TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Activité de recherche : Résoudre un problème démographique A l issue d une étude, des démographes font des projections concernant la population de deux villages A et B de la campagne tarnaise pour les 50 prochaines années. Ils estiment que l effectif de la population du village A dans n années à compter d aujourd hui peut être modélisé et calculé grâce à la fonction suivante : P : n 3500 n +69n. Il est prévu que l effectif de la population du village B décroisse de façon affine. Alors qu aujourd hui, l effectif est de 4300, il devrait être de 4000 dans 0 ans. On note Rn) l effectif de la population du village B dans n années à compter d aujourd hui. On se demande en quelle année, l écart entre le nombre d habitants sera le plus grand. Déterminer ce nombre d années par la méthode de votre choix. On reviendra en fin de chapitre sur de nouveaux outils. I Généralités :. Fonction trinôme du second degré : On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur R par fx) = ax +bx+c; a, b, et c étant trois réels avec a non nul. EXEMPLES : Les fonctions f, g et h définies sur R par fx) = x 3x + ; gx) = x + 3 et hx) = x x. Donnez pour chacune d elle les coefficients : Pour f, a =...; b =... et c =... Pour g, a =...; b =... et c =... Pour h, a =...; b =... et c =... Remarques) : On utilisera parfois l expression "trinôme" au lieu de "trinôme du second degré". L expression sous la forme fx) = ax + bx + c est appelée forme développée de la fonction. Il existe d autres expressions de cette fonction : - la forme canonique : fx) = ax α) +β; α et β étant deux réels. - la forme factorisée : fx) = ax x )x x ); x et x étant deux réels. Exercice. On considère la fonction trinôme g dont la forme canonique est gx) = 3[x) 9]. a) Déterminer la forme développée et la forme factorisée de g. b) Calculer g0), g), g4) et g ). c) Résoudre l équation gx) = 0.. Racine : On appelle racine d une fonction trinôme f tout réel x 0 pour lequel fx 0 ) = 0. Remarques) : Les racines d une fonction trinôme f sont les solutions de l équation fx) = 0. A ne pas confondre avec "racine carrée". Exercice. Déterminer un trinôme dont et soient racines. Exercice 3. Montrer que le trinôme x +x+ a pour racine. Exercice 4. Résoudre les équations du second degré : ) x 6x = 0 ) 3x 9 = 0 3) x +7 = 0. http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page /9
3. Discriminant : Exercice 5. a) Compléter : ) x +6x+... = x+...) ) x...x+ 9 4 = x...) b) Compléter : ) x +4x 5 = x+...)... )x x+4 = x...) +... c) Compléter : ) x +4x 5 = [x+...)...] )x +6x+4 = [x...) +...] D une manière générale, on considère le trinôme fx) = ax +bx+c; a 0. [ On peut écrirefx) = a x + b a x+ c ] [ = a x+ b ) ] b a a 4a + c = a a [ Donc fx) = a x+ b ) ] b 4ac a 4a [ x+ b a On considère le trinôme fx) = ax +bx+c; a, b, et c étant trois réels avec a non nul. On appelle discriminant du trinôme et on note le nombre réel = b 4ac. Remarques) : [ L écriture fx) = a x+ b ) ] est appelée forme canonique du trinôme. 4a Elle n a pas à être mémorisée, celle du discriminant doit l être. En seconde, on obtenait en effet la forme canonique sous la forme fx) = ax α) +β avec α = b et β = fα). II Étude des trinômes rappels de nde) : ) ] b 4a + 4ac. 4a. Courbe représentative d une fonction du second degré : Exercice 6. Donner la forme canonique de la fonction f définie sur R par fx) = x 8x+. α =... =... β = fα) =... Donc fx) =... Représentation graphique d une fonction trinôme du second degré : Le plan est rapporté au repère orthogonal O; i, j ). Soit f la fonction trinôme du second degré définie par fx) = ax +bx+c, et soit C f sa courbe représentative. Soit P la parabole d équation y = ax ). On obtient C f en appliquant à P la translation de vecteur une parabole, de sommet le point d abscisse α = b. La droite d équation x = b est axe de symétrie de C f. α β ). Ainsi, C f est elle-même http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page /9
Exercice 7. On veut représenter la fonction f définie sur R par : fx) = x 8x+ On a fx) =.... Il suffit d appliquer ) une translation de... vecteur à la parabole d équation... y = x ). 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0.5.0.5.0 0.5.5.0 0.5 P 0.5.0.5.0.5 3.0 3.5. Variations de la fonction : On peut déduire des tableaux de de la fonction x ax le tableau de de la fonction f où fx) = ax +bx+c; cela dépend du signe de a : Si a > 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le... x b + x b + de x ax de x fx) Si a < 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le... x b + x b + de x ax de x fx) Exercice 8. Donner les tableaux de variation des fonctions f et g suivantes : fx) = x +6x+5 gx) = x +6x+ x + de x fx) x + de x gx) Indiquer la position de la courbe dans un repère orthogonal O; i, j ). http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 3/9
III Factorisation des trinômes : On se donne le trinôme du second degré fx) = ax +bx+c = 0 ; a 0. La forme canonique du trinôme f est donnée par fx) = ax α) +β On peut l écrire également sous la forme suivante en factorisant le coefficient dominant a) : [ fx) = a x+ b ) ] 4a Il est alors, dans certains cas, possible de factoriser l expression entre crochets : si le discriminant est négatif, alors l expression entre crochets n est pas factorisable. Le trinôme n a pas de racines. si le discriminant est nul, alors le trinôme f est déjà factorisé, puisqu il s écrit fx) = a x+ b ) Le trinôme a une racine double : x 0 = b. si le discriminant est positif, alors l expression entre crochets est du type A B, avec A = x+ b ) et B =. On a alors la factorisation suivante de la forme A B)A+B)) : fx) = a x+ b + Le trinôme a deux racines : x = b ) x+ b ) et x = b+. Pour résumer : si fx) = ax +bx+c, de discriminant = b 4ac Si < 0 Si = 0 Si > 0 pas de fx) = ax x 0 ) fx) = ax x )x x ) Factorisation de f : factorisation où x 0 = b possible où x = b et x = b+ Remarques) - L utilisation du discriminant concerne uniquement les équations du second degré. On ne peut pas les utiliser dans d autres cas équation du troisième degré par exemple). - Dans certains cas il n est pas utile de l utiliser en général si b ou c est nul). Exercice 9. Pour les équations du second degré suivantes, entourer-les quand l utilisation du discriminant est utile pour les factoriser. Sinon, donner cette factorisation. ) x x+ ) x 5x 3) 4 x 4) x 3 x 5) x +3x 5 6) x 4 + 3 7 http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 4/9
Exercice 0. Factoriser si possible les expressions suivantes. fx) = x 5x+7 =... D où... gx) = x +8x7 =... D où... hx) = 5x x 4 =... D où... IV Résolution d équations du second degré : Soit f une fonction du second degré définie sur R par fx) = ax + bx + c, a 0, de discriminant = b 4ac. On veut résoudre fx) = 0. [ Grâce aux résultats précédents, fx) = 0 a x+ b ) ] = 0 4a -Si < 0 alors l expression entre crochets est la somme d un carré et d un nombre strictement positif. Cette expression, strictement positive, ne pourra jamais s annuler. Il n y a pas de solution réelle à cette équation. -Si = 0 alors l équation peut s écrire : a x+ b ) = 0. Il y a une unique solution à cette équation, dite double c est x 0 = b. -Si > 0 alors l expression entre crochets se factorise, l équation peut s écrire : a x+ b ) x+ b ) ) ) + = 0 a x b+ x b = 0. Il y a deux solutions distinctes : x = b et x = b+. Exercice. On considère les fonctions f et g définies par fx) = x et gx) = x+. Représenter f et g sur le même graphique. Déterminer les abscisses des points d intersection des deux courbes. http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 5/9
fx) = ax +bx+c, a 0 Si < 0 Si = 0 Si > 0 pas de fx) = ax x 0 ) fx) = ax x )x x ) Factorisation de f : factorisation où x 0 = b possible où x = b et x = b+ Résolution de fx) = 0 : solution x 0 = b pas de Une seule solution Deux solutions distinctes sur R x = b et x = b+ Remarques) : Le nombre de solutions de l équation ax +bx+c = 0, a 0, dépend de la position de la parabole par rapport à l axe des abscisses. Compléter les graphiques ci-dessous en y plaçant les paraboles qui conviennent. Si < 0 Si = 0 Si > 0 3 3 3 a > 0 3 3 3 a < 0 Exercice. Soit f la fonction définie sur [0;0] par fx) = 0,0x +0,6x+8,8. On admet que fx) modélise la population, en millions d habitants, de l Allemagne pour l année 000+x.. Donner la population de l Allemagne en 007.. En quelle année la population de l Allemagne sera-t-elle de 80,5 millions? http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 6/9
V Signe du trinôme : On considère le trinôme fx) = ax +bx+c, a 0, avec son discriminant = b 4ac. On rappelle sa forme canonique : [ fx) = a x+ b ) ] 4a si le discriminant est négatif alors le trinôme n a pas de racines; il ne peut pas se factoriser et l expression entre crochets est égale à un carré x+ ) b auquel on ajoute un nombre strictement positif ). Cette expression entre crochets est donc strictement positive; autrement dit, le trinômefx) est du même signe que son coefficient 4a dominant a. x + Signe de fx) signe de a si le discriminant est nul alors le trinôme peut s écrire fx) = a ) x+ b Cette expression, on l a vu, est nulle pour x = α = b. Mais pour les autres valeurs du nombre x, cette expression est un carré x+ ) b multiplié par un nombre réel a; on peut en déduire que ce trinôme sera alors du même signe que son coefficient dominant a. x α + Signe de x α) + + Signe de fx) = ax α) signe de a signe de a si le discriminant est positif alors le trinôme ax +bx+c peut se factoriser, et le trinôme peut s écrire fx) = a x+ b ) + x+ b ) Il est alors possible de compléter un tableau de signes : les valeurs frontières sont les racines x = b et x = b+, et on a en supposant que x < x, sinon il n y a qu à inverser) : http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 7/9
x x x + Signe de x x Signe de x x Signe de x x )x x ) Signe de fx) = ax x )x x ) signe de a signe de -a signe de a Remarques) : -Il peut être utile de visualiser l allure de la courbe voir page 6) pour vérifier ou compléter ces tableaux de signes. -Faire un tableau de signes permet par exemple de résoudre une inéquation. Exercice 3.. Faire le tableau de signes des trinômes suivants : ) x 4x+5 ) x 5x+ 3) 4x +4x. Résoudre les inéquations suivantes : ) x 4x+5 < 0 ) x 5x+ 0 3) 4x +4x < 0 Exercice 4. On considère la fonction f définie sur R par fx) = x)x 5x+).. Résoudre l équation fx) = 0.. Donner, suivant les valeurs de x, le signe de fx). 3. Déterminer, sans faire de calculs, le signe de f5) et le signe de f,0005). Exercice 5. Sur le dessin ci-contre sont représentées deux fonctions trinômes du second degré f et g.. On sait que le discriminant de f est positif et celui de g négatif. Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes représente f et laquelle représente g.. f a pour racines 0 et 5 et de plus f) =. Déterminer l expression de fx). 5 4 3 3. g a un minimum en 7 et de plus les courbes de f et g se coupent en A;3) et B4;). Déterminer l expression de gx). 4. Vérifier en représentant graphiquement les fonctions f et g à partir des expressions obtenues dans ) et 3). 5. Calculer l extrémum de f et celui de g. 4 3 4 5 6 http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 8/9
Exercice 6. Un artisan fabrique des vases qu il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus. L artisan veut faire une étude sur la production d un nombre de vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coût de production en euros de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l expression est : Cx) = x 0x+500, où x appartient à l intervalle [0;60]. Chaque vase est vendu 50 euros.. Tracer dans un même repère la courbe C) représentant la fonction C et la droite D) d équation : y = 50x.. Par lecture graphique, déterminer : a) le coût de production de 40 vases fabriqués. b) la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 300 euros. 3. On note Rx) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. a) Exprimer Rx) en fonction de x. b) Déterminer graphiquement le nombre de vases que l artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice. 4. a) Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de x vases, est donné par la fonction B dont l expression est Bx) = x + 60x 500, où x appartient à l intervalle [0;60]. b) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [0;60]. c) En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Exercice 7. Voici un algorithme de résolution de l équation ax +bx+c = 0 avec a 0.. Compléter-le. Variables : Entrée : Traitement et sorties : a, b, c, d, x, y sont des nombres réels Saisir a,b,c Affecter à d la valeur b 4ac Afficher d Si d > 0 alors Affecter à x la valeur... Affecter à y la valeur... Afficher x,y FinSi Si d = 0 alors Affecter à x la valeur... Afficher x FinSi Si... alors Afficher "Pas de solution" FinSi. Coder cet algorithme dans le langage de votre calculatrice. 3. Résoudre les équations suivantes à l aide de votre programme : ) 4x +8x 5 = 0 ) x x+ = 0 http://lux.math.free.fr/ Second degré ESL) Page 9/9