Thème : Géométrie analytique Introduction : Programmes : «A l'école élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides usuels, en passant d'une reconnaissance perceptive à une connaissance plus analytique prenant appui sur quelques propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueur, milieu, axe de symétrie) vérifiées à l'aide d'instruments.» Au collège, on aborde : le repérage : graduation d'un axe ; les propriétés de figures usuelles, le calcul de longueur (le théorème de Pythagore,...) En seconde, on aborde : les coordonnées d'un point du plan (abscisse, ordonnée d'un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; distance de deux points du plan ; milieu d'un segment). En classe de première S : le repérage (repérage cartésien dans l'espace ; distance entre deux points), le produit scalaire. En classe de terminale S : le produit scalaire dans l'espace, droites et plan de l'espace. Présentation de l'exercice : L'exercice proposé est un problème de construction célèbre dont on attribue souvent la résolution à Napoléon. Il a pour but de construire au compas seulement le centre d'un cercle. Pour cela, on devra construire six cercles. Je détaillerai la résolution de la question 4 de cet exercice. Et, pour finir, je présenterai trois exercices. Le premier exercice sera un problème d'alignement qui peut être proposé à une classe de seconde (trois méthodes de résolution possible selon le niveau : calcul angulaire, géométrie analytique, transformation). Le second sera un exercice de première S qui fait appel au produit scalaire, à l'orthogonalité et aux coordonnées d'un point et d'un vecteur. Le troisième exercice sera un exercice de géométrie analytique dans l'espace pour une classe de terminale S, qui a pour but de calculer la distance d'un point à un plan (trois méthodes sont possibles pour calculer la distance demandée). 1/7
Travail à exposer : 1. Indiquez les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l'exercice. Compétences : Tracer des cercles aux compas. Utiliser des points auxiliaires. Utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique (ici, geogebra). Méthodes : Résoudre un système de deux équations à deux inconnues (par combinaison). Utilisation d'une figure achevée. Savoirs : Équation cartésienne d'un cercle. Coordonnées d'un point, coordonnées du milieu d'un segment. Calcul de distance entre deux points.. Détaillez la résolution de la question 4, comme vous le feriez devant une classe. (tableau) Voir résolution de l'exercice à la page 5 et à la page 6. 3. Proposer plusieurs exercices sur le même thème. L'un (au moins) de ces exercices portera sur une configuration de géométrie dans l'espace. Exercice 1 : (exercice 106 p 173 problème d'alignement Pixel/Bordas Seconde) A partir du carré ABCD, on construit un triangle équilatéral ABE (intérieur au carré) et un triangle équilatéral CBF (extérieur au carré). Le point H est le pied de la hauteur issue de E dans le triangle ABE. Le but du problème est de prouver que les points D, E et F sont alignés. 1. On choisit de travailler dans le repère orthonormé (A, B, D). a) Donner les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère. b) Calculer la longueur exacte de EH dans ce repère. En déduire les coordonnées des points E et F.. Démontrer que les points D, E et F sont alignés. Résolution de l'exercice 1 : 1. a) A 0; 0 ; B 1;0 ; D 0;1 et C 1;1. b) On obtient : EH = 3, ainsi E 1 ; 3 et F 1 3 ; 1.. DE EF =DF. /7
Exercice : (exercice 37 p 319 droites perpendiculaire Déclic/Hachette Première S) Dans le repère orthonormal O ; i, j, on donne les points A ; et B 1;1. 1. Déterminer les points M de l'axe O ; i, tels que les droites (AM) et (BM) soient orthogonales.. Déterminer les points N de l'axe O ; j, tels que le triangle ABN soit rectangle en N. 3. On désigne par M 1 et N 1 les points autres que O trouvés aux questions précédentes. Démontrer que le quadrilatère A M 1 B N 1 est un carré. Résolution de l'exercice : 1. On a : M x ;0, AM x ; et BM x 1; 1. Les droites (AM) et (BM) soient orthogonales si, et seulement si, AM BM =0. AM BM =0 x x 1 =0 x x 1 =0. Ainsi : M 1 1 ;0, M 0 ;0.. On a : N 0 ; y et ABN est un triangle rectangle en N. Le triangle ABN est un triangle rectangle en N si, et seulement si, AN BN =0. AN BN =0 y y 1 =0 y y 3 =0. Ainsi : N 1 0;3 ou N 0; 0. 3. Soient I le milieu du segment [ AB] et J le milieu du segment [M 1 N 1 ], ainsi I 1 ; 3 et J 1 ; 3. D'où I est confondu avec J. De plus, AB 3; 1 et M 1 N 1 1 ;3 sont orthogonaux car AB M 1 N 1 =0. Donc, le quadrilatère A M 1 B N 1 est un carré. Exercice 3 : (exercice 4 p 93 géométrie analytique dans l'espace Séquence Bac Terminale S) Soit (P) le plan d'équation x 4 y 3 z 1=0 et A le point de coordonnées 1; 3;0. 1. Déterminer un vecteur n normal à (P).. Soit A' le projeté orthogonale de A sur (P) et t le nombre réel tel que AA'=t n. Exprimer en fonction de t les coordonnées de A'. 3. a) Calculer les coordonnées de A'. b) En déduire la distance de A à (P). Résolution de l'exercice 3 : 1. Le plan (P) a pour équation x 4 y 3 z 1=0, donc un vecteur normal à (P) est n 1; 4;3.. Soit le point A' de coordonnées (x, y, z). AA'=t x 1=t n y 3= 4t z=3t x=t 1 y= 4 t 3 z=3 t Par conséquent, A' a pour coordonnées en fonction de t : t 1; 4t 3;3t. 3. a) Le point A' est le projeté orthogonale de A sur (P), donc A ' P. Ainsi les coordonnées du point A' vérifient l'équation de (P). On obtient : t 1 4 4t 3 3 3t 1=0 6 t 1=0 t= 6 On en déduit les coordonnées du point A ' 6 13 ; 4 13 ; 18 13. b) La distance de A à (P) est la distance AA'.. 3/7
Première méthode : on a AA'=t n, d'où AA' 6 13 ; 4 13 AA '= 6 13 4 13 18 13 = 936 169 = 6 6 ; 18 13. Ainsi : Deuxième méthode : AA' = t n = 6 13 1 4 3 =6 6 a x b y c z d Troisième méthode : d A, P = a b c = 1 4 3 0 1 1 4 3 = 1 6 =6 6 4/7
Résolution de l'exercice proposé par le jury : 1. Écrire une équation (cartésienne) du cercle. Si on suppose que le point O est le centre du cercle, alors l'équation du cercle, dont le point A est un point de ce cercle, dans la repère orthonormé O ; OA, OB est : x x 0 y y 0 =r. Or, le point O est l'origine du repère et r=oa=1 (car le repère est orthonormé). Donc, l'équation du cercle est x y =1.. Soit B un point de distinct de A. On note le cercle de centre A et de rayon AB, ce cercle recoupe en C. Écrire une équation de et déterminer l'abscisse commune des points B et C. L'équation du cercle de centre A et de rayon AB est : x x A y y A = AB. Or, le point A a pour coordonnées 1;0, le point B a pour coordonnées 0;1 et AB = x B x A y B y A =. D'où : a pour équation x 1 y =. De plus, les points B et C appartiennent au cercle et au cercle, par conséquent on obtient le système : x y =1 x 1 y = y =1 x x 1 y = y =1 x x 1 1 x = y =1 x x x 1 1 x = y =1 x x = y =1 x x=0 x=0 y= 1. 1 (Puisque le point B a pour coordonnées 0;1, le point C a pour coordonnées 0; 1 ). Donc, les points B et C ont pour abscisse 0. 3. On considère les cercles de centres B et C passant par A et on note G leur point d'intersection différent de A. Déterminer les coordonnées de G. L'équation du cercle 1 de centre B et de rayon AB est : x x B y y B = AB, c'est-à-dire : x y 1 =. L'équation du cercle ' 1 de centre C et de rayon AC est : x x C y y C = AC, c'est-à-dire : x y 1 =. Pour obtenir les coordonnées du point G, on résout le système : x y 1 = L1 x y 1 = L, par combinaison. En effectuant L1 L, on obtient : y 1 y 1 =0 4 y=0 y=0. Et, on obtient : x 1= x= 1 1. Or le point de coordonnées 1 ;0 est le point A. Donc le point G a pour coordonnées 1 ; 0. 4. On considère le cercle ' de centre G passant par A. Ce cercle coupe en E et F. Déterminer l'abscisse commune de ces deux points. Si J est le milieu de [EF ] justifier que le point O que l'on veut tracer (au compas) est tel que J est le milieu de [OA]. En déduire une construction, au compas, du point O. 5/7
L'équation du cercle ' de centre G et de rayon AG est : x x G y y G =AG. Or, AG = x G x A y G y A = 1 1 0 0 =4. Ainsi, le cercle ' a pour équation : x 1 y =4. Les points E et F appartiennent aux cercles et ', ce qui nous donne le système : x 1 y =4 L1 x 1 y = L, car le cercle a pour équation x 1 y =. Résolvons le système par combinaison, en effectuant L1 L, on obtient ainsi : x 1 y =4 x 1 x 1 = x 1 y =4 4 x= x 1 y =4 x= 1 1 x= 7 y= 7. Donc, les points E et F ont pour abscisse 1. Si J est le milieu de [EF ], J a pour coordonnées x E x F ; y y E F = 1 ;0. Or, on a O 0 ;0 et A 1;0, d'où x x O A ; y y O A = 1 ;0. Donc, J est le milieu de [OA]. On trace le cercle de centre J passant par A. Par conséquent, on obtient le point O qui est aligné avec les points J et A. 6/7
Commentaire : La résolution de l'exercice a été effectuée dans le cas où la question de l'exercice est «Soit B un point de distinct de A. On note le cercle de centre A et de rayon AB, ce cercle recoupe en C. Écrire une équation de et déterminer l'abscisse commune des points B et C.». Il aurait fallu résoudre l'exercice dans le cas où l'énoncé de la question était «Soit B' un point de distinct de A et de B. On note le cercle de centre A et de rayon AB, ce cercle recoupe en C. Écrire une équation de et déterminer l'abscisse commune des points B et C.». 7/7