CHAPITRE 1 Raisonnement Vocabulaire ensembliste A. Éléments de logique.......................... 12 1. Construction de roositions....................... 12 2. Quantificateurs............................. 13 3. Méthodes de démonstration........................ 13 4. Le raisonnement ar récurrence...................... 14 5. Le raisonnement ar analyse et synthèse................... 15 B. Notions sur les ensembles....................... 16 1. Vocabulaire et notations usuelles...................... 16 2. Règles de calcul............................ 17 3. Familles d ensembles.......................... 18 C. Alications.............................. 18 1. Définitions.............................. 18 2. Fonction caractéristique d un sous-ensemble.................. 19 3. Image directe ou réciroque d un sous-ensemble................ 20 4. Injection Surjection Bijection...................... 21 D. Dénombrement............................ 22 1. Cardinal d un ensemble fini........................ 22 2. Réunion d ensembles finis........................ 23 3. Alications d un ensemble dans un autre.................. 24 4. Combinaisons............................. 25 E. Relation binaire sur un ensemble.................... 26 1. Vocabulaire et notations usuelles...................... 26 2. Relation d équivalence.......................... 26 3. Relation d ordre............................ 27 Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre...................... 29 Énoncés des exercices............................ 36 Solutions des exercices............................ 40 11
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste A. Éléments de logique 1. Construction de roositions La logique (mathématique s intéresse aux règles de construction de hrases mathématiques correctes : roositions ou énoncés, et aux règles ermettant d établir la vérité de ces hrases : théorèmes ou roriétés. Un axiome est une roosition que l on ose comme vraie. Si P et Q sont des roositions construites à artir de roositions A, B,..., la notation P Q signifie que P et Q sont synonymes. Définition 1 Une table de vérité est un tableau qui indique si une roosition P, construite à artir de roositions A, B, C,..., est vraie ou fausse suivant les valeurs de vérité de A, B, C,... (1 Dans ces tableaux, lorsqu une roosition est vraie, on lui attribue la valeur 1, lorsqu elle est fausse, on lui attribue la valeur 0. (2 A A est toujours fausse. (3 Noter que A B eut être vraie sans que B le soit. Mais si A B est vraie, B est une condition nécessaire our A et A est une condition suffisante our B. (4 A B et A B n ont la même signification. A B est vraie quand A et B sont simultanément vraies ou fausses. Dans ce cas, A et B sont des conditions nécessaires et suffisantes l une our l autre. (5 L imlication B A est l imlication contraosée de A B. Définition ar tables de vérité de A, A B, A B Étant donné des roositions A, B, on définit de nouvelles roositions : (1 la négation «non A» de A, notée A, c est la roosition contraire de A ; elle est vraie quand A est fausse et fausse quand A est vraie. la disjonction «A ou B», notée A B, la conjonction «A et B», notée A B. (2 A A 0 1 1 0 A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Définition 2 Imlication Étant donné des roositions A et B, l imlication A B est définie ar : ( A B ( A B. (3 Définition 3 Équivalence Étant donné des roositions A et B, l équivalence A B est définie ar : ( A B ( (A B (B A. (4 A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Proriété 1 Étant donné une roosition A, on a : A A. Étant donné des roositions A et B, on a : A B A B B A A B 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A B A B et A B A B. (A B (B A. (5 A B A B. 12
Éléments de logique Proriété 2 Étant donné des roositions A, B et C, vraies ou fausses, [ ] l imlication (A B (B C (A C est vraie. 2. Quantificateurs (6 Les énoncés concernent les éléments d un ensemble. (7 {x E/A(x}. «un» est à rendre au sens de «un au moins». (8 {x E/A(x}=E L énoncé A(x eut être vrai ou faux our un élément x E. (6 On forme de nouvelles roositions en s intéressant aux éléments de E qui vérifient cet énoncé. Notation 1 x E, A(x exrime qu il existe un élément de E qui vérifie la roosition A. (7 Notation 2 x E, A(x exrime que tous les éléments de E vérifient la roosition A. (8 Remarques Étant donné une roosition A concernant deux objets, les énoncés x, y, A(x, y et y, x, A(x, y sont équivalents. Il en est de même our x, y, A(x, y et y, x, A(x, y. Mais x, y, A(x, y et y, x, A(x, y ne veulent as dire la même chose! Comarer ar exemle x, y, x < y et y, x, x < y. Règle 1 Les quantificateurs sont écrits avant la roosition à quantifier. Un objet affecté du quantificateur déend de tous les objets affectés de qui sont lacés avant lui dans le même énoncé. Règle 2 La notation x E, A(x est un condensé de x, ( x E A(x. La notation x E, A(x est un condensé de x, ( x E et A(x. Règle 3 Quantificateurs et négation : (9 Pour montrer que la (1 non ( x, A(x x, A(x (9 (2 non ( x, A(x roosition ( x,a(x est x, A(x. fausse, on exhibe un contreexemle. Exemle 1 Limite d une suite réelle Soit (u n une suite réelle. On dit que est limite de (u n lorsque : +,, n, n u n. Écrivons la hrase logique exrimant qu un réel n est as limite de (u n : > 0,, n, ( n et u n >. 3. Méthodes de démonstration 1 Pour montrer qu une roosition A est vraie, on eut raisonner ar imlication : on cherche une condition suffisante our A ; cela consiste à déterminer une roosition B telle que B et B A soient vraies ; ce tye de raisonnement est dit direct ; raisonner ar l absurde : on cherche une roosition B telle que ( A B B soit vraie. La roosition B B étant fausse, A est vraie. Autrement dit, suoser A faux conduit à l absurdité B vraie et B fausse. 13
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste 2 En articulier, our montrer qu une imlication P Q est vraie, on eut raisonner ar imlication en cherchant une condition nécessaire our P et suffisante our Q ; cela consiste à déterminer une roosition R telle que (P R et (R Q soient vraies ; raisonner ar contraosition c est-à-dire montrer que l imlication équivalente Q P est vraie ; raisonner ar l absurde en cherchant une roosition R telle que ( P Q vraie. 3 Pour montrer qu une équivalence P Q est vraie, on eut R R soit rocéder ar équivalence en cherchant une roosition R telle que les équivalences P R et R Q soient vraies ; rocéder ar double imlication en montrant que les imlications P Q et Q P sont vraies. Exemle 2 Montrons n, n imair 8 divise n 2 1 ar un raisonnement direct. Ici on note P(n : n est imair, Q(n : 8 divise n 2 1, R(n : il existe k, n = 2k + 1. On a, our tout entier n : P(n R(n et R(n Q(n. En effet, ar définition d un entier imair, on a : P(n R(n. De lus, si R(n est vrai, il vient n 2 1 = 4k(k + 1 et donc n 2 1 est multile de 8, uisque l un des entiers consécutifs k et k + 1 est air. On en déduit : n, n 2 air n air. En effet, our tout entier n : n 2 air 8 ne divise as n 2 1 et le résultat en découle ar contraosition de l imlication récédente. Montrons que 2 n est as rationnel, ar l absurde. Ici, soit la roosition A : 2 Q. On suose A faux : 2. Sachant que tout rationnel eut être rerésenté ar une fraction irréductible, on déduit l existence de deux entiers et q, non nuls, et de arité distincte tels que q 2 =. Il en découle que 2 = 2q 2 est air donc (ar l imlication récédente que est air, c est-à-dire de la forme = 2. Il vient q 2 = 2 2, de sorte que q 2 uis q sont airs. La contradiction cherchée est là : suoser A faux entraîne l existence de deux entiers airs et q de arité distincte. 4. Le raisonnement ar récurrence Une des roriétés fondamentales de l ensemble des entiers naturels est la suivante. (10 Lorsque P(n 0 est vraie, on dit que P est initialisée au rang n 0. Lorsque les imlications n n 1, P(n P(n+1 sont vraies, on dit que P est héréditaire à artir du rang n 1. Pour conclure, ar le rincie de récurrence, que P(n est vraie our tout n n 0, il faut s assurer que n 1 n 0. Proriété 3 Le rincie de récurrence Si A est une artie de telle que 0 et n A, n + 1 A alors A =. Cette roriété est admise comme un axiome. La reuve «ar récurrence» (10 rincie. d une roriété P(n, our tout n n 0, reose sur ce Par exemle, si l on sait que P ( n 0 est vraie, ainsi que our tout n n0 les imlications P(n P(n +1, l ensemble A = { k /P ( n 0 +k est vraie } est, d arès le rincie de récurrence, égal à, ce qui fait quep(n est vraie our tout n n 0. Exemle 3 Justifions que, our tout entier naturel n, 11 n+1 10n 11 est un multile de 100. Soit la roosition P(n : 11 n+1 10n 11 est multile de 100. On constate immédiatement que P(0 est vraie. 14
Éléments de logique On considère un entier n 0 tel que P(n soit vraie, ce qui assure l existence d un entier k tel que 11 n+1 10n 11 = 100k. Cela ermet d écrire : 11 n+2 10(n + 1 11 = 11(10n + 11 + 100k 10n 21 = 100(n + 1 + 11k. On conclut que P(n + 1 est vraie. Par le rincie de récurrence, P étant initialisée au rang 0 et héréditaire à artir du rang 0, P(n est vraie our tout n. Exemle 4 Déterminons les entiers naturels n tels que 2n + 1 2 n. Soit la roosition P(n : 2n + 1 2 n. On constate que P(0 est vraie. Étudions l hérédité de P en considérant un entier n 0 tel que P(n soit vraie. On a donc 2n + 3 = (2n + 1 + 2 2 n + 2, donc, si n 1, il vient 2n + 3 2 n + 2 n = 2 n+1. AinsiP est héréditaire à artir du rang 1. Cela amène à revoir l initialisation. On constate que P(1 et P(2 sont fausses et que P(3 est vraie. Par le rincie de récurrence, on conclut que les entiers naturels n our lesquels 2n + 1 2 n sont 0 et les entiers n 3. De nombreuses variantes euvent être envisagées. On distingue essentiellement les récurrences suivantes. Les récurrences à deux as dont le schéma est le suivant : initialisation :P ( n 0 et P ( n0 + 1 sont vraies ; hérédité : our tout n n 0, les imlications ( P(n P(n + 1 P(n + 2 sont vraies ; le rincie de récurrence ermet alors de conclure que P(n est vraie our tout n n 0. On eut aussi envisager des récurrences à as ( 1 est fixé. Les récurrences fortes initialisation :P ( n 0 est vraie ; ( hérédité : our tout n n 0, les imlications n k=n 0 P(k P(n + 1 sont vraies ; le rincie de récurrence ermet, là aussi, de conclure que P(n est vraie our tout n n 0. Remarque Ces variantes euvent être reformulées en récurrence à un as. Dans le cas d une récurrence à deux as ortant surp, il suffit de définir : Q(n : P(n P(n + 1. Dans le cas d une récurrence forte, on ose Q(n : P(k. k=n 0 Les récurrences finies Pour montrer qu une roriété P(n est vraie our tout entier n tel que n 0 n n 1 (où n 1 > n 0 on ourra rocéder comme suit : initialisation : justifier que P ( n 0 est vraie ; hérédité : montrer que les imlicationsp(n P(n + 1 sont vraies our tout n tel que n 0 n n 1 1. n 5. Le raisonnement ar analyse et synthèse Pour résoudre un roblème, on eut rocéder ar analyse et synthèse. Dans la remière artie du raisonnement, l analyse, on suose le roblème résolu our trouver des conditions nécessaires. Dans la seconde artie du raisonnement, la synthèse, on examine si les conditions nécessaires obtenues sont suffisantes. 15
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste (11 Dans ce tye de raisonnement, l analyse eut aorter un résultat d unicité mais n aorte as un résultat d existence. La synthèse eut aorter un résultat d existence. Exemle 5 Suosons que l on veuille recouvrir le lan de carreaux ayant tous la même taille et la même forme : celle d un olygone régulier convexe à n côtés ; les assemblages devront être identiques en chaque coin de chaque carreau. Analyse Suosons qu un tel recouvrement du lan soit ossible et notons le nombre de olygones assemblés à chaque coin des carreaux. (11 Un olygone convexe à n côtés eut être artagé en n 2 triangles ayant our sommet commun l un des sommets du olygone. Donc la somme des angles géométriques aux sommets d un olygone vaut (n 2. On déduit que, dans un olygone régulier, l angle géométrique en chaque sommet vaut n 2. n Puisque est le nombre de olygones assemblés en chaque coin d un carreau, on a donc : n 2 n = 2 c est-à-dire 1 + 1 n = 1 2. Les nombres et n valent donc au moins 3 et on ne eut as avoir 5 et q 5. On a donc = 3 et n = 6, ou = n = 4, ou = 6 et n = 3. En conclusion, seuls trois avages sont ossibles : avec des triangles équilatéraux (n = 3, = 6 ; avec des carrés (n = 4, = 4 ; avec des hexagones réguliers (n = 6, = 3. Synthèse On constate que les trois avages obtenus ermettent de recouvrir effectivement le lan. B. Notions sur les ensembles 1. Vocabulaire et notations usuelles (12 Les notions d ensemble et de sous-ensemble (ou artie d un ensemble sont des notions remières. (13 «ou» n est as exclusif. Sinon, il faut réciser «ou bien». Notation 3 Si E est un ensemble, on note la artie vide de (12 E. (E est l ensemble des arties de E. Définition 4 Réunion de deux sous-ensembles A et B d un ensemble E. C est le sous-ensemble, noté A B, des éléments de E qui sont dans A ou dans B. (13 Intersection de deux sous-ensembles A et B d un ensemble E. C est le sous-ensemble, noté A B, des éléments de E qui sont dans A et dans B. 16
Notions sur les ensembles (14 On le note aussi A c ou A ou E A. Définition 5 Comlémentaire d un sous-ensemble A d un ensemble E. C est le sous-ensemble, noté E A, (14 des éléments de E qui ne sont as dans A. Définition 6 Différence de deux sous-ensembles A et B d un ensemble E. C est le sous-ensemble A B, noté A B, des éléments de E qui sont à la fois dans A et en dehors de B. (15 A B équivaut à A B=. Définition 7 Inclusion d un ensemble ou d un sous-ensemble dans un autre. (15 On dit que A est inclus dans B, et on note A B, lorsque tout élément de A est élément de B. A = B équivaut à (A B B A. L aartenance d un élément x de E à un sous-ensemble A est notée x A. La non-aartenance de x à A se note x A ; elle équivaut à x A c. 2. Règles de calcul Étant donné un ensemble E, on note A, B, C... des sous-ensembles de E. Proriété 4 L intersection : a est commutative : A B = B A our tout coule (A, B, (16 E est le seul sousensemble admettant un symétrique our. (17 est le seul sousensemble admettant un symétrique our. b est associative : A (B C = (A B C our tout trilet (A, B, C, c admet E our élément neutre : A E = E A = A our tout A. (16 Proriété 5 La réunion : a est commutative : A B = B A our tout coule (A, B, b est associative : A (B C = (A B C our tout trilet (A, B, C, c admet our élément neutre : A = A = A our tout A. (17 Proriété 6 La réunion et l intersection sont distributives l une ar raort à l autre. Quels que soient A, B, C on a : A (B C = (A B (A C, (A B C = (A C (B C, A (B C = (A B (A C, (A B C = (A C (B C. Proriété 7 Le assage au comlémentaire : a est idemotent : (A C C = A our tout A, b et (A B C = A C B C, (A B C = A C B C our tout coule (A, B. 17
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste 3. Familles d ensembles (18 Lorsque I=, (E i i s aelle une suite d ensembles. (19 «un» est ris au sens de «un au moins». Définition 8 Soit I un ensemble non vide (ensemble des indices. À chaque i I, on associe un ensemble, noté E i. (E i i I est aelée famille d ensembles indexée ar I. (18 Lorsque I est un ensemble fini, on dit que (E i i I est une famille finie d ensembles. Définition 9 Réunion d une famille (X i i I de sous-ensembles d un ensemble E. X i est la artie de E constitué des éléments qui aartiennent à un X i. (19 i I Définition 10 Intersection d une famille (X i i I de sous-ensembles d un ensemble E. X i est la artie de E constitué des éléments qui aartiennent à tous les X i. i I Définition 11 Partition d un ensemble de E. Une famille (X i i I de sous-ensembles de E est une artition de E lorsque : X i = E i I our tout coule (i, j, i j, X i X j = our tout i I, X i. (20 i I X i= ( i I, X i=. Définition 12 Produit cartésien d une famille d ensembles. Soit (X i i I une famille d ensembles (ou de sous-ensembles d un ensemble E. On note i I Cas articulier X i l ensemble des familles (x i i I telles que : x I, x i X i. (20 Lorsque tous les X i sont égaux, et tous égaux à X, X i est noté X I. i I C. Alications (21 E f F b a b a deux images: f F E b a b n a as d image: f F E 1. Définitions Définition 13 Étant donnés deux ensembles non vides E et F, une alication de E dans F est un rocédé f qui, à tout élément x de E, associe un unique élément de F, noté f (x et aelé image de x ar f. On notera : f : E F x f (x. (21 Notation 4 L ensemble des alications de E dans F est notée F E. 18
Alications Définition 14 Alication identité L identité sur E, notée Id E, est l alication de E dans E définie ar x E, Id E (x = x. Définition 15 Soit E et F des ensembles et f F E. Si A est une artie de E, la restriction de f à A est l alication : f A : A F x f (x. Si A est une artie de E et g une alication de A dans F, on dit que f est un rolongement (ou une extension de g à E si f A = g. (22 E F G f g Définition 16 Comosition d alications Soit F, G, H trois ensembles et f, g des alications, f F E et g G F. (22 La comosée des alications f et g est l alication de E dans G, notée g f, définie ar : x E, g f(x = ( g f (x. g f (23 Cette roriété est d usage courant. Proriété 8 La comosition des alications est associative. (23 Soit E, F, G, H des ensembles et soit f F E, g G F, h G H ; alors : h (g f = (h g f. Notation 5 Soit n 0 un entier relatif. L ensemble { n, n n 0 } est noté [[ n0, + [[. Une alication [[ n 0, + [[ E, n x n, où E est un ensemble non vide, s aelle une suite à valeurs dans E, indexée à artir du rang n 0. On la note ( x n n n 0. Si E =, la suite ( x n n n 0 est dite réelle. 2. Fonction caractéristique d un sous-ensemble (24 1I A aartient à l ensemble des alications de E dans {0,1}, noté {0,1} E. Définition 17 La fonction caractéristique d une artie A d un ensemble E est l alication : (24 1I A : E, 1I A (x = 1 quand x A 1I A (x = 0 quand x A Proriété 9 Soit A et B deux arties d un ensemble E. L égalité 1I A = 1I B a lieu si et seulement si A = B. Cela justifie l exression «fonction caractéristique» d un sous-ensemble. Proriété 10 Quels que soient les sous-ensembles A et B de E, on a : 1I 2 A = 1I A 1I A B = 1I A 1I B Si A B =, 1I A B = 1I A + 1I B 1I A B = 1I A + 1I B 1I A 1I B 1I A = 1 1I A. 19
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Exemle 6 Condition nécessaire et suffisante our que trois sous-ensembles A, B et C de E vérifient : A B = A C, A B = A C. Avec les fonctions caractéristiques des sous-ensembles A, B et C, les conditions se lisent : 1I A 1I B = 1I A 1I C, 1I A + 1I B 1I A 1I B = 1I A + 1I C 1I A 1I C. Ce qui imlique 1I B = 1I C c est-à-dire B = C, et cette condition nécessaire est évidemment suffisante. Exemle 7 Preuve de la distributivité de l intersection ar raort à la réunion. Soit A, B, C des sous-ensembles de E. Montrons que 1I (A B (A C = 1I A B + 1I A C 1I A B 1I A C = 1I A 1I B + 1I A 1I C 1I A 1I B 1I A 1I C = 1I A 1I B + 1I A 1I C 1I A 1I B 1I C = 1I A ( 1IB + 1I C 1I B 1I C = 1I A 1I B C A (B C = (A B (A C. Ce qui montre que 1I (A B (A C = 1I A (B C. A (B C = (A B (A C. 3. Image directe ou réciroque d un sous-ensemble Soit E et F deux ensembles, et f F E une alication de E dans F. Définition 18 Soit X un sous-ensemble de E. Le sous-ensemble de F défini ar : f (X = {y F, x X, f (x = y} est aelé l image de X ar f. (25 La notation f 1 ne désigne l alication réciroque de f que si f est bijective ; voir à ce sujet la définition 23. Définition 19 Soit Y un sous-ensemble de F. Le sous-ensemble de E défini ar : f 1 (Y = {x E, f (x Y} est aelé l image réciroque de Y ar f. (25 Remarques 1 Pour tout x E, ( f {x} admet exactement un élément, ar définition d une alication. 2 Soit A et B deux sous-ensembles de E. A B imlique f (A f (B. 3 Soit X et Y deux sous-ensembles de F. X Y imlique f 1 (X f 1 (Y. Définition 20 Soit A et B des sous-ensembles de E et F resectivement. Étant donné f F E telle que f (A B, l alication de A dans B induite ar f est l alication : Définition 21 g : A B x f (x. Soit E un ensemble et f une alication de E dans lui-même. a Un sous-ensemble A de E est une artie stable ar f lorsque f (A A. b Un sous-ensemble A de E est une artie invariante ar f lorsque f (A = A. c Soit A E. L injection canonique de A dans E est la restriction de Id E à A. 20
Alications Remarque Soit E un ensemble et f E E. Si A est une artie de E stable ar f, la donnée d un élément x 0 de A ermet de définir, ar récurrence, une suite ( x n à valeurs dans A ar la formule : n 0 n 0, x n+1 = f ( x n. 4. Injection Surjection Bijection Soit E et F deux ensembles et f F E une alication de E dans F. Définition 22 a f est injective lorsque (x, y E 2, x y f (x f (y ce qui équivaut à (x, y E 2, f (x = f (y x = y. b f est surjective lorsque y F, x E, y = f (x. c f est bijective lorsque f est à la fois injective et surjective. Remarques 1 f est injective si et seulement si, our tout y F, f 1( {y} admet au lus un élément. 2 f est surjective si et seulement si, our tout y F, f 1( {y} admet au moins un élément. 3 f est bijective si et seulement si, our tout y F, f 1( {y} admet exactement un élément. Exemle 8 Si A et B sont deux sous-ensembles de E, on a : f (A B f (A f (B, avec égalité si f est injective. De A B A et A B B on déduit f (A B f (A et f (A B f (B, ce qui donne l inclusion demandée. Il reste à montrer que, si f est injective, f (A f (B f (A B. Pour cela, soit z f (A f (B ; a A, z = f (a, b B, z = f (b. De f (a = f (b, on déduit a = b, et cet élément aartient à A B, ce qui montre que z aartient à f (A B. (26 E f F Définition 23 Réciroque d une alication bijective (26 L alication réciroque d une alication bijective f de E dans F est l alication de F dans E qui, à tout y de F, associe l unique élément x de E tel que y = f (x. On la note f 1. f 1 (27 Ce théorème est souvent utilisé. Théorème 1 Soit E, F, G des ensembles et soit f F E, g G F. (27 a Si g f est injective, alors f est injective. b Si g f est surjective, alors g est surjective. a Soit x et y dans E tels que f (x = f (y. Alors g ( f (x = g ( f (y, donc : g f(x = g f (y. L injectivité de g f donne x = y ; ainsi f est injective. b Soit z G ; la surjectivité de g f donne x E, z = g f(x. Alors z = g ( f (x et f (x F montre que g est surjective. (28 Dans ce cas, g est aussi bijective. Proriété 11 Soit E, F deux ensembles et soit f F E. f bijective si et seulement si il existe g E F telle que f g = Id F et g f = Id E. (28 21
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste (29 Mise en œuvre du théorème récédent. (30 Une involution de E est bijective et on a f 1 = f. a La condition nécessaire découle de la définition de f 1. L alication réciroque f 1 vérifie f f 1 = Id F et f 1 f = Id E. b Condition suffisante : f g = Id F et Id F surjective donne f surjective. g f = Id E et Id E injective donne f injective. (29 Définition 24 Soit E un ensemble et f E E. On dit que f est involutive (ou est une involution de E lorsque f f = Id E. (30 Proriété 12 Soit E, F, G trois ensembles. a La comosée g f de deux injections f F E et g G F est injective (de E dans G. b La comosée g f de deux surjections f F E et g G F est surjective (de E dans G. c La comosée g f de deux bijections f F E et g G F est bijective (de E dans G et (g f 1 = f 1 g 1. a Soit x et y dans E, x y. Il s ensuit f (x f (y car f est injective. Avec l injectivité de g, il vient g ( f (x g ( f (y, c est-à-dire g f (x g f (y. b Soit z G. Alors y F, z = g(y ar surjectivité de g. Il existe alors x E tel que y = f (x ar surjectivité de f. On a donc z = g ( f (x = g f (x. c Le dernier oint est un corollaire des remiers. Notation 6 Pour deux ensembles E et F, I(E, F désigne l ensemble des injections de E dans F. Proriété 13 Soit E, E, F, F des ensembles. On suose que F E et F E sont bijectives. Alors l alication F E F E, f f 1 est une bijection qui induit une bijection de I(E, F dansi ( E, F. D. Dénombrement Dans cette artie, la notion de cardinal est abordée de manière intuitive. 1. Cardinal d un ensemble fini (31 card =0. (32 Si E est un ensemble de cardinal n 1, on eut construire une bijection de [[ 1,n ]] dans E en énumérant ses éléments. Définition 25 Si E est un ensemble, son cardinal est le nombre de ses éléments ; c est un entier ou +, on le note Card E. (31 On dit que E est fini lorsque Card(E est un entier (32, sinon on dit que E est infini. Théorème 2 Toute artie A d un ensemble fini E est finie et Card A Card E. Si on a Card A = Card E, alors A = E. 22
Dénombrement (33 Cette intersection est incluse dans un ensemble fini. (34 E f F Corollaire 1 Toute intersection d ensembles finis est un ensemble fini. (33 Corollaire 2 Soit f une alication d un ensemble fini E dans un ensemble F. (34 On a alors Card f (E Card E et Card f (E = Card E si et seulement si f est injective. f (E (35 Il suffit d aliquer le corollaire 2 au cas où F=f (E. (36 Pour montrer qu un ensemble F est fini et our calculer son cardinal n, il suffit d exhiber une bijection d un ensemble E, de cardinal n dans F. (37 Il suffit d aliquer les résultats énoncés dans les corollaires récédents. Il faut insister sur le fait que ce théorème ne eut s aliquer que si les ensembles finis E et F ont le même cardinal. Corollaire 3 Si f est une surjection d un ensemble fini E sur un ensemble F, alors : (35 F est fini et Card F Card E, et on a Card F = Card E si et seulement si f est bijective. (36 Corollaire 4 Soit f une alication injective d un ensemble E dans un ensemble F. Si f (E est fini, il en est de même our E et Card E = Card f (E. Théorème 3 Soit E et F des ensembles finis de même cardinal. Si f est une alication de E dans F, les roriétés suivantes sont équivalentes : (37 (1 f est injective, (2 f est surjective, (3 f est bijective. Exemle 9 Le théorème ne s étend as aux ensembles infinis. { f : L alication est injective et non surjective. n 2n n n si n est air L alication de dans définie ar 2 est surjective et non injective. n 0 si n est imair 2. Réunion d ensembles finis Théorème 4 Si A, B sont des ensembles finis d intersection vide, alors Card(A B = Card A+Card B. Soit n et les cardinaux de A et B resectivement. Il existe une bijection f de A sur [[ 1, n ]] et une bijection g de B sur [[ n + 1, n + ]]. L alication h de A B dans [[ 1, n + ]], dont les restrictions à A et B sont resectivement f et g, est une bijection, donc A B est fini, de cardinal n + = Card A + Card B. Corollaire 1 Soit E un ensemble fini, A E et A son comlémentaire dans E. On a : Card A + Card A = Card E. (38 On rocède ar récurrence sur n. Corollaire 2 Si (E i i [[ 1,n ]] est une famille d ensembles ( finis deux à deux disjoints, on a : n n Card E i = Card E i. (38 i=1 i=1 23
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Corollaire 3 Soit A et B des ensembles finis. On a Card(A B + Card(A B = Card A + Card B. Les sous-ensembles A B, A B et B A constituent une artition de A B. Le corollaire 2 donne Card(A B + Card(A B + Card(B A = Card(A B. A B et A B sont comlémentaires dans A ; B A et A B le sont dans B ; on a donc Card(A B + Card(A B = Card A et Card(B A + Card(A B = Card B. Le résultat annoncé s en déduit immédiatement. Théorème 5 Si E, F sont des ensembles finis, alors E F est fini et Card(E F = Card E Card F. Avec E = {x 1,..., x n} de cardinal n, on a E F = ( {x 1 } F... ( {x n} F. { {xi} F F Pour i [[ 1, n ]], l alication est une bijection. On a donc : (x i, f f Card({x i} F = Card F. Les x i, i [[ 1, n ]], étant deux à deux distincts, les ensembles {x i} F sont deux à deux disjoints et il vient Card(E F = n Card F. (39 On rocède ar récurrence sur. Corollaire Soit E un ensemble fini et. Alors Card ( E = (Card E. (39 3. Alications d un ensemble dans un autre (40 Ce résultat est cohérent avec la notation F E. (41 Avec le corollaire du théorème 5. Théorème 6 Soit E et F des ensembles finis. L ensemble F E des alications de E dans F est fini, et : Card(F E = (Card F Card E. (40 Soit E = {a 1,..., a } un ensemble fini de cardinal. { F E F L alication f ( est une bijection. f (a 1,..., f (a On a donc Card(F E = Card(F. Il vient alors (41 Card(F E = (Card F. Corollaire 1 Si E est de cardinal n, le nombre de ses sous-ensembles est 2 n. Cela résulte du fait que l alication A 1I A dep(e dans{0, 1} E est une bijection : tout {0, 1} E est la fonction caractéristique de l unique sous-ensemble de E constitué des x E tels que (x = 1. Théorème 7 Soient E et F des ensembles finis et non vides, de cardinal et n resectivement. L ensemble (E, F des injections de E dans F est fini et de cardinal : n! An si 1 n = (n! 0 si > n 24
Dénombrement (42 Une -liste d éléments de F est un élément de F. On dit aussi un -ulet. (43 Il y a donc n! façons d ordonner un ensemble de cardinal n. I(E, F est une artie de l ensemble fini F E donc est fini. D arès la roriété 13, le cardinal A n de I(E, F ne déend que de et n. Du corollaire 2 du théorème 2, il découle que, si > n, on a A n = 0. Par ailleurs, en osant E = { a 1,..., a }, la bijection : F E F, f ( f ( a 1,..., f ( a induit une bijection entre I(E, F et l ensemble (F des -listes d éléments deux à deux distincts de F. (42 Pour n 1, on a donc An 1 = n. Pour 2 n, on constate que la construction d un élément de (F se fait en choisissant ( un élément x de F (de n façons ossibles et un élément de 1 F {x} (de 1 A n 1 façons ossibles. On a donc An = n A 1 n 1 et la formule annoncée en découle ar récurrence. Corollaire 1 Si E est de cardinal n, le nombre de bijections de E sur lui-même est n!. (43 Les bijections (ou ermutations de E sont les injections de E dans E. Avec 0! = 1, il vient que ce nombre est n!. 4. Combinaisons Soit E un ensemble fini de cardinal n (n. (44 Notons P (E l ensemble des -combinaisons de E. Le cardinal de P (E ne déend que de et n. En effet, si est une bijection entre E et un ensemble E de cardinal n, la bijection : P(E P(E,X (X induit une bijection entre P (E et P (E. (45 C est la formule du triangle de Pascal : avec les ( ( n n égalités = =1, 0 n elle ermet le calcul des ( n de roche en roche. Premières lignes : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Définition 26 Étant donné, on aelle combinaison de E un sous-ensemble de cardinal de E. ( n Le nombre de -combinaisons de E est noté. (44 Cas articuliers ( n 1 = 1 : est l unique sous-ensemble de E ayant 0 our cardinal. 0 ( n 2 Si n 1, = n : il y a n sous-ensembles de E de cardinal 1. 1 ( n 3 = 1 : E est l unique sous-ensemble de E ayant n our cardinal. n ( n 4 Si > n, il n y a as de sous-ensemble de E de cardinal. On a donc Proriété 14 Étant donné n et [[ 1, n ]], ( n = ( n 1 + 1 ( n 1. (45 Étant donné un ensemble E de cardinal n, on considère a E. Les sous-ensembles de E de cardinal se artagent en deux sous-ensembles disjoints dans (E : ceux qui contiennent a et ceux qui ne le contiennent as. Les remiers sont au nombre de résultat en découle. Proriété 15 ( n 1 1 Étant donné des entiers naturels n et, avec n, on a et les seconds sont au nombre de ( n = n ( n. = 0. ( n 1 ; le L alication A E A est une bijection de (E. Elle induit une bijection de l ensemble des arties de cardinal sur l ensemble des arties de cardinal n. 25
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Proriété 16 Étant donné des entiers naturels n et, on a : ( n n! ( =! (n! si 0 n et n = 0 si > n. La formule est vraie our = 0. Pour 1 n, osons E = { } a 1,..., a n et considérons l alication surjective : f : (E P (E ( a1,..., a { a 1,..., a } Chaque X P (E admet! antécédants car il y a! façons d ordonner un ensemble de cardinal. Comme les sous-ensembles f 1 (X, X P (E, constituent une artition de (E, on a ( An n =!. E. Relation binaire sur un ensemble 1. Vocabulaire et notations usuelles Définition 27 Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E est un sous-ensemble de E E. (x, y E E vérifie la relation si et seulement si (x, y ; on note alors x y. Définition 28 Soit une relation binaire sur un ensemble E. On dit que est réflexive lorsque : x E, x x, symétrique lorsque : (x, y E 2, x y y x, antisymétrique lorsque : (x, y E 2, (x y et y x x = y, transitive lorsque : (x, y, z E 3, (x y et y z (x z. 2. Relation d équivalence Définition 29 Une relation binaire sur un ensemble E est une relation d équivalence sur E lorsqu elle est réflexive, symétrique et transitive. Définition 30 Soit une relation d équivalence sur un ensemble E. À tout élément x de E on associe sa classe d équivalence définie ar c (x = { y E ; x y }. Proriété 17 Si est une relation d équivalence sur E, les classes d équivalence forment une artition de E. 26
Relation binaire sur un ensemble Aucune classe d équivalence n est vide uisque x E, x c (x. Deux classes d équivalence distinctes sont disjointes. En effet, si c (x et c (y sont non disjointes, considérons z c (x c (y. Il vient : t E, t c (x t x t z t y t c (y de sorte que c (x = c (y = c (z. (46 En trigonométrie, on utilise fréquemment les congruences modulo 2 ou. (47 En arithmétique, on utilise les congruences modulo tout entier n 1. Exemles 1 Soit a un réel non nul. On définit dans la relation de congruence modulo a (46 ar : x y[a] k, x = y + ka. 2 Soit n un entier naturel non nul. On définit dans la relation de congruence modulo n (47 ar : x y[n] k, y = y + kn. Dans les deux cas, la relation de congruence ainsi définie est une relation d équivalence. Cela est dû au fait que tout entier admet un oosé et que est stable ar addition. 3. Relation d ordre 3.1 Ordre total, ordre strict (48 On note souvent une telle relation d ordre, quand il n y a as de risque de confusion avec une situation usuelle. Définition 31 Une relation binaire sur un ensemble E est une relation d ordre sur E lorsqu elle est réflexive, antisymétrique et transitive. (48 Une relation d ordre sur E est dite relation d ordre total et (E, est dit ensemble totalement ordonné lorsque : (x, y E 2, x y ou y x ; sinon, l ordre est dit artiel et (E, est dit ensemble artiellement ordonné. Définition 32 Une relation binaire sur un ensemble E est aelée une relation d ordre strict sur E lorsqu elle est transitive et x y imlique x y. Exemle 10 Soit (E, un ensemble ordonné. La relation sur E définie ar (x y et x y est une relation d ordre strict, notée <. Exemle 11 (49 «x divise y» si il existe n tel que y = nx. Soit E un ensemble. L ensemble des coules (A, B ( (E 2 tels que A B est une relation d ordre artiel sur E. Sur l ensemble des entiers naturels non nuls, l ensemble des coules (x, y tels que «x divise y» (49 est une relation d ordre artiel. Proriété 18 Soit (E, un ensemble ordonné. La relation{(x, y, y x} est une relation d ordre sur E, notée. La relation{(x, y, y < x} est une relation d ordre strict sur E, notée >. 3.2 Éléments articuliers d un ensemble ordonné (E, (50 Un ensemble ordonné E a au lus un lus grand (ou un lus etit élément. Définition 33 a Plus grand élément : a E tel que x E, x a, noté max E (s il existe. b Plus etit élément : a E tel que x E, a x, noté min E (s il existe. (50 27
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste (51 Si a est un majorant de A, tout a E tel que a a est un majorant de A. 3.3 Éléments associés à une artie d un ensemble ordonné Définition 34 a Majorants : a E est un majorant de A lorsque x A, x a. Si A admet un majorant, on dit que A est majoré. (51 b Minorants : a E est un minorant de A lorsque x A, a x. Si A admet un minorant, on dit que A est minoré. Définition 35 a Borne suérieure : si l ensemble B des majorants de A est non vide et si B a un lus (52 Si A a un lus etit élément, M, celui-ci est aelé borne suérieure de A ; on note M = su A. (52 grand élément a, alors a=su A. b Borne inférieure : si l ensemble C des minorants de A est non vide et si C a un lus (53 Si A a un lus etit élément a, alors a=inf A. grand élément, m, celui-ci est aelé borne inférieure de A ; on note m = inf A. (53 Exemle 12 Soit E un ensemble, A et B des sous-ensembles de E. L ensemble (E est muni de la relation d ordre (artiel inclusion :. {A, B} admet un lus etit élément si et seulement si A B ou B A, et, dans ce cas, la borne inférieure de {A, B} est A (si A B. Dans tous les cas, la borne inférieure de {A, B} est A B et la borne suérieure est A B. (54 Une suite réelle (x n n n0 est croissante si n n 0, x n x n+1. 3.4 Alications monotones Définition 36 Soit (E,, (F, des ensembles ordonnés et une alication de E dans F. a est croissante lorsque : (x, x E E, x x (x (x, (54 ou décroissante lorsque : (x, x E E, x x (x (x. b est strictement croissante lorsque : (x, x E E, x < x (x (x, ou strictement décroissante lorsque : (x, x E E, x < x (x (x. Définition 37 On dit que est monotone (res. strictement monotone si elle est croissante ou décroissante (res. strictement croissante ou strictement décroissante. (55 Une suite réelle (x n n n0 est majorée s il existe un réel M tel que n n 0, x n M. 3.5 Alications à valeurs dans un ensemble ordonné Définition 38 Soit f une alication d un ensemble A dans un ensemble ordonné (E,. a f est majorée quand f (A = {x E, a A, x = f (a} est majoré dans E. (55 Si f (A a une borne suérieure dans E, on la note su f (A ou su f. E b f est minorée quand f (A = {x E, a A, x = f (a} est minoré dans E. Si f (A a une borne inférieure dans E, on la note inf f (A ou inf f. E Définition 39 (56 E A désigne l ensemble des alications de Sur E A, la relation binaire définie ar : f g si et seulement si ( x A, f (x g(x, Soit A un ensemble non vide et soit (E, un ensemble ordonné. A dans E. La relation d ordre ainsi définie sur E A est un ordre artiel est une relation d ordre, que l on note aussi. (56 en général, même si l ordre sur E est total. Définition 40 (57 [a,b] est l ensemble des x E tels que a x b ou b x a selon que a b ou b a. 28 Soit (E, un ensemble totalement ordonné. Un intervalle de E est une artie X de E telle que : (a, b X 2, [a, b] X. (57
Méthodes L essentiel I. Schéma de démonstration Méthodes Si l on veut trouver comment démarrer un roblème on eut utiliser un schéma A (B C. Le meilleur oint de déart est souvent B : la roriété A est mise à contribution en cours de déveloement. Sa mise en œuvre au moment utile est le signe d une démonstration efficace. Voir Mise en œuvre, exercice 4 Attention, ce n est as le schéma (A B et (B C. Si A et B sont des roositions, alors A B en est une autre, mais rien ne dit qu elle est vraie, as lus qu elle ne résuose que A ou B soient vraies. Si l on veut vérifier qu une roosition est correctement rédigée on eut examiner si la roosition contraire eut s écrire sans ambiguïté. Si l on veut montrer une roriété (n our n n 0, on eut démontrer (n 0 et, suivant les circonstances, rouver : n n 0, (n (n + 1 (récurrence simle, ( k [[ n0, n ]], (k (n + 1 (récurrence forte, on eut démontrer ( ( n 0 et n0 + 1 et rouver : ( n n 0, (n et (n + 1 (n + 2 (récurrence double. Voir Mise en œuvre, exercices 1, 2 et 3 II. Calculs sur les ensembles Si l on veut montrer l égalité de deux ensembles A et B on eut utiliser les oérations usuelles entre ensembles our établir que A B et B A, on eut rocéder analytiquement x A x B et x B x A, on eut anacher quand une inclusion est aarente d un oint de vue global et que l autre mérite un traitement analytique, Voir Mise en œuvre, exercice 4 on eut montrer qu une roriété caractérisant A est équivalente à une roriété caractérisant B, on eut montrer que leurs fonctions caractéristiques sont égales, l usage de fonctions caractéristiques transforme un calcul ensembliste (intersection, réunion, comlémentaire... en calcul algébrique. Voir Mise en œuvre, exercices 5 et 6 Méthodes 29
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Méthodes III. Problèmes de dénombrement Si l on veut traiter un roblème de dénombrement la formule : Card(A B + Card(A B = Card A + Card B est fondamentale, Voir Mise en œuvre, exercice 7 si E et E sont deux ensembles finis et s il existe une bijection de E dans E, alors : Card E = Card E Voir Mise en œuvre, exercice 7 si E et E sont des ensembles finis de même cardinal et si f est une alication de E dans E, alors f est injective f surjective f bijective, ( n est le nombre de arties de cardinal dans un ensemble de cardinal n. La formule du triangle de Pascal est : ( ( ( n n n + 1 + = 1 ( Pour (, n 2 n, avec 0 n, = Voir Mise en œuvre, exercices 2, 8 et 9, (, n 2. n!!(n!. 30
Méthodes Méthodes Mise en œuvre Ex. 1 Montrer que n k 2 n(n + 1(2n + 1 = 6 k=0 et ( 2 n k 3 n(n + 1 =. 2 k=0 Indications Ces formules usuelles gagnent à être mémorisées. Il est à noter que Solution 1 Soit (n la roosition La roriété (n donne : ( n n 2 k 3 = k. k=0 n k 2 n(n + 1(2n + 1 = ; (0 est vraie. 6 k=0 n+1 k 2 = (n + 1 2 n(n + 1(2n + 1 + 6 n(2n + 1 + 6(n + 1 = (n + 1 6 n+1 d où k 2 (n + 1(n + 2(2n + 3 = et (n (n + 1. 6 ( 2 n 2 Soit (n la roosition k 3 n(n + 1 = ; (1 est vraie. 2 Avec n+1 k 3 = (n + 1 3 + n k 3, la roriété (n donne : k=0 Commentaires Preuve de (n (n+1. n+1 (n+1 0 k 2 =(n+1 2 + ( (n+1+1 6 ( n k 2. 2(n+1+1 k 3 =0 : (0 est vraie. Preuve de (n (n+1. ( n+1 2 ( k 3 = (n + 1 3 n(n + 1 + = (n + 1 2 n + 1 + n2 2 4 ( n+1 2 d où k 3 (n + 1(n + 2 = et (n (n + 1. (n vraie our tout entier n. 2. Ex. 2 Justifier la roriété : our n et entiers, n, n k= ( k = ( n + 1. + 1 Indications Démonstration ar récurrence. Cette formule, à connaître, généralise la formule du triangle de Pascal. Solution Procédons ar récurrence sur n. Commentaires est fixé, quelconque. La roriété (n est vraie our n =. Elle se lit 1=1. n+1 ( k = k= n k= ( k + ( n + 1 = On conclut avec la formule du triangle de Pascal. ( n + 1 + + 1 ( n + 1. Utilisation de (n. ( n+1 +1 + ( n+1 = ( n+2 +1. 31
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Ex. 3 La suite de Fibonacci est définie ar F 0 = 0, F 1 = 1 et n, F n+2 = F n+1 + F n. 1 Montrer que n, F n+1 F n 1 F 2 n = ( 1 n. 2 Montrer que (n,, F n+ = F F n+1 F 1 F n. Indications Procéder ar récurrence. Solution 1 Avec D n = F n+1 F n 1 F 2 n, on a D 1 = 1. Soit n 1 un entier tel que D n = ( 1 n. Commentaires La formule est initialisée aau rang 1. On calcule D n+1 = F n+2 F n F 2 n+1 = ( F n+1 + F n Fn ( F n + F n 1 Fn+1 = D n = ( 1 n+1 La formule est héréditaire. Par le rincie de récurrence, on a donc n 1, D n = ( 1 n. 2 Fixons un entier 1 et osons : u n = F n+ F F n+1 F 1 F n, n. Montrons, ar une récurrence à deux as, que n, u n = 0. On a u 0 = F F F 1 F 1 F 0 = 0, et u 1 = F +1 F F 1 F 1 = F +1 F F 1 = 0. La récurrence est initialisée. Soit n 1 un entier tel que u n 1 = u n = 0. On calcule : u n+1 = F n++1 F F n+2 F 1 F n+1 = ( ( ( F n+ + F n+ 1 F Fn+1 + F n F 1 Fn + F n 1 = ( F n+ F F n+1 F 1 F n + ( F n+ 1 F F n F 1 F n 1 = u n + u n 1 = 0 Par le rincie de récurrence, on a donc n 0, u n = 0. Cela démontre la formule annoncée. Ex. 4 On considère des ensembles E, F, G et une alication de F dans G. On considère l alication de F E dans G E qui, à f F E, associe f. 1 Montrer que est injective si et seulement si est injective. 2 Montrer que est surjective si et seulement si est surjective. Indications La roriété est héréditaire. Chaque question demande deux reuves : condition suffisante et condition nécessaire. Dans les différents cas, reconnaître des schémas A (B C. Le but est de décortiquer une méthode. Par exemle, our l injectivité, le oint de déart de la condition suffisante n est as «injective». Solution Commentaires 32 1 a Suosons injective. Proositions : Condition suffisante. A : ( y, y F 2, (y = ( y y = y, B : ( f, f F E F E, (f = ( Mise en lace de A (B C. f ; C : f = f. Point de déart : (f = (f. Soit f et f dans F E telles que (f = ( f : x E, ( f (x = ( f (x f = f..
Méthodes Comme est injective, il vient x E, f (x = f (x, c est-à-dire f = f. Hyothèse A dans A (B C. Ainsi, (f = (f f = f, et est injective. Moyennant A, on a B C. b On suose injective. Méthodes On a encore un schéma A (B C, avec A : injective ; B : ( y, y E 2, (y = ( y ; C : y = y. Condition nécessaire. Soit f : E F, x E, f (x = y et f : E F, x E, f (x = y. On se met en mesure d utiliser (f = (f. (y = ( y se lit alors ( x, x E 2, f (x = f ( x, c est-àdire f = f, ou encore (f = ( f. L injectivité de donne f = f, donc y = y, d où l injectivité de. Point de déart : B. f et f sont les fonctions constantes égales à y et y. 2 a Condition suffisante : surjective. Proosition A. Soit h G E. Pour tout x E, h(x G : on choisit un antécédent y x F de h(x ar, et on ose f (x = y x. x E, (y x = h(x se lit (f = h, donc est surjective. surjective. On construit un antécédent de h ar. f (x=h(x. b On suose surjective. Proosition A. Pour tout z G, on considère la fonction h z G E constante égale à z. étant surjective, h z a un antécédent f z F E. Le oint de déart est B : z G, le but est C : y F, (y=z. On a alors x E, z = h z(x = ( f z(x, d où la surjectivité de. h z= (f z= f z. Ex. 5 Différence symétrique Étant donné des sous-ensembles A et B d un ensemble E, la différence symétrique de A et B est (A B (B A. On la note A B. Former la fonction caractéristique de A B et montrer que la différence symétrique est associative. Indications Mise en œuvre de fonctions caractéristiques, et on examine un exemle d associativité. Solution 1 La fonction caractéristique de A B est : Commentaires A B = A B + B A A B B A = A A B + B B A ( A A B ( B B A. On en déduit alors A B = A + B 2 A B. 2 Associativité de la différence symétrique. A B=(A B (B A et X Y avec X Y = X X Y. A (B C = A + B C 2 A B c = A + ( B + C 2 B C 2 A ( B + C 2 B C = A + B + C 2 B C 2 A B 2 A C + 4 A B C Par symétrie en A, B et C, on a : A (B C = C (A B donc A (B C = C (A B uis A (B C = (A B C. Par commutativité. 33
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Ex. 6 Vérifier que (A B (A B = A B. Montrer que l intersection est distributive ar raort à la différence symétrique. Indications Nouvelle mise en œuvre de fonctions caractéristiques, et on examine un exemle de distributivité. Solution 1 Autre exression de A B : (A B (A B = A B (1 A B = ( A + B A B (1 A B X Y = X (1 Y. Commentaires (A B (A B = A + B A B A A B B A B + A B A B = A + B 2 A B = A B. 2 Distributivité de ar raort à : (A B (A C = A B + A C 2 A B A C = A B + A C 2 A B C = A ( B + C 2 B C = A B C = A (B C Ce qui montre que A (B C = (A B (A C. Pour tout trilet (A,B,C. Ex. 7 Montrer que, our tous entiers naturels n,, q : n ( n n ( ( ( 1 = 2 n q + q, 2 =. k k n k n k=0 k=0 34 Indications 1 Déterminer une artition de l ensemble des arties d un ensemble de cardinal n. Solution Commentaires 1 Soit E un ensemble de cardinal n. En notant k (E l ensemble des arties de E de cardinal k, ( k (E est une artition de (E. 0 k n n ( Donc 2 n n =. AvecCard (E=2 n et Card k (E=( n k. k k=0 2 Considérons un ensemble de cardinal + q et deux arties disjointes de E, A et B, de cardinal et q resectivement. Alors l alication : Avec Card A B=0 et Card A+Card B=Card E n : n(e k (A n k (B on a E=A B. On a donc our X n(e, est une bijection. k=0 X=(X A (X B. X (X A, X ( B Cela montre que est injective. + q On déduit que le cardinal de n(e est celui de : Avec (Y,Z k (A n k (B et X=Y Z, n A B donne Y Z donc Card X=n et n E (X=(Y,Z. Cela montre que est surjective. = k (A n k (B. k=0 Comme ( k (A n k (B 0 k n est une artition de E et : Card ( k (A n k (B ( ( q =, k n k on déduit la formule annoncée.
Méthodes Ex. 8 Pour n, quel est le nombre de trilets (a, b, c d entiers naturels tels que a b c et a + b + c = n. Indications Méthodes Si on n imose as a b c, le roblème est aisé. Sous cette condition, on eut oser a = x, b = x + y, c = x + y + z, avec x, y, z dans. Solution 1 Trouver le nombre de trilets (a, b, c d entiers naturels tels que a + b + c = n se résume en... +... +... = n. }{{} }{{} }{{} a b c ( n + 2 Avec les signes +, il y a n + 2 cases, il y a donc solutions. 2 2 La condition a b c conduit à oser a = x, b = x +y et c = x +y+z. La question devient alors : trouver les trilets (x, y, z d entiers naturels tels que 3x + 2y + z = n. n 3 Les solutions dans de z+2y = n sont au nombre de S n = 1+E. 2 Soit T n le nombre de solutions dans de z + 2y + 3x = n. Celles où x = 0, c est-à-dire z + 2y = n sont au nombre de S n. Pour x > 0, la roriété s écrit 3(x 1 + 2y + z = n 3, donc T n = S n + T n 3 uis T n = S n + S n 3 + T n 6. On établit aisément S n + S n 3 = n et ar suite T n = n + T n 6. On vérifie que T 0 = 1, et T r = r our r [[ 1, 5 ]]. Pour n, on ose n = 6q + r, 0 r 5. À artir de T 6k+r T 6(k 1+r = 6k + r, il vient : q ( q T n T r = T6k+r T 6(k 1+r = qr + 6 k = qr + 3q(q + 1 donc T n = (q + 1(3q + r. Commentaires On n imose as a b c. Le roblème est de lacer les deux signes + dans ces n+2 cases. Avec x, y, z dans. n 2 désigne la artie entière de n 2. Pour 0 y E n il y a un z. 2 Il y a T n 3 solutions. En distinguant n air et n imair. Par exemle, our n=5, les solutions (x,y,z sont (0,0,5, (0,1,3, (0,2,1,(1,0,2 et (1,1,0. T n se calcule avec q, r et T r, 0 r 5. Ex. 9 Étant donné n et dans et un ensemble E de cardinal n, combien existe-t-il de artitions en sousensembles ayant tous le même cardinal? Indications Une artition est une famille de sous-ensembles non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est E. Un changement d ordre donne une nouvelle artition. Solution Soit A n le nombre de artitions demandé. Si E est de cardinal (n + 1, on choisit une artie F de cardinal. E F est de cardinal n, et admet A n artitions en arties de cardinal. ( (n + 1 On a donc A n+1 = A n n Exression réduite : A n = et il s ensuit A n = (k!! ( (k 1! = (n! (! n. Commentaires Récurrence sur n avec fixé quelconque. ( (n+1 Il y a choix ossibles. Une artition de E est (F,F 1,...,Fn où (F 1,...,F n est une artition de E F. n ( kn. A 1 =1. Il reste à diviser ar n! si on ne tient as comte de l ordre des termes des artitions. 35
Chaitre 1 : Raisonnement Vocabulaire ensembliste Exercices Niveau 1 Logique Ex. 1 Exrimer en langage courant la roosition : x, y, z, x = yz et les analogues en changeant les quantificateurs. Quelles sont celles qui sont vraies? Ex. 2 A : (P Q R ; B : (P et Q R ; C : P (Q R ; D : (P R et (Q R. Y a-t-il, armi A, B, C et D, des roositions qui sont équivalentes? Ensembles Alications Ex. 3 Montrer que A B = A B équivaut à A = B. Ex. 4 Montrer que A (B C (A B (A C. Donner un contre-exemle our l inclusion contraire. Ex. 5 Soit A, B, C des sous-ensembles d un ensemble E. Montrer que A B = A C A E B = A E C. Ex. 6 Soit E, F et G des ensembles, et f F E, g G F, h = g f. Montrer que : 1 h surjective et g injective f surjective ; 2 h injective et f surjective g injective. Ex. 7 @ Soit E, F, G des ensembles et f F E, g G F, h H G. Montrer que g f et h g sont bijectives si et seulement si f, g et h le sont. Ex. 8 Soit f F E. Montrer que (A B (E (F, f (A B = f (A f (B imlique que f est injective. Ex. 9 Étant donné E non vide et A, B dans (E, montrer que f : (E (E (E, X (X A, X B n est as surjective. Dénombrement Ex. 10 Combien un village doit-il comter d habitants our que deux ersonnes au moins aient les mêmes initiales? Ex. 11 Soit E et F des ensembles finis, de cardinaux resectifs n et. Combien y a-t-il d injections de E dans F? Ex. 12 Combien y a-t-il de surjections d un ensemble de cardinal n + 1 dans un ensemble de cardinal n? Ex. 13 Résoudre : 1 y, @ ( ( ( 1 2 3 + + = 5y. y y y ( ( n n 2 n, = 17. 5 4 Ex. 14 Étant donné des ensembles finis E, F, G, montrer que : Card(E F G = Card E + Card F + Card G + Card(E F G Card(E F Card(F G Card(G E. Ex. 15 Relations binaires @ Soit une relation linéaire dans un ensemble E. On définit les relations binaires et ar : x y (x y et y x, x y (x y et y x. 1 Montrer que est symétrique et antisymétrique. 2 Montrer que si est transitive alors et sont transitives. Montrer que la réciroque est fausse. Ex. 16 On munit 2 de la relation d ordre : (x, y ( x, y ( x x et y y. On ose = { (x, y 2, x 2 + y 2 = 1 }. 1 est-il total? 2 Un oint C de est dit maximal dans si : M, C M M = C. a Déterminer les éléments maximaux de. b Montrer que admet une borne suérieure et la déterminer. 36