Des piles de sable aux automates de sable

Thèse 3 décembre 26 Benoît MASSON Des piles de sable aux automates de sable Thèse dirigée par Enrico FORMENTI Laboratoire I3S Projet RECIF

Introduction Modélisation de phénomènes naturels problème continu équations différentielles, approximations discrétisation du problème systèmes dynamiques discrets Cas particulier du déplacement de particules (sable etc.) Chip Firing Game [S86] piles de sable (SPM = Sand Pile Model [BTW88]) Deux axes de recherche amélioration du réalisme généralisation des modèles connus Automates de sable Des piles de sable aux automates de sable Page

Plan Introduction. Piles de sable 2. Automates de sable 3. Résultats dynamiques Perspectives

Piles de sable Grain de sable : Colonne de sable (état, nombre de grains entier) : Pile de sable (configuration) : suite finie de colonnes c = (c,...,c l ), c N l. c c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 Des piles de sable aux automates de sable Page 3

Système de piles de sable Système dynamique discret agissant sur les piles de sable. Évolution régie par des règles locales. Règle verticale Règles horizontales Des piles de sable aux automates de sable Page 4

Système de piles de sable Système dynamique discret agissant sur les piles de sable. Évolution régie par des règles locales. Règle verticale Règles horizontales Configuration initiale : une seule colonne de n grains. n Des piles de sable aux automates de sable Page 4

Exemples Deux modèles utilisés principalement SPM (Sand Pile Model), règle verticale IPM(k) (Ice Pile Model), règles verticale et horizontales SPM = IPM() Des piles de sable aux automates de sable Page 5

Exemples Deux modèles utilisés principalement SPM (Sand Pile Model), règle verticale IPM(k) (Ice Pile Model), règles verticale et horizontales SPM = IPM() 2 modes de fonctionnement parallèle (synchrone) séquentiel (asynchrone) Des piles de sable aux automates de sable Page 5

SPM n = 8 Des piles de sable aux automates de sable Page 6

SPM Des piles de sable aux automates de sable Page 6

Évolution de IPM(k) Pour n = 6, dans IPM(3) Des piles de sable aux automates de sable Page 7

Évolution de IPM(k) Résultats connus [GK93,GMP2] Pour n = 6, dans IPM(3) Treillis unicité du point fixe. Caractérisation des éléments du treillis. Calcul de la longueur du transitoire. Des piles de sable aux automates de sable Page 7

Limites Manque de généralité et de réalisme. Configurations initiales quelconques? Symétrie?? Des piles de sable aux automates de sable Page 8

Piles de sable généralisées Algorithme de calcul du point fixe. Entrée Découpage Calcul Sortie Fusion Unicité du point fixe. Des piles de sable aux automates de sable Page 9

Piles de sable symétriques Modèle SSPM (Symmetric Sand Pile Model). Configuration initiale : colonne unique de n grains Règles locales : Si δ l 2 Si δ r 2 Des piles de sable aux automates de sable Page

Piles de sable symétriques Modèle SSPM (Symmetric Sand Pile Model). Configuration initiale : colonne unique de n grains Règles locales : Si δ l 2 Si δ r 2 Non-déterministe : plusieurs grains peuvent tomber en même temps depuis des colonnes différentes (mode séquentiel) depuis la même colonne (vers la gauche ou vers la droite) Des piles de sable aux automates de sable Page

Graphe des orbites Pour n = 5, dans SSPM Des piles de sable aux automates de sable Page

Caractérisation de SSPM Proposition Une configuration c est atteignable ssi elle peut être découpée en deux parties L(c) et R(c) telles que L(c) est croissante R(c) est décroissante L(c), R(c) sont cassées : entre 2 plateaux il doit y avoir une falaise L(c) R(c) L(c) R(c) L(c) R(c) Des piles de sable aux automates de sable Page 2

Points fixes n = n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = Nombre de points fixes : n Longueur du transitoire : O(n 3/2 ) Des piles de sable aux automates de sable Page 3

Automates cellulaires Ensemble d états S = {, } Règle locale δ : S (2r+)d S, rayon r dimension d. Cas de base d = r = Appliqué à une configuration de S Zd. Des piles de sable aux automates de sable Page 5

Diagramme espace-temps Source : http://perso.wanadoo.fr/jpq/fractales/autocell/ Des piles de sable aux automates de sable Page 6

Récapitulatif Automates cellulaires configurations infinies nombre d états borné évolution synchrone règle locale Piles de sable configurations finies nombre d états non borné évolution asynchrone règle locale Des piles de sable aux automates de sable Page 7

Configurations Configuration définie sur une grille infinie Z d. À tout point est associé un entier relatif (nombre de grains). Ajout de sources et puits pour plus de généralité et pour des raisons de compacité : C = ( Z {,+ } ) Z d Mise en place d une topologie pour étudier la dynamique. C localement compact, complet. Des piles de sable aux automates de sable Page 8

Automates de sable [CF3] A = d,r,f, d est la dimension, r le rayon et f la règle locale. La règle locale retourne la variation d une colonne en fonction du tableau des différences de hauteur avec les voisins. Des piles de sable aux automates de sable Page 9

Règle locale «Locale» à cause du rayon r nombre de voisins pris en compte fixe différences bornées, considérées comme infinies si trop grandes r r La règle est appliquée sur le voisinage (+2,,,+ ) Des piles de sable aux automates de sable Page 2

Règle globale La règle locale est appliquée de manière synchrone. Le comportement de l automate est déterminé par sa règle globale F : C C F(c) i = c i + f(n(c i )) c i si c i < sinon Des piles de sable aux automates de sable Page 2

Simulation de SPM d = r =, f(a,b) = + si a = + et b si a + et b = sinon a =, b = Des piles de sable aux automates de sable Page 22

SPM r (inverse à droite) d = r =, f(a,b) = si a = + et b + si a + et b = sinon a =, b = Des piles de sable aux automates de sable Page 23

Propriétés Proposition 2 [CF3] Il est possible de simuler un automate cellulaire à l aide d un automate de sable, et vice-versa. Théorème 3 [CF3] Une fonction F : C C est la règle globale d un automate de sable ssi F est continue F est invariante horizontalement et verticalement F conserve les infinis Des piles de sable aux automates de sable Page 24

Simulation d un AC par un AS Rayon r 2r Des piles de sable aux automates de sable Page 25

Simulation d un AS par un AC Rayon r 2r Dimension d d + Des piles de sable aux automates de sable Page 26

Propriétés ensemblistes Étude de la surjectivité et de l injectivité d un automate, i.e. de sa règle globale. Utilisées pour évaluer le comportement chaotique d un automate. Est-ce que ces propriétés sont décidables? On recherche des relations entre injectivité et surjectivité. Dans le cas général. Restriction à des configurations finies et périodiques. Des piles de sable aux automates de sable Page 28

Résultats Proposition 4 S P S S F I I P I F Des piles de sable aux automates de sable Page 29

Résultats Proposition 4 S P I P S F I S I F Pour les automates cellulaires : S P I P S F I S I F Des piles de sable aux automates de sable Page 29

Conservation des grains Définition (FGC) Un automate conserve les grains sur les configurations finies ssi pour toute configuration finie x, i Z d f(x) i = i Z d x i. Définition 2 (PGC) Un automate conserve les grains sur les configurations périodiques ssi pour tout x périodique de période p, p f(x) i = p i=(,...,) i=(,...,) x i. Des piles de sable aux automates de sable Page 3

Résultats Proposition 5 Les définitions FGC et PGC sont équivalentes. Théorème 6 La conservation des grains est décidable. En dimension, rayon, A =,,f est GC ssi pour tous a,b,c Z f(a,b,c) = f(,,b) f(,,a) + f(,b,c) f(,a,b) Des piles de sable aux automates de sable Page 3

Périodicité ultime Problème ULT Instance : Un automate de sable A. Question : A atteint une configuration temporellement périodique, à partir d une configuration finie (ou périodique) quelconque? Des piles de sable aux automates de sable Page 32

Périodicité ultime Problème ULT Instance : Un automate de sable A. Question : A atteint une configuration temporellement périodique, à partir d une configuration finie (ou périodique) quelconque? Théorème 7 ULT est indécidable. Des piles de sable aux automates de sable Page 32

Preuve Réduction à partir d une machine à deux compteurs, initialisée à. M = Q,q,q f,δ Principe de la simulation C L C q L R R R 2 Des piles de sable aux automates de sable Page 33

Preuve Réduction à partir d une machine à deux compteurs, initialisée à. M = Q,q,q f,δ Principe de la simulation. Simulation C L C q L R R R 2 Des piles de sable aux automates de sable Page 33

Preuve Réduction à partir d une machine à deux compteurs, initialisée à. M = Q,q,q f,δ Principe de la simulation. Simulation 2. Vérification C C V L C q q V L R R R V R 2 R V 2 Des piles de sable aux automates de sable Page 33

Preuve Réduction à partir d une machine à deux compteurs, initialisée à. M = Q,q,q f,δ Principe de la simulation. Simulation 2. Vérification 3. Comparaison C C V L C q q V L R R R V R 2 R V 2 Des piles de sable aux automates de sable Page 33

Preuve Réduction à partir d une machine à deux compteurs, initialisée à. M = Q,q,q f,δ Principe de la simulation. Simulation 2. Vérification 3. Comparaison C C V L C q q V L R R R V R 2 R V 2 Les configurations malformées arrêtent d évoluer. Des piles de sable aux automates de sable Page 33

Preuve Réduction à partir d une machine à deux compteurs, initialisée à. M = Q,q,q f,δ Principe de la simulation. Simulation 2. Vérification 3. Comparaison C C V L C q q V L R R R V R 2 R V 2 Les configurations malformées arrêtent d évoluer. M termine A est ultimement périodique. Des piles de sable aux automates de sable Page 33

Perspectives Piles de sable SSPM généralisé, parallèle (synchrone), déterministe SIPM(k), dimensions supérieures comparaison avec les modèles physiques Des piles de sable aux automates de sable Page 34

Perspectives Piles de sable SSPM généralisé, parallèle (synchrone), déterministe SIPM(k), dimensions supérieures comparaison avec les modèles physiques Automates de sable compléments aux résultats dynamiques (réversibilité, nilpotence) étude des propriétés topologiques (équicontinuité, transitivité etc.) classification des automates puissance de calcul Des piles de sable aux automates de sable Page 34

Publications [] E. FORMENTI et B. MASSON : On computing fixed points for generalized sandpiles. International Journal of Unconventional Computing, 2():3 25, 26. [2] E. FORMENTI et B. MASSON : A note on fixed points of generalized ice pile models. International Journal of Unconventional Computing, 2(2), 26. [3] E. FORMENTI, B. MASSON et T. PISOKAS : Advances in symmetric sandpiles. Fundamenta Informaticae, 76: 22, 26. [4] J. CERVELLE, E. FORMENTI et B. MASSON : Basic properties for sand automata. In Mathematical Foundations of Computer Science (MFCS 25), volume 368 de Lecture Notes in Computer Science, pages 92 2. Springer-Verlag, 25. [5] E. FORMENTI, B. MASSON et T. PISOKAS : On symmetric sandpiles. In Cellular Automata for Research and Industry (ACRI 26), volume 473 de Lecture Notes in Computer Science, pages 676 685. Springer-Verlag, 26. [6] J. CERVELLE, E. FORMENTI et B. MASSON : From sandpiles to sand automata. Soumis, 26. Des piles de sable aux automates de sable Page 35

Distance d(x,y) = 2 l, l défini par : l = l = x y Des piles de sable aux automates de sable Page 36

Distance d(x,y) = 2 l, l défini par : l = l = Des piles de sable aux automates de sable Page 36

Distance d(x,y) = 2 l, l défini par : l = 2 l = 2,,+,,+ Des piles de sable aux automates de sable Page 36

Distance d(x,y) = 2 l, l défini par : l = 3 l = 3 d(x,y) = 2 3,,,+, 3, 3,,+, Des piles de sable aux automates de sable Page 36