Agrégation eterne e mathématiques, session 2011 Épreuve e moélisation, option Calcul scientifique (public 2011) A LA DÉCOUVERTE DE LA DYNAMIQUE DES GAZ Résumé : On s intéresse à un moèle simplifié qui ehibe les ifficultés essentielles posées par les équations e la ynamique es gaz. Thème applicatif, mots clefs : Mécanique es fluies. Equations au érivées partielles. Equation e transport. Différences finies Il est rappelé que le jury n eige pas une compréhension ehaustive u tete. Vous êtes laissé(e) libre organiser votre iscussion comme vous l entenez. Des suggestions e éveloppement, largement inépenantes les unes es autres, vous sont proposées en fin e tete. Vous n êtes pas tenu(e) e les suivre. Il vous est conseillé e mettre en lumière vos connaissances à partir u fil conucteur constitué par le tete. Le jury appréciera que la iscussion soit accompagnée eemples traités sur orinateur. 1. Introuction On consière l évolution e particules ans un fluie. Pour simplifier on supposera que ces particules ne peuvent se éplacer que sur une roite. On note P(t;s,) la position occupée à l instant t par une particule partie à l instant s e la position. Connaissant le champ e vitesses u en tout point, l évolution e la particule est onc régie par P(t;s,) = u(t,p(t;s,)), P(s;s,) =. t On ésigne par ρ(t,) la ensité e ces particules c est-à-ire que R b a ρ(t,) onne le nombre e particules contenues à l instant t ans le omaine (a,b). On a alors la propriété e conservation Z P(t;0,b) P(t;0,a) ρ(t,) = Z b a ρ(0,). On en éuit que t ρ+ (ρu) = 0. Toutefois ans les applications, le champ e vitesses u n est pas onné mais satisfait une certaine équation évolution qui implique elle-même ρ. On est onc confronté à es systèmes équations au érivées partielles non linéaires. Dans ce tete, on s intéresse à eu versions e ce problème : - la première consiste en un simple moèle linéaire où la vitesse est constante u(t,) = c R ; - pour la secone, on supposera que la vitesse est liée à la ensité par u = ρ (en particulier plus la ensité est élevée plus les particules vont vite). Page 1/6 2011B1P12
On consière onc l équation au érivées partielles (1) t ρ+ f(ρ) = 0, t 0, R, avec f(ρ) = cρ ou f(ρ) = ρ 2, complétée par la onnée initiale ρ(0,) = ρ 0 (). Ces équations contiennent en fait l essentiel es ifficultés es moèles réalistes e la ynamique es gaz. Nous allons étuier quelques unes e ces ifficultés, tant sur le plan e l analyse mathématique que e la simulation numérique. 2. Préliminaires mathématiques Un point e vue fécon consiste à introuire, sans se préoccuper ans un premier temps éventuelles ifficultés techniques liées à leur eistence, les courbes caractéristiques associées à (1) qui sont solutions e l EDO t X(t;s,) = f (ρ(t,x(t;s,)), X(s;s,) =. On interpréte alors (1) comme une propriété e conservation le long e ces courbes ( ) ρ(t,x(t;s,)) = 0. t Dans le cas linéaire f(ρ)=cρ, les caractéristiques sont e simples roites X(t;s,)= +c(t s) et la solution e (1) est ans ce cas ρ(t,) = ρ 0 ( ct). En mimant cette émarche pour f(ρ) = ρ 2 on s aperçoit que la situation est bien plus compliquée. Les courbes caractéristiques sont alors éfinies par X(t;s,) = 2ρ(t,X(t;s,)), X(s;s,) =. t La relation onnant la solution e (1) en fonction e la onnée initiale ρ(t,) = ρ 0 (X(0;t,)) evient une relation implicite puisque la éfinition e X épen encore e ρ! Cette approche permet cepenant e mettre en évience un premier phénomène intéressant. Un argument simple montre que, même si on consiére une onnée ρ 0 très régulière, la solution e (1) peut perre cette régularité en temps fini et qu on ne peut alors plus résoure l EDO éfinissant les courbes caractéristiques. En effet, en érivant (1), on obtient t ( ρ ) + 2ρ ( ) ) 2. ρ = 2( ρ Autrement it, on se ren compte que t ρ(t,x(t;0,)) vérifie l équation e Ricatti y = 2y 2. Ainsi, lorsque ρ 0 est écroissante, la solution e (1) est telle que ρ(t,) pren es valeurs infinies en temp fini. Il s agit là un phénomène e choc, illustré par la figure 1. Cette remarque conuit à introuire une notion e solution plus sophistiquée qui permet envisager e telles iscontinuités, mais cette notion va au elà u propos e ce tete ; nous allons ans la suite plutôt nous intéresser à l approimation numérique e cette équation. On cherchera en particulier à évaluer les performances e ifférents schémas pour la onnée initiale 2011B1P12 Page 2/6
Solution a t=0.27 pour f(rho)=rho^2 0.5 0.4 0.3 solution conition initiale 0.2 0.1 rho 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FIG. 1 ρ 0 () = 1 0 où 1 A ésigne la fonction caractéristique e l ensemble A : on cherche à retrouver la solution onnée par la figure 2. Solution e type choc pour le cas f(rho)=rho^2 1.2 1.0 0.8 0.6 rho 0.4 0.2 0.0 conition initiale solution au temps T=0.3 solution au temps T=0.6 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FIG. 2 Auparavant, il est aussi intéressant e comparer (1) avec l équation obtenue en ajoutant un terme e viscosité (2) t ρ ε + f(ρ ε) = ε 2 2 ρ ε, Page 3/6 2011B1P12
où ε > 0. Cette équation peut être résolue eplicitement à l aie un changement inconnue astucieu. Pour le cas linéaire f(ρ) = cρ, on obtient Z + ( ( ct ) y)2 y ρ ε (t,) = ep ρ 0 (y) 4εt 4πεt et on peut établir la convergence e ρ ε vers ρ, solution e (1) quan ε 0. Pour le cas non linéaire f(ρ) = ρ 2, on remarque que v(t,) = ep( 1 R ε ρ ε(t,y)y) vérifie l équation e la chaleur t v = ε 2 v. On obtient onc 2 ρ ε (t,) = ε ln [Z + ep ( ( y)2 4εt ) v 0 (y) y 4πεt ], v 0 () = ep ( 1 Z ) ρ 0 (y)y. ε Cette epression inique en particulier que la solution e (2) est une fonction très régulière. Une analyse très élicate établit la convergence e la suite ρ ε vers la solution e (1). 3. Simulation numérique Une première approche pour résoure numériquement (1) consiste à envisager un schéma Euler eplicite vis-à-vis e la variable e temps, combiné à une méthoe e ifférences finies pour la variable espace (3) ρ n+1 j ρ n j = t ( f(ρ n 2 j+1 ) f(ρ n j 1 )) Ce schéma ne fonctionne pas, y compris pour le moèle linéaire : la figure 3 est typique un éfaut e stabilité. Schema Euler eplicite en temps et ifferences finies en espace en 10 pas e temps 15 10 5 rho 0 5 10 15 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Pour illustrer cette notion on introuit la FIG. 3 2011B1P12 Page 4/6
Définition 1. On envisage un schéma numérique pour (1) comme une relation e récurrence entre es suites : étant onné ( ρ 0 ) j j Z l1 (Z), on pose ρ n+1 j = Φ(ρ n j+1,ρn j,ρn j 1 ). On introuit la suite e fonctions éfinie par ρ n () = ρ n j 1 (( j 1/2),( j+1/2) ) (). j Z On it que le schéma est L 2 -stable si et seulement si ρ n+1 L 2 (R) ρn L 2 (R). En eploitant ρ n+1 L 2 (R) = C ρ n+1 L 2 (R), où ésigne la transformée e Fourier, on montre que le schéma (3) pour f(ρ) = cρ n est pas stable. L iée consiste alors à introuire un terme e viscosité ans l équation : au lieu e résoure (1), on l approche par (2) avec ε épenant es pas e temps et espace. Plus précisément, on pose ε = ( ) 2 /(2 t) fié et on approche l équation (2) corresponante par ifférences finies. On obtient le schéma (4) ρ n+1 j = ρn j+1 + ρn j 1 2 t ( f(ρ n 2 j+1 ) f(ρ n j 1 )). On peut vérifier ans le cas linéaire que ce schéma est L 2 stable sous la conition c t/ 1. Eviemment la mise en oeuvre numérique e cet algorithme nécessite e préciser es conitions au limites ; pour simplifier on consière es conitions e 1 périoicité en espace c est-à-ire qu on impose, si j {0,...J} avec J = 1, ρ n J+1 = ρn 0 et ρn 1 = ρn J. La figure 4 illustre cette méthoe. Approimation calculee par le schema e La Frierichs a t=0.3 pour f(rho)=rho 1.0 0.9 approimation conition initiale 0.8 0.7 0.6 rho^2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 FIG. 4 Page 5/6 2011B1P12
Suggestions pour le éveloppement Soulignons qu il s agit un menu à la carte et que vous pouvez choisir étuier certains points, pas tous, pas nécessairement ans l orre, et e façon plus ou moins fouillée. Vous pouvez aussi vous poser autres questions que celles iniquées plus bas. Il est très vivement souhaité que vos investigations comportent une partie traitée sur orinateur et, si possible, es représentations graphiques e vos résultats. On pourra étailler certains arguments mathématiques qui ne sont que brièvement esquissés ans le tete : eplosion e ρ, résolution es équations avec viscosité, convergence ans le cas linéaire, étue e stabilité... Discuter et illustrer les comportements es ifférents schémas proposés. On pourra présenter autres méthoes numériques. Par eemple, tester un schéma écentré en espace. 2011B1P12 Page 6/6