Leçon N 2 : Les suites Rappels importants Il y a deux façons de décrire une suite On nous donne la fonction qui permet de fabriquer ces termes : u n = f (n), n N. Exemple : u n = n² n N, cela donne 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 etc. Exemple : v n = n n N, cela donne 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 2 etc. Ou bien, nous avons le premier terme et une relation permettant de passer d un terme au suivant. Cette définition s appelle définition par récurrence. Exemple : u 0 = 0 et u n+1 = u n + 5 pour tout n entier, nous donne 0 ; 5 ;10 ;15 ; etc. Exemple : v 0 = 1 et v n+1 = 5v n pour tout n entier, nous donne 1 ; 5 ; 25 ; 125 ; etc.. Les suites vont nous permettre d étudier des modèles de croissance. La croissance linéaire c est-à-dire régulière comme dans u 0 = 0 et u n+1 = u n + 5 ; n N La croissance exponentielle (si q > 0), celle de l exemple ci-dessus v 0 = 1 et v n+1 = 5v n ; n N Ces deux modèles de croissance se retrouvent autour de nous, par exemple dans une épidémie, on a une croissance exponentielle (Un malade en contamine 4 par exemple et donc cela multiplie le nombre des personnes malades par 4 ; si on a 20 cas au début, cela donne 20 ; 80 ; 320 ; 1280 etc et ça va très vite) ; de même, l action d un médicament sur un microbe. Par contre, si des salariés signent un contrat de travail dans lequel ils ont une prime fixe chaque année pendant n années, on a une croissance du salaire linéaire. (S n+1 = S n + p, p étant la prime.) Définition 1 Une suite (u n ) n N est arithmétique si et seulement si u n+1 = u n + r, le réel u 0 étant donné comme le premier terme. Le réel r s appelle la raison de la suite. Pour tout n N, u n peut se calculer directement en faisant u n = u 0 + nr. Croissance ou décroissance sont alors régulières car nous ajoutons ou nous enlevons toujours la même quantité. Définition 2 Une suite (v n ) n N est géométrique si et seulement si v n+1 = qv n,le réel v 0, premier terme étant donné (v 0 > 0). Le réel q s appelle aussi la raison de la suite, nous prendrons q R +* (q> 0). Pour tout n N, v n peut se calculer directement en faisant v n = v 0 (q) n. Croissance ou décroissance sont alors exponentielles, c est-à-dire soit elle s accélère de plus en plus (On multiplie par exemple par 3 à chaque fois, 5 ; 15 ; 45 ; 135 etc.) soit elle diminue de moins en moins vite (On multiplie par exemple par 0,2 à chaque fois, 50 ; 10 ; 2 ; 0,4 etc.)
Remarque : si la suite commence à n = 1 c est-à-dire n N * changent, il faut bien lire les consignes. Suite arithmétique (n N * ), u n = u 1 + (n 1)r. Suite géométrique (n N * ), v n = v 1 (q) n 1. alors les formules directes Passons au cours de Terminale : Suites arithmétiques Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r, nous pouvons avoir à calculer la somme S des termes consécutifs du rang i jusqu au rang j. ( ui uj ) S = (Nombre de termes soit j i + 1) + 2 Si nous voulons la somme des termes de u 0 à u n alors : (u0 un ) u 0 + u 1 + u 2 + + u n = (n + 1) + 2 Et si nous voulons la somme des termes de u 1 à u n alors : (u1 un ) u 1 + u 2 + u 3 + + u n = (n) + 2 Théorème Si r > 0, alors la suite est croissante. Quand n tend vers +, u n diverge vers +. Si r < 0, alors la suite est décroissante. Quand n tend vers +, u n diverge vers. Suites géométriques Soit (v n ) une suite géométrique de raison q > 0 et q 1, nous pouvons avoir à calculer la somme S des termes consécutifs du rang i au rang j. 1 (q) S = (Premier terme de S soit v i ) Nombre 1 q de termes Si nous voulons la somme des termes de v 0 à v n alors : n+ 1 1 (q) v 0 + v 1 + v 2 + + v n = v0 1 q Et si nous voulons la somme des termes de v 1 à v n alors : j i+ 1 1 (q) = vi 1 q v 1 + v 2 + v 3 + + v n = n 1 (q) v1 1 q
Théorème Si q > 1 (et v 0 > 0) alors (v n ) est croissante et diverge vers + quand n tend vers +. Si 0< q < 1 (et v 0 > 0) alors (v n ) est décroissante et converge vers 0 quand n tend vers +. Enfin, un truc marrant pour terminer, si on veut piéger un de ces parents lors d un de ses anniversaires, on lui dit : voici un damier de 3 sur 3, je te demande de mettre 3 dans la première case et de doubler à chaque fois jusqu à la dernière case, tu me donneras alors la somme obtenue. Si le parent en question répond imprudemment oui, ce n est pas grand chose, il a tord!. u 0 = 3, nous avons 9 cases (3 x 3) donc u 8 dans la dernière case, il s agit d une suite géométrique et u n = 3(2) n. Cela donne au total : u 8 = 3(2) 8 = 768! et oui c est cela une croissance exponentielle. (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; 192 ; 384 et 768 ) (Si nous prenons 4 sur 4, alors on a u 15 dans la dernière case et u 15 = 3(2) 15 = 98 304!)
TERMINALE STG FICHE LES SUITES Exercice 1 Un particulier place un capital C 0 de 1500 à intérêts composés à 2,5% par an. On appelle C n la valeur de son capital au bout de n années. Il conserve ce placement 10 ans. Calculer C 1 puis C 2. Démontrer que (C n ) n N et n variant entre 0 et 10 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Donner C n en fonction de n. Calculer C 10. Quel est le taux global de ce placement sur 10 ans? Représenter graphiquement cette suite. Exercice 2 A l entrée d un parc, il est prévu que le stationnement est de 1 la première heure puis qu il diminue de 0,15 à chaque heure. On note p n le prix payé pour la n ième heure dans ce parking, n N *. Calculer p 2 et p 3. Démontrer que (p n ) n N * est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme. Une personne reste entre 5h et 5h 30. Combien va-t-elle payer? Donner le montant à payer pour n heures en fonction de n. Exercice 3 Dans une entreprise de ventes par correspondante, le nombre d expéditions de colis a augmenté de 3% par mois pendant 1 an. On appelle u n le nombre de colis expédiés le n ième mois sachant qu au départ de l étude le nombre de colis était de u 0 = 12 000. Calculer u 1, puis u 2. Montrer que (u n ) n N, est une suite géométrique puis donner u n en fonction de n. Caractériser cette suite. Calculer la totalité des colis expédiés sur 12 mois en incluant les 12 000 du point de départ de l étude.
Exercice 4 Nous voulons étudier la population de deux villes A et B. On appelle a n et b n respectivement le nombre d habitants des villes A et B à la fin de la n ième année de l étude. On précise que a 0 = 40 600 h. et b 0 = 30 000 h. Dans la ville A, on compte 1 500 habitants de plus chaque année. Dans la ville B, on compte une augmentation de 5% chaque année. Donner a n et b n en fonction de n. Représenter graphiquement ces deux suites. Nous voulons graphiquement déterminer à quel moment b n sera supérieur à a n. Exercice 5 (BAC) Deux cyclistes, Aline et Véronique veulent comparer leur planning d entraînement sur 15 semaines. On appelle u n les kilomètres parcourus par Aline la n ième semaine de son planning, n N *. La première semaine, elle fait seulement 20 kms (u 1 = 20) puis elle augmente chaque semaine du même nombre de kms et termine la 15 ième semaine en faisant 118 kms. On appelle v n les kilomètres parcurus par véronique la n ième semaine de son planning, n N *. La première semaine, elle fait 20 kms (v 1 = 20) puis elle augmente chaque semaine du même pourcentage t% pour arriver la 15 ième semaine à faire 118 kms. Partie A Expliquer pourquoi (u n ) est une suite arithmétique. Déterminer la raison r de cette suite puis exprimer u n en fonction de n. Calculer la totalité des kms parcourus par Aline pendant les 15 jours. Partie B Expliquer pourquoi (v n ) est une suite géométrique. Déterminer la raison q de cette suite puis exprimer v n en fonction de n. Calculer la totalité des kms parcourus par véronique pendant les 15 jours. Faire un graphique pour n variant de 1 à 15 pour montrer le planning d entraînement de chaque sportive. (Vous soignerez les explications car elles seront notées
Correction Exercice 1 Nous avons une suite (C n ) à étudier pour n entier compris entre 0 et 10. C 0 = 1 500. 2, 5 C 1 = C 0 + C 0 ( 100 C 1 = 1,025 C 0 = 1537,50. 2, 5 C 2 = C 1 + C 1 ( 100 ) = C 0 (1 + 0,025) = 1,025 C 0 (En fait, la formule des augmentations avec 1 + 0,025 comme coefficient multiplicateur) ) = C 1 (1 + 0,025) = 1,025 C 1 (C est le principe des intérêts composés, C 2 = 1,025 C 1 = 1,025 (1,025 C 0 ) = (1,025) 2 C 0. l année suivante les intérêts sont calculés C 2 = (1,025) 2 C 0 = 1575,9375 1575,94. non pas sur C 0 mais sur C 1 ) (C n ) pour n entier entre 0 et 10 est bien une suite géométrique en effet : pour tout n entier entre 0 et 10, 2, 5 C n = C n 1 + C n 1 ( 100 ) soit C n = 1,025 C n 1 qui est de la forme u n = q u n 1 avec q = 1,025. (C n ) pour n entier compris entre 0 et 10 est une suite géométrique de premier terme C 0 = 1500 et de raison 1,025. En conséquence, C n = C 0 (q) n soit C n = 1500 (1,025) n n entier compris entre 0 et 10. C 10 = 1500 (1,025) 10 1500(1,28009) 1920,13. Si nous observons le coefficient multiplicateur, nous voyons environ 1,28009 soit un taux global d augmentation de 0,281 soit 28,1%. Remarque : nous voyons que ce rendement est faible, environ 420 d intérêts sur 10 ans pour 1500 immobilisés et donc on comprend mieux le fait que beaucoup de gens ont abandonné les livrets de Caisse d Epargne. D autres placements dans la pierre (Achats d appartements pour la location) par exemple donne des taux de 7% (soit (1,07) 10 1,967 donc un taux global d augmentation d environ 0,97 et donc presque 100% sur 10 ans, le capital est donc doublé! 1500 (1,07) 10 2950,73. Représentation graphique :
Remarque : attention, les points de la représentation graphique sont des points isolés, ils sont situé non pas sur une droite comme cela semble le cas mais sur la courbe tracée ici en pointillés d une fonction que nous étudierons à la fin de l année : f(x) = 1500(1,025) x (fonction exponentielle) Nous avons pris, pour plus de commodités, 1500 comme origine de l axe des ordonnées. Exercice 2 p 1 = 1 (Prix du parking la première heure) 1) Calculons p 2 et p 3 p 2 = 1 0,15 = 0,85. Toute la deuxième heure coûtera 0,85. p 3 = 0,85 0,15 = 0,70. Toute la troisième heure coûtera 0,70. 2) (p n ) sera une suite arithmétique en effet, p n = p n 1 0,15. Le premier terme est p 1 = 1 et la raison est r = 0,15. Attention, à force diminuer, le prix deviendra à un certain rang k égal à 0. A partir de ce moment là, p k + 1 ; p k + 2 etc. seront nuls. Le parking deviendra gratuit. Tant que le parking est payant, toute la n ième coûtera p n = p 1 + (n 1)r donc p n = 1 0,15(n 1) = 1,15 0,15n. 3) Une personne reste entre 5h et 5h 30 donc elle paye les 5 premières heures. Nous pouvons utiliser S 5 somme des 5 premiers termes (p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 ) p S n = n 1 + p 2 n 1+ 1,15 0,15(5) soit ici, S = 5 = 5(0,7) = 3,50. 2
Vérification : La personne paiera p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1 + 0,85 + 0,70 + 0,55 + 0,40 = 3,50. 4) Le montant pour n heures (n compris entre 1 et 7 voir la remarque) sera : 2 p S n = n 1 + pn 1+ 1,15 0,15n 2,15 0,15n 2,15n 0,15n = n = n =. 2 2 2 2 Remarque : nous pouvons chercher le rang k jusqu où le parking est payant : Cherchons k entier tels que 1,15 0,15k 0 1,15 0,15 0,15k 1,15 7,67 donc nous prendrons k entiers positifs plus petit ou égal à 7. p 1 = 1 ; p 2 = 0,85 ; p 3 = 0,70 ; p 4 = 0,55 ; p 5 = 0,40 ; p 6 = 0,25 ; p 7 = 0,10 puis p 8 = 0 ; p 9 = 0 etc.. Exercice 3 u n le nombre de colis expédiés le n ième mois, n entier entre 0 et12. u 0 = 12 000. Calculons les premiers termes : u 1 = u 0 (1 + 0,03) = 1,03 u 0 = 12 360 colis. (Formule des augmentations avec t% = 3%) u 2 = u 1 (1 + 0,03) = 1,03 u 1 = 1,03(1,03 u 0 ) = 1,03 2 u 0 12 731 colis. Si nous nous plaçons au mois n+1, nous aurons : u n+1 = 1,03 u n ce qui caractérise bien une suite géométrique de premier terme 12 000 et de raison q = 1,03 (Coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 3%) Nous aurons pour n entier entre 0 et 12 car l étude porte sur une année : u n = u 0 (q) n soit u n = 12 000 (1,03) n pour n entier variant entre 0 et 12. La suite (u n ) n N est une suite géométrique croissante car la raison q > 1. Pour calculer la totalité des colis expédiés pendant 12 mois y compris les 12 000 du départ de l étude, il faut calculer S 12 = u 0 + u 1 + u 2 + + u 12. Nous savons que pour une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q 1 : S n = n + 1 1 q u0 1 q. Cela donne ici : S 12 = 12 000 13 1 (1,03) 1 1,03 187 413 colis. Exercice 4 Soit (a n ) n N, la suite donnant le nombre d habitants de la ville A après n années. Soit (b n ) n N, la suite donnant le nombre d habitants de la ville B après n années.
a) (a n ) n N est une suite arithmétique de premier terme a 0 = 40 600 et de raison r = 1 500 car cette ville compte 1 500 habitants de plus chaque année (a n+1 = a n + 1 500). Conséquence : a n = 40 600 + 1 500n n N (a n = a 0 + nr) b) (b n ) n N est une suite géométrique de premier terme a 0 = 30 000 et de raison q = 1,05 car cette ville compte 5% d habitants en plus chaque année (b n+1 = b n (1 + 0,05) = 1,05 b n ). Conséquence : b n = 30 000(1,05) n n N (b n = b 0 (q) n ) Nous pouvons préciser que la ville A a une croissance linéaire et que par contre la ville B a une croissance exponentielle. Représentation graphique : Nous avons pris comme origine des ordonnées 30 000 pour que le graphique soit plus clair. En pointillés, nous avons tracé f(x) = 40 600 + 1 500x (fonction affine donc une droite) et g(x) = 30 000(1,05) x (fonction exponentielle voir la dernière leçon). Ce graphique montre que la population de la ville B rattrape celle de A et qu elle va dépasser celle de A entre la quinzième année et la seizième. Vérifions par le calcul : n = 15 Population de la ville A : a 15 = 63 100 habitants
Population de la ville B : b 15 62 368 habitants n = 16 Population de la ville A : a 16 = 64 600 habitants Population de la ville B : b 16 65 486 habitants. Cet exercice peut se faire sur Excel : EXERCICE SUR LES VILLES Pour la ville A ; an = 40 600 + 1500n Pour la ville B : bn = 30 000(1,05)^n a0 = 40600 r = 1500 b0= 30000 q = 1,05 n an bn 0 40600 30000 1 42100 31500 2 43600 33075 3 45100 34729 4 46600 36465 5 48100 38288 6 49600 40203 7 51100 42213 8 52600 44324 9 54100 46540 10 55600 48867 11 57100 51310 12 58600 53876 13 60100 56569 14 61600 59398 15 63100 62368 16 64600 65486 17 66100 68761 18 67600 72199 (serie 1) (serie 2) Explications : Dans la colonne des n, nous entrons 0 puis à la ligne suivante : =A7+1 puis recopie vers le bas. Dans la colonne de a n, nous entrons 40 600 en face de 0 puis à la ligne suivante : = B7+1500 puis recopie vers le bas.
Dans la colonne de b n, nous entrons 30 000 en face de 0 puis à la ligne suivante : = C7*1,05 puis recopie vers le bas. Nous retrouvons que la ville B aura plus d habitants que la ville A entre 15 et 16 ans. La série 1 représente la ville A et la série 2 la ville B. Nous utilisons ensuite le bouton «graphique» après avoir sélectionné la colonne de n puis en appuyant sur CTRL les deux colonnes contenant les suites à représenter. (Nous utilisons dans le menu «graphique» le sous-menu «Courbes») Exercice 5 Partie A Etude du planning d Aline. La suite (u n ) est une suite arithmétique car pour tout n N *, u n+1 = u n + r en effet, Aline ajoute chaque jour r kilomètres à son entraînement. Le premier jour, elle fait 20 kms donc u 1 = 20. Déterminons r : Nous savons que le quinzième jour, elle fait 118 kms donc u 15 = 118. Exprimons u n en fonction de n : u n = u 1 + (n 1)r donc u n = 20 + (n 1)r. Ceci nous donne l équation suivante : 118 = 20 + (15 1)r 118 = 20 + 14r 14r = 118 20 14r = 98 donc r = 7. Aline fait 7 kms de plus chaque jour. u n = 20 + 7(n 1) u n = 20 + 7n 7 Conclusion : u n = 7n + 13 avec n N *. Pour avoir la totalité des kms, nous devons calculer S 15 = u 1 + u 2 + u 3 + + u 15 u Nous avons une formule S n = n 1 + u 2 n n N * (Voir rappels de cours). 20 + (7(15) + 13) 20 + 105 + 13 S 15 = 15 = 15 = 15(69) = 1035 kms. 2 2 Aline aura parcouru en tout 1035kms. Partie B Etude du planning de Véronique.
La suite (v n ) est une suite géométrique car pour tout n N *, v n+1 = v n (q) en effet, Aline ajoute chaque jour t% kilomètres à son entraînement soit (formule des augmentations) t v n+1 = v n (1 + ). 100 Le premier jour, elle fait 20 kms donc v 1 = 20. t Déterminons q = 1 + 100 la raison : Nous savons que le quinzième jour, elle fait comme Aline 118 kms donc v 15 = 118. t Or v n = v 1 (1 + ) n 1 100 Exprimons v n en fonction de n : v n = v 1 (q) n 1 t soit v n = 20(1 + 100 Nous avons donc l équation suivante : t 118 = 20(1 + ) 14 (Nous écrivons que v 15 = 118) 100 t (1 + ) 14 = 5,9 (Si x 14 = a avec a 0 alors x = 14 a ) 100 ) n 1. t 1 + 100 1,135 donc le pourcentage d augmentation journalier du parcours de Véronique est à peu prés égal à 0,135 soit 13,5%. Conclusion : v n 20(1,135) n 1 n N *. (Attention, 1,135 est une valeur approchée) La totalité des kms parcourus sera donné par S 15 = v 1 + v 2 + v 3 + + v 15. Formule : S n = v 1 1 q 1 q n avec q 1. 15 S 15 20 1 (1,135) 5,682 20 842 kms. 1 1,135 0,135 Véronique aura parcourus en tout 842 kms. Nous pouvons terminer en montrant graphiquement le planning de ces deux sportives. Nous utilisons un grapheur, tu peux utiliser ta calculette. Représentation graphique :