Chapitre 1 Le second degré

Chapitre 1 Le second degré I. Polynôme du second degré 1) Forme d'une fonction trinôme Forme réduite Définition : On appelle polynôme du second degré (ou trinôme) toute expression qui peut s'écrire sous la forme ax + bx+ c où a, b et c sont des réels (a 0). Exemple : P x= x 8x8 est un trinôme donné sous sa forme réduite avec a =, b = - 8 et c = 8. Forme canonique Tout trinôme ax bxc peut s'écrire sous la forme ax où a, et sont des réels (a 0). Cette forme s'appelle la forme canonique du trinôme. ax + bx+ c=a ( x + b a x ) + c (a 0) Or ( x+ b a ) = x + b a ( x+ b a ) On a donc : ax + bx+ c=a[( x+ b a ). On en déduit : x + b a x= ( x+ b ] b 4 a + c=a ( x+ b a ) a) ( b a ) b 4 a + c=a ( x+ b. a) b 4 ac 4 a. Pour tous réels a, b et c avec a 0, on a donc : P x=ax bxc=ax avec = b a et β= b + 4 ac 4 a Remarque : On vérifie que =P(). a) En effet, P (α)= P( b a ) =a ( b + b( b ab a ) + c= 4 a b b + c= a 4 a b 4 a + 4ac + 4 ac 4 a = b =β 4 a 1

Exemples : P (x)= x 8 x+ 8=(x 4 x+ 4)=(x ) On obtient donc la forme canonique de P(x) avec a=, = et =0. On considère le polynôme Q x= x x 3 On a Q x= x 4 x3. (forme réduite avec a=, b=4 et c=3 ) En calculant = b a = 4 =1 et β= 4 + 4 ( ) 3 = 16 4 =5. 4 ( ) 8 Donc Q( x)= ( x 1) + 5 (forme canonique avec a=, =1 et β=5 ) Forme factorisée Il est parfois possible de factoriser P(x). On obtient alors P (x)=a( x x 1 )( x x ). a x x 1 x x est la forme factorisée de P(x). Exemples : P (x)=(x ) (forme factorisée avec a=, x 1 = et x = ) R( x)= x x 15 (forme réduite avec a=1, b= et c= 15 ) R( x)=(x 1) 16 (forme canonique avec a=1, α=1 et β= 16 ) R( x)=(x 5)(x+ 3) (forme factorisée avec a=1, x 1 =5 et x = 3 ) T ( x)=(x 1) + 5 On ne peut pas donner la forme factorisée. ) Sens de variation Théorème : Suivant le signe de a, on obtient le sens de variation de la fonction polynôme du second degré : f : x ax bxc avec a 0 ; = b et = f a a0 (positif) a0 (négatif) x + f(x) + + Le minimum de f est atteint pour x=α x + f(x) - - Le maximum de f est atteint pour x=α Pour le cas où a0 En mettant f sous sa forme canonique on obtient f x=a x. Pour tout x, on a f x (donc est un minimum de f sur ] ; + [) Pour x 1 et x appartenant à ] ; [ (donc x 1 et x ), on a : Si x 1 x, (donc x 1 x 0 ) alors f x 1 f x =[ a x 1 ] [a x ] f x 1 f x =a x 1 a x =a [x 1 x ] f x 1 f x =a [x 1 x ]=a [[ x 1 x ][ x 1 x ]] f x 1 f x =a [[ x 1 x ][ x 1 x ]] avec x 1 x 0 et x 1 x donc f x 1 f x 0 et f x 1 f x Ainsi f est décroissante sur ] ; [ On démontre les autres cas de la même manière.

3) Représentation graphique Définition : La courbe représentative d'une fonction polynôme P : x parabole. ax + bx+ c, avec a 0, est une Son sommet S(; ) a pour abscisse α= b et pour a ordonnée =P() La droite d'équation x=α est axe de symétrie de la parabole. P (α+t)=a(α+t) +b(α+t)+c=aα +bα+c+ aαt+at +bt=p (α)+at +t ( aα+b) Or α donc aα+b=0. Ainsi P (α+t)=p (α)+at a De la même manière on a : P (α t)=p (α)+at t ( aα+b)=p (α)+at Donc, on obtient, pour tout t R, P (α+t)=p (α t ) Ainsi x=α est axe de symétrie de la parabole. Remarque : Le signe de a permet de connaître l'allure de la parabole : Si a0 La parabole est tournée vers le haut. Si a0 La parabole est tournée vers le bas. 3

Exemples : La courbe représentative de la fonction P définie sur R par P x= x 8x8 est une parabole c P de sommet S( ; 0). Comme a= (positif), la parabole c P est tournée vers le haut. La courbe représentative de la fonction Q définie sur R par Q x= x 4 x3 est une parabole c Q de sommet S'(1 ; 5). Comme a= (négatif), la parabole c Q est tournée vers le bas. II. Équation du second degré 1) Définition Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s'écrire sous la forme : ax + bx+ c=0 où a, b et c sont des réels donnés et a 0. Exemples : 3 x 7 x=0 x 9=0 x x=0 L'équation (E) x 43 x= x x peut s'écrire sous la forme ax bxc=0 En effet, (E) équivaut à x 43 x x x=0 soit x 4 x 4=0 Donc ici a= 1 ; b=4 et c= 4. Interprétation graphique : Les solutions de l'équation ax bxc=0 correspondent aux abscisses des points d'intersections entre la parabole p d'équation y=ax + bx+ c et l'axe des abscisses d'équation y=0. L'équation n'a pas de solution. L'équation admet une solution. L'équation admet deux solutions. 4

) Discriminant Pour tous réels a, b et c avec a 0, on a : ax bxc=a[ x b a ] 4a avec Δ =b 4ac On a vu que : ax + bx+ c=a[( x+ b a ) ax + bx+ c=a[( x+ b a ) b ] 4a + c donc b 4a + c a ] =a [( x+ b a) b 4a + 4 ac 4a ] =a [( x+ b a) b 4ac ] 4a Définition : Le nombre =b 4 ac est appelé discriminant de l'équation ax bxc=0. 3) Résolution Théorème : Résolution de l'équation du second degré ax bxc=0 a 0 : =b 4 ac Lorsque 0, l'équation n'a pas de solution. Lorsque =0, l'équation admet une solution x= b a. Lorsque 0, l'équation admet deux solutions distinctes : x 1 = b a On sait que ax bxc=0 équivaut à a[( x+ b c'est-à-dire ( x+ b a) = Δ 4a. et x = b a a) Δ ] 4a =0 donc à x b a =0 (a 0), 4a En posant X =x b a, résoudre l'équation ax bxc=0 revient donc à résoudre X = 4 a. Si Δ < 0, alors 4a 0. L'équation n'a pas de solution (car X est positif). Si Δ =0, alors l'équation s'écrit X =0. Cette équation a une seule solution X =0, c'est-àdire x b a =0 donc x= b a. Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions : X 1= et X 4 a = 4a Soit x 1 b a = 4 a et x b a = 4a 5

Si a0, 4 a = a donc : x 1 a a = b a Si a0, 4a = a donc : x 1 a a = b a et x a a = b a et x a a = b a Exemples : Résolution de l'équation x 3 x5=0 a=, b= 3 et c=5 ainsi = 3 4 5=9 40= 31 donc 0. L'équation n'admet aucune solution. Résolution de l'équation 3 x x 4=0 a=3, b= 1 et c= 4 ainsi = 1 4 3 4=148=49 donc 0. L'équation admet deux solutions : x 1 = b = 17 a 6 =8 6 = 4 3 et x = b = 1 7 a 6 = 6 6 = 1 L'ensemble des solutions S= { 1; 4 3 }. 4) Factorisation du trinôme On considère le trinôme ax bxc. Lorsque 0, en notant x 1 et x les deux racines, on a : ax + bx+ c=a( x x 1 )(x x ) Lorsque =0, en notant x 0 l'unique racine, on a : ax + bx+ c=a( x x 0 ) Lorsque 0, le trinôme ax bxc ne se factorise pas. Exemple : On a vu que l'équation 3 x x 4=0 avait deux solutions : -1 et 4 3. On a donc 3 x x 4=3(x+ 1) ( x 4 3) Remarques : Lorsque l'équation ax bxc=0 admet des solutions, ces solutions sont les racines du trinôme ax bxc. Ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Lorsque le polynôme a deux racines distinctes 1 et, l'abscisse du sommet de la parabole est la moyenne des deux racines : = 1. 6

5) Signe du trinôme Soit f, une fonction polynôme de degré, définie sur R par f (x)=ax + bx+ c avec a 0 et le discriminant du trinôme ax + bx+ c. Si 0, alors, x 1 et x étant les racines du trinôme telles que x 1 < x, f(x) est du signe de a si et seulement si x ] ; x 1 [ ] x ;+ [. Si =0, alors f(x) est du signe de a si et seulement si x b a. Si 0, alors, pour tout réel x, f(x) est du signe de a. Si 0, alors, pour tout réel x, f (x)=a( x x 1 )( x x ) où x 1 et x sont les racines du trinôme (avec x 1 < x ). On a donc le tableau de signe suivant : x x 1 x + x x 1 0 + + x x 0 + (x x 1 )(x x ) + 0 0 + a(x x 1 )( x x ) Signe de a 0 Signe de -a 0 Signe de a Ainsi, f(x) est du signe de a si et seulement si x ] ; x 1 [ ] x ;+ [. Si =0, alors, pour tout réel x, f (x)=a( x x 0 ), avec x 0 a. Le carré (x x 0 ) est strictement positif pour x x 0 et il s'annule en x 0. Ainsi f(x) est du signe de a si et seulement si x b a. Si 0, alors 4a 0. On en déduit que, pour tout réel x, ( x+ b Or f (x)=a[( x+ a) b Δ ], donc le signe de f(x) est celui de a. 4a a) Δ 4a > 0. 7

III. Synthèse Soit le polynôme P x=ax bxc =b 4 ac 0 =0 0 Solutions de l'équation P x=0 Pas de solution Une seule solution : = b a Deux solutions : 1 = b a = b a Factorisation de P(x) Pas de factorisation P x=a x P x=a x 1 x a0 Position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses Signe de P(x) x + P(x) + x + P(x) + 0 + x 1 + P(x) + 0 0 + a0 Position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses Signe de P(x) x + P(x) x + P(x) 0 x 1 + P(x) 0 + 0 8

Résolution d'une équation du second degré. TI Calculatrice Casio PROGRAM:DEGRE :Prompt A,B,C :BÓ-4AC D :Disp "DELTA=",D :If D>0 :Then :Disp " SOLS :",(ÒB- (D))/(A) Frac,"ET",(ÒB+ ( D))/(A) Frac :Else :If D=0 :Then :Disp "1 SOL :", ÒB/(A) Frac :Else :Disp "0 SOL" :End ======DEGRE ====== "A"? A "B"? B "C"? C "DELTA=":B²-4AC D If D>0 Then " SOLUTIONS:" "X1=":( B- D) (A) "ET" "X=":( B+ D) (A) Else If D=0 Then "1 SOLUTION :" "X=" : B (A) Else "0 SOLUTION" IfEnd prgmdegre A=?4 B=?Ò1 C=?9 DELTA= 1 SOL : 0 3/ Fait A? B? 3 C? 5 DELTA= 0 SOLUTION 31 prgmdegre A=?3 B=?Ò1 C=?Ò4 DELTA= SOLS : ET 49 Ò1 4/3 Fait A? 3 B? 1 C? 4 DELTA= SOLUTIONS : X1= ET X= 49 1 4 3 9