POLYNOME DU SECOND DEGRE 1 Fonctions polynômes Définition 1.1 On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la forme : P () =a n n + a n1 n1 + + a p p + + a 2 2 + a 1 + a 0 a 0, a 1,..., a n sont appelés coefficients de P Le terme a p p un le monôme de degré p n = deg(p ), ledegré dupolynôme de P. Si tous les coefficients sont nuls, P est dit fonction ou polynôme nul. Eemple 1.1 1. La fonction P définie par P () =7 6 5 4 +311 est une fonction polynôme de degré 6 2. La fonction affine a + b avec a 0est une fonction polynôme de degré 1 3. La fonction constante k avec k 0est une fonction polynôme de degré 0 4. La fonction Q définie par : Q() = 3 + + 1 n est pas une fonction polynôme. Théorème 1.1 Toute fonction polynôme, f, différente du polynôme nul, s écrit de manière unique sous la forme : avec a n 0 f() =a n n + a n1 n1 + + a p p + + a 2 2 + a 1 + a 0 Eemple 1.2 La fonction f() =( +1)( +2) est une fonction polynôme. Elle peut s écrire f() = 2 +3 +2. Définition 1.2 On appelle racine d une fonction polynôme P toute solution 0 de l équation P () =0 Eemple 1.3 1. Les racines de la fonction polynôme P définie sur R par : P () =( 1)( + π)( 2) sont 1, π et 2. 2. Les fonctions polynômes du 1 er degré a + b admettent toutes une seule racine 0 = b a. 3. La fonction polynôme f() = 2 +1n a aucune racine réelle. 2 Fonction trinôme du second degré Définition 2.1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P,définie sur R, pouvant se ramener àlaforme:p () =a 2 + b + c où a, b et c sont des réels avec a 0 L epression a 2 + b + c est appelée trinôme du second degré. 1
Eemple 2.1 1. P () = 2 7 +12,ona:a =1, b = 7 et c =12. 2. P () =4 2,ona:a =4, b =0et c =0. 3. 2 +1, 6 3 +4 +2 et ( 1) 2 2 ne sont pas du second degré. 3 Forme canonique du trinôme On considère un trinôme a 2 + b + c avec a 0. ( ) Propriété 1Tout trinôme du second degré peuts écrire sous la forme a ( + α) 2 β. Eemple 3.1 Soit le trinôme : 2 8 +9 Comme : 2 8 = 2 2 4 +4 2 4 2 =( 4) 2 16 On a : 2 8 +9=( 4) 2 16 + 9 = ( 4) 2 7 Preuve :Transformation de l écriture danslecasgénéral Soit le trinôme : a 2 + b + c, avec(a 0) Par factorisation de a on a : a( 2 + b a + c a ) or 2 + b a = ( + b ) 2 ( ( d où a( 2 + b a + c a )=a + b Pour simplifier cette écriture, on pose = 4ac. On a donc : a 2 + b + c = a ( ( + b Définition 3.1 ) ) ( 2 b ( 2 + c ) ) a = a + 4ac ) 2 ) = 4ac s appelle le discriminant du trinôme a 2 + b + c. La forme P () =a ( + b ) 2 4a, s appelle la forme canonique de P () 4 Représentation graphique et variation Dans un repère (O; i, j), on considère C f la courbe représentative de la fonction f : a 2 +b+c avec a 0,P la parabole d équation y = 2 et P a la parabole d équation y = a 2. Propriété 2On obtient C f àpartirdep a par une translation de vecteur b i 4a j Théorème 4.1 La représentation graphique d une fonction polynôme du second degré estunepa- rabole. Elle est tournée vers le haut si a>0, tournée vers le bas si a<0. Son ae de symétrie est la droite d équation : = b Le point S ( b ; 4a) est son sommet. 2
Selon la valeur de a, on a donc les tableau de variations suivants : Si a>0 b + + + f 4a Si a<0 b + 4a f 5 Résolution de l équation a 2 + b + c =0 ( ( Résoudre a 2 ) ) + b + c =0avec(a 0)revientàrésoudre l équation : a + =0 qui s écrit encore : ( + b ) 2 = Cette équation n a de solution que lorsque est positif ou nul. Théorème 5.1 L équation a 2 + b + c =0avec (a 0): 1. n a pas de solution réelle lorsque < 0 ; 2. a une seule solution 0 = b lorsque =0; 3. a deu solutions : 1 = + Eemple 5.1 et 2 = lorsque > 0. 1. 5 2 +6 +2=0 n a pas de solution réelle car =4. 2. 2 4 +4=0 a une unique solution 0 =2car =0. 3. 6 2 + +1 adeusolutions 1 = 1+5 12 = 1 2 ; 2 = 15 12 = 1 3 car =25. 6 Somme et produit des racines Théorème 6.1 Lorsqueletrinôme a 2 + b + c admet des racines distinctes ou confondues, leur somme S et leur produit P sont donnés par les relations : S = b a et P = c a. Preuve : On distingue les deu cas. Racines confondues : 1 = 2 = b,doncs = 1 + 2 = b a.onap = 1 2 = b2 =0 =4ac donc P = 4ac 4a = a 2 c Racines distinctes :Ilsuffitdecalculer. S = 1 + 2 = + P = 1 2 = + + = b a = c a Propriété 3Deu réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ils sont solutions de l équation : 2 S + P =0 Preuve : Il faut justifier les deu implications de l équivalence. P = 1 2 = 2 1 + 1 2 2 1 = 1( 1 + 2 ) 2 1 = 1S 2 1 =SoitP 1S 2 1 =0 et 3
Réciproquement, Si 1 et 2 sont solutions de 2 S+P =0,d après le théorème précédent, 1 + 2 = S 1 = S et 1 2 = P 1 = P. 7 Factorisation du trinôme P () =a 2 + b + c Théorème 7.1 Le trinôme a 2 +b+c se factorise en produit de facteurs du premier degré delamanière suivante : Si > 0 : a 2 + b + c = a( 1 )( 2 ) où 1 et 2 sont les racines du trinôme. Si =0: a 2 + b + c = a( 0 ) 2 où 0 est la racine double du trinôme. Théorème 7.2 Si =0,onnote 0 la racine, on obtient le tableau de signes suivant : 0 + ( 0 ) 2 + 0 + a( 0 ) 2 signe de a 0 signe de a Si > 0, supposonsque 1 < 2, on obtient le tableau de signes suivant : 1 2 + 1 0 + + 2 0 + ( 1 )( 2 ) + 0 0 + a( 1 )( 2 ) signe de a 0 signe de (a) 0 signe de a [ ( Si =0, on utilise la forme canonique : a 2 + b + c = a + b ) ] 2 Comme est négatif, lšepression entre crochets est positive, le signe de P () est donc le même que celui de a Théorème 7.3 Le trinôme a 2 +b+c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu elles eistent. Et en particulier, lorsque < 0, letrinôme est de signe constant. (Celui de a) Eemple 7.1 résoudre l inéquation 2 4 +1 0. On a =12> 0, 1 =2 3 et 2 =2+ 3. Comme a =1est positif, le trinôme est toujours positif sauf entre ses racines. Les solutions de l inéquation sont donc les réels de l intervalle ] ;2 3] [2 + 3; + [. 4
8 Tableau récapitulatif < 0 =0 > 0 f() admet aucune racine une seule racine deu racines α = 1 = et 1 = + factorisation de f() impossible a( α) 2 a( 1 )( 2 ) a > 0 1 2 a < 0 1 2 5