence lambement stable lambement instable [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-1

Autres causes de flexion initiale Excentricité de la charge Charges axiales et transversale [re,, Vol. ] phénomène non linéaire : il faut se placer dans la configuration déformée Instabilités II - 14-11 Hpothèses de modélisation une étude rigoureuse nécessite la prise en compte des non linéarités géométriques (grands déplacements) des non linéarités matérielles ici, on postule grands déplacements mais rotations modérées linéarité matérielle (loi de Hooke) Instabilités II - 14-1

Problème non linéaire d tgθ =, θ << 1 tgθ = θ ; sinθ = θ ; cosθ = 1 dx T N = cosθ M = T = sinθ θ (x) flexion composée M+N e principe de superposition n est plus applicable Instabilités II - 14-13 Théories non linéaires du flambement actions des forces sur la configuration déformée le principe de superposition n est plus valable souvent, le flambement se produit alors que la structure est peu déformée hpothèse des rotations modérées (ème ordre) le flambement est accentué par la plasticité phénomène non pris en compte ici Instabilités II - 14-14

Modélisation du flambement rotations modérées flexion plane 1 R 1 R = M = EI ( ) M = M,,... ( ) EI M,,... = équation non linéaire! équation à résoudre Instabilités II - 14-15 Poutre droite comprimée excentriquement Ω x e x Ω (x) + M = EI ( e + ) ( e + ) = Instabilités II - 14-16

Poutre droite comprimée excentriquement + ( e + ) = équation de la déformée EI posons k =/EI + k = k e = C sin kx + C 1 coskx e SGEH+SPENH conditions aux limites Eq. de Helmholtz non homogène EDP ème ordre à coeff. constants ( ) = C1 = e C ( = ) = cos( k ) Instabilités II - 14-17 Poutre droite comprimée excentriquement a = coskx = e cos max = ( k ) = e sec 1 k 1 équation de la déformée (pas linéaire en!) (formule de la sécante) k = k = sec = 1 a = la tangente a pour équation a = e 8EI = = a < a < 1 3 1 a3 si on augmente la charge, le flambement est divergent Instabilités II - 14-18

Poutre droite comprimée excentriquement a = e flèche linéaire de M = e 8EI e M max = cos ( k ) k cos cr = π EI = k π ssi = + nπ [re,, Vol. ] charge critique indépendante de e! Instabilités II - 14-19 Poutre comprimée avec courbure initiale x M = + k x Ω (x) Ω EI=cste ( + ) ( + ) = Instabilités II - 14 -

Poutre comprimée avec courbure initiale ( x) + k = k a πx = a sin courbure initiale πx sin Eq. de Helmholtz non homogène EDP ème ordre à coeff. constants conditions aux limites a = π k ( ) = ( ) = πx sin a = 1 a cr = 1 ( ) cr même cr Instabilités II - 14-1 Poutre comprimée avec courbure initiale a = a cr flèche linéaire M max = a a cr + 1 cr cr π EI [re,, Vol. ] = charge critique indépendante de a! EI autres cas : cr = C toujours indépendant de la flexion initiale Instabilités II - 14 -

imitations des résultats obtenus hpothèse des rotations modérées linéaire grands déplacements ( 1+ ) 3 ( ) EI M,,... = rotations modérées [re,, Vol. ] > cr est théoriquement possible pratiquement les déplacements sont déjà trop grands Instabilités II - 14-3 lambement par bifurcation cr est indépendant de l origine de la flexion initiale et de son importance il existe une charge critique même si la poutre est parfaitement rectiligne, libre de toute force transversale et soumise à une force de compression parfaitement centrée flambement eulérien par bifurcation Instabilités II - 14-4

point de bifurcation = coexistence de situations d équilibre lambement par bifurcation compression et flexion initiale compression pure lim e [re,, Vol. ] le flambement par bifurcation est un cas limite (poutre parfaite) il n existe pas mais donne une bonne approximation de cr Instabilités II - 14-5 Théorie d Euler x Ω x (x) Ω EI=cste M = + k = équation de Helmholtz (x) est l esquisse de la déformée = mode de flambement (dépend des conditions d appui) Instabilités II - 14-6

Théorie d Euler + k = = C sin kx + C 1 coskx solution générale conditions aux limites ( ) = C = ( ) = C sin k = k = nπ 1 n π EI cas trivial = = modes de flambement Instabilités II - 14-7 Théorie d Euler : généralisation charge critique d Euler proportionnel à EI (module de rigidité en flexion) quel I? le plus faible! cr K = longueur de flambement (dépend des C) π EI = K permet de trouver une approximation de la charge critique quelles que soient les conditions d appui Instabilités II - 14-8

ongueur de flambement esquisser le premier mode (respect des appuis!) [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-9 nombre sans dimensions Élancement cr π EI π E σ cr = = = A AK AK I quantifie la sensibilité au flambement élancement K λ = A I λ < : risque faible λ < 5 : risque moen 5 λ < 8 : risque fort 8 λ : risque extrême Instabilités II - 14-3

hpothèse de linéarité matérielle (loi de Hooke) valable si σ Validité de la théorie d Euler π E cr = σ p λ (limite de proportionnalité) λ = π e E σ p [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-31 Tpes d instabilités danger d instabilité dans toute structure comprimée flambement (compression pure) déversement (flexion) voilement (torsion) phénomènes d instabilité locaux (barres de treillis, voilement, ) globaux (flambement d ensemble,...) Instabilités II - 14-3

Instabilités globales : exemple flambement d ensemble de la membrure supérieure des poutres en treillis d un pont de chemin de fer (Russie, vers 189) [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-33 Instabilités : sollicitations combinées flambement plan flambement par torsion flambement spatial [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-34

Instabilités locales : exemple voilement de l âme mince d une poutre en acier. effet de l effort tranchant [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-35 Autres formes d instabilité flambement déversement compression cloquage voilement [CIM béton, ] Instabilités II - 14-36

Structures à parois minces Sous contraintes circonférentielles Sous contraintes longitudinales [http://www.mech.uwa.edu.au/danotes/buckling/intro/intro.html] Torsion [http://www.dae.gov.in] Instabilités II - 14-37 lambement des pièces industrielles imperfections = défauts inévitables imperfections géométriques poutres pas rectilignes forces toujours légèrement excentrées dimensions réelles diffèrent des dimensions nominales imperfections matérielles contraintes résiduelles matériau hétérogène Instabilités II - 14-38

Imperfections géométriques [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-39 Contraintes résiduelles [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-4

Dispersion des caractéristiques [re,, Vol. ] Instabilités II - 14-41 Importance des imperfections rôle décisif des imperfections ( ) géométriques flambement par divergence ( ) matérielles affaiblissement de la résistance le flambement a toujours lieu par divergence la charge critique d Euler est néanmoins utilisée dans les méthodes de dimensionnement Instabilités II - 14-4